bài tập toán rời rạc

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NHA TRANG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC Số ĐVHT: 4 Người biên soạn: Đỗ Như An Bộ môn: Khoa học Máy tính Tel: 0913 419 666, E-mail: andonhu@dng.vnn.vn NHA TRANG 05-2012 2 Chương 1. LÝ THUYẾT TỔ HỢP 1. BÀI TOÁN ĐẾM 1.1 Các nguyên lý cơ bản 1. Người làm chứng một tai nạn kể với cảnh sát là biển số của chiếc xe gây tai nạn có 3 chữ cái tiếp sau là 3 chữ số, bắt đầu bằng AS và chứa hai chữ số 1 và 2. Hỏi có bao nhiêu biển số khác nhau có thể phù hợp với mô tả này? 2. Mỗi vé số có dạng AA.99999. Trong đó, chữ A là ký hiệu đại diện một trong các ký tự A, B, …, Z, số 9 là ký tự đại diện một trong các chữ số 0, 1, …, 9. Tính xác suất trúng giải đặc biệt. 3. Kết quả điều tra mức sống các gia đình ở Mỹ cho biết 96% có ít nhất một tivi, 98% có điện thoại, 95% có điện thoại và ít nhất một tivi. Tính tỉ lệ phần trăm các gia đình ở Mỹ không có điện thoại và không có tivi. 4. Giả sử cần quy định password trên Internet như sau: dài từ 6 đến 8 ký tự gồm các ký tự là a, b, …, z hoặc 0, 1, …, 9. Hỏi có bao nhiêu password khác nhau mà a) có ký tự đầu là chữ cái a hoặc b hoặc c? b) có đúng một chữ số? c) có ít nhất một chữ số? 5. Một lớp gồm 50 sinh viên làm bài kiểm tra gồm 3 câu hỏi. Biết rằng mỗi sinh viên làm được ít nhất một câu và số sinh viên làm được câu 1 là 40, câu 2 là 35, câu 3 là 30. CMR số sinh viên làm được cả 3 câu không vượt quá 27. 1.2 Giải tích tổ hợp 1. Cô dâu chú rễ mời bốn người bạn chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu kiểu ảnh khác nhau mà a) cô dâu đứng cạnh chú rễ? b) cô dâu không đứng cạnh chú rễ? c) cô dâu đứng phía bên trái chú rễ (có thể không đứng cạnh nhau)? 2. Cho 12 điểm trên đường tròn. Hỏi 3 a) có bao nhiêu dây cung mà các đầu mút là các điểm đã cho? b) có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là các điểm đã cho? 3. Cho n là số nguyên dương. Chứng minh rằng n n k k n C 2 0 = ∑ = . 4. Cho tập A gồm n phần tử. Chứng minh rằng a) Số các tập con của tập A bằng n 2 . b) Số các tập con có số chẳn phần tử bằng số các tập con có số lẽ phần tử và bằng 1 2 −n . 5. Có bao nhiêu chuỗi nhị phân độ dài 8 bit a) có đúng hai số 0 liên tiếp? b) có đúng hai số 0? c) hoặc bắt đầu bởi 11 hoặc kết thúc bởi 00? 6. Cho X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu tập con A của X a) gồm 5 phần tử? b) gồm 5 phần tử và phần tử bé nhất của A là 3? c) gồm 5 phần tử và phần tử bé nhất của A bé hơn 4? 7. Có 3 hộp bút chì mầu xanh, đỏ, vàng, mỗi hộp chứa không ít hơn 10 bút chì cùng mầu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua a) 10 bút chì? b) 10 bút chì trong đó chỉ có hai màu? c) 10 bút chì mà trong đó phải có đủ các màu? 8. Có bao nhiêu cách chọn 5 tờ giấy bạc từ một két đựng tiền gồm những tờ 1đ, 2đ, 5đ, 10đ, 20đ, 50đ và 100đ. Giả sử, thứ tự mà các tờ tiền được chọn ra là không quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt và mỗi loại có ít nhất 5 tờ. 9. Có bao nhiêu chuỗi ký tự khác nhau có thể lập được từ các chữ trong từ MISSISSIPPI. Yêu cầu phải dùng tất cả các chữ (độ dài chuỗi là 11)? 10. Xác định số nghiệm nguyên không âm của 4 a) phương trình 11 321 =++ xxx . b) bất phương trình 11 321 ≤++ xxx . c) phương trình 11 321 =++ xxx trong đó 4 3 ≥x . 11. Có bao nhiêu số nguyên dương nhỏ hơn 1000000 có tổng các chữ số của nó bằng 19? 12. Trong không gian Oxyz , một con bọ di chuyển bằng cách nhãy từng bước dài một đơn vị theo hướng của trục x hoặc của trục y hoặc của trục z (không được nhãy giật lùi theo chiều âm của các trục toạ độ). a) Tính số cách của con bọ đó có thể di chuyển từ gốc toạ độ (0, 0, 0) tới điểm có tọa độ nguyên ),,( pnm . b) Viết chương trình liệt kê tất cả các cách di chuyển của con bọ từ gốc toạ độ đến điểm nguyên dương bất kỳ nhập từ bàn phím. 1.3 Hệ thức truy hồi 1. Dãy }{ n a nào sau đây là nghiệm của hệ thức truy hồi 21 43 −− +−= nnn aaa ? a) 1= n a b) n n a )4(−= c) 3)4(2 +−= n n a d) n n a 2.3= 2. Dùng phương pháp lặp tìm nghiệm của các hệ thức truy hồi sau đây: a) 2,3 01 =−= − aaa nn c) naa nn += −1 , 1 0 =a b) 1,13 01 =+= − aaa nn d) 1, 11 == − anaa nn 3. Tìm nghiệm của hệ thức truy hồi bằng phương pháp tổng quát a)    == += −− 7,2 2 10 21 aa aaa nnn c)    == −= −− 0,1 65 10 21 aa aaa nnn b)      == = − 0,1 4 1 10 2 aa aa nn d)    === +−= −−− 15,5,2 6116 210 321 aaa aaaa nnnn II. BÀI TOÁN TỒN TẠI (Phương pháp phản chứng - Nguyên lý Dirichlet) 5 1. Mỗi sinh viên trong trường đại học đều có quê ở một trong 62 tỉnh thành. Cần phải tuyển bao nhiêu sinh viên để đảm bảo có ít nhất 100 người cùng quê? 2. Các điểm trên đường tròn được tô bằng hai màu xanh hoặc đỏ. Khẳng định sau đúng hay sai: a) Luôn luôn tồn tại một tam giác đều có ba đỉnh cùng màu hay không? b) Luôn luôn tồn tại một tam giác cân có ba đỉnh cùng màu hay không? 3. Cho 5 điểm tùy ý trong hình vuông cạnh bằng 2. Chứng tỏ rằng luôn tìm được hai điểm có khoảng cách không quá 2 . 4. Cho tam giác đều cạnh bằng 1. a) Hỏi có ít nhất bao nhiêu điểm nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách giữa các điểm không quá 1/2? b) Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu điểm nằm trong hoặc trên cạnh của tam giác sao cho khoảng cách giữa các điểm lớn hơn 1/2? 5. Chứng minh rằng trong n số nguyên tuỳ ý luôn chọn ra được nk ≤ số có tổng chia hết cho n . 6. Trong không gian cho 9 điểm có toạ độ nguyên. Chứng minh rằng trong số 9 điểm đã cho luôn tìm được hai điểm sao cho đoạn thẳng nối chúng đi qua điểm có toạ độ nguyên. 7. Trong mặt phẳng cho 6 điểm được nối với nhau từng đôi một bởi các cạnh được tô màu đỏ hoặc màu xanh bao giờ cũng tìm thấy một tam giác có các cạnh cùng màu? 8. 6 cầu thủ bóng chuyền đeo áo với số từ 1 đến 6 đứng tập trung thành một vòng tròn giữa sân. Khi đó, luôn tìm được 3 người liên tiếp trên vòng tròn có tổng các số trên áo lớn hơn hoặc bằng 10? III. BÀI TOÁN LIỆT KÊ 1. Hai đội A và B thi đấu bóng chuyền gồm 5 hiệp. Đội thắng trước 3 hiệp sẽ là đội thắng cuộc. Liệt kê các khả năng có thể của trận đấu giữa hai đội. 2. Một người chơi cá cược tối đa 5 lần. Mỗi lần chơi người này thắng hoặc thua 1 đôla. Người này bắt đầu chơi với 1 đôla và sẽ ngừng chơi trước 5 lần nếu anh ta hết tiền hoặc nếu anh ta thắng 3 đôla, nghĩa là nếu anh ta có 4 đôla. Liệt kê các khả năng chơi cá cược có thể xảy ra. 6 3. Liệt kê các cách đi lên cầu thang 5 bậc nếu một người có thể bước một hoặc hai bậc một lần. 4. Hãy liệt kê các dãy nhị phân 5 bit chứa hai số 0 liên tiếp. 5. Hãy liệt kê các chỉnh hợp lặp chập 4 từ 3 chữ cái A, B, C mà không chứa hai chữ A hoặc hai chữ B. 6. Một robot đứng tại gốc trên trục X và bước sang phải hay trái một đơn vị. Robot sẽ dừng lại sau 5 bước hoặc nếu nó đứng tại vị trí 3 hoặc -3. Hãy xác định các cách đi khác nhau của Robot. 7. Cho mkn ,, là các số nguyên ( n m 20 ≤≤ ) nhập từ bàn phím. Viết chương trình liệt kê chuỗi nhị phân n bit có giá trị từ m đến km + . 8. Viết chương trình a) Liệt kê các tập con k phần tử của tập {1, 2, …, n}, trong đó k và n là các số nguyên dương nhập từ bàn phím. b) Liệt kê tất cả các chuỗi nhị phân n bit, trong đó n là số nguyên dương nhập từ bàn phím. c) Liệt kê tất cả các hoàn vị của tập {1, 2, …, n}, trong đó n là số nguyên dương nhập từ bàn phím. IV. BÀI TOÁN TỐI ƯU 1. Bài toán cái túi biến nguyên. Có 5 = n đồ vật trọng lượng lần lượt 6, 5, 2, 4, 3 và giá trị sử dụng tương ứng 8,10, 3, 6, 5. Nhà thám hiểm cần mang theo những đồ vật nào sao cho tổng giá trị sử dụng của các đồ vật trong túi là lớn nhất. Biết rằng túi có trọng lượng b=10. Quá trình thực hiện thuật toán được mô tả bởi cây tìm kiếm lời giải. 2. Giải bài toán cái túi biến nguyên sau đây bằng thuật toán nhánh cận, quá trình thực hiện thuật toán được mô tả trên cây tìm kiếm lời giải. a) max358 4321 →+++ xxxx và 124532 4321 ≤+++ xxxx , 4,1, =∈ iNx i b) max36817 4321 →+++ xxxx và 112467 4321 ≤+++ xxxx , 4,1, =∈ iNx i c) max10635 4321 →+++ xxxx và 345423 4321 ≤+++ xxxx , 4,1, =∈ iNx i 7 2. Bài toán người du lịch. Một người du lịch cần tham quan 5 thành phố 1, 2, 3, 4, 5. Xuất phát từ thành phố 1, người du lịch muốn đi qua tất cả các thành phố mỗi thành phố một lần rồi quay về thành phố xuất phát. Hãy tìm hành trình với chi phí nhỏ nhất, biết chi phí đi lại giữa các thành phố được cho bởi ma trận sau.                 = 0121159 120726 1170412 52403 961230 C 3. Lập lịch gia công trên 2 máy - Thuật toán Johnson. Có 5 chi tiết 521 ,,, DDD lần lượt được gia công trên 2 máy A, B. Thời gian gia công chi tiết trên các máy được cho dưới đây. Hãy tìm lịch gia công (thứ tự tự gia công) các chi tiết trên các máy sao cho công việc hoàn thành sớm nhất. a) a = (3, 4, 6, 5, 6), b = (1, 5, 2, 7, 3) b) a = (4, 4, 5, 3, 5), b = (3, 3, 4, 6, 7) 4. Bài toán đóng thùng. a) Cho ví dụ một bài toán đóng thùng mà thuật toán First Fit tốt hơn Best Fit. b) Cho ví dụ một bài toán đóng thùng mà thuật toán Best Fit tốt hơn First Fit. c) Nhận xét về tính hiệu quả của các thuật toán Fit First và Best First khi các vật được sắp xếp theo thứ tự không tăng theo trọng lượng của các vật. 5. Viết chương trình giải các bài toán tối ưu tổ hợp: a) Thuật toán First Fit và Best Fit giải bài toán đóng thùng. b) Thuật toán Johnson giải bài toán lập lịch gia công trên 2 máy. c) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán Người du lịch. d) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán cái túi. 8 Chương 2. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ I. Khái niệm đồ thị – Bậc của đỉnh – Đường đi – Chu trình – Đồ thị liên thông 1. Có tồn tại một đơn đồ thị 6 đỉnh với bậc của các đỉnh sau đây hay không? Nếu có hãy vẽ đồ thị đó. a) 2, 3, 3, 3, 4, 4 c) 1, 1, 2, 3, 4, 5 b) 0, 1, 2, 4, 4, 5 d) 1, 2, 3, 3, 5, 6 2. Cho ví dụ một đơn đồ thị 10 đỉnh liên thông: a) có dãy bậc 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 9, 9. b) mọi đỉnh đều bậc 3. c) bậc không quá 8 nhưng có nhiều cạnh nhất. 3. Một đồ thị có 19 cạnh và mỗi đỉnh đều có bậc lớn hơn hoặc bằng 3. Đồ thị này có tối đa bao nhiêu đỉnh. 4. Các cặp đồ thị sau đây có đẳng cấu không, vì sao? a) b) c) G 2 G 1 G 3 G 1 G 2 G 3 G 1 G 2 G 3 9 5. Cho ví dụ một đồ thị đơn vô hướng a) 5 đỉnh, 6 cạnh và không liên thông? b) 5 đỉnh, nhiều cạnh nhất và không liên thông? 6. Cho đơn đồ thị G gồm 6 đỉnh và 7 cạnh, bậc của mọi đỉnh không nhỏ hơn 2. a) Chứng minh đồ thị G liên thông. b) Có thể xảy ra trường hợp một đỉnh bậc 4 và không có 3 cạnh nào đôi một không kề nhau hay không, tại sao? Vẽ đồ thị đó nếu có. 7. Chứng minh rằng mọi đồ thị đơn với n đỉnh, m cạnh mà mn ≤ ≤ 3 luôn có ít nhất một chu trình. 8. Cho một đơn đồ thị n đỉnh ( 3 ≥ n ). CM rằng nếu đồ thị có đúng hai đỉnh bậc lẻ thì hai đỉnh này phải liên thông. 9. Cho trước một đơn đồ thị có 2 ≥ n đỉnh và bậc của mỗi đỉnh không nhỏ hơn 2/n . Chứng minh rằng nếu bỏ đi một đỉnh tuỳ ý thì đồ thị thu được vẫn liên thông. 10. Cho G là đơn đồ thị 2 ≥ n đỉnh. Nếu tổng bậc của mỗi cặp đỉnh bằng hoặc lớn hơn 1 − n thì đồ thị G liên thông. 11. Cho G là đơn đồ thị 4 ≥ n đỉnh, m cạnh. Nếu 2 )2)(1( − − ≥ nn m , thì G liên thông. 12. Cho G là đơn đồ thị vô hướng n đỉnh và m cạnh. Khẳng định sau đây đúng hay sai. Giải thích vì sao? a) Nếu 1 + ≥ nm thì G liên thông. b) Nếu mn < ≤ 3 thì G chứa một chu trình. II. Các đồ thị đặc biệt 1. Các đồ thị sau có phải là hai phía không? a) b) c) 10 2. Xác định số cạnh của các đồ thị nm K , , n K . 3. Cho đồ thị hai phía với n đỉnh và m cạnh. Chứng minh rằng 4 2 n m ≤ . 4. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên chẵn 4 ≥ n luôn tồn tại một đơn đồ thị n đỉnh có các đỉnh đều bậc ba. III. Đồ thị phẳng – Công thức Euler 1. Các đồ thị sau có phải là đồ thị phẳng không? 2. Một đơn đồ thị phẳng liên thông có 10 vùng, tất cả các đỉnh đều có bậc 4. Tìm số đỉnh của đồ thị. 3. Có hay không một đơn đồ thị phẳng 10 vùng và mỗi đỉnh đều có bậc 5? 4. Đơn đồ thị phẳng liên thông G có 9 đỉnh, bậc các đỉnh là 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5. Tìm số cạnh và số vùng của G . 5. Cho G là đơn đồ thị phẳng liên thông có n ( 3 ≥ n ) đỉnh, m cạnh, r vùng. Chứng minh rằng .63 2 3 −≤≤ nm r d) e) f) (a) (b) (c) (d) [...]... để sao cho công trình được hoàn thành trong thời điểm sớm nhất có thể được Giải bài toán cụ thể với bảng số liệu sau ( n = 8 ): Công đoạn Thời gian t[i] i Các công đoạn phải được hoàn thành trước 1 12 2 14 3 22 4 24 2,3 5 30 4 6 15 2,3 7 16 5,6 8 20 5 1 VIII Bài toán Luồng cực đại – Bài toán tối ưu tổ hợp 1 Áp dụng thuật toán Ford – Fulkerson xác định luồng cực đại từ các mạng với luồng zéro sau: a)... dụng thuật toán Welch – Powell để tô màu và tìm sắc số của các đồ thị sau: a) b) c) V 1 2 Bài toán Lập lịch thi Có 7 môn thi 1,2,3, … ,7 Hãy lập lịch thi sao cho không có sinh viên có 2 môn thi cùng một lúc và số đợt thi là ít nhất Cho biết các cặp môn thi sau có chung sinh viên (1,2), (1,3), (1,4), (1,7), (2,3), (2,4), (2,6), (3,4), (3,5), (3,7), (4,5), (5,6), (6,7) 3 Lập chương trình giải bài toán lập... g2 , g5 4 Áp dụng thuật toán Ford – Fulkerson xác định luồng cực đại từ các mạng sau với khả năng thông qua cung và đỉnh: a) b) u (5) u (5) • 5 S • 5 4 1 (8) 2 • 4 3 • t (7) S (8) w (4) 3 2 v (2) • • 1 v (2) 19 • 2 3 t (7) Chương 3 ĐẠI SỐ BOOLE 1 Các khái niệm và tính chất cơ bản 1 Gọi E là một tập hợp, ký hiệu P(E ) là tập các tập con của E ‘ ’ là phép lấy phần bù của một tập hợp con của E trong... cặp nhãy sao cho số cặp quen nhau (hai người cùng nhảy là bạn của nhau) là lớn nhất? a) Giải bài toán trên với n = 5 và ma trận bạn bè có dạng: 1 0  1  0 0  1 0 0 0 0 0 1 1  0 1 0 0  0 1 0 1 1 0 1 0  b) Ma trận quan hệ bạn bè phải có điều kiện gì để đảm bảo các cặp nhảy là quen nhau? 3 Bài toán đám cưới vùng quê Một làng nhỏ có n chàng trai chưa vợ và m cô gái chưa chồng Đối với mỗi... ngắn nhất trên G 15 Một số bài toán ứng dụng 3 Đường đi trong bảng số Cho bảng chữ nhật kích thước m × n ô gồm các số nguyên Tại mỗi ô có thể đi đến được 4 ô kề cạnh Tìm đường đi từ ô (1,1) đến ô ( m, n) sao cho tổng các ô là nhỏ nhất có thể được a) Ví dụ: Bảng chữ nhật với m=5, n=6: 1 5 0 0 1 3 0 9 5 1 1 0 5 5 1 0 6 0 0 1 5 1 5 1 0 5 2 7 4 1 b) Viết chương trình giải bài toán trên với một bảng số cho... P( E ), ∪, ∩, , ∅, E ) là một đại số boole 1 Đặt S là tập hợp các ước số của 30, tức là S = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} Trên S ta định nghĩa các phép toán ‘+’, ‘.’ và ‘ ’ như sau: ∀a, b ∈ S , a + b = BSCNN( a , b ) a b =USCLN( a , b ) a= 30 a Chứng minh rằng (S, +, , , 1, 30) là một đại số boole 2 Chứng minh rằng tập hợp B = {0,1} với các phép toán x ∧ y = x y , x ∨ y = x + y − x y , x = 1 − x ,... Chứng minh rằng v∈V 4 Áp dụng thuật toán Kruskal, Prim tìm cây khung nhỏ nhất của các đồ thị có trọng số sau Yêu cầu viết các kết quả trung gian trong từng bước lặp, kết quả cuối cùng cần đưa ra tập cạnh và tổng trọng số của cây khung nhỏ nhất B B C (3) (2) (2) (5) (1) (2) (3) E (3) D (6) (2) (4) (3) (3) F (2) D (6) (5) A F A C (8) (4) E VII Đường đi ngắn nhất 1 Thuật toán Dijkstra tìm đường đi ngắn nhất... trọng số cạnh minh họa các con đường với độ dài tương ứng mà người đưa thư phải đi (bưu điện là một đỉnh bất kỳ trên đồ thị) Hãy xác định độ dài tối thiểu của hành trình mà người đưa thư phải đi Giải bài toán trên với các đồ thị sau: 13 5 1 1 5 2 1 1 5 1 1 1 2 7 3 1 5 1 1 2 1 1 1 4 2 1 3 3 8 1 3 2 (c) (b) (a) Tìm đường hay chu trình Hamilton của các đồ thị sau: a) b) E B C B • E H A • • C D • K • T F... trình giải bài toán lập lịch thi: Dữ liệu vào: Từ tập tin INP.DAT có nội dung: Dòng đầu tiên chứa 2 số nguyên m, n Các dòng tiếp theo là một ma trận cấp m × n gồm các phần tử c (i, j ) nhận giá trị 1 11 nếu sinh viên thứ i có đăng ký thi môn j , ngược lại nhận giá trị 0 ( i = 1, m, j = 1, n ); các số viết cách nhau một khoảng trắng Dữ liệu ra: Ghi vào tập tin OUT.DAT có nội dung: dòng đầu tiên là số... nơi cất báu vật 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 17 18 14 15 20 19 21 6 Các khẳng định sau đây đúng hay sai: a) Chứng minh rằng đồ thị Euler không chứa cạnh cầu b) Đồ thị Euler là đồ thị Hamilton 7 Bài toán người đưa thư Trung Hoa (Chinese Postman Problem) Mỗi ngày người đưa thư đến bưu điện nhận thư và phân phát đến các địa chỉ ghi trên phong bì và sau đó trở về lại bưu điện Một đồ thị vô hướng trọng . Fit giải bài toán đóng thùng. b) Thuật toán Johnson giải bài toán lập lịch gia công trên 2 máy. c) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán Người du lịch. d) Thuật toán nhánh-cận giải bài toán cái. = (3, 3, 4, 6, 7) 4. Bài toán đóng thùng. a) Cho ví dụ một bài toán đóng thùng mà thuật toán First Fit tốt hơn Best Fit. b) Cho ví dụ một bài toán đóng thùng mà thuật toán Best Fit tốt hơn. từ bàn phím. c) Liệt kê tất cả các hoàn vị của tập {1, 2, …, n}, trong đó n là số nguyên dương nhập từ bàn phím. IV. BÀI TOÁN TỐI ƯU 1. Bài toán cái túi biến nguyên. Có 5 = n đồ vật trọng