MTCT-phep cac bai toan dong du

Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai.. Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy... TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM.... CỦA MỘT LUỸ THỪA: Ph

Trang 1

Chuyên đề 7: BÀI TOÁN ĐåNG DƯ

I TÌM SỐ DƯ:

1 Số dư của số A chia cho số B: ( Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số )

Cách ấn: A B màn hình hiện kết quả là số thập phân

Đưa con trỏ lên biểu thức sửa lại A B phần nguyên của A chia cho B và ấn

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 9124565217 cho 123456

Ấn: 9124565217 123456

Máy hiện thương số là: 73909,45128

Đưa côn trỏ lên dòng biểu thức sửa lại là:

9124565217 123456 73909 và ấn =

Kết quả: Số dư: r = 55713

BÀI TẬP: Tìm số dư trong các phép chia sau:

a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358

b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964

c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996

d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467

e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909

2 Khi số bị chia A lớn hơn 10 chữ số:

Nếu như số bị chia A là số bình thường nhiều hơn 10 chữ số Ta ngắt ra thành nhóm đầu 9 chữ số ( kể từ bên trái ) Ta tìm số dư như phần a) Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai Nếu còn nữa thì tính liên tiếp như vậy

Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567

Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567 được kết quả là 2203 Tìm tiếp số dư của 22031234 cho 4567 Kết quả cuối cùng là 26 Vậy r = 26

BÀI 1:

a) Tìm số dư r khi chia số 24728303034986074 cho 2003 KQ: r = 401

b) Tìm số dư r khi chia số 2212194522121975 cho 2005 KQ: r = 1095

Bài 2: Tìm số dư trong phép chia sau:

a 123456789 : 2010

b 151120101511201015112010 : 2009

Bài 3 Tìm

a Tìm số dư khi chia 2010 24 cho 1996

b Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8 236

3 Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn thì ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau:

(mod )

≡

Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975

Giải:

Ta có 20042 ≡ 841 (mod 1975) => 20044 ≡ 8412 (mod 1975)

Số dư của A A B

B = − x phần nguyên của (A chia cho B )

-=

÷

Trang 2

⇒ 200412 ≡ 2313 ≡ 416 (mod 1975) ⇒ 200448 ≡ 4164 ≡ 536 (mod 1975)

⇒ 200448 .200412 ≡ 536 416 (mod 1975)

200460 ≡ 1776 (mod 1975) ⇒ 200462 ≡ 1776 841 (mod 1975)

200462 ≡ 516 (mod 1975)

⇒ 200462x3 ≡ 5163 ≡ 1171(mod 1975) ⇒ 200462x3x2 ≡ 11712 (mod 1975)

200462x6 ≡ 591 (mod 1975) ⇒ 200462x6+4 ≡ 591.231 (mod 1975)

⇒ 2004376 ≡ 246 (mod 1975) Vậy 2004376 chia cho 1975 có số dư là 246

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 17659427 cho 293

Giải:

Ta có 176594 ≡ 208 (mod 293)

1765943 ≡ 2083 ≡ 3 (mod 293)

17659427 ≡ 39 (mod 293)

17659427 ≡ 52 (mod 293) Vậy 17659427 chia cho 293 có số dư là 52

Bài tập:

1)Tìm số dư của phép chia 232005 cho 100

Giải:

Ta có: 231 ≡ 23 (mod 100)

232 ≡ 29 (mod 100)

234 ≡ 292 ≡ 41 (mod 100) (234 )5 ≡ 415 (mod 100)

2320 ≡ 1 (mod 100)

⇒ (2320 )100 ≡ 1100 ≡ 1 (mod 100)

232000 ≡ 1 (mod 100)

⇒ 232005 =232000.234.231 ≡ 1.41.23 (mod 100)

232005 ≡ 43 (mod 100)

Vậy 232005 chia cho 100 có số dư là 43

2) Tìm hai chữ số cuối cùng của 232005

Giải:

Ta giải như bài 1

Trả lời: Hai chữ số cuối cùng của 232005 là 43

3) Tìm chữ số hàng chục của 232005

Giải:

Ta cũng giải như bài 1

Trả lời: Chữ số hàng chục của 232005 là 4

4) Tìm số dư của phép chia 72005 chia cho 10

( Tìm chữ số hàng đơn vị của 72005 )

Giải:

Ta có 71 ≡ 7 (mod 10)

72 ≡ 49 (mod 10)

Trang 3

74 ≡ 1 (mod 10) ⇒ 72004 = (74)501 ≡ 1501 ≡ 1(mod 10)

⇒ 72005 = 72004 71 ≡ 1.7≡ 7(mod 10)

Vậy: + 72005 chia cho 10 là 7

+ Chữ số hàng đơn vị của 72005 là 7

5) Tìm chữ số hàng đơn vị của 172002

Giải:

Ta có 171 ≡ 7 (mod 10) => 172 ≡ 9 (mod 10)

⇒ 174 ≡ 1 (mod 10) ⇒ (174)500 ≡ 1500 ≡ 1(mod 10) ⇒ 172000 ≡ 1(mod 10)

⇒ 172002 ≡ 172000 172 ≡ 1.9 ≡ 9(mod 10)

Vậy: Chữ số hàng đơn vị của 172002 là 9

6) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng

A = 22000 + 22001 + 22002

Giải:

Ta có A = 22000 ( 1+ 21 + 22 ) = 7 22000

Mà ta lại có 210 ≡ 24 (mod 100)

⇒(210)5 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)

⇒2250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)

⇒21250 ≡ 245 ≡ 24 (mod 100)

⇒22000 = 21250.2250.2250.2250 ≡ 24.24.24.24 ≡ 76 (mod 100)

⇒ A = 7 22000 ≡ 7.76 ≡ 32 (mod 100)

Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng A là 32

7) Tìm hai chữ số cuối cùng của tổng

B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006

Giải:

Ta có B = 22000 ( 1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 127 22000

⇒ B = 127 22000 ≡ 127.76 ≡ 52 (mod 100)

Vậy : Hai chữ số cuối cùng của tổng B là 52

8) Tìm số dư của phép chia 19971997 cho 13

Giải:

Ta có 19971 ≡ 8 (mod 13) => 19972 ≡ 12 (mod 13)

19973 ≡ 12.8 ≡ 5(mod 13) => 19974 ≡ 1 (mod 13) ⇒(19974 )499 ≡ 1499 ≡ 1(mod 13)

19971997 = 19971996 19971 ≡ 1.8 (mod 13)

Hay 19971997 ≡ 8 (mod 13)

Vậy số dư của phép chia 19971997 cho 13 là 8

9) Tìm dư trong phép chia 21000 cho 25

Giải:

Ta có 210 ≡ 24 (mod 25)

⇒220 ≡ 1 (mod 25)

⇒21000 ≡ 1500 ≡ 1 (mod 25)

Vậy số dư trong phép chia 21000 cho 25 là 1

Trang 4

Giải:

Ta có 22 ≡ 4 (mod 49)

⇒210 ≡ 44 (mod 49)

⇒220 ≡ 442 ≡ 25 (mod 49)

⇒221 ≡ 25.2 ≡ 1 (mod 49)

⇒(221 )95 ≡ 195 ≡ 1 (mod 49)

⇒21995 ≡ 1 (mod 49)

⇒21997 = 21995 22 ≡ 1.4 ≡ 4 (mod 49)

V ậy dư trong phép chia 21997 cho 49 là 4

Giải:

Ta có 21 ≡ 2 (mod 35)

⇒210 ≡ 9 (mod 35)

⇒220 ≡ 442 ≡ 25 (mod 35)

⇒230 ≡ 9.25 ≡ 29 (mod 35)

216 ≡ 16 (mod 35)

⇒248 ≡ 1 (mod 35)

⇒21999 = (248)41.231 ≡ 1.29.2 ≡23 (mod 35)

V ậy dư trong phép chia 21999 cho 35 là 23

12) Tìm dư khi chia

a) 43624362 cho 11

b) 301293 cho 13

c) 19991999 cho 99

d) 109345 cho 14 ( r = 1 )

e) 31000 cho 49

f) 61991 cho 28 ( r = 20)

g) 35150 cho 425

h) 222002 cho 1001

i) 20012010 cho 2003

13) a) CMR: 18901930 + 19451975 + 1 M 7

Đ/Á:

b) CMR: 22225555 + 55552222

M 7 Đ/Á:

14: Tìm số dư của phép chia:

a) 138 cho 27 ĐS: 25

b) 2514 cho 65 ĐS: 40

c) 197838 cho 3878 ĐS: 744

d) 20059 cho 2007 ĐS: 1495

e) 7 15 cho 2001 ĐS: 1486

Trang 5

II TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM CỦA MỘT LUỸ THỪA:

Phương pháp:

- Tìm chữ số hàng đơn vị thì tìm đồng dư mod 10

- Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 100 rồi chọn chữ số hàng chục

- Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 1000 rồi chọn chữ số hàng trăm

Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002

Giải:

( )

2

1000

2

1000

2000

≡

Vậy 17 2000 17 2 ≡ 1.9(mod10) Chữ số tận cùng của 172002 là 9

Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005

Giải

+ Tìm chữ số hàng chục của số 23 2005

1

2

3

4

≡

Do đó:

( )5

2000 100

Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)

+ Tìm chữ số hàng trăm của số 23 2005

1

4

5

≡

5

100

2000

≡

Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343)

Trang 6

Bài 3: Tìm chữ số hàng đơn vị của số A = 1032006.

Giải

( )

2

4

501

103 3(mod10)

≡

Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của 72005

Giải

Có 7 4 =A1

( )501 ( )501

7 = 7 7 = A1 7 =B1.7 =C7

Vậy chữ số tận cùng của 72005 là 7

Bài 5: Tìm chữ số hàng trăm của P = 292007

Giải

2

4

8

10

40

50

29 029(mod1000)

≡

Vậy chữ số hàng trăm của 292007 là 3

III Tìm n chữ số tận cùng của một luỹ thừa:

Để tìm n chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm dư của luỹ thừa đó với 10^n

_ Tìm 1 chữ số tận cùng của :

* Nếu a có chữ số tận cùng là 0 , 1 , 5 hoặc 6 thì lần lượt có chữ số tận cùng là 0 ,

1 , 5 hoặc 6

* Nếu a có chữ số tận cùng là 2 , 3 hoặc 7 , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số

tự nhiên khác 0 :

2^4k đồng dư 6 ( mod 10 )

Do đó để tìm 1 chữ số tận cùng của a^n với a có số tận cùng là 2 , 3 , 7 ta lấy n chia cho 4 Giả sử n = 4k + r với r thuộc { 0 , 1 , 2 , 3 }

Nếu a đồng dư 2 ( mod 10 ) thì a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 )

Nếu a đồng dư 3 ( mod 10 ) thì a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )

_ Tìm 2 chữ số tận cùng của a^n

Ta có nhận xét sau :

2^20 đồng dư 76 ( mod 100 ) 3^20 đồng dư 1 ( mod 100 )

Trang 7

6^5 đồng dư 76 ( mod 100 ) 7^4 đồng dư 01 ( mod 100 )

Mà 76^n đồng dư 76 ( mod 100 ) với n >= 1

và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >= 2

Suy ra kết quả sau với k là các số tự nhiên khác 0 :

a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Vậy túm lại , để tìm 2 chữ số tận cùng của a^n ta lấy số mũ 2 chia cho 20

_ Ta có :

a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 0 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 1 ; 3 ; 7 ; 9 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 5 ( mod 10 )

a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) nếu a đồng dư 2 ; 4 ; 6 ; 8 ( mod 10 )

Túm lại , để tìm 3 chữ số tận cùng của 1 luỹ thừa , ta tìm 2 chữ số tận cùng của số mũ

Nhưng dù sao đi chăng nữa thì cái nguyên tắc

Để tìm n chữ số tận cùng của a^b thì ta tìm số dư của a^b với 10^n

III.1 Tìm số dư trong phép chia:

* Các dạng thường gặp:

1) Chia một số có nhiều hơn 10 chữ số cho một số có ít hơn 10 chữ số

Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer)

chặt số có hơn 10 chữ số thành nhiều số nhỏ hơn có nhiều nhất 10 chữ số

Ví dụ:

Lấy từng số nhỏ chia cho số chia, sau khi có kết quả dư nhớ nhân với lũy thừa cơ số

10 đi cùng với nó

2) Chia một số là một lũy thừa bậc cao cho số khác:

Phương pháp: quan sát xem có nằm trong dạng Fermat không?

Nếu không, hãy quan sát chu kỳ số dư

Nếu không có chu kỳ số dư hãy làm từng bước: lấy cơ số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư rồi tiếp tục lũy thừa lên cho đến khi số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b và phép cho b có cùng số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh hơn

III.2 Tìm số dư của phép chia dạng lũy thừa bậc cao

Ví dụ1: Tìm số dư của phép chia cho

Ta có:

Trang 8

(mod )

Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia cho

(mod 2003)

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	258,5 KB