Bất đẳng thức và những lời giải ấn tượng thầy phạm kim chung

Fullname : Phạm Kim Chung Tel : 0984.333.030 Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 1 Trong th gii ny chỳng ta xút xa khụng ch vỡ hnh ng v li núi ca nhng k xu, m cũn vỡ s im lng ỏng s ca nhng ngi tt BT NG THC V NHNG LI GII N TNG TRONG TễI TôI có thói quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh tinh những thứ chẳng đâu vào đâu hết . Có thể đó là một vài bài toán, làm dăm ba câu thơ hay viết ra những điều mình nghĩ để trảI lòng với đêm ! Với Toán tôI rất say s-a bởi trong Toán tôI tìm đ-ợc cáI tận cùng của tuyệt vọng và cả sự ngão nghễ của thành công ! Với thơ là những tháng ngày rất đẹp ! Đẹp nh- thơ, chỉ tiếc khả năng của tôI cũng chỉ đến mức sắp xếp các chữ để đúng vần Với hiện tại, tôI không muốn nói về nó, bởi nếu nói về nó về cáI điều mình đ-ợc nghe, đ-ợc thấy, tôI sợ mình mất đI cáI rạo rực đ-ợc cống hiến của sức trẻ đã và đang bùng cháy trong tôI ! Và cũng bởi vì tôI đang muốn nói với học trò tôI : Nỗ lực lên các bạn, đừng nản lòngcác bạn là t-ơng lai của Tổ quốc, chỉ có các bạn mới đủ khả năng làm biến mất những thứ vẩn đục bây giờ ! Bi 1 . Cho cỏc s thc dng x,y,z tha món : x y z xyz . Chng minh rng : 2 2 2 1 1 1 1 x 1 y 1 z 3 2 Bỡnh lun - Li gii : gii bn Th Huy-n xyz x y z xyz 1 x y z . 2 2 x y z x y z 11 xyz x x y x z 1x x yz x x y z x x y z t, bng thi : x y z x y z x y z 3 2 x x y x z y y x y z z z y z x yz y z zx z x xy x y yz y z zx z x xy x y x y z 3 x y y z z x 2 xyz x y y z z x 3 2 (*) LVT(*) = yz xy zx x y x z y z y 1 y z z x x y 3 2 x y x z y z y x z x z z x z y y x 2 Dy ra x y z 3 . Bi 2 . Cho cỏc s thc dng tha món : abc 1 . Tỡm giỏ tr ln nht ca : 5 2 5 2 5 2 b ab 6 c bc 6 a 1 1 1 P accab 6 Bỡnh lun Li gii : thi GV ging THPT Diu li gin ng cm ng thc : 1 1 1 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ( Vi abc 1 ) . Chng minh : Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 2 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “                                 1 1 1 1 a ab 1 a ab 1 ab a 1 bc b 1 ca c 1 ab a 1 a bc b 1 ab ca c 1 ab a 1 1 ab a a 1 ab hungtoandc3  Ta s CM :         52 b ab 6 3 ab aa 1 bi :               2 3 ab a 1 1 1 1 a ab1 aa 1b  ng th                               5 2 4 2 2 2 2 2 2 b ab 6 a a 3a b ab 6 4aa 1 1 1 b 3a ab 6 a ab 3a 3 3a 3b         3ab 6a 3a 3 3 ab a 1 . Mt li gii ni gii ca : Nguyenhuyen_AG bng vic s dc : Bổ đề : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : xyz=1. Ta có bất đẳng thức :      1 1 1 2 x 2 y 2 z 1 . Chng minh b  u li gin nht :                       x,y,z 1 2 x 2 y 2 x 2 y 11 2 z 3 x 1 2x yy y 2 z z 2 zx . Tr l-Schwarz  :          2 52 P b ab 6 1 3 a , l :          3 5 2 6 3 2 b ab 6 3 a .b 6 3 a ba 2 , hay :       2 2 11 3 a 2 P b t :     2 2 2 b; y b c; z c a xx yza 1  Vi suy lu  gii quyt trong t : ( T Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1. CMR :            5 2 5 2 5 2 1 3ab 6 3 1 1 1 a a b bc 6 3cac 6bc u bi ta ch cn CM :                   2 5 2 3 2 3 2 a 2a 3aa 3 3a a 3 2a 3a 31 a 0 Do: a , a 0 . Bài 3 . (VMO-2002) . Cho a,b,c là ba số thực tùy ý . Chứng minh rằng :            3 2 2 2 2 2 2 2 b c 27abc 10 a b6a ca b c . Hỏi dấu “=” xảy ra khi nào ? Bình luận – Lời giải : n 1 k thut rt hay trong ch thut chu Mt   hing b 2 v cc 3 . Nu :    2 2 2 ba c0 , bng th Nu :    2 2 2 ba c0 , chu    2 2 2 ba c9   Cho các số thực a,b,c thỏa mãn :    2 2 2 ba c9 . CMR :    12 a c 0b abc . Chng minh :                                               22 2 2 2 2 a b 4 2 ab 9 2ab 8 4ab2 a b c a abbc 2 a b c 2 ab c =       32 t 20t2 72t ft ( Vi t=ab ).  s : |b|| |a |c|      2 2 2 2 2 b 3c9cca 3 . L      2 2 2 2|ab| a 9 6cb |t| 3              3;3 Maxf t Max f( 2);f(3) f( 2) 100 . Hay :  2 P 100 . Dy ra      a,b,c 1;2;2  c Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 3 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ Note : Để ý rằng nếu cho a,b,c 0 , kết quả của bài toán hoàn toàn khác ? Bài toán 3.1 . Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn :    2 2 2 ba c9 . Tìm Max :   F 2 a b abcc    . Math.VN t nhiu li gi Với tư tưởng chuẩn hóa, ta hãy xét một bài toán nữa trong kz thi VMO :   thu kin :   3 x y z 32xyz   .  nh nh ln nht ca biu thc :   4 4 4 4 yzx P x y z    . Bình luận – Lời giải : Chu : x y z 4     : Cho x,y,z 0 :xyz 2 . a :   4 4 4 1 P yx 2 z 56   . ( Thc ch cm t  t : x y z a; b; c x y z x y z x y z          . ) t t xy yz zx    :   2 1 P t 32t 144 128    . ng hp y ra  :       F X X x X y X z 0     t 2 nghim     12 F X .F X 0   12 X ;X m cc tr c F(X). L :         3 2 3 2 X x X y X z 0 X X x y z X xy yz zx xyz 0 X 4X X.t 2 0                   :     12 F X .F X 0  :   9 10125 5t 18 . n : Đáp án của bài này nhìn cũng khủng, vì nghiệm số quá lẻ !  thi HSG Tnh Ngh An (2010-    ! nh Ngh  thng thi bng 0 th          2 2 2 2 a b c 2 a b c a biu thc :          3 3 3 a b c P a b c ab bc ca .  n : u li gi qua link này  tham kho !  c gii quyp vi kiu thi  ! Lời giải :  :                        3 3 3 2 2 2 b c b c ab bca a b c a 3abc a b c abc ba c ca 3abc  :                  2 3 3c x c 3abc P 1 1 a b c ab bc ca xc , vi x = a+b +) V +) Vi   c 0 , t gi thit :          22 2 x1 x c 4ab a b x c2 . t   x t, t c 1 2 . Kh :          2 3 3 t 1 f t 1 t1 , cho ta :  11 MinP 1; MaxP 9 . - thng minh r :     2 2 2 yzxyz 2 x 8 x y5 z   Bình luận – Lời giải : Mt b  rc s da VMO- : Trong 3 s thc bt k n ti 2 s  hoc   :    xy 0  . Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 4 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ B-A1.   dng b   vit 1 SKKN bc 4 ca S  An. i li giu c Trong 3 s thn ti 2 s 1 hoc 1 . Gi s 2 s      0 xy 1 xx y xyz z x1 y 1 z zy         . Do vy :           2 2 2 2 2 2 y z 5 xz zy 2xyz 2 x y z 5 xxx zz y 6 88y                 2 2 2zxy x y 5 z 6z 8                  2 2 2 22 5z 5 z z z 1 7 x y x y 5 z 7 x y z 1 2 4 4 0 2 4 2                                . ĐPCM Du = x khi : x=y=z=1.  qu ca VMO   th : abc 1 . Chng minh rng :   2 2 2 1 1 1 3 a b c a b c 2     Bình luận – Lời giải :  :     2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 P a b c 3 2 a b c 3 a b c a b c 2 ab                       2 2 11 2c ab 2 a b c 3 ab                  2 2 11 2 a 1 b 1 ab 1 ab           . Trong 3 s tht k th n ti 2 s 1 hoc 1 , gi s  :    a 1 b 1 0  : P 0   2008 ) . Chng minh rng vi ba s th :       2 2 2 1 1 1 a b b c c 4 ab b a c ca         Bình luận – Lời giải : i gii vng dn bii y r MathScop.Org                         2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab 1 1 1 1 b c c a a b a b 1 1 1 2 2 VT b c c a b c a c a b b c c a abc c                                      2 2 2 4 4 b c a c b c a c ab ca cbc ab bc ca           . Do :   22 ab bc ca c 0 c c 2a 2ab c ca cb 2ca 2 b0cb            . (*) Ch cn gi s   c min a,b,c   i gi :  s : a b c 0 t :   a c x y; b c x x,y 0            22 2 22 1 1 1 3c 2c 2x y x xy yx xy 4               (*) VT(*)           2 2 2 2 2 2 2 2 x x y x x y x x y 1 1 1 y x x y y y xy 1 1 2 y x y x x y y x x y y x4 x(x y) xy                                  . Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 5 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ - thc x,y thu kin : yy3 x 1 2x 3    .  ln nh nht ca biu thc : P x y Bình luận – Lời giải : a li gi ng ch m. nh tham s  h  x 1 3 y 2 yx3 x 1, y 2 ym x                m . t   x 1 a, y 2 b a, 0b     . H tr              2 22 22 2 2 2 2 1m ab m 3 29 a 3a 3b b a b 3 a b 3 0 m a 1 b 2 m a 3 m a b 3 a,b a,b 12 b 00 0a,b                                                      m c 22 18t 6mt m 9m 27 0      22 18t 6mt m 9m 27 0   2 nghim  21 5 93 9 2 t 3 1     .  (Ngh An MO TST  2009.2010  thc : abc 1 .  nh nht ca biu thc :   3 3 3 3 3 3 b b cPa c6aa bc  Lời giải : u thi x s (-u pp gii gp tht bi . ng dn bi tn bin cho quen ). Ta s chng minh :     PP a,b,c a c, bc, b . Tht vy :         3 3 3 3 3 3 P a,b,c a, a a 6 b cP bc, bc b c 2 bc1ca2b             2 3 3 2 3 bca6bc                    2 2 2 2 3 3 2 b c bc c b c .bc 6a b 6 9a 9c a0b6                   ( Vi gi s   a Max a,b,c a 1 ) . L   3 1 1 1 12 bc, bc , a 6a a P a, P a, aa 2a a         . t   a t, 1t      2 7 6 5 4 3 2 9 8 5 6 32 6 6 6 t 1 2t 2t 6t 5t 4t 3t 2t 1 1 12 2t 6t 12t 15t 1 f t 2t 6t 15 15 t t t t                         th abc 1 . Ch :       a b b c c a a b c 14      Lời giải : ( Gii bng dn bin ) t :                 P a,b,c a b b c c a 4 a b c 1 ab a b bc c b ca c a 4 a b c 6                  . Ta s CM :     PP a,b,c a c, bc, b , tht vy :                 P a,b,c P a, ab a b bc b c ca c a 4 b cbc, bc bc a bc bc 2 bc2a 8 bc              Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 6 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “         2 2 2 bc b c 2 4 b c 2 abc bc bcb 2 bc a b 2 c b               2 2 2 bc a 4bc a b c                  2 2 2 22 b c b c bbc a a 4 cabc 4a a b c 2                         a b a c 2b c a 4       Gi s :   a Max a,b,c a 1  :    2 4 a ba b a 4c c a 4  . Vy :     28 P bc , bc a 8 4a a a a a a 11 P a,b,c a, P a, , 2a            32 3 28 2t 4t 8 f t tt       , Vi a t 1 ).  :       3 32 4 2t f' t 3t 3 1 4t t     , l :   32 g t 3t 4t 3    :         2 g' t 9t 8t t 9t 0, t 1 g t g 1 2 08            :   f' t 0, t1  . Hay :     f t 0f 1  c CM.  thc x, y,z thu kin : 2 2 2 x y z 3    nh nht ca biu thc : 1 P xy yz zx 2    Bình luận : Sau đây là lời giải ấn tượng của một thành viên trên diễn đàn math.vn Lời giải :  : 0 k2  :     2 2 2 2 2 0 x z kx ky z y 2x z 2k xy zy        2 2 2 2 1 x 2k xy yzz zk xzy x 2 k 2               22 2 2 2 2 x 2kP 2 k 2 z x z k y             2 2 2 2 4k 2zyx k kP 2         . Chn k sao cho : 2 4 k 1 33 kk 24       . Vy   P 3 1 33 8   Du "" x khi : 2 2 2 x x ky z 0 1 33 x z; k yz 4 3                 12 thc x, y,z thu kin : 2 2 2 x y z 3    ln nht ca biu thc : P xy yz 2zx   Bình luận : onluyentoan.vn vu li gi  i gii dt hay ca  Lời giải :  1 k 2  ( Thu kit hin     2 1 2k xz  li gi  :         2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 x xy yz 2 zx xxk xy yz 2zxy z z k 2y 2k y k y 2 1 2k zxk                     22 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 z yk.P x 1 2k 2 1 k x z k 2k.P 2 k y 2 y           . Ta s chn k0 , th :   2 k12 k k 1 3    . Suy ra :   P 3 1 3 2    th  nh nht ca biu thc : 2 22 xy 6 P 8x 13y xy         Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 7 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ Bình luận : c mc tr nhiu bin s s ng ca bi s d  i loi quyn na ! Lời giải : t : xy 6 z xy xz yz 6 xy          a : 2 2 2 P 8x 13y z    cn ng nht h s  !            2 2 2 2 2 2 z 1 z 1x y 2 xy ; 8 x 2 8 xz; 13 y 2 13 yz                  Ta c            2 2 2 2 2 2 ; 8 x z ; 13 8 13 1 , , sao 1 o yz ch xy                           14. (  MO TST 2011-2012  th  nh nht ca biu thc :         2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b c a b b c c a             Bình luận :   i ) .  xem qua ti  ! Lời giải : i ging VMO  2008 ) Cách 1 : Gi s :   c Min a,b,c  :                2 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2 ab bc ca 2 a b 2 b c a c 2 ab bc ca Aa 2 bc 2                 .  :      ab bc ca b c a 2a 0c c 2b c        :      2 A 2 b cab ac  (1) L :                  2 2 2 2 2 2 2 ab 1 1 1 1 2 B a c b c a b b c a c a b b c a c               (2) t :      2 a b u; b c a c v     . T (1) (2) suy ra :       2 22 u u 2v 2 u 2v 1 u 2 u 2v v u u 2v 5 2 u v v u v v 4 u u v P v                           . t u t, t 0 v   :   2 2 f t t 4t 5 t      :         2 22 2 t 1 2 1 5 f' t 2t 4 t f' t 0 t tt t1 2           Lp bng bi :   5 1 11 5 5 f 22 ft        . Vy   2 c0 11 5 5 MinP a b ab 22 a, 0 5 b 1                ( Ho ) Cách 2 : Gi s   c Min a,b,c . Suy ra : b; a c abc         2 2 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 1 1 1 a b a b a b a b ab a b a b b a a ab ba P ab 2 b bb a a                        t : ab t, t 2 ba    . Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 8 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “  :       2 2 t 2 3 f t t , f' t 2t 5 0t t 2 2 t2           . Lp bng bi   3 5 11 5 5 f 22 ft       5. ( To ra t   th  nh nht ca biu thc :             2 2 2 2 2 2 1 1 1 P a b b c c a a b b c c a                    Lời giải 1 : Gi s   c Min a,b,c                2 2 2 2 2 2 A a b b c c a a b a c b c 4 ab bc ca                   2 2 a b 2 a c b c 4 ab bc ca        . Ta s chng minh :    ab bc ca a c b c    (1) . Tht vy :     2 1 2bc 2ca 0 c 2a 2b c 0c      - Do   c Min a,b,c )       2 A a b c b2 6 a c    (2) L                  2 2 2 2 2 2 2 ab 1 1 1 1 2 B b c a c a b b c c a a b b c a c               (3) t :      2 a b b c au; cv  . Kt hp vi (2) (3)      22 u 2u 6v 1 u 2 2u 6v 4u 12v 2u 6v u v v u v v P              2 u u v 2 5 3 7 v v u           . t u t, t 0 v   :   2 5t 3 f t t 7 t   :       2 2 3t 3t 1 2t f' t 0 0 t t 3 4 33          ng bi : T bng bi :     0; 59 11 33 33 3 Minf t t 84      Vy   2 c0 59 11 3 MinP 33 3 4 a b ab 4            ) Lời giải 2 : Gi s   c Min a,b,c Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 9 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “  : b; a c a; b c b - ab ; a cc        :     2 22 2 22 P a b 1 1 1 ab ba ab                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ab b aba a aba 2 ab bb 2ab b a                2 ab 1 a b a b ba 2 ab b a b a 2 ba                         t ab t, t 2 ba    .  :   2 t1 f t t t t 2      :     2 3 f' t 0 2t 1 0 t2        5 33 t 4   ng bi : T bng bi :     2; 59 11 33 33 5 Minf t t 84      Vy c0 59 11 3 MinP a b 33 5 4 b a 4            ) 16. (  thi th Boxmath.vn  a,b,c   0;2 , thu kin : a b c 3    ln nhnh nht ca biu thc :     2 2 2 2b 3c 2Pa a 24c 2060 Bình luận : Vi lon b chn  gii quyng bin. Lời giải : T         a b c 3 a 3 b c . Suy ra :                     2 22 3c 2P 3 b c 2b 3 b c 24c 2060       22 3b c 4 42 cb 28c 2063 .        bb 2c P' 6b 2c 4, P b0' 3 . Do       2c 0 2 c 2 0 33 ng bin  Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 10 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ ng biy :                              2 0;2 2 24c 20MaxP Max P 0 ; P 2 P 2 Do P 2 P 0 4c 4c67 28 4cc 063 42 0 L                2 24c 2067. f ' c 8c 24P 2 f 0, cc 4c 0;2       f c 0f 2067 . Hay     MaxP 2067 a 1;b 2;c 0 .            b 0 2 ;2 2 c 13 86 MinP P c c 2063 3 3 3         2 13 86 g c c c 2063, c 0;2 33             26 86 g' c c 0 g c 2g 2023 33 . Hay     MinP 2023 c 2;b 0;a 1 . 17. ( Khi A - 2011 ) . Cho  thc thun   1;4  x y;x z  nht ca biu thc :       x y z P 2x 3y y z z x Bình luận : n b chnh khng bi  a B GD mi bi tht bit la tr con . Lời giải 1 : +) Nu xy         1 x z 6 Pz 5 x z x z 5 . +) Nu xy                        2 2 2 2 x z z y y x P' z y z z x y z x z                22 P' z 0 x z y x y z z xy x Lp bng biy :              2 2y x 1 2 x P z xy , t , t 1;2 2x 3y 2t 3 1 t y yx P Kh bi      3 f 4 f t 2 . 33 Dx khi : x=4; y=1; z=2. Lời giải 2 : <Đáp án Bộ GD&ĐT - B bi gin bi > [...]...Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Bài toán 18 Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;3 và x  y  2z  6 Tìm lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P  x3  y3  5z3 Lời giải 1 : Ta thử giải bài này bằng dồn biến : xy xy  ; ;z  , thật vậy : z  2  Ta sẽ chứng minh :... ; ;z   x  y  5z  2   5z   x  y  4 4 z  2    2     3 x  y  x  y  2  Page | 11 4 0 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt “ . quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh tinh những thứ chẳng đâu vào đâu hết . Có thể đó là một vài bài toán, làm dăm ba câu thơ hay viết ra những điều mình nghĩ để. Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 2 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu,. Fullname : Ph¹m Kim Chung – Tel : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com October 17, 2011 Page | 3 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu,