Các công thức cơ bản:1... Bài tập phân thức:.
Trang 1Các công thức cơ bản:
1 AB2 A2 2ABB2; AB3 A33A2B3AB2 B3
2 x2 y2 2xy
; x y2 4xy
; a3 + b3
ab(a + b)
3 1
b
a
thì
c b
c a b
a
b
a
thì
c b
c a b
a
Nếu b, d > 0,
d
c d b
c a b
a d
c b
a
4
y x
y
x
4
1
1
;
z y x z y
x
9 1
1 1
;
xy y x
2 1 1 2
2 ;
1 14
b
a
b
a ;
2
4 1
y x
b b a
5 Bài toán cho c d, yêu cầu chứng minh a b, nếu ta cm đợc a – b + (d – c) 0 thì từ đó đợc a – b 0 hay a
b
6 Bunhia; netbit
A Bất đẳng thức không có điều kiện 1/ Các bài tập bdt vũ hữu bình 8 tập 2, 9 tập 1
2/ a)x2 + y2 + z2 xy+ yz + zx b) x2 + y2 + z2 2xy – 2xz + 2yz
c) x2 + y2 + z2+3 2(x + y + z) d) x2 + y2 + z2 x(y+ z)
e) (x + y + z)2 3(xy + yz + zx) g) x2 + y2 + z2+ 3/4 x + y – z.
3/ a) a b ab
4
2
2 b)a2b2c2d2 e2 abcde
c)a2b2 1abab d) (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) ≥ (ax + by +cz)2
e) (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2g) 2 3( 2 2 2)
c b a c b
h) a2 1 b2 b2 1 c2 c2 1 a2 6 abc k) a2 + b2
a + b – 1/2.
m) (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 3(a2 + b2 + c2) n) (a6+b6) 3a2b2 - 4
p) (a + b + c + d)2 8/3.(ab + ac + ad + bc + bd + cd)
4/ a) a10b10a2b2 a8b8a4b4 b) m2 + n2 + p2+ q2+1 m(n+p+q+1)
y
x d) a2b2c2 a b c
e) (ac) 2 (bd) 2 a2 b2 c2 d2 g) (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 > 0
b) a25b2 4ab2a 6b30 d) a22b2 2ab2a 4b20
2006
2005
2005
2006
2
( 2
b a b
6/ a) a4 + b4 + c4 + d4 ≥ 4abcd b) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a+b+c)
c) x8 – x7 + x2 – x +1 > 0. d) x4 + x3 + x2 + x +1 > 0
7/ a) a b c d acbd
2
2 2
2 2
a
c) 3(x2y2z2)(xyz)2 d) (x+y)(y+z)(z+x)8xyz
e) a8+b8+c8 a2b2c2(ab+bc+ca)
B điều kiện là bất đẳng thức:
Với các số không âm chứng minh (bài 1, 2):
1/ a) (a+b)(b+c)(c+a)8abc b) (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab.
c)
2 2
b a b
d) ab a b
e) (a + b)2/2 + (a + b)/4 a bb a g) a b ab 1 4 ab
h) abcd ac bd k) a + bc4
2c2 ab 2/a) 3a3 + 17b3
18ab2 ; b) 3a3 + 7b3
9ab2
Trang 2c) ab – 3ab + ba + 1 0 d) (a + b )/2 ((a + b)/2)
e) a(1 + b2) + b(1 + c2) + c(1 + a2) 2(ab + bc + ca) g) (a + b)(9 + ab) 12ab
h) 2(a3 + b3 + c3) a2(b + c)+ b2(a + c)+ c2(b + a)
3/ Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d, b>c+d Chứng minh rằng: ab >ad+bc
* Tacó
0
0
c d
b
d c
a
(a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc 4/ Cho a b c 0, cm: a) a2 – b2 + c2 (a – b + c)2 b) ab a b 2 a
5/ Cho 1 a b 0 và a + 2b 2, chứng minh: 2b2 + a2
3/2
6/ Cho 0 < a, b, c, d <1 Chứng minh: (1 – a).(1 – b) ( 1 – c).(1 – d) > 1 – a – b – c – d.
* (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab (1-a).(1-b) > 1-a-b (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c
(1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d
7/ Cho 0 < a, b, c <1 Chứng minh rằng 2a32b3 2c3 3a2bb2cc2a
* Do a <1 a2< 1 và b < 1 Nên 1 a2 .1 b201a2b a2 b0 Hay 1a2ba2b Mặt khác 0 <a,b <1
a 2 a3 ; b b3 1a2a3b3 Vậy a3b3 1a2b Tơng tự
a c c
a
c b c
b
2 3
3
2 3
3
1
1
a c c b b a c
b
a3 2 3 2 3 3 2 2 2
8/ Cho 0 a,b,c 1 Chứng minh rằng: a2b2c21a2bb2cc2a
Và a(1-b)+b(1-c)+c(1-d)+d(1-a) 2
9/ Cho a; b; c là cạnh tam giác, cmr:
a) abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) b) ab+bc+caa2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
c) a2b+b2c+c2a+a2c+b2a+c2b–(a3+b3+c3)>0 d) (p – a) (p – c) (p – b) abc/8
10/ Cho các số không âm thoã mãn: a2 + b2 + c2
2(ab + bc + ca), cmr:
ab bc ac
c
b
a 2 HD: (a + b – c)2
4ab, …
11/ Cho a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Cmr: a > 0 , b > 0 , c > 0 (phản chứng)
12/ Cho ac 2.(b + d) Cmr không đồng thời có a2 4b
, c2 4d
(phản chứng)
13/ Cho các số dơng thoã mãn x3 + y4
x2 + y3, chứng minh:
a) x3 + y3
x2 + y2 b) x2 + y3
x + y2 14/ Với a + b 1, chứng minh: a2+b2
1/2; a4 + b4
1/8; a2 + b2
1/2
15/ Cho x 2 và x + y 5 Chứng minh rằng: 5x 2 + 2y 2 + 8y 62 (DoDo x 2 và x + y 5 nên ta đặt
k y
x
t
x 2 ; 5 Với t, k > 0; Suy ra x 2 t; y 3 tk.
16/ Cho a + b 8 và b 3 Chứng minh rằng: 27a2 + 10b3 945
17/ Cho a + b 2 Chứng minh rằng a 4 +b 4 a 3 + b 3
18/ Cho: a3 + b3 2 Chứng minh rằng: a + b 2 ( phản chứng rồi đặt).
19/Cho a4+ b4 a3 + b3 Chứng minh rằng: a + b 2 (phản chứng rồi đặt)
20/ cho 2 ≥ a2 + b2; chứng minh: 2 ≥ a + b.
21/ Cho a ≥ 3, b ≥ 3, a2 + b2 ≥ 25 chứng minh: a + b 7 ≥
22/ Với a, b, c ≥ 0, cm không đồng thời có: 4a(1 – b) > 1; 4b(1 – c) > 1 và 4c(1 – a) > 1.
23/ Cho 4/3 ≥ x(x – 1) + y(y – 1) + z(z – 1); cmr: 4 x + y + z -1 ≥ ≥
24/ Cho a, b 1, ≥ chứng minh: a b1b a 1ab
25/ cho a, b, c thuộc khoảng (0; 2), chứng minh: 2(a + b + c) –(ab + bc + ca) < 4.
C Điều kiện là đẳng thức:
1/ Cho a + b + c = 0, cm: a) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4) b) a3 + b3 + c3 = 3abc
2/ Cho a, b, c, d > 0 và có tích bằng 1 Chứng minh rằng :
b c d a b c b c d d c a
a
b) a2b2c2d2abcd6 c) a 1 b 1 c 1 d 1 8
d) ab + cd ≥ 2 (hoặc ac + bd ≥ 2; ad + bc ≥ 2) e) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 4.
b a b a
b
3/ Cho abc = 1 và 3 36
a Chứng minh rằng
3 2
a b2+c2> ab+bc+ac
Trang 3* Ta có hiệu:
3
2
a
b2+c2- ab- bc – ac =
4
2
a
12
2
a
b2+c2- ab- bc – ac = (
4
2
a
b2+c2- ab– ac+ 2bc) +
12
2
a
3bc =(
2
a
-b- c)2 +
a
abc a
12
36 3
2
a
-b- c)2 +
a
abc a
12
36 3
>0 (vì abc=1 và a3 > 36 nên a >0 ) Vậy :
3
2
a b2+c2> ab+bc+ac
4/ Chứng minh rằng : Nếu 2 2 2 2 1998
5/ Cho a + b + c = 0, chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0
6/ Cho các số thực có tổng bằng 1, cm:
a) a2+b2+c2 b) (a + c)(b + d) + 2ac +2bd
2 1 7/ Cho cho các số thực dơng, có tổng bằng 1, CMR:
a) x + 2y + z 4(1 x)(1 y)(1 z) b) a 1 b 1 c 1 3 , 5
c) ab bc ca 6 *d) 4a 1 4b 1 4c 1 21
e) (1 1).(1 1).(1 1)8
c b
1 ).(
1
1 ).(
1
1
c b
k) abc bcd bda cda2 3
8/ Cho hai số dơng sao cho a + b = 1; chứng minh:
a) a3 + b3 + ab ≥ 1/2 b) a2 + b2 ≥ 1/2; c) a4 + b4 ≥ 1/8.
d) 1 1 1 1 9
b
4
1 3
3b
a
g) 2/ab + 3/( a2 + b2) ≥ 14 h) (a+1/a)2+(b+1/b)2 ≥ 25/2 k) a+b+
2
5 1
b a
9/ a) Chứng minh: (a2 + b2)/2 ≥ (Do(Doa+b)/2)2
b) Dùng bđt trên để cmr: Khi a > 0; b > 0, a + b = 1 thì: 8(a4 + b4) +1/(ab) 5 ≥
10/ Cho ba số không âm đôi một khác nhau a + b + c = 3, chứng minh:
2 ab cb cb
11/ Cho hai số không âm a, b và a2 + b2 = 1, cm:
a)
2
1
a3 + b3
1; b) 1 ab 2 C) a (b 1 b (a 1 ) 2 2
12/ cho a2+b2+c2 =1, Cmr: a+b+c+ab+bc+ac1+ 3
13/ Cho a, b thoã mãn (a – 2)2 + (b – 1)2 = 5; chứng minh: 2a + b 10
14/ Cho a2+b2= 4+ab CMR : 8/3 2 2 8
a b , dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
15/ Cho x , y 0 thỏa mãn 0 2 x y 1 CMR: x + y
5
1
16/ So sánh 3111 và 1714 (31 < 11 3211 25 11 255 256 Mà 256 24.14 24 14 1614 1714 vậy 3111
< 1714)
17/ Cho: a + b = 6 Chứng minh: a4 + b4 162
* Do a + b = 6 nên có thể đặt a3 m ;b = 3 - m với m tuỳ ý Ta có : a4 + b4 = (Do3 + m)4 + (Do3 - m)4
4 3 2
2 3
4 4 3 2
2 3
4
3 4 3
6 3 4 3 3
4 3
6 3
4
18/ Cho a + b = 4 chứng minh: a4 + b4 32 (tơng tự)
19/ Cho x + y + z = 3 Chứng minh rằng: x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx ≥ 6
20/ Cho các số dơng thoã mãn: a + b + c = 4, chứng minh: a + b abc
21/ Cho các số dơng a + b + c = 12, Chứng minh rằng: 3a 2 a 1 3b 2 b 1 3c 2 c 1 3 17
22/ Cho a + b = c + d; cmr: a) a2 + d2 + cd 3ab b) a2 + b2 + ab 3cd
23/ Cho x + y = 3 và y 2 Chứng minh rằng: a) x3 + y3 9 b) 2x4 + y4 18 (Đặt y =2 + t 0; t 0; y = 2 + t) 24/ Cho a, b 3/4 và a + b = 3, chứng minh: 12a 9 12b 9 6
25/ Cho a, b, c - 5/2 và a + b + c = 1, cm: 2a 5 2b 5 2c 5 51
26/ a) Cho ab + bc + ac = 4, chứng minh: a4 + b4 + c4 16/3
b) Cho ab + bc + ac = 1, chứng minh: a4 + b4 + c4 1/3
27/ cho các số dơng thoã mãn a3 + b3 = a – b; chứng minh: a2 + b2 + ab <1
28/ Cho a > b > 0 và a5 + b5 = a – b; chứng minh: a4 + b4 < 1
29/ Cho a + b + c = 6; ab + bc + ca = 9; cm: 0 a; b; c 4
30/ Cho a + b + c = 2; a2 + b2 + c2 = 2; cm: 0 a; b; c 4/3
Bài tập phân thức:
Trang 41/ Chứng minh rằng:
a)
2 2
2
2
b a b
3
b c a b c a
c)
a
b b
c c
a a
c c
b
b
a
2 2
2
2
2
d)
ca bc ab c b a
1 1 1 1 1 1
2 2
e) x2 + 3 + 1/( x2 + 3) 10/3 g)
1 1 1
1 2
1
2
b a
ab b
a
2
2
2
a
b b
a a
b
b
2 1
b a
ab
2 m)
2 2
2 2 1
x x
Với các số dơng, chứng minh (với các bài 2 => 5):
2
1 2 2
2
c b a b a
c a c
b c
b
a
c a c
b c b
a
(đổi biến số)
5
1 3 2 3 2
3
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c
b
a
c) a3/b + b3/c + c3/a ab + bc + ca d) a b c
b
c a a
b c c
b a
4 2 2
2
ac
c a cb
b c
ab
b
a
2 2
2
3 3 3 3
3
3
a d
b d d c
a c c b
d b b a
c a
2 )
3/ a)
a
c c
b b
a b
c c
b b
a
3 3
3 3
3
b) a3 + b3 ≥ ab(a + b)
c)
abc abc c a abc b c abc
b
a
1 1
1 1
3 3 3
3 3
b a d
d a d c
c d c b
b c
b
a
a
2
b c a c a b g)
c b a b a a
c
c
b
9 2
2
2
c b a ab
c ac
b bc
a 1 1 1
2
k) (abc + 1)(1/a + 1/b + 1/c) + a/c + c/b + b/a ≥ a + b + c + 6.
4/ a)
2 )
b a
ab a c
ac c b
bc b c b a c
ab b
ac
a
c)
2 3 2 3 2 3 2 2
2
2 2
2 1
1
1
a c
c c
b
b b
a
a c
b
a
d)
ab c ac b bc a abc
c
b
a
2 2
2
1 1
1
2
11 2
1 5 1
2
a a
a
z
y
x
2
a
b b a b
a
b
a
và b );
h)
3
2 2
2
y
xy
x
x
z z
y y
x
; m)
x
z z
y y
x x
z z
y y
x
2 2 2 2
2
5/ a) 2 4
ab b a
ab
b)
b
a
1 +
c
b
1 +
a
c
1
≤ ( 2
1
a
1
b
1
)
1
c .
c c
a
b c
b
c b
a
+
a c
b
+
b a
c
≥ 1.5
g) 1 1 19
c b a
c
b
c b a
Trang 56/ Chứng minh không có các số dơng thoã mãn đồng thời: 1;2 1;2 1.2
a
c c
b b a
7/ Cho x,y,z > 0 và xyz = 1
a) cm nếu x + y + z >
z y x
1 1 1
thì có một trong ba số này lớn hơn 1 (phản chứng)
3 3 3
3 3
3
xz z x zy
y z xy
y
x
8/ cho x.y = 1 và x > y Chứng minh
y x
y x
2 2
2 2 (Chứng minh rằng
2 2 2
y x
y x
)
*
y
x
y
x
2
2
2 2 vì :x y nên x- y 0 x2+y2
2 2( x-y)
x2+y2- 2 2 x+2 2y 0 x2+y2+2- 2 2 x+2 2y -2 0
x2+y2+( 2)2- 2 2 x+2 2y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2)2 0
9/ Cho hai số dơng ab= 1; chứng minh:
a) a + b + 1/(a + b) 5/2 b) (a+b+1)(a2+b2) +4/(a+b) ≥ 8.
b a
b
a
10/ cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x y z
z y x z
y
x. . 1; 11 1
Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1
* Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(
z y x
1 1 1
)=x+y+z - (111) 0
z y
z
y
x
1
1
1
< x+y+z theo gt)
11/ Cho xy 1 Chứng minh rằng
xy y
x
2 1
1 1
1
2
1
2 2
2
xy y
x
xy x y
)
12/ cho a,b là các số thực dơng chứng minh rằng :
a) nếu ab1 thì
ab b
a
2 1
1 1
1
b) nếu ab1 thì
ab b
a
2 1
1 1
1
13/ Cho các số dơng có tổng bằng 1, cm: a) 111 9
x z
4 1
1 1
1
a
14/ Cho hai số dơng và 1 x + y, chứng minh: 1/(x2 + xy) + 1/(y2 + xy) 4
15/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1; chứng minh: 17(a + b + c) + 2(1/a + 1/b + 1/c) ≥ 35.
2
1 2
1 2
1
2 2
17/ Chứng minh rằng: 8
6 1
x x
x> 1
18/ Cho a>1, b>1, cm: a) a2/(b – 1)+b2/(a – 1)≥8; b) 12
1 1
c c
b b
a
19/ Chứng minh:
a
b a
8
2
b
b a ab b a
8 2
2
với a > b > 0
20/ Cho các số dơng abc = ab + bc + ca, chứng minh:
16
3 2 3
1 3
2
1 3
2
1
a
* Đặt x = a2 2bc
; y = b2 2ac
; z = c2 2ab
Ta có xyzabc21 21/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn
3
5 2 2
2b c
abc c b a
1 1 1 1
22/ Cho các số dơng thoã mãn: 1/x – 1/y = 1/y – 1/z, chứng minh: 4
2
x z
z y y x y x
Trang 623/ Cho
b
a
<
d
c
và b,d > 0 Chứng minh rằng
b
a
<
d
c d b
cd ab
2 2
24/ Cho x , y 0 thỏa mãn 0 2 x y 1 CMR
5
1
y x
25/ a) Cho các số dơng
x
1
y
1 +
z
1 = 4, CMR:
z y
x 2
1 +
z y
x2
1 +
z y
1
b) Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi
CMR:
c b
a
ab
2
c b a
bc
ac
2
p
c) Trong Δ ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ).
CMR :
a
p
1 +
b
p
1 +
c
p
1
≥ 2 (
a
1 +
b
1 +
c
1 ) 26/ Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác, cmr:
b c c a a b
c b c
b a b a
c b
c a
b a
c
b
a
p
1 1 1 2 1 1
1
27/ Cho các số dơng thoã mãn điều kiện: a + b + c 6; chứng minh:
2
3 1 1 1
c b