Chuyên đề 7: BÀI TOÁN ĐåNG DƯ I. Ta tìm số dư như phần a). Rồi viết tiếp sau số dư còn lại là tối đa 9 chữ số rồi tìm số dư lần hai. Tìm số dư của số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa [r]
(1)Chuyên đề 7: BÀI TOÁN ĐåNG DƯ I TÌM SỐ DƯ:
1 Số dư số A chia cho số B: ( Đối với số bị chia tối đa 10 chữ số )
Cách ấn: A B hình kết số thập phân
Đưa trỏ lên biểu thức sửa lại A B phần nguyên A chia cho B ấn Ví dụ: Tìm số dư phép chia 9124565217 cho 123456
Ấn: 9124565217 123456 Máy thương số là: 73909,45128
Đưa trỏ lên dịng biểu thức sửa lại là: 9124565217 123456 73909 ấn =
Kết quả: Số dư: r = 55713 BÀI TẬP: Tìm số dư phép chia sau:
a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909
2 Khi số bị chia A lớn 10 chữ số:
Nếu số bị chia A số bình thường nhiều 10 chữ số Ta ngắt thành nhóm đầu chữ số ( kể từ bên trái ) Ta tìm số dư phần a) Rồi viết tiếp sau số dư lại tối đa chữ số tìm số dư lần hai Nếu cịn tính liên tiếp
Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567
Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567 kết 2203 Tìm tiếp số dư 22031234 cho 4567 Kết cuối 26 Vậy r = 26 BÀI 1:
a) Tìm số dư r chia số 24728303034986074 cho 2003 KQ: r = 401 b) Tìm số dư r chia số 2212194522121975 cho 2005 KQ: r = 1095 Bài 2: Tìm số dư phép chia sau:
a. 123456789 : 2010
b. 151120101511201015112010 : 2009
Bài Tìm
a. Tìm số dư chia 201024 cho 1996
b. Cho biết chữ số cuối bên phải 8236
3. Tìm số dư số bị chia cho dạng lũy thừa lớn ta dùng phép đồng dư thức theo công thức sau:
(mod ) (mod )
(mod ) c c(mod )
a b m n p
a m p
b n p a m p
Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 2004376 cho 1975 Giải:
Ta có 20042 841 (mod 1975) => 20044 8412 (mod 1975)
200412 2313 416 (mod 1975) 200448 4164 536 (mod 1975) Số dư
A
A B
B x phần nguyên (A chia cho B )
=
- x =
=
(2) 200448 .200412 536 416 (mod 1975) 200460 1776 (mod 1975) 200462 1776 841 (mod 1975) 200462 516 (mod 1975)
200462x3 5163 1171(mod 1975) 200462x3x2 11712 (mod 1975)
200462x6 591 (mod 1975) 200462x6+4 591.231 (mod 1975)
2004376 246 (mod 1975)
Vậy 2004376 chia cho 1975 có số dư 246. Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 17659427 cho 293
Giải:
Ta có 176594 208 (mod 293) 1765943 2083 (mod 293) 17659427 39 (mod 293) 17659427 52 (mod 293)
Vậy 17659427 chia cho 293 có số dư 52 Bài tập:
1)Tìm số dư phép chia 232005 cho 100. Giải:
Ta có: 231 23 (mod 100) 232 29 (mod 100)
234 292 41 (mod 100) (234 )5 415 (mod 100) 2320 (mod 100)
(2320 )100 1100 (mod 100) 232000 (mod 100)
232005 =232000.234.231 1.41.23 (mod 100) 232005 43 (mod 100)
Vậy 232005 chia cho 100 có số dư 43 2) Tìm hai chữ số cuối 232005
Giải:
Ta giải
Trả lời: Hai chữ số cuối 232005 43 3) Tìm chữ số hàng chục 232005
Giải:
Ta giải
Trả lời: Chữ số hàng chục 232005 4. 4) Tìm số dư phép chia 72005 chia cho 10
( Tìm chữ số hàng đơn vị 72005 ) Giải:
(3) 72004 = (74)501 1501 1(mod 10) 72005 = 72004 71 1.7 7(mod 10) Vậy: + 72005 chia cho 10 7.
+ Chữ số hàng đơn vị 72005 7. 5) Tìm chữ số hàng đơn vị 172002.
Giải:
Ta có 171 (mod 10) => 172 (mod 10)
174 (mod 10) (174)500 1500 1(mod 10) 172000 1(mod 10)
172002 172000 172 1.9 9(mod 10) Vậy: Chữ số hàng đơn vị 172002 là 9. 6) Tìm hai chữ số cuối tổng
A = 22000 + 22001 + 22002 Giải:
Ta có A = 22000 ( 1+ 21 + 22 ) = 22000 Mà ta lại có 210 24 (mod 100)
(210)5 245 24 (mod 100) 2250 245 24 (mod 100) 21250 245 24 (mod 100)
22000 = 21250.2250.2250.2250 24.24.24.24 76 (mod 100) A = 22000 7.76 32 (mod 100)
Vậy : Hai chữ số cuối tổng A 32 7) Tìm hai chữ số cuối tổng
B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 Giải:
Ta có B = 22000 ( 1+ 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26) = 127 22000 B = 127 22000 127.76 52 (mod 100)
Vậy : Hai chữ số cuối tổng B 52 8) Tìm số dư phép chia 19971997 cho 13
Giải:
Ta có 19971 (mod 13) => 19972 12 (mod 13) 19973 12.8 5(mod 13) => 19974 (mod 13) (19974 )499 1499 1(mod 13)
19971997 = 19971996 19971 1.8 (mod 13) Hay 19971997 (mod 13)
Vậy số dư phép chia 19971997 cho 13 8 9) Tìm dư phép chia 21000 cho 25
Giải:
Ta có 210 24 (mod 25) 220 (mod 25)
21000 1500 (mod 25)
(4)Giải:
Ta có 22 (mod 49) 210 44 (mod 49)
220 442 25 (mod 49) 221 25.2 (mod 49) (221 )95 195 (mod 49) 21995 (mod 49)
21997 = 21995 22 1.4 (mod 49) V ậy dư phép chia 21997 cho 49 4. 11) Tìm dư phép chia 21999 cho 35
Giải: Ta có 21 (mod 35)
210 (mod 35)
220 442 25 (mod 35) 230 9.25 29 (mod 35) 216 16 (mod 35)
248 (mod 35)
21999 = (248)41.231 1.29.2 23 (mod 35) V ậy dư phép chia 21999 cho 35 23.
12) Tìm dư chia a) 43624362 cho 11 b) 301293 cho 13 c) 19991999 cho 99
d) 109345 cho 14 ( r = ) e) 31000 cho 49
f) 61991 cho 28 ( r = 20) g) 35150 cho 425
h) 222002 cho 1001 i) 20012010 cho 2003
13) a) CMR: 18901930 + 19451975 + 7 Đ/Á:
b) CMR: 22225555 + 55552222 7 Đ/Á:
14: Tìm số dư phép chia:
a) 138 cho 27 ĐS: 25
b) 2514 cho 65 ĐS: 40
c) 197838 cho 3878 ĐS: 744
d) 20059 cho 2007 ĐS: 1495
e) 715 cho 2001 ĐS: 1486
(5)Phương pháp:
- Tìm chữ số hàng đơn vị tìm đồng dư mod 10
- Tìm chữ số hàng trăm tìm đồng dư mod 100 chọn chữ số hàng chục - Tìm chữ số hàng trăm tìm đồng dư mod 1000 chọn chữ số hàng trăm Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị số 172002
Giải:
2
1000
2000 1000
2
1000
2000
17 9(mod10)
17 17 (mod10) 1(mod10) 1(mod10) 17 1(mod10)
Vậy 172000.172 1.9(mod10) Chữ số tận 172002 9 Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005.
Giải + Tìm chữ số hàng chục số 232005
1 23 23(mod100) 23 29(mod100) 23 67(mod100) 23 41(mod100) Do đó:
520
2000 100
2005 2000
23 23 41 01(mod100) 23 01 01(mod100)
23 23 23 23 23.41.01 43(mod100)
Vậy chữ số hàng chục số 232005 (hai chữ số tận số 232005 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm số 232005
1 20 2000 100 23 023(mod1000) 23 841(mod1000) 23 343(mod1000)
23 343 201(mod1000) 23 201 (mod1000)
100 2000
2005 2000 201 001(mod1000) 201 001(mod1000) 23 001(mod1000)
23 23 23 23 023.841.001 343(mod1000)
Vậy chữ số hàng trăm số 232005 số (ba chữ số tận số 232005 số 343)
(6)
2
4
501
2006 2004
103 3(mod10) 103 9(mod10) 103 1(mod10)
103 103 103 103 103 1.9 9(mod10)
Bài 4: Tìm chữ số tận 72005.
Giải Có 74 A1
501
501 20057 7 A1 7B1.7C7
Vậy chữ số tận 72005 7.
Bài 5: Tìm chữ số hàng trăm P = 292007. Giải
2
4
8
10
40
50
40 40
2007 50 50
29 029(mod1000) 29 841(mod1000) 29 281(mod1000) 29 961(mod1000) 29 201(mod1000) 29 801(mod1000) 29 001(mod1000)
29 29 29 29 29.29 29 001.841.281 309(mod1000)
Vậy chữ số hàng trăm 292007 3.
III Tìm n chữ số tận luỹ thừa:
Để tìm n chữ số tận luỹ thừa , ta tìm dư luỹ thừa với 10^n _ Tìm chữ số tận :
* Nếu a có chữ số tận , , có chữ số tận , ,
* Nếu a có chữ số tận , , ta có nhận xét sau với k thuộc tập hợp số tự nhiên khác :
2^4k đồng dư ( mod 10 ) 3^4k đồng dư ( mod 10 ) 7^4k đồng dư ( mod 10 )
Do để tìm chữ số tận a^n với a có số tận , , ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r thuộc { , , , }
Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^2 dồng dư 2^n = 2^(4k+r) đồng dư 6.2^r ( mod 10 ) Nếu a đồng dư ( mod 10 ) a^n = a^(4k+r) đồng dư a^r ( mod 10 )
_ Tìm chữ số tận a^n Ta có nhận xét sau :
(7)và 5^n đồng dư 25 ( mod 100 ) với n >=
Suy kết sau với k số tự nhiên khác :
a^20k đồng dư 00 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 01 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^20k đồng dư 25 ( mod 100 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^20k đồng dư 76 ( mod 100 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) Vậy túm lại , để tìm chữ số tận a^n ta lấy số mũ chia cho 20 _ Ta có :
a^100k đồng dư 000 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 001 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 ) a^100k đồng dư 625 ( mod 10^3 ) a đồng dư ( mod 10 )
a^100k đồng dư 376 ( mod 10^3 ) a đồng dư ; ; ; ( mod 10 )
Túm lại , để tìm chữ số tận luỹ thừa , ta tìm chữ số tận số mũ
Nhưng dù nguyên tắc
Để tìm n chữ số tận a^b ta tìm số dư a^b với 10^n
III.1 Tìm số dư phép chia:
* Các dạng thường gặp:
1) Chia số có nhiều 10 chữ số cho số có 10 chữ số Phương pháp: Chia để trị (divide and conquer)
chặt số có 10 chữ số thành nhiều số nhỏ có nhiều 10 chữ số Ví dụ:
Lấy số nhỏ chia cho số chia, sau có kết dư nhớ nhân với lũy thừa số 10 với
2) Chia số lũy thừa bậc cao cho số khác:
Phương pháp: quan sát xem có nằm dạng Fermat khơng? Nếu khơng, quan sát chu kỳ số dư
Nếu chu kỳ số dư làm bước: lấy số lũy thừa lên vài bậc (không tràn máy), tìm số dư tiếp tục lũy thừa lên số mũ nhỏ dần Chú ý sử dụng tính chất: phép chia cho b phép cho b có số dư với để làm nhỏ a lại, tạo điều kiện tính nhanh
III.2 Tìm số dư phép chia dạng lũy thừa bậc cao
Ví dụ1: Tìm số dư phép chia cho
Ta có:
(mod ) (mod )
(mod ) (mod )
(8)(mod ) (mod )
(mod )
(mod ) Suy (mod )
Vậy số dư phép chia cho
Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia cho
Vì số nguyên tố Theo định lý Fermat ta có: (mod )
Suy ra: (mod )
(mod 2003)