October 17, 2011 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ẤN TƯỢNG TRONG TễI TôI có thói quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh tinh – những thứ chẳng đâu vào đâu hết
Trang 1October 17, 2011
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ẤN TƯỢNG TRONG TễI
TôI có thói quen rất xấu, đó là th-ờng thức khuya và viết lách những thứ linh tinh – những thứ chẳng đâu vào đâu hết Có thể đó là một vài bài toán, làm dăm
ba câu thơ hay viết ra những điều mình nghĩ để trảI lòng với … đêm !
Với Toán tôI rất say s-a …bởi trong Toán tôI tìm đ-ợc cáI tận cùng của tuyệt vọng …và cả sự ngão nghễ của thành công !
Với thơ …là những tháng ngày rất đẹp ! Đẹp nh- thơ, chỉ tiếc khả năng của tôI cũng chỉ đến mức sắp
xếp các chữ để đúng vần …
Với hiện tại, tôI không muốn nói về nó, bởi nếu nói về nó về cáI điều mình đ-ợc nghe, đ-ợc thấy, …tôI
sợ mình mất đI cáI rạo rực đ-ợc cống hiến của sức trẻ đã và đang bùng cháy trong tôI !
Và cũng bởi vì tôI đang muốn nói với học trò tôI : “Nỗ lực lên các bạn, đừng nản lòng…các bạn là t-ơng lai của Tổ quốc, chỉ có các bạn mới đủ khả năng …làm biến mất những thứ vẩn đục bây giờ ”!
Bài 1 Cho cỏc số thực dương x,y,z thỏa món : x y z xyz Chứng minh rằng :
3 2
Bỡnh luận - Lời giải :
Ngoài cỏch lượng giỏc húa, bài toỏn này cú thể giải bằng cỏch ( HS : Trần Thị Huyền Trang khúa 2008-2011 ) khỏ ấn tượng như sau :
xyz
2
2
x y z
Tương
tự, bất đẳng thức đó cho tương đương với :
2
3
Lại cú : VT(*) =
Dấu “=” xảy ra x y z 3
Bài 2 Cho cỏc số thực dương thỏa món : abc 1 Tỡm giỏ trị lớn nhất của :
P
Bỡnh luận – Lời giải :
Là đề thi GV giỏi trường THPT Diễn Chõu 3, trờn diễn đàn MathScope.Org cú khỏ nhiều lời giải Nhưng bài toỏn này ấn
1
ab a 1 bc b 1 ca c 1 ( Với abc 1 ) Chứng minh :
Trang 2October 17, 2011
Ta có :
1
Và đây là cách mà thành viên : hungtoandc3 đã đưa ra :
Ta sẽ CM :
a 1 bởi : 3 ab a 1 1 1 1 a ba1 ab a12 là ta sẽ áp dụng đẳng thức trên
Ta có : a5 b2 ab 6 a a 4 1 1 1 3a b2 ab 6 4a 2 b2 3a ab 6 a2b2ab3a2 3 3a 3
3ab 6a 3a 3 3 ab a 1
Một lời giải nữa cũng ấn tượng không kém, đó là lời giải của : Nguyenhuyen_AG bằng việc sử dụng BĐT quen thuộc :
Bổ đề : Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn : xyz=1 Ta có bất đẳng thức :
Chứng minh bổ đề này có nhiều lời giải được đưa ra, nhưng thiết nghĩ chịu khó biến đổi tương đương t{ vẫn đơn giản nhất :
x,y,z
1
Trở lại bài toán gốc , theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có :
2
P
1 3
2
2
P
b; y b c; z c a x
Với suy luận tương tự ta có thể giải quyết bài toán tương tự trong tạp chí THTT :
Bài 2.1( Tạp chí THTT ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 CMR :
Bài toán này đơn giản hơn nhiều bởi ta chỉ cần CM :
Bài 3 (VMO-2002) Cho a,b,c là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng :
2b2c227abc 10 a 2 b2 2 23
Bình luận – Lời giải :
Bài toán này liên quan đến 1 kỹ thuật rất hay trong chứng minh BĐT, đó là kỹ thuật chuẩn hóa
Một BĐT như thế nào thì chuẩn hóa được ? = Có thể hiểu 1 cách nôm na là bài BĐT đó đồng bậc, như bài toán trên cả 2
vế của nó là bậc 3
Nếu : a2 b2 c2 0, bất đẳng thức đúng
Nếu : 2 2 2
b
a c 0 , chuẩn hóa : 2 2 2
b
a c 9 Bài toán trở thành :
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 b2 c2 9 CMR : 2 a b c10abc
Chứng minh :
Ta có :
3 t2 20t
Không mất tính tổng quát, giả sử :
|b
| |a ||c|, ta có : 9 a2 b2 c23c2c23 Lại có : 2 2 2
Do đó :
3;3
Max f t Max f( 2);f(3) f( 2) 100 Hay : P2100
Dấu “=” xảy ra a,b,c 1;2;2 và các hoán vị của nó
Trang 3October 17, 2011
Note : Để ý rằng nếu cho a,b,c 0 , kết quả của bài toán hoàn toàn khác ?
Bài toán 3.1 Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn : 2 2 2
b
a c 9 Tìm Max : F 2 a b c abc Khi tôi đưa bài này lên diễn đàn Math.VN đã có rất nhiều lời giải được đưa ra
Với tư tưởng chuẩn hóa, ta hãy xét một bài toán nữa trong kz thi VMO :
Bài toán 4 ( VMO – 2004 ) Xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 3
x y z 32xyz
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức :
4
x P
x y z
Bình luận – Lời giải :
Chuẩn hóa : x y z 4 Lúc đó bài toán trở thành : Cho x,y,z 0 : xyz 2 Tìm Min, Max của : 1 4 4 4
( Thực chất chúng ta có thể tránh cụm từ ‘’chuẩn hóa’’ ta có thể đặt : x a; y b; z c
Đặt t xy yz zx , lúc đó : 1 2
128
Rõ ràng trường hợp : x = y = z không xảy ra
Nên phương trình : F X X x X y X z 0 có ít nhất 2 nghiệm F X F X 1 2 0 trong đó X ;X là 2 điểm cực 1 2 trị của hàm số F(X)
Lại có : X x X y X z 0 X3X x y z2 X xy yz zx xyz 0 X34X2X.t 2 0
Và từ : F X F X 1 2 0 ta có : 5 t 9 10125
Bình luận : Đáp án của bài này nhìn cũng khủng, vì nghiệm số quá lẻ !
Và với tư tưởng này, trong kz thi HSG Tỉnh Nghệ An (2010-2011) đã chế tác ra 1 bài dễ làm hơn !
Bài 4.1 ( HSG Tỉnh Nghệ An 2010) Cho a,b,c là các số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn :
2 2 2 2
P
Bình luận : Trên Math.Vn có nhiều lời giải hay, các bạn có thể qua link này để tham khảo ! Theo phương pháp ở Bài toán 4 thì bài này được giải quyết khá đơn giản Tôi muốn trình bày một phương pháp phù hợp với kiểu thi
ĐH hơn !
Lời giải : Ta có : a3 b3 c3 a b c a 2 b2 c2 ab bc ca3abc a b c ab bc ca3abc
2 3 3c x c 3abc
+) Với c =0 thì P=1
+) Với c 0 , từ giả thiết : 2 2 2 x1
c 2 Đặt xt, t
c
1
2
2 3
3 t 1
t 1 , cho ta : MinP 1; MaxP 11
9
Bài toán 5 ( Chào IMO-2007 ) Cho các số thực dương x,y,z Chứng minh rằng ta luôn có BĐT :
2 y2 z2
xyz 2 x 8 5 x y z
Bình luận – Lời giải :
Một bổ đề rất hay được sử dụng trong bài toán BĐT của VMO-2006 là : Trong 3 số thực bất kz x,y,z luôn tồn tại 2 số
hoặc Do đó : xy 0
Trang 4October 17, 2011
Bạn Dương Văn Sơn (K41-A1 Toán – ĐHV ) cũng đã sử dụng bổ đề này để viết 1 SKKN bậc 4 của Sở GD&ĐT Nghệ An Sau đây tôi trình bày lại lời giải theo cách hiểu của tôi :
Trong 3 số thực dương x,y,z luôn tồn tại 2 số 1 hoặc 1 Giả sử 2 số đó là x , y Lúc đó :
x1 y 1 0 xy 1 x y xyz z x z zy Do vậy :
2z
2 5 z 2 z2 z 1 5 z 2 7 2
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x=y=z=1
Bài toán 6 ( Hệ quả của VMO – 2006 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc 1 Chứng minh rằng :
Bình luận – Lời giải :
Ta có : P 12 12 12 a b c 3 1 1 2 2 12 2 a b c 3
a b
2
2
1 1
a b
Trong 3 số thực dương bất kz thỏa mãn : abc=1, luôn tồn tại 2 số 1 hoặc 1, giả sử đó là a, b thì ta luôn có :
a 1 b 1 0 Do đó : P 0 ĐPCM
Bài toán 7 ( VMO – 2008 ) Chứng minh rằng với ba số thực không âm a,b,c đôi một khác nhau thì :
2 2 2
4
ab b
Bình luận – Lời giải :
Bài toán này có lời giải với tư tưởng dồn biến Tuy nhiên ngoài đáp án, còn có 1 cách giải tôi thấy rất hay trên diễn đàn
MathScop.Org như sau :
Ta có :
2 2
a b
b c c a
VT
Do : ab c 2 ca cbab bc ca c22ca 2 cb 0 c c 2a 2 b0 (*)
Chỉ cần giả sử c min a,b,c thì (*) hiển nhiên đúng
Sau đây là lời giải 2 ( Đáp án ) :
Không mất tính tổng quát, giả sử : a b c 0 Đặt : a c x y; b c x x,y 0 , BĐT trở thành :
2
2
2
x(x y)
x y
Trang 5October 17, 2011 Bài toán 8 (VMO-2005) Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện : x3 x 1 3 y 2 y
Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : P x y
Bình luận – Lời giải :
Cái hay của lời giải bài toán này, xuất pháp từ 1 tư duy tưởng chừng như không tự nhiên cho lắm
Xác định tham số m để hệ phương trình :
x 1 3 y 2 y
x 3 x
y m x
có nghiệm
Đặt x 1 a, y 2 b a, b0 Hệ trở thành :
2
1 m
m
3
b
a,b là 2 nghiệm của phương trình :
18t 6mt m 9m 27 0 Bài toán trở thành, tìm tham số m để phương trình : 18t26mt m 29m 27 0 , có 2
2 t 3 1
Bài toán 9 (Nghệ An MO TST – 2009.2010 ) Xét các số thực dương a, b,c : abc 1
b b c
P a ca 6 ab c
Lời giải : Bài này là một bài toán khó, dẫu nhìn biểu thức P đối xứng, nhưng hệ số (-6) làm cho nhiều pp giải toán phải
gặp thất bại Xin trình bày bài toán này bằng dồn biến ( cũng là để tập tành dồn biến cho quen )
Ta sẽ chứng minh : P a,b,c Pa, bc, bc Thật vậy :
3
a Max a,b,c a 1 ) Lại có :
a
Đặt a t, t1 Ta có :
Bài toán 10 (MOSP 2001 ) Xét các số thực dương a, b,c : abc 1
Chứng minh BĐT : a b b c c a 4 a b c 1
Lời giải : ( Giải bằng dồn biến )
Đặt : P a,b,c a b b c c a 4 a b c 1 ab a b bc c b ca c a 4 a b c 6
Ta sẽ CM : P a,b,c Pa, bc, bc, thật vậy :
P a,b,c P a, bc, bc ab a b bc b c ca c a 4 b c 2a bc a bc bc 2 bc 8 bc
Trang 6October 17, 2011
2
Giả sử : a Max a,b,c a 1 , và : 2
4 a b
a b a c c4 a 4
3
, Với a t 1 )
4
2 t
t
, lại có : g t 3t34t23, có :
g' t 9t 8t t 9t 8 0, t 1 g t g 1 2 0 Do đó : f' t 0, t 1 Hay : f t f 1 0 BĐT được CM
Bài toán 11 Cho các số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện : x2 y2 z2 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P xy yz 1zx
2
Bình luận : Sau đây là lời giải ấn tượng của một thành viên trên diễn đàn math.vn
Lời giải : Xét : 0 k 2
2
2 2
2
z
2
8
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi :
x
x ky z 0
x z; k
4
3
Bài toán 12 Cho các số thực x, y,z thỏa mãn điều kiện : x2 y2 z2 3
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P xy yz 2zx
Bình luận : Bài toán này được post trên diễn đàn onluyentoan.vn với khá nhiều lời giải Sau đây tôi thử trình bày lời giải dựa trên phương pháp rất hay của Bài toán 11
Lời giải : Xét k 1
2
( Thật ra điều kiện này xuất hiện khi ta định dùng nó để đánh giá 2 1 2k xz ở lời giải dưới đây )
0 x ky z x z ky 2k xy yz 2zx x y k y 2k xy yz 2zx 2 1 2k zx
2 2
2
Ta sẽ chọn k 0 , thỏa mãn : 2
k 2 1 k k 1 3 Suy ra :
2
Bài toán 13 Cho các số thực x, y có tổng khác 0
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
2
x y
Trang 7October 17, 2011
Bình luận : Thông thường khi đứng trước một BĐT hay một bài cực trị nhiều biến số, người ta thường tìm cách giảm đi
số lượng của biến để sử dụng công cụ đạo hàm và đánh giá
Riêng với loại toán này cách giải quyết nó lại thêm vào cho nó …1 biến nữa !
Lời giải :
x y
P 8x 13y z Lúc này ta chỉ cần đồng nhất hệ số là xong !
Ta cần tìm
8
, , sao
1
o
ch
Bài toán 14 ( ĐH Vinh MO TST 2011-2012 ) Cho các số thực a,b,c không âm đôi một khác nhau
Bình luận : Bài này có nhiều cách giải hay, như Cách 2 ( sẽ trình bày ở dưới ) Các bạn có thể xem qua tại link này !
Lời giải : ( Tôi trình bày lời giải bài này theo { tưởng VMO – 2008 )
Cách 1 : Giả sử : c Min a,b,c
A a
2
2
Mà : ab bc ca b c a c c 2b 2a c0 (đúng ) Suy ra : 2
A a b 2 b c a c (1)
Lại có :
2
a b
B
a c b c
a b u; b c a c v Từ (1) và (2) suy ra :
u 2v 1 u2 2 u 2v u u 2v 2 2 u 2v 5 2v u 2
u v
P
v
Đặt u t, t 0
t
2 t 1
Lập bảng biến thiên cho ta : 5 1 11 5 5
f
f
c 0
11 5 5
5 b
1
( Hoặc hoán vị )
Cách 2 : Giả sử c Min a,b,c Suy ra : b c b; a c a Do đó :
a
a b
P
a b 2 b
a a
Đặt :
a b
t, t 2
Trang 8October 17, 2011
2
2
Lập bảng biến thiên cho ta : 3 5 11 5 5
f
Bài toán 15 ( Tạo ra từ { tưởng bài 14 ) Cho các số thực a,b,c không âm đôi một khác nhau
Lời giải 1 : Giả sử c Min a,b,c
A a b b c c a a b a c b c 4 ab bc ca
Ta sẽ chứng minh : ab bc ca a c b c (1) Thật vậy :
1 2bc 2ca c2 0 c 2a 2b c 0 (đúng - Do c Min a,b,c )
A2 a b 6 ac bc (2)
Lại có :
2
a b
B
b c a c
a b u; b c a c v Kết hợp với (2) và (3) ta có :
2u 6v
2
Đặt u t, t 0
v Xét hàm số : f t t2 5t 3 7
t
2 3t 3
t 1 2t
t
3 4
3 3
Ta có Bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên ta có :
0;
Vậy
2
c 0
59 11 3
4
Lời giải 2 : Giả sử c Min a,b,c
Trang 9October 17, 2011
Ta có : bcb; a c a; b c b - ; a ca Nên :
a b
2
b b
2
a b
2
2
Đặt a b t, t 2
b a
Xét hàm số : t 1 2
, ta có :
2
3
t 2
t 4
Ta có bảng biến thiên :
Từ bảng biến thiên cho ta :
2;
Vậy
c 0
59 11 3
4
Bài toán 16 ( Đề thi thử ĐH Boxmath.vn ) Cho các số a,b,c 0;2 , thỏa mãn điều kiện : a b c 3
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 2
Bình luận : Với loại toán này ( có các biến bị chặn ) ta có thể giải quyết nó bằng phương pháp đạo hàm từng biến
Lời giải : Từ a b c 3 a 3 b c Suy ra : 2 2 2
3b2 2b c 4 4c2 28c 2063
2 c
3 Do
2 c
3 3 Ta có bảng biến thiên :
Trang 10October 17, 2011
Page | 10 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy :
2
0;2
2 24c 20
b
0
2
;2
3 3 , ta có : g' c 26c86 0 g c g 2 2023
Hay MinP 2023 c 2;b 0;a 1
Bài toán 17 ( Khối A - 2011 ) Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;4 và x y;x z
P
Bình luận : Do các biến bị chặn nên điều đầu tiên khi tôi tiếp xúc với bài toán này là { định khảo sát từng biến như Bài
toán 16 Còn khi xem đáp án của Bộ GD mới biết… Bộ thật biết lừa trẻ con
Lời giải 1 :
+) Nếu x y , thì
P z
+) Nếu x y , ta có :
P' z
2 y
P
Khảo sát sự biến thiên cho ta : f t f 2 34
33 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x=4; y=1; z=2
Lời giải 2 : <Đáp án Bộ GD&ĐT - Bộ bảo thi trong SGK mà lời giải hình như là “dồn biến trá hình” >
Trang 11October 17, 2011
Page | 11 “ Trong thế giới này chúng ta xót xa không chỉ vì hành động và lời nói của những kẻ xấu, mà còn vì sự im lặng đáng sợ của những người tốt
Bài toán 18 Cho x,y,z là ba số thực thuộc đoạn 1;3 và x y 2z 6
Tìm lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : 3 3 3
y
Lời giải 1 : Ta thử giải bài này bằng dồn biến :
x y x y
P
3
4
xy
3 x y x
y