Bài tập toán cao cấp - Dùng cho nhóm ngành kinh tế

GS. TRẦN VẮN HẠO . GS. NGUYÊN BÁC VẤN GS. NGUYỄN VÃN THÊM - GV. NGUYÊN VÃN TẤN DÙNG CHO NHÓM NGÀNH KINH TẾ TỦ SÁCH ĐẠI HỌC VẢN LANG LỜI NÓI ĐẦU Để giúp sinh viên theo học nhóm ngành kinh tế, tiếp thu tốt phần Giải tích và đại số tuyển tính, chúng tôi soạn thảo cuốn sách Bài Tập Toán Cao Cấp. Nội dung cuốn sách gồm phần tóm tắt lý thuyết, lời giải của các bài toán chọn lọc trong giáo trinh Giải tích của GS Nguyễn Bác Văn - GS Nguyễn Văn Thêm và giáo trình Đại số tuyến tính của GS - Trần Văn Hạo - TS Bùi Công Cường. Phần bài tập tự giải nhằm giúp sinh viên rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết để giải các bài toán đặt ra. Một số bài tập còn có tác dụng bổ sung, mở rộng thêm phần lý thuyết trong giáo trình. Chúng tôi hi vọng cuốn sách sẽ giúp ích cho sinh viên trong quá trình học tập và rất mong nhận được những ỷ kiến đóng góp xây dựng của bạn đọc. Các tác giả PHẨN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT A GIẢI TÍCH B Đ Ạ I SỐ TUYẾN TÍNH BT Toán cao cấp A GIẢI TÍCH • SỐ phức. • Vô cùng bé và giới hạn. • Tính đạo hàm và đạo hàm riêng. • Vi phân toàn phần của hàm hai biến. • Cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. • Khai triển Mac-laurin. • Tính tích phân. • Sự hội tụ của chuỗi số. • Sự hội tụ của chuỗi số nguyên. • Phương trình vi phân. 3 BT Toản cao cấp Vấn đề u s ố PHỨC 1. Cách tìm dạng lượng giác của số’ phức X+Yi : (a) Tính mô-đun r = yỊx2 +y2 (b) Tính ac-gu-men 9, nhớ 0 là góc lượng giác với • Khi X < 0 ta lấy 0 = arctg khi đó : - X > 0 -X 5 2 5 Phương trình xz +x + ^- = 0 có biệt sô" A = -4, vậy VÃ= 2i hoặc -2i. Phương trình có 2 nghiệm phức: 1 . ■ 1 x' = - — +1 và x" = - — - i 2 2 Hãy tìm dạng lượng giác của x’ và x”. Với x' = - — + (l)i ta có : r = = — 2 V4 2 và Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết 2. Thí dụ : 0' = n + arctg í \ -1 1 vậy : x’=r(cos0‘+ isin0‘) . V5 = 7ĩ + arctg( 2) = K- arctg2 X = [cos(tt - arctg2) + i sin(x - arctg2)j Đó- là dạng lượng giác của số phức x\ Tự làm với x”. Vấn d ể ^ v à ũ í ĩ m BỂ VẰ m ô ĩ u m 1. Định nghĩa vô cùng bé trong m ột quá trình: Đại lượng y gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu cứ cho trước hằng số dương E (bé mấy cũng được), 6 ta sẽ tìm được một khúc chót K, trong khúc chót đó sẽ có J y I < s 0 ( • ỉ ) -è y é 2. Liên hệ vô cùng bé với đại lượng tiến đến gỉớỉ hạn: Ta nói đại lượng y tiến đến giới hạn b trong một quá trình nếu (y - b) là một vô cùng bé. BT Toán cao cấp 3. Các vô cùng bé tương đương trong m ột quá trình: y và z là hai vô cùng bé tương đương trong một quá trình nếu lim — = 1. z 4. Nhớ các vô cùng bé tương đương quan trọng : Khi X-» 0 thì (a) sinx » X (viết tăt sinx tương đương với x), (b) ln(l+x) » X, (c) ex- l * X. 5. Quy tắc thay th ế vô cùng bé tương đương khỉ tìm giới hạn (số 11 và thỉ dụ Chương I, Giáo trình giải tích). Thí du : Tìm lim ln(l + X2) x-»0 7 Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết Gọi u = X2 thì u là vô cùng bé và ta có ln(l+u) » u (tương đương), vậy theo quy tắc thay vô cùng bẻ tương đương, ta có: lim x->0 ln(l + X2 ) X 2 6. Quy tắc bỏ bớt các vô cùn g bé bậc cao để được vô cùn g bé tương đương (sô 10 Chương I). Thí du : khi X-» 0 thì X + X3 » X (bỏ bớt X3 là vô cùng bé bậc cao hơn so với X, xem số 8 Chương I, Giáo trình Giải Tích). 7. Hai cách tìm gỉớỉ hạn củ a tỉ sô' các vô 0 cùng bé (dạng vô định — ): (a) Cách thay vô cùng bé tương đương (sô' 5 ở trên). (B) Cách dùng quỵ tắc L’Hôpital, thí dụ Chương II, Giáo trình Toán Giải Tích. 8 i B ài tậ p : sô' 8 C h ư ơ n g I, sô' 14, 21, 22, 23 C hươ ng II. 1. Cách tính đạo hàm riêng : Muốn tính dạo hàm riêng fy của hàm hai biến f(x,y) ta cứ xem X như một hằng số. 8 B ĩ Toán cao cấp Thí du: f(x,y) = eysinx + X3 xem X là hằng số’, ta chỉ việc tính đạo hàm như hàm sô" của một biến y, do đó ta được fy (x,y) = sinx Muôn tính chang hạn fy 1 —, 1J chỉ việc thay giá trị, \2 J ta được fv ( n \ 1 . e sin — = e 2 2. B à i tập : số 54, 55, 56, 59 Chương VI. Vấnđềềi VI PHẲN TOÀN PHẦN CỦA HÀM HAI BIẾN 1. Vi phân toàn phẩn: Vi phân (toàn phần) của hàm hai biến z = f(x,y) tại điểm (xo,yo) là : dz = fx (x0y0) Ax + fy (x0y0 )Ay Cần nhd : sự tồn tại các đạo hàm riêng fx(x0,y0) và fy(x0y0) chưa phải là đủ để hàm số Kx,y) có vi phân toàn phần tại (xo,yo). 2. Ý nghĩa của vi phân toàn phần : khi Ax và Ay cùng tiến đến 0, thì dz - Az là vô cùng bé bậc cao hơn so với vô cùng bé Ạ ax)2 +(Ay)2 9 Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết 3. Áp dụng : Cho hàm hai biến z = yfxỹ. a) Tính vi phân toàn phần tại điểm (1,4) Ta có fx(x.y) = ^ ỹ - fý(x' y) = ^ (coi y là hằng) (coi X là hằng) Vậy dz = 1. Ax + -ị Ày b) Hãy tính nhanh và gần đúng -y/(l,015)(4,02). Ta có r A z= Ặ m S ){4 ,ổ2 )-Ậ l){ 4 ) Ax=0,015 ; Ày=0,02 xuất phát từ điểm (1,4). Vì đz-Az rất nhỏ so với Ậ a x ) 1 +(Ay)2, nên ta có thể xem như Az « dz (« đọc là xấp xỉ), ở đây - dz = l.Ax+^-Ay = 0,015 + 0,005 = 0,02, vậy Az = V(l,015)(4,02) - V(l)(4) * 0,02 1 ta đượe V(U015)(4,02) * 2,02. V ến đ ề f> : c ự c m T R I LỚN NHẤT, . ì m ò m Ắ t , 1. Khảo sát cực đại, cực tiểu địa phương: Nếu dùng đạo hàm cấp một, sau khi thấy f(xo)=0 10 [...]... với -3 rồi cộng vào hàng 3 ta được : 0 -1 0 A= 1 2 = -l 5 0 3 -2 1 -5 10 3 -2 1 -5 = -1 13 Ví dụ 2 : Tính 3 D= 5 1 4 2 0 -3 -1 3 -2 1 2 -1 Nhân với - 3 rồi cộng vào dòng 1 ta lấy dòiig 2 Nhân với - 2 rồi cộng vào dòng 3 Nhân với - 4 rồi cộng vào dòng 4 37 Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết Ta được: D= 13 0 - 1 1 2 0 -3 5 3 4 7 2 11 Khai triể n D theo cột 1 ta được -1 3 4 2 -1 11 = - 1 13 -5 3 4 -7 13 1 -5 -7 ... - Tóm tắt lý thuyết A là tổng của 6 số hạng, ba số đầu m ang dấu + là tích của 3 phần tử nằm song song với đường chéo chính aib2c3 và 3 sô" sau m ang dâu - là tích của 3 phần tử nằm song song với đường chéo phụ Cib2a3 2 0 7 Ví dụ : Tính A = 1 5 2 3 -6 1 2 Ta có : 0 7 2 0 1 5 2 1 5 -6 3 - 6 1 3 A = -1 0 5 + 24 - 0 + 1 0-+ 0 - 42 = -1 1 3 T h ứ b a : Tính định thức cấp cao Để tính định thức cấp cao (cấp. .. dổi sao cho thu được dòng (hay cột) có nhiều số không n h ấ t sau đó mới tính 3 0 Ví dụ 1 : Tính A = l 7 y' 5 2 X -4 -6 1 36 BT Toán cao cấp Nếu khai triển theo cột 1 ta được : A= 2 5 2 -6 1 7 0 - 1 -6 1 + 3 0 7 5 2 =-1 13 Nếu khai triển theo dòng 1 ta được A= 2 5 2 0 -6 1 1 2 3 1 5 + 7 -6 = -1 13 (Như vậy ta không phải tính một định thức cấp 2 1 2 là ) 3 1 Nếu bây giờ ta lấy hàng 2 nhân với -2 rồi... H Ứ a 1 Tính định thức cấp 2 2 Tính định thức cấp 3 3 Tính định thức cấp cao T h ứ n h ấ t : Tính định thức cấp 2 a b d- c b c d 6 Ví dụ : 7 = 5 7 - (-3 ) 6 = 53 T h ứ h a i : Tính định thứ? cấp 3 a i t>l C i A = a 2 t>2 c2 a 3 b3 c 3 = aib2c3 + biC2a3 + Cja2b3 - Cịb2a3 - b 1a2c3 - aiC2b3 ta có thể dùng quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau : viết 3 cột của định thức cấp 3 đó Sau đó viết tiếp... 4 -7 13 1 -5 -7 D 1 2 11 Nhân với 1 cộng vào cột 2 Ta lấy cột 1 Nhân vđi 13 cộng vào cột 2 - 1 0 0 Ta được : D = - - 5 -2 -6 1 7 -5 -8 0 khai triể n D theo dòng 1 ta được : D = -( -1 ) V ấn d ề 3; -2 -6 1 -5 -8 0 = + (160 - 305) = 145 TỈM MA TRẬN NGHỊCH BẴO CỦA MA TRẬN VUÔNG, Có 2 phương pháp Phương pháp 1 ; Dùng định thức 38 ... 0 -1 5 v-6 2 0, A = (1 2 00 dễ thấy (AT) T 0 -6 > -1 2 5 0 j chính là A T h ứ h a i : Để cộng các ma trận cùng câp ta tiến hành cộng các phần tử tương ứng của các ma trận th àn h phần Kết quả cho ma trận cùng cấp vứi các ma trận đó : 31 Phẩn 1 Tóm tắt lý thuyết - A = (aij) ; B = (by) => A + B = (aij + bij) Ví dụ : 0 - 6^ f 1 2 3n A= 0 -1 5 ,- 6 2 0j ( 2 ; B = 2 -1 5 b 1+ 1 2 + 0 0, 3 - 6^1 0+ 2 1-1 ... ứ c M ac - L aurin l à c ô n g th ứ c T aylor k h i a=0 Í2.4. 2-2 .4.3, chương II, bỏ chứng minh) Bài tập : số 18 chương II 2 K hai tr iể n M ac - L aurín v ớ i p h ầ n dư d ạ n g P eatib (cồn “khai triể n Mac - Laurin với phần dư chính xác” lại là công thức Mac - Laurin ở điểm 1) 2.5.3 - 2.5.4 chương II, bỏ chứng m inh B.ài tập: số 24 chương II 12 BT Toán cao cấp 3 Thí dụ : a) Khai triển Mac - Laurin... 1 - Tóm tắt lý thuyết lớn n h ấ t (nhỏ nhâ't) của hàm f(x) ở trên đoạn [a,b] (xem hình) 4 Thí dụ: Tìm giá trị nhỏ n hất, lớn n h ấ t của hàm sô T3 ỉ f(x)= y - x + § trên đoạn [-2 ,2] Ta có : f(x)=x 2- l , vậy có h ai điểm dừng là Xi =-1 , X2= l Tính f (-2 )=l, f ( - l) = - , fU )= l, f(2) - | O I -q û Vậy: giá trị lớn n h ấ t của f(x) trê n đoạn [-2 ,2] là , giá trị nhỏ n h ấ t là 1 Vặn àề KHAI TmỂN MAC -. .. dụ: tính j \ / l - u 2du, quy tắc đổi biến II, 0 chương IV 7t Thí du: tính Ịtgxdx 0 n 7t n m , t , tsin x d x f-d(cosx) Ta viết : 1tgxdx = 1- - - = 1 õ ' cosx cosx ylĩ đặt u = cosx thì u sẽ đi từ cosO = 1 đến cos—= — — 4 2 y T C k h i X đ i t ừ 0 đến —, 4 vậy 4Ĩ n 4 V 2 2J n 2 f tgxdx = - [ — = - [ d(ln u) 0 1u 1 = - ln u = v2 ln 42 l n l = - ln — 2 ln 2 - ln 2 ] = - ln 2 ) 2 15 Phẩn 1 - Tóm tắt lý thuyết... 19 Phần 1 - Tóm tắt lý thuyết Vây bán kính hôi tu R = —= —= 1 t ì (b) Nếu lim a/|a I = ể thì chuỗi ^ a nxn có bán n —>00 V I * kính hội tụ R = — (khi 1=0 thì R=oo) 'í Suy từ tiêu chuẩn Cauchy Bài tập : hai bài tìm bán kính hội tụ ở chương chuỗi, lXn-i x n ^ m ( m - l) ( m - n + l) X v 1’ - n!, - X ^ n V ấn đ ề 10; PHƯƠNG TRÌNH VI PH Â N 1 Thí du về phương trìn h vi phân cấp một : bài dư ' . NGUYÊN BÁC VẤN GS. NGUYỄN VÃN THÊM - GV. NGUYÊN VÃN TẤN DÙNG CHO NHÓM NGÀNH KINH TẾ TỦ SÁCH ĐẠI HỌC VẢN LANG LỜI NÓI ĐẦU Để giúp sinh viên theo học nhóm ngành kinh tế, tiếp thu tốt phần Giải tích. Cauchy. Bài tập : hai bài tìm bán kính hội tụ ở chương chuỗi, lXn-i x n ^ m (m -l) (m -n + l) X -1 , X - ^ v ’ n n! Vấn đề 10; PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 1. Thí du về phương trình vi phân cấp một. tuyến tính của GS - Trần Văn Hạo - TS Bùi Công Cường. Phần bài tập tự giải nhằm giúp sinh viên rèn luyện khả năng vận dụng lý thuyết để giải các bài toán đặt ra. Một số bài tập còn có tác dụng