bài tập toán rời rạc

a Hỏi có ít nhất bao nhiêu điểm nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách giữa các điểm không quá 1/2?. Trong mặt phẳng cho 6 điểm được nối với nhau từng đôi một bởi các

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC

Số ĐVHT: 4

Người biên soạn: Đỗ Như An

Bộ môn: Khoa học Máy tính Tel: 0913 419 666, E-mail: andonhu@dng.vnn.vn

NHA TRANG 05-2012

Chương 1 LÝ THUYẾT TỔ HỢP

1 BÀI TOÁN ĐẾM

1.1 Các nguyên lý cơ bản

1 Người làm chứng một tai nạn kể với cảnh sát là biển số của chiếc xe gây tai nạn có

3 chữ cái tiếp sau là 3 chữ số, bắt đầu bằng AS và chứa hai chữ số 1 và 2 Hỏi có bao nhiêu biển số khác nhau có thể phù hợp với mô tả này?

2 Mỗi vé số có dạng AA.99999 Trong đó, chữ A là ký hiệu đại diện một trong các ký

tự A, B, …, Z, số 9 là ký tự đại diện một trong các chữ số 0, 1, …, 9 Tính xác suất trúng giải đặc biệt

3 Kết quả điều tra mức sống các gia đình ở Mỹ cho biết 96% có ít nhất một tivi, 98%

có điện thoại, 95% có điện thoại và ít nhất một tivi Tính tỉ lệ phần trăm các gia đình

ở Mỹ không có điện thoại và không có tivi

4 Giả sử cần quy định password trên Internet như sau: dài từ 6 đến 8 ký tự gồm các

ký tự là a, b, …, z hoặc 0, 1, …, 9 Hỏi có bao nhiêu password khác nhau mà

a) có ký tự đầu là chữ cái a hoặc b hoặc c?

b) cô dâu không đứng cạnh chú rễ?

c) cô dâu đứng phía bên trái chú rễ (có thể không đứng cạnh nhau)?

2 Cho 12 điểm trên đường tròn Hỏi

a) có bao nhiêu dây cung mà các đầu mút là các điểm đã cho?

b) có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là các điểm đã cho?

3 Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng n

n

k

k n

1

2n−

5 Có bao nhiêu chuỗi nhị phân độ dài 8 bit

a) có đúng hai số 0 liên tiếp?

b) có đúng hai số 0?

c) hoặc bắt đầu bởi 11 hoặc kết thúc bởi 00?

6 Cho X={1,2,3,4,5,6,7,8,9} Có bao nhiêu tập con A của X

b) 10 bút chì trong đó chỉ có hai màu?

c) 10 bút chì mà trong đó phải có đủ các màu?

8 Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm những tờ 1đ, 2đ, 5đ, 10đ, 20đ, 50đ và 100đ Giả sử, thứ tự mà các tờ tiền được chọn ra là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

9 Có bao nhiêu chuỗi ký tự khác nhau có thể lập được từ các chữ trong từ MISSISSIPPI Yêu cầu phải dùng tất cả các chữ (độ dài chuỗi là 11)?

10 Xác định số nghiệm nguyên không âm của

a) Tính số cách của con bọ đó có thể di chuyển từ gốc toạ độ (0, 0, 0) tới điểm có tọa độ nguyên (m,n,p)

b) Viết chương trình liệt kê tất cả các cách di chuyển của con bọ từ gốc toạ độ đến điểm nguyên dương bất kỳ nhập từ bàn phím

2 1 0

2 1

a a

a a

6 5 1 0

2 1

a a

a a

1 0

2

a a

5 , 2

6 11 6

2 1 0

3 2

1

a a a

a a

a

II BÀI TOÁN TỒN TẠI (Phương pháp phản chứng - Nguyên lý Dirichlet)

1 Mỗi sinh viên trong trường đại học đều có quê ở một trong 62 tỉnh thành Cần phải tuyển bao nhiêu sinh viên để đảm bảo có ít nhất 100 người cùng quê?

2 Các điểm trên đường tròn được tô bằng hai màu xanh hoặc đỏ Khẳng định sau đúng hay sai:

a) Luôn luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu hay không?

b) Luôn luôn tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh cùng màu hay không?

3 Cho 5 điểm tùy ý trong hình vuông cạnh bằng 2 Chứng tỏ rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách không quá 2

4 Cho tam giác đều cạnh bằng 1

a) Hỏi có ít nhất bao nhiêu điểm nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách giữa các điểm không quá 1/2?

b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách giữa các điểm lớn hơn 1/2?

5 Chứng minh rằng trong n số nguyên tuỳ ý luôn chọn ra được k ≤n số có tổng chia hết cho n

6 Trong không gian cho 9 điểm có toạ độ nguyên Chứng minh rằng trong số 9 điểm

đã cho luôn tìm được hai điểm sao cho đoạn thẳng nối chúng đi qua điểm có toạ độ nguyên

7 Trong mặt phẳng cho 6 điểm được nối với nhau từng đôi một bởi các cạnh được tô màu đỏ hoặc màu xanh bao giờ cũng tìm thấy một tam giác có các cạnh cùng màu?

8 6 cầu thủ bóng chuyền đeo áo với số từ 1 đến 6 đứng tập trung thành một vòng tròn giữa sân Khi đó, luôn tìm được 3 người liên tiếp trên vòng tròn có tổng các số trên

áo lớn hơn hoặc bằng 10?

III BÀI TOÁN LIỆT KÊ

1 Hai đội A và B thi đấu bóng chuyền gồm 5 hiệp Đội thắng trước 3 hiệp sẽ là đội thắng cuộc Liệt kê các khả năng có thể của trận đấu giữa hai đội

2 Một người chơi cá cược tối đa 5 lần Mỗi lần chơi người này thắng hoặc thua 1 đôla Người này bắt đầu chơi với 1 đôla và sẽ ngừng chơi trước 5 lần nếu anh ta hết tiền hoặc nếu anh ta thắng 3 đôla, nghĩa là nếu anh ta có 4 đôla Liệt kê các khả năng chơi cá cược có thể xảy ra

3 Liệt kê các cách đi lên cầu thang 5 bậc nếu một người có thể bước một hoặc hai bậc một lần

4 Hãy liệt kê các dãy nhị phân 5 bit chứa hai số 0 liên tiếp

5 Hãy liệt kê các chỉnh hợp lặp chập 4 từ 3 chữ cái A, B, C mà không chứa hai chữ A hoặc hai chữ B

6 Một robot đứng tại gốc trên trục X và bước sang phải hay trái một đơn vị Robot sẽ dừng lại sau 5 bước hoặc nếu nó đứng tại vị trí 3 hoặc -3 Hãy xác định các cách đi khác nhau của Robot

7 Cho n ,,k m là các số nguyên (0 ≤m≤ 2n) nhập từ bàn phím Viết chương trình liệt

kê chuỗi nhị phân n bit có giá trị từ m đến m+k

IV BÀI TOÁN TỐI ƯU

1 Bài toán cái túi biến nguyên Có n = 5 đồ vật trọng lượng lần lượt 6, 5, 2, 4, 3 và giá trị sử dụng tương ứng 8,10, 3, 6, 5 Nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào sao cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật trong túi là lớn nhất Biết rằng túi có trọng lượng b=10 Quá trình thực hiện thuật toán được mô tả bởi cây tìm kiếm lời giải

2 Giải bài toán cái túi biến nguyên sau đây bằng thuật toán nhánh cận, quá trình thực hiện thuật toán được mô tả trên cây tìm kiếm lời giải

a) x1+ 8x2+ 5x3+ 3x4 → maxvà 2x1+ 3x2 + 5x3+ 4x4 ≤ 12, x i∈N,i= 1 , 4

b) 17x1+ 8x2+ 6x3+ 3x4 → maxvà 7x1+ 6x2+ 4x3 + 2x4 ≤ 11, x i∈N,i= 1 , 4

c) 5x1+ 3x2 + 6x3 + 10x4 → maxvà 3x1+ 2x2 + 4x3+ 5x4 ≤ 34, x i∈N,i= 1 , 4

2 Bài toán người du lịch Một người du lịch cần tham quan 5 thành phố 1, 2, 3, 4, 5 Xuất phát từ thành phố 1, người du lịch muốn đi qua tất cả các thành phố mỗi thành phố một lần rồi quay về thành phố xuất phát Hãy tìm hành trình với chi phí nhỏ nhất, biết chi phí đi lại giữa các thành phố được cho bởi ma trận sau

12 0 7 2 6

11 7 0 4 12

5 2 4 0 3

9 6 12 3 0

3 Lập lịch gia công trên 2 máy - Thuật toán Johnson Có 5 chi tiết D1,D2, ,D5 lần lượt được gia công trên 2 máy A, B Thời gian gia công chi tiết trên các máy được cho dưới đây Hãy tìm lịch gia công (thứ tự tự gia công) các chi tiết trên các máy sao cho công việc hoàn thành sớm nhất

5 Viết chương trình giải các bài toán tối ưu tổ hợp:

a) Thuật toán First Fit và Best Fit giải bài toán đóng thùng

b) Thuật toán Johnson giải bài toán lập lịch gia công trên 2 máy

c) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán Người du lịch

d) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán cái túi

Chương 2 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

I Khái niệm đồ thị – Bậc của đỉnh – Đường đi – Chu trình – Đồ thị liên thông

1 Có tồn tại một đơn đồ thị 6 đỉnh với bậc của các đỉnh sau đây hay không? Nếu

c) bậc không quá 8 nhưng có nhiều cạnh nhất

3 Một đồ thị có 19 cạnh và mỗi đỉnh đều có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 Đồ thị này có tối đa bao nhiêu đỉnh

4 Các cặp đồ thị sau đây có đẳng cấu không, vì sao?

5 Cho ví dụ một đồ thị đơn vô hướng

a) 5 đỉnh, 6 cạnh và không liên thông?

b) 5 đỉnh, nhiều cạnh nhất và không liên thông?

6 Cho đơn đồ thị G gồm 6 đỉnh và 7 cạnh, bậc của mọi đỉnh không nhỏ hơn 2

a) Chứng minh đồ thị G liên thông

b) Có thể xảy ra trường hợp một đỉnh bậc 4 và không có 3 cạnh nào đôi một không kề nhau hay không, tại sao? Vẽ đồ thị đó nếu có

7 Chứng minh rằng mọi đồ thị đơn với n đỉnh, m cạnh mà 3 ≤n≤m luôn có ít nhất một chu trình

8 Cho một đơn đồ thị n đỉnh (n≥ 3) CM rằng nếu đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thông

9 Cho trước một đơn đồ thị có n≥ 2 đỉnh và bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn n/ 2 Chứng minh rằng nếu bỏ đi một đỉnh tuỳ ý thì đồ thị thu được vẫn liên thông

10 Cho G là đơn đồ thị n≥ 2 đỉnh Nếu tổng bậc của mỗi cặp đỉnh bằng hoặc lớn hơn

a) Nếu m≥n+ 1 thì G liên thông

b) Nếu 3 ≤n<m thì G chứa một chu trình

II Các đồ thị đặc biệt

1 Các đồ thị sau có phải là hai phía không?

III Đồ thị phẳng – Công thức Euler

1 Các đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không?

2 Một đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 vùng, tất cả các đỉnh đều có bậc 4 Tìm số đỉnh của đồ thị

3 Có hay không một đơn đồ thị phẳng 10 vùng và mỗi đỉnh đều có bậc 5?

4 Đơn đồ thị phẳng liên thông G có 9 đỉnh, bậc các đỉnh là 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5 Tìm số cạnh và số vùng của G

5 Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông có n (n≥3) đỉnh, m cạnh, r vùng Chứng minh rằng

6 3 3

6 Bất đẳng thức EV (Edges-Vertices Inequality)

a) Cho G là đơn đồ thị liên thông có n (n≥3) đỉnh, m cạnh Gọi g ≥ 3 là độ dài của chu trình nhỏ nhất trong G Chứng minh rằng, nếu G phẳng, thì

) 2 (

a) Tìm đồ thị bù của đồ thị vòng C4, của đồ thị hai phía đầy đủ K2,2

b) Cho G là đồ thị có số đỉnh bằng 11 hoặc nhiều hơn Chứng minh rằng G hoặc

G không phải là đồ thị phẳng

IV Tô màu đồ thị

1 Sử dụng thuật toán Welch – Powell để tô màu và tìm sắc số của các đồ thị sau:

3 Lập chương trình giải bài toán lập lịch thi:

Dữ liệu vào: Từ tập tin INP.DAT có nội dung: Dòng đầu tiên chứa 2 số nguyên

n

m, Các dòng tiếp theo là một ma trận cấp m×n gồm các phần tử c ( j i, ) nhận giá trị 1

1 V

nếu sinh viên thứ i có đăng ký thi môn j, ngược lại nhận giá trị 0 (i= 1 ,m, j= 1 ,n); các

số viết cách nhau một khoảng trắng

Dữ liệu ra: Ghi vào tập tin OUT.DAT có nội dung: dòng đầu tiên là số đợt thi, các dòng tiếp theo là các đợt thi gồm các môn thi có thể tổ chức thi (thứ tự các đợt tổ chức thi

là không quan trọng)

Ví dụ: Các tập tin dữ liệu vào ra tương ứng:

4 Tô màu cạnh cho đồ thị là việc gán màu cho các cạnh sao cho các cạnh liên thuộc với một đỉnh được gán các màu khác nhau Hãy tìm số màu tối thiểu để tô màu cạnh cho các đồ thị K n, K m,n, C n

V Đồ thị Euler và đồ thị Hamilton

1 Với giá trị nào của n, m các đồ thị C n, K n, K m,n có chu trình Euler; có chu trình Hamilton; đồng thời có chu trình Euler và Hamilton

2 Cho ví dụ một đồ thị là:

a) đồ thị Euler nhưng không là đồ thị Hamilton

b) đồ thị Hamilton nhưng không là đồ thị Euler

4 Có thể đi dạo quanh thành phố được minh hoạ như hình dưới đây, sao cho đi qua tất cả các cầu mỗi cầu qua một lần?

5 Mê cung Một ông vua đã xây dựng một lâu đài với nhiều phòng để cất giấu báu vật Người ta tìm thấy sơ đồ của lâu đài (hình dưới) với lời dặn: “Muốn tìm thấy báu vật, chỉ cần từ một trong các phòng ở ngoài cùng (phòng số 1, 2, 6,…), đi qua tất cả các cửa mỗi cửa chỉ một lần qua Báu vật sẽ được cất sau cửa cuối cùng” Hãy tìm nơi cất báu vật

6 Các khẳng định sau đây đúng hay sai:

a) Chứng minh rằng đồ thị Euler không chứa cạnh cầu

b) Đồ thị Euler là đồ thị Hamilton

7 Bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese Postman Problem) Mỗi ngày người đưa thư đến bưu điện nhận thư và phân phát đến các địa chỉ ghi trên phong bì và sau đó trở về lại bưu điện Một đồ thị vô hướng trọng số cạnh minh họa các con đường với độ dài tương ứng mà người đưa thư phải đi (bưu điện là một đỉnh bất kỳ trên đồ thị) Hãy xác định độ dài tối thiểu của hành trình mà người đưa thư phải đi Giải bài toán trên với các đồ thị sau:

δ , thì G chứa một đường Hamilton

10 Cho G là đơn đồ thị n≥ 3 đỉnh, m cạnh Nếu 2

2

) 2 )(

1 (

12 Kiểm tra mệnh đề sau đúng hay sai: “Đồ thị Euler là đồ thị Hamilton”

VI Cây, cây khung, cây khung bé nhất

1 Liệt kê các cây khung của đồ thị sau đây:

2 Với mỗi khẳng định dưới đây hãy cho biết nó là đúng hay sai Nếu là đúng hãy chứng minh, còn nếu là sai hãy đưa ra phản ví dụ:

a) Cây khung nhỏ nhất không chứa cạnh có trọng số lớn nhất của đồ thị (giả thiết

là trọng số của các cạnh là khác nhau từng đôi);

b) Cây khung nhỏ nhất không chứa cạnh có trọng số lớn nhất của bất cứ chu trình nào của đồ thị (giả thiết là trọng số của các cạnh là khác nhau từng đôi)

3 Gọi T =(V, E) là cây khung Chứng minh rằng ∑

∈

=

−

V v

v)) 2deg(

2

4 Áp dụng thuật toán Kruskal, Prim tìm cây khung nhỏ nhất của các đồ thị có trọng

số sau Yêu cầu viết các kết quả trung gian trong từng bước lặp, kết quả cuối cùng cần đưa ra tập cạnh và tổng trọng số của cây khung nhỏ nhất

VII Đường đi ngắn nhất

1 Thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất xuất phát từ đỉnh A đến các đỉnh còn lại của đồ thị có trọng số sau đây:

2 Chứng minh tính đúng đắn hoặc đưa ra phản ví dụ (cùng giải thích cần thiết) cho khẳng định sau đây: Cho G=(V, E) là đồ thị vô hướng liên thông có trọng số trên cạnh T

là cây khung nhỏ nhất của G Giả sử u, v là hai đỉnh nào đó, khi đó mọi đường đi từ u đến

v trên T đều phải là đường đi ngắn nhất trên G

(3) (2)

(2) (1)

(3)

(6) (2)

(3)

(2)

(3) (2)

(3)

(2)

(3) (2)

b) Viết chương trình giải bài toán trên với một bảng số cho trước

4 Đường đi trong tam giác (IIO 1994)

a) Hình dưới đây là một bảng tam giác đều N = 5 hàng chứa các số nguyên không âm Hãy tính tổng lớn nhất các số trên đường đi từ đỉnh tam giác và kết thúc tại một điểm nào đó ở đáy tam giác Mỗi bước đi chỉ được quyền đi thẳng xuống bên trái hay bên phải của số đó

b) Viết chương trình giải bài toán trên với số hàng N trong tam giác lớn hơn 1

và bé hơn 100 Các số trong tam giác đều là số nguyên không âm và nhỏ hơn 100

- Dữ liệu vào cho trong file Triangle.Inp, dòng đầu ghi số N Dòng i+1 ghi i số (1 ≤i≤N)

- Dữ liệu ra ghi vào file triangle.Out giá trị tổng lớn nhất tìm được và đường đi được biểu diễn bởi chuỗi gồm các ký tự T, P (trái, phải)

5 Một công trình thi công được chia thành n công đoạn được đánh số 1 , 2 , ,n Có một số công đoạn mà việc thực hiện nó chỉ được tiến hành sau khi một số công đoạn nào

đó đã được hoàn thành Đối với mỗi công đoạn i cho biết t [i] là thời gian cần thiết để hoàn thành nó (i= 1 ,n) Hãy tìm lịch trình thi công công trình (chỉ rõ mỗi công đoạn phải được bắt đầu từ thời điểm nào) để sao cho công trình được hoàn thành trong thời điểm sớm nhất có thể được

Giải bài toán cụ thể với bảng số liệu sau (n= 8):

VIII Bài toán Luồng cực đại – Bài toán tối ưu tổ hợp

1 Áp dụng thuật toán Ford – Fulkerson xác định luồng cực đại từ các mạng với luồng zéro sau:

c) d)

2 Có n bạn nam và n bạn nữ tham gia trong một sàn nhảy Quan hệ bạn bè giữa các cặp nam nữ được cho bởi ma trận vuông cấp n (mỗi dòng ứng với một bạn nam, mỗi cột ứng với một bạn nữ) Hãy sắp xếp số cặp nhãy sao cho số cặp quen nhau (hai người cùng nhảy là bạn của nhau) là lớn nhất?

a) Giải bài toán trên với n=5 và ma trận bạn bè có dạng:

1 0 1 0 0

0 0 1 0 1

1 1 0 0 0

0 0 0 1 1

b) Ma trận quan hệ bạn bè phải có điều kiện gì để đảm bảo các cặp nhảy là quen nhau?

3 Bài toán đám cưới vùng quê Một làng nhỏ có n chàng trai chưa vợ và m cô gái chưa chồng Đối với mỗi chàng trai có các cô gái mình ưa thích Hỏi có thể tổ chức đám cưới trong đó chàng trai nào cũng sánh duyên cùng với cô gái mà mình vừa ý

Ví dụ: Dữ liệu vào: Có 4 chàng trai t1,t2,t3,t4 và 5 cô gái g1,g2,g3,g4,g5 và sự vừa

ý cho bởi bảng sau: