Chuyên đề 7: BÀI TOÁN ĐåNG DƯ I. TÌM SỐ DƯ: 1. Số dư của số A chia cho số B: ( Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số ) Cách ấn: A B màn hình hiện kết quả là số thập phân. Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A B phần nguyên của A chia cho B và ấn Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456 . Ấn: 9124565217 123456 Máy hiện thương số là: 73909,45128 Đưa côn trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là: 9124565217 123456 73909 và ấn = Kết quả: Số dư: r = 55713. BÀI TẬP: Tìm số dư trong các phép chia sau: a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909 2. Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số: Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số. Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số ( kể từ bên trái ). Ta tìm số dư như phần a). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy. Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567. Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 được kết quả là 2203. Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567. Kết quả cuối cùng là 26. Vậy r = 26. BÀI 1: a) Tìm số dư r khi chia số 24728303034986074 cho 2003. KQ: r = 401 b) Tìm số dư r khi chia số 2212194522121975 cho 2005. KQ: r = 1095 Bài 2: Tìm số dư trong phép chia sau: a. 123456789 : 2010 b. 151120101511201015112010 : 2009 Bài 3. Tìm a. Tìm số dư khi chia 2010 24 cho 1996 b. Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 236 3. Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau: . . (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) c c a b m n p a m p b n p a m p ≡ ≡ ⇒ ≡ ≡ Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004 376 cho 1975 Giải: Ta có 2004 2 ≡ 841 (mod 1975) => 2004 4 ≡ 841 2 (mod 1975) Số dư của A A B B = − x phần nguyên của (A chia cho B ) ÷ = - x - = ÷ x = ⇒ 2004 12 ≡ 231 3 ≡ 416 (mod 1975) ⇒ 2004 48 ≡ 416 4 ≡ 536 (mod 1975) ⇒ 2004 48 .2004 12 ≡ 536. 416 (mod 1975) 2004 60 ≡ 1776 (mod 1975) ⇒ 2004 62 ≡ 1776. 841 (mod 1975) 2004 62 ≡ 516 (mod 1975) ⇒ 2004 62x3 ≡ 516 3 ≡ 1171(mod 1975) ⇒ 2004 62x3x2 ≡ 1171 2 (mod 1975) 2004 62x6 ≡ 591 (mod 1975) ⇒ 2004 62x6+4 ≡ 591.231 (mod 1975) ⇒ 2004 376 ≡ 246 (mod 1975) Vậy 2004 376 chia cho 1975 có số dư là 246. Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 176594 27 cho 293 Giải: Ta có 176594 ≡ 208 (mod 293) 176594 3 ≡ 208 3 ≡ 3 (mod 293) 176594 27 ≡ 3 9 (mod 293) 176594 27 ≡ 52 (mod 293) Vậy 176594 27 chia cho 293 có số dư là 52 Bài tập: 1)Tìm số dư của phép chia 23 2005 cho 100. Giải: Ta có: 23 1 ≡ 23 (mod 100) 23 2 ≡ 29 (mod 100) 23 4 ≡ 29 2 ≡ 41 (mod 100) (23 4 ) 5 ≡ 41 5 (mod 100) 23 20 ≡ 1 (mod 100) ⇒ (23 20 ) 100 ≡ 1 100 ≡ 1 (mod 100) 23 2000 ≡ 1 (mod 100) ⇒ 23 2005 =23 2000 .23 4 .23 1 ≡ 1.41.23 (mod 100) 23 2005 ≡ 43 (mod 100) Vậy 23 2005 chia cho 100 có số dư là 43 2) Tìm hai chữ số cuối cùng của 23 2005 Giải: Ta giải như bài 1. Trả lời: Hai chữ số cuối cùng của 23 2005 là 43 3) Tìm chữ số hàng chục của 23 2005 Giải: Ta cũng giải như bài 1. Trả lời: Chữ số hàng chục của 23 2005 là 4. 4) Tìm số dư của phép chia 7 2005 chia cho 10 ( Tìm chữ số hàng đơn vị của 7 2005 ) Giải: Ta có 7 1 ≡ 7 (mod 10) 7 2 ≡ 49 (mod 10) 7 4 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 7 2004 = (7 4 ) 501 ≡ 1 501 ≡ 1(mod 10) ⇒ 7 2005 = 7 2004 .7 1 ≡ 1.7 ≡ 7(mod 10) Vậy: + 7 2005 chia cho 10 là 7. + Chữ số hàng đơn vị của 7 2005 là 7. 5) Tìm chữ số hàng đơn vị của 17 2002 . Giải: Ta có 17 1 ≡ 7 (mod 10) => 17 2 ≡ 9 (mod 10) ⇒ 17 4 ≡ 1 (mod 10) ⇒ (17 4 ) 500 ≡ 1 500 ≡ 1(mod 10) ⇒ 17 2000 ≡ 1(mod 10) ⇒ 17 2002 ≡ 17 2000 . 17 2 ≡ 1.9 ≡ 9(mod 10) Vậy: Chữ số hàng đơn vị của 17 2002 là 9. 6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng A = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 Giải: Ta có A = 2 2000 ( 1+ 2 1 + 2 2 ) = 7. 2 2000 Mà ta lại có 2 10 ≡ 24 (mod 100) ⇒ (2 10 ) 5 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 250 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 1250 ≡ 24 5 ≡ 24 (mod 100) ⇒ 2 2000 = 2 1250 .2 250. 2 250. 2 250 ≡ 24.24.24.24 ≡ 76 (mod 100) ⇒ A = 7. 2 2000 ≡ 7.76 ≡ 32 (mod 100) Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32 7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng B = 2 2000 + 2 2001 + 2 2002 + 2 2003 + 2 2004 + 2 2005 + 2 2006 Giải: Ta có B = 2 2000 ( 1+ 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 ) = 127. 2 2000 ⇒ B = 127. 2 2000 ≡ 127.76 ≡ 52 (mod 100) Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52 8) Tìm số dư của phép chia 1997 1997 cho 13 Giải: Ta có 1997 1 ≡ 8 (mod 13) => 1997 2 ≡ 12 (mod 13) 1997 3 ≡ 12.8 ≡ 5(mod 13) => 1997 4 ≡ 1 (mod 13) ⇒ (1997 4 ) 499 ≡ 1 499 ≡ 1(mod 13) 1997 1997 = 1997 1996 . 1997 1 ≡ 1.8 (mod 13) Hay 1997 1997 ≡ 8 (mod 13) Vậy số dư của phép chia 1997 1997 cho 13 là 8 9) Tìm dư trong phép chia 2 1000 cho 25 Giải: Ta có 2 10 ≡ 24 (mod 25) ⇒ 2 20 ≡ 1 (mod 25) ⇒ 2 1000 ≡ 1 500 ≡ 1 (mod 25) Vậy số dư trong phép chia 2 1000 cho 25 là 1 10) Tìm dư trong phép chia 2 1997 cho 49 Giải: Ta có 2 2 ≡ 4 (mod 49) ⇒ 2 10 ≡ 44 (mod 49) ⇒ 2 20 ≡ 44 2 ≡ 25 (mod 49) ⇒ 2 21 ≡ 25.2 ≡ 1 (mod 49) ⇒ (2 21 ) 95 ≡ 1 95 ≡ 1 (mod 49) ⇒ 2 1995 ≡ 1 (mod 49) ⇒ 2 1997 = 2 1995 .2 2 ≡ 1.4 ≡ 4 (mod 49) V ậy dư trong phép chia 2 1997 cho 49 là 4. 11) Tìm dư trong phép chia 2 1999 cho 35 Giải: Ta có 2 1 ≡ 2 (mod 35) ⇒ 2 10 ≡ 9 (mod 35) ⇒ 2 20 ≡ 44 2 ≡ 25 (mod 35) ⇒ 2 30 ≡ 9.25 ≡ 29 (mod 35) 2 16 ≡ 16 (mod 35) ⇒ 2 48 ≡ 1 (mod 35) ⇒ 2 1999 = (2 48 ) 41 .2 31 ≡ 1.29.2 ≡ 23 (mod 35) V ậy dư trong phép chia 2 1999 cho 35 là 23. 12) Tìm dư khi chia a) 4362 4362 cho 11 b) 3012 93 cho 13 c) 1999 1999 cho 99 d) 109 345 cho 14 ( r = 1 ) e) 3 1000 cho 49 f) 6 1991 cho 28 ( r = 20) g) 35 150 cho 425 h) 22 2002 cho 1001 i) 2001 2010 cho 2003 13) a) CMR: 1890 1930 + 1945 1975 + 1 M 7 Đ/Á: b) CMR: 2222 5555 + 5555 2222 M 7 Đ/Á: 14: Tìm số dư của phép chia: a) 13 8 cho 27 ĐS: 25 b) 25 14 cho 65 ĐS: 40 c) 1978 38 cho 3878. ĐS: 744 d) 2005 9 cho 2007 ĐS: 1495 e) 7 15 cho 2001 ĐS: 1486 II. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA: Phương pháp: - Tìm chữ số hàng đơn vị thì tìm đồng dư mod 10. - Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 100 rồi chọn chữ số hàng chục. - Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 1000 rồi chọn chữ số hàng trăm. Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 17 2002 Giải: ( ) 2 1000 2000 2 1000 2 1000 2000 17 9(mod10) 17 17 9 (mod10) 9 1(mod10) 9 1(mod10) 17 1(mod10) ≡ = ≡ ≡ ≡ ⇒ ≡ Vậy 2000 2 17 .17 1.9(mod10)≡ . Chữ số tận cùng của 17 2002 là 9 Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 23 2005 . Giải + Tìm chữ số hàng chục của số 23 2005 1 2 3 4 23 23(mod100) 23 29(mod100) 23 67(mod100) 23 41(mod100) ≡ ≡ ≡ ≡ Do đó: ( ) 5 20 4 5 2000 100 2005 1 4 2000 23 23 41 01(mod100) 23 01 01(mod100) 23 23 .23 .23 23.41.01 43(mod100) = ≡ ≡ ≡ ≡ ⇒ = ≡ ≡ Vậy chữ số hàng chục của số 23 2005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 23 2005 là 43) + Tìm chữ số hàng trăm của số 23 2005 1 4 5 20 4 2000 100 23 023(mod1000) 23 841(mod1000) 23 343(mod1000) 23 343 201(mod1000) 23 201 (mod1000) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 5 100 2000 2005 1 4 2000 201 001(mod1000) 201 001(mod1000) 23 001(mod1000) 23 23 .23 .23 023.841.001 343(mod1000) ≡ ≡ ≡ = ≡ ≡ Vậy chữ số hàng trăm của số 23 2005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 23 2005 là số 343). Bài 3: Tìm chữ số hàng đơn vị của số A = 103 2006 . Giải ( ) 2 4 501 2006 2004 2 4 2 103 3(mod10) 103 9(mod10) 103 1(mod10) 103 103 .103 103 .103 1.9 9(mod10) ≡ ≡ ≡ ⇒ = = ≡ ≡ Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của 7 2005 . Giải Có 4 7 1A= ( ) ( ) 501 501 2005 4 7 7 .7 1 .7 1.7 7A B C= = = = Vậy chữ số tận cùng của 7 2005 là 7. Bài 5: Tìm chữ số hàng trăm của P = 29 2007 . Giải ( ) ( ) 2 4 8 10 40 50 40 40 2007 50 7 50 2 4 29 029(mod1000) 29 841(mod1000) 29 281(mod1000) 29 961(mod1000) 29 201(mod1000) 29 801(mod1000) 29 001(mod1000) 29 29 .29 29 .29.29 .29 001.841.281 309(mod1000) ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ = = ≡ ≡ Vậy chữ số hàng trăm của 29 2007 là 3. III. Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa: Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n _ Tìm 1 chữ số tận cùng của : * Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . * Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0 : 2^4k đồng dư 6 ( mod 10 ) 3^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) 7^4k đồng dư 1 ( mod 10 ) Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 . Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 } Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 ) _ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n Ta có nhận xét sau : 2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư 1 ( mod 100 ) 6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 ) Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1 và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2 Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 : a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20 _ Ta có : a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 ) a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 ) Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ . Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n III.1. Tìm số dư trong phép chia: * Các dạng thường gặp: 1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer) chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số Ví dụ: Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số 10 đi cùng với nó 2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác: Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không? Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần. Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn. III.2. Tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa bậc cao Ví dụ1: Tìm số dư của phép chia cho Ta có: (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) (mod ) Suy ra (mod ) Vậy số dư của phép chia cho là . Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho Vì là số nguyên tố. Theo định lý Fermat ta có: (mod ) Suy ra: (mod ) (mod 2003) Vậy số dư của phép chia cho là .