chuyên đề BĐT hsg toán 8

Các công thức cơ bản: 1. ( ) 22 2 2 BABABA ++=+ ; ( ) 3223 3 33 BABBAABA +++=+ ( ) BCACABCBACBA 222 222 2 +++++=++ 2. xyyx 2 22 + ; ( ) xyyx 4 2 + ; a 3 + b 3 ab(a + b). 3. 1 > b a thì cb ca b a + + > ; 1 < b a thì cb ca b a + + < Nếu b, d > 0, d c db ca b a d c b a < + + << 4. yxyx + + 411 ; zyxzyx ++ ++ 9111 ; xyyx 211 22 + ; ( ) 4 11 ++ ba ba ; ( ) 2 41 yx xy + ; 2 + a b b a 5. Bài toán cho c d, yêu cầu chứng minh a b, nếu ta cm đợc a b + (d c) 0 thì từ đó đợc a b 0 hay a b. 6. Bunhia; netbit. A. Bất đẳng thức không có điều kiện 1/ Các bài tập bdt vũ hữu bình 8 tập 2, 9 tập 1. 2/ a)x 2 + y 2 + z 2 xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2 2xy 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) d) x 2 + y 2 + z 2 x(y+ z) e) (x + y + z) 2 3(xy + yz + zx) g) x 2 + y 2 + z 2 + 3/4 x + y z. 3/ a) ab b a + 4 2 2 b) ( ) edcbaedcba +++++++ 22222 c) baabba ++++ 1 22 d) (a 2 + b 2 + c 2 )(x 2 + y 2 + z 2 ) (ax + by +cz) 2 e) (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) (ax + by) 2 g) ( ) )(3 222 2 cbacba ++++ h) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 6a b b c c a abc + + + + + k) a 2 + b 2 a + b 1/2. m) (a b) 2 + (b c) 2 + (c a) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 ). n) (a 6 +b 6 ) 3a 2 b 2 - 4. p) (a + b + c + d) 2 8/3.(ab + ac + ad + bc + bd + cd). 4/ a) ( )( ) ( )( ) 4488221010 babababa ++++ b) m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) c) 01269 222 ++ yxyyyx d) cbacba ++++ 222 e) 222222 )()( dcbadbca ++++++ g) (a-1)(a-3)(a-4)(a-6) + 10 > 0. 5/ a) )1.(21 2244 +++++ zxxyxzyx c) a 4 + b 4 a 3 b+ ab 3 b) 036245 22 >+++ baabba d) 024222 22 +++ baabba e) 20062005 2006 2005 2005 2006 ++ g) 2 22 ) 2 ( 2 baba + + 6/ a) a 4 + b 4 + c 4 + d 4 4abcd. b) a 4 + b 4 + c 4 abc(a+b+c) c) x 8 x 7 + x 2 x +1 > 0. d) x 4 + x 3 + x 2 + x +1 > 0. 7/ a) ( )( ) dbca dcba ++ + + + 2 22 ; b) 23)3()3( 2222 +++ abba c) 2222 )()(3 zyxzyx ++++ d) (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz e) a 8 +b 8 +c 8 a 2 b 2 c 2 (ab+bc+ca) B. điều kiện là bất đẳng thức: Với các số không âm chứng minh (bài 1, 2): 1/ a) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc b) (a + b)(ab + 1) 4ab. c) 22 baba + + d) baba ++ e) (a + b) 2 /2 + (a + b)/4 abba + g) ( ) ( ) 1 4a b ab ab + + h) ( )( ) bdacdcba +++ k) a + bc 4 2c 2 ab 2/a) 3a 3 + 17b 3 18ab 2 ; b) 3a 3 + 7b 3 9ab 2 . c) ab 2 3ab + ba 2 + 1 0. d) (a 3 + b 3 )/2 ((a + b)/2) 3 . e) a(1 + b 2 ) + b(1 + c 2 ) + c(1 + a 2 ) 2(ab + bc + ca). g) (a + b)(9 + ab) 12ab. h) 2(a 3 + b 3 + c 3 ) a 2 (b + c)+ b 2 (a + c)+ c 2 (b + a) 3/ Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d, b>c+d Chứng minh rằng: ab >ad+bc * Tacó >> >> 0 0 cdb dca (a-c)(b-d) > cd ab-ad-bc+cd >cd ab> ad+bc 4/ Cho a b c 0, cm: a) a 2 b 2 + c 2 (a b + c) 2 . b) ababa 2 ++ 5/ Cho 1 a b 0 và a + 2b 2, chứng minh: 2b 2 + a 2 3/2. 6/ Cho 0 < a, b, c, d <1 Chứng minh: (1 a).(1 b) ( 1 c).(1 d) > 1 a b c d. * (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab (1-a).(1-b) > 1-a-b (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d 7/ Cho 0 < a, b, c <1 . Chứng minh rằng accbbacba 222333 3222 +++<++ * Do a <1 a 2 < 1 và b < 1 Nên ( ) ( ) 0101.1 2222 >+> bababa Hay baba +>+ 22 1 . Mặt khác 0 <a,b <1 32 aa > ; 3 bb > 332 1 baa +>+ Vậy baba 233 1 +<+ Tơng tự acca cbcb 233 233 1 1 +<+ +<+ accbbacba 222333 3222 +++<++ 8/ Cho 1,,0 cba . Chứng minh rằng: accbbacba 222222 1 +++++ Và a(1-b)+b(1-c)+c(1-d)+d(1-a) 2. 9/ Cho a; b; c là cạnh tam giác, cmr: a) abc > (a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) b) ab+bc+ca a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca) c) a 2 b+b 2 c+c 2 a+a 2 c+b 2 a+c 2 b(a 3 +b 3 +c 3 )>0. d) (p a) (p c) (p b) abc/8. 10/ Cho các số không âm thoã mãn: a 2 + b 2 + c 2 2(ab + bc + ca), cmr: ( ) acbcabcba ++++ 2 HD: (a + b c) 2 4ab, 11/ Cho a +b+c > 0 , ab+bc+ac > 0 , abc > 0 Cmr: a > 0 , b > 0 , c > 0 (phản chứng). 12/ Cho ac 2.(b + d) .Cmr không đồng thời có ba 4 2 < , dc 4 2 < (phản chứng). 13/ Cho các số dơng thoã mãn x 3 + y 4 x 2 + y 3 , chứng minh: a) x 3 + y 3 x 2 + y 2 b) x 2 + y 3 x + y 2 14/ Với a + b 1, chứng minh: a 2 +b 2 1/2; a 4 + b 4 1/8; a 2 + b 2 1/2 15/ Cho x < 2 và x + y > 5 . Chứng minh rằng: 5x 2 + 2y 2 + 8y > 62. (Do x < 2 và x + y > 5 nên ta đặt kyxtx +=+= 5;2 . Với t, k > 0; Suy ra ktytx ++== 3;2 . 16/ Cho a + b > 8 và b > 3 Chứng minh rằng: 27a 2 + 10b 3 > 945 17/ Cho a + b 2. Chứng minh rằng a 4 +b 4 a 3 + b 3 . 18/ Cho: a 3 + b 3 < 2. Chứng minh rằng: a + b < 2 ( phản chứng rồi đặt). 19/ Cho a 4 + b 4 < a 3 + b 3 Chứng minh rằng: a + b < 2 (phản chứng rồi đặt). 20/ cho 2 a 2 + b 2 ; chứng minh: 2 a + b. 21/ Cho a 3, b 3, a 2 + b 2 25 chứng minh: a + b 7. 22/ Với a, b, c 0, cm không đồng thời có: 4a(1 b) > 1; 4b(1 c) > 1 và 4c(1 a) > 1. 23/ Cho 4/3 x(x 1) + y(y 1) + z(z 1); cmr: 4 x + y + z -1. 24/ Cho a, b 1, chứng minh: ababba + 11 . 25/ cho a, b, c thuộc khoảng (0; 2), chứng minh: 2(a + b + c) (ab + bc + ca) < 4. C. Điều kiện là đẳng thức: 1/ Cho a + b + c = 0, cm: a) (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 2(a 4 + b 4 + c 4 ). b) a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. 2/ Cho a, b, c, d > 0 và có tích bằng 1. Chứng minh rằng : a) ( ) ( ) ( ) 10 2222 +++++++++ acddcbcbadcba b) 6 2222 +++++ cdabdcba c) ( )( ) 81111 ++++++ dcba d) ab + cd 2 (hoặc ac + bd 2; ad + bc 2) e) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4. g) 8 3 ))(1( 22 + ++++ ba baba h) (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 3/ Cho abc = 1 và 36 3 > a . Chứng minh rằng + 3 2 a b 2 +c 2 > ab+bc+ac * Ta có hiệu: + 3 2 a b 2 +c 2 - ab- bc ac = + 4 2 a + 12 2 a b 2 +c 2 - ab- bc ac = ( + 4 2 a b 2 +c 2 - ab ac+ 2bc) + 12 2 a 3bc =( 2 a -b- c) 2 + a abca 12 36 3 = ( 2 a -b- c) 2 + a abca 12 36 3 >0 (vì abc=1 và a 3 > 36 nên a >0 ) Vậy : + 3 2 a b 2 +c 2 > ab+bc+ac. 4/ Chứng minh rằng : Nếu 1998 2222 =+=+ dcba thì ac+bd =1998 5/ Cho a + b + c = 0, chứng minh: ab + 2bc + 3ca 0. 6/ Cho các số thực có tổng bằng 1, cm: a) a 2 +b 2 +c 2 1/3 b) (a + c)(b + d) + 2ac +2bd 2 1 7/ Cho cho các số thực dơng, có tổng bằng 1, CMR: a) x + 2y + z )1)(1)(1(4 zyx b) 5,3111 +++++ cba c) 6 +++++ accbba *d) 21141414 +++++ cba e) 8)1 1 ).(1 1 ).(1 1 ( cba g) 64)1 1 ).(1 1 ).(1 1 ( +++ cba h) b + c 16abc k) 32 +++++++++++ adcadbdcbcba 8/ Cho hai số dơng sao cho a + b = 1; chứng minh: a) a 3 + b 3 + ab 1/2. b) a 2 + b 2 1/2; c) a 4 + b 4 1/8. d) 9 1 1 1 1 + + ba e) 1/ab + 1/( a 2 + b 2 ) 6 f) 4 1 33 + ba g) 2/ab + 3/( a 2 + b 2 ) 14 h) (a+1/a) 2 +(b+1/b) 2 25/2 k) a+b+ 2 51 + ba 9/ a) Chứng minh: (a 2 + b 2 )/2 ((a+b)/2) 2 . b) Dùng bđt trên để cmr: Khi a > 0; b > 0, a + b = 1 thì: 8(a 4 + b 4 ) +1/(ab) 5. 10/ Cho ba số không âm đôi một khác nhau a + b + c = 3, chứng minh: ( ) ( ) ( ) 6222 +++++ bcbcba 11/ Cho hai số không âm a, b và a 2 + b 2 = 1, cm: a) 2 1 a 3 + b 3 1; b) 1 2 + ba . C) 22)1(1( ++++ abba 12/ cho a 2 +b 2 +c 2 =1, Cmr: a+b+c+ab+bc+ac 1+ 3 13/ Cho a, b thoã mãn (a 2) 2 + (b 1) 2 = 5; chứng minh: 2a + b 10. 14/ Cho a 2 +b 2 = 4+ab CMR : 83/8 22 + ba , dấu đẳng thức xảy ra khi nào? 15/ Cho x 0 , y 0 thỏa mãn 12 = yx CMR: x + y 5 1 16/ So sánh 31 11 và 17 14 ( 11 31 < ( ) 11 11 5 55 56 32 2 2 2= = < Mà ( ) 14 56 4.14 4 14 14 2 2 2 16 17= = = < vậy 31 11 < 17 14 ). 17/ Cho: a + b = 6. Chứng minh: a 4 + b 4 162. * Do a + b = 6 nên có thể đặt ;3 ma += b = 3 - m với m tuỳ ý. Ta có : a 4 + b 4 = (3 + m) 4 + (3 - m) 4 432234432234 34363433436343 mm.m.m.mm.m.m . +++++++= = 1622108162 42 ++ mm 18/ Cho a + b = 4 chứng minh: a 4 + b 4 32 (tơng tự). 19/ Cho x + y + z = 3 Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx 6 20/ Cho các số dơng thoã mãn: a + b + c = 4, chứng minh: a + b abc. 21/ Cho các số dơng a + b + c = 12, Chứng minh rằng: 173123123123 ++++++++ ccbbaa 22/ Cho a + b = c + d; cmr: a) a 2 + d 2 + cd 3ab b) a 2 + b 2 + ab 3cd 23/ Cho x + y = 3 và y 2 .Chứng minh rằng: a) x 3 + y 3 9 b) 2x 4 + y 4 18 (Đặt y =2 + t 0; t 0; y = 2 + t). 24/ Cho a, b 3/4 và a + b = 3, chứng minh: 6912912 + ba 25/ Cho a, b, c - 5/2 và a + b + c = 1, cm: 51525252 +++++ cba 26/ a) Cho ab + bc + ac = 4, chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 16/3. b) Cho ab + bc + ac = 1, chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 1/3. 27/ cho các số dơng thoã mãn a 3 + b 3 = a b; chứng minh: a 2 + b 2 + ab <1. 28/ Cho a > b > 0 và a 5 + b 5 = a b; chứng minh: a 4 + b 4 < 1. 29/ Cho a + b + c = 6; ab + bc + ca = 9; cm: 0 a; b; c 4. 30/ Cho a + b + c = 2; a 2 + b 2 + c 2 = 2; cm: 0 a; b; c 4/3. Bài tập phân thức: 1/ Chứng minh rằng: a) 2 22 22 + + baba ; b) 2 222 33 ++ ++ cbacba c) a b b c c a a c c b b a ++++ 2 2 2 2 2 2 d) cabcab cba 111111 222 ++++ e) x 2 + 3 + 1/( x 2 + 3) 10/3 g) ( )( ) ( )( ) 2 1 11 1 2 1 22 ++ + ba abba h) 04)(3 2 2 2 2 +++ a b b a a b b a ; k)a 2 + b 2 + 2 1 + + ba ab 2 m) 2 2 2 2 1 x x + + Với các số dơng, chứng minh (với các bài 2 => 5): 2/ a) )( 2 1 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + b) 8 1625 > + + + + + ba c ac b cb a (đổi biến số). b) )( 5 1 323232 222 cba ba c ac b cb a ++ + + + + + (ad côsi với a 2 /(2b + 3c) và (2b + 3c)/25) c) a 3 /b + b 3 /c + c 3 /a ab + bc + ca. d) ( ) ( ) ( ) ( ) cba b ca a bc c ba ++ + + + + + 4 222 e) cba ac ca cb bc ab ba ++ + + + + + 222 333333 g) 4 + + + + + + + + + + + ad bd dc ac cb db ba ca h) xyyx yx yx 22 2 )( 2 + + ++ k) a 3 /b + b 3 /c + c 3 /a ab + bc + ca. 3/ a) a c c b b a b c c b b a ++++ 3 3 3 3 3 3 b) a 3 + b 3 ab(a + b). c) abc abccaabcbcab cba 1111 333333 ++ + ++ + ++ d) 21 < ++ + ++ + ++ + ++ < bad d adc c dcb b cba a e) 3 2 a b c b c a c a b + + + + + g) cbabaaccb ++ + + + + + 9222 h) +++ cbaab c ac b bc a 111 2 k) (abc + 1)(1/a + 1/b + 1/c) + a/c + c/b + b/a a + b + c + 6. 4/ a) 2 ); cba ba ab ac ac cb bc bcba c ab b ac a bc ++ + + + + + ++++ c) 232323222 222111 ac c cb b ba a cba + + + + + ++ d) abcacbbca abc cba + + + + + ++ 222 111 2 e) ( ) 2 11 2 15 1 2 2 + + + a a a a g) x zy zy x + + + 4 2 a b ba b a (ad cosi với b a và b ); h) 3 2 22 3 yx yxyx x ++ k) 3 ++ x z z y y x ; m) x z z y y x x z z y y x ++++ 2 2 2 2 2 2 5/ a) 4 2 ab ba ab + b) ba + 1 + cb + 1 + ac + 1 ( 2 1 + a 1 + b 1 ) 1 c . c) 2 + + + + + ab c ca b cb a d) cb a + + ac b + + ba c + 1.5 e) 2 3 a b b c c d d a a b c b c d c d a d a b + + + + < + + + < + + + + + + + + g) ( ) 9 111 . ++++ cba cba h) 64)1 1 )(1 1 )(1 1 ( +++ cba 6/ Chứng minh không có các số dơng thoã mãn đồng thời: .2 1 ;2 1 ;2 1 +++ a c c b b a 7/ Cho x,y,z > 0 và xyz = 1. a) cm nếu x + y + z > zyx 111 ++ thì có một trong ba số này lớn hơn 1 (phản chứng). b) 33 1 11 33 3333 ++ + ++ + ++ xz zx zy yz xy yx 8/ cho x.y = 1 và x > y Chứng minh yx yx + 22 22 (Chứng minh rằng ( ) ( ) 8 2 2 22 + yx yx ) * yx yx + 22 22 vì :x y nên x- y 0 x 2 +y 2 22 ( x-y) x 2 +y 2 - 22 x+ 22 y 0 x 2 +y 2 +2- 22 x+ 22 y -2 0 x 2 +y 2 +( 2 ) 2 - 22 x+ 22 y -2xy 0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2 (x-y- 2 ) 2 0. 9/ Cho hai số dơng ab= 1; chứng minh: a) a + b + 1/(a + b) 5/2. b) (a+b+1)(a 2 +b 2 ) +4/(a+b) 8. c) 3 211 + ++ baba 10/ cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: zyx zyx zyx ++<++= 111 ;1 Chứng minh rằng: Có đúng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1. * Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz( zyx 111 ++ )=x+y+z - ( 0) 111 >++ zyx (vì zyx 111 ++ < x+y+z theo gt) 11/ Cho xy 1 .Chứng minh rằng xyyx + + + + 1 2 1 1 1 1 22 ( vì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.1.1 1 22 2 +++ xyyx xyxy ). 12/ cho a,b là các số thực dơng . chứng minh rằng : a) nếu ab 1 thì ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 b) nếu ab 1 thì ab ba + + + + 1 2 1 1 1 1 13/ Cho các số dơng có tổng bằng 1, cm: a) 9 111 ++ xzy b) 3 4 1 1 1 1 + + + ba 14/ Cho hai số dơng và 1 x + y, chứng minh: 1/(x 2 + xy) + 1/(y 2 + xy) 4. 15/ Cho a, b, c > 0 và a + b + c 1; chứng minh: 17(a + b + c) + 2(1/a + 1/b + 1/c) 35. 16/ Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1, cmr 9 2 1 2 1 2 1 222 + + + + + abcacbbca (đổi biến số). 17/ Chứng minh rằng: 8 6 1 x x + x > 1. 18/ Cho a>1, b>1, cm: a) a 2 /(b 1)+b 2 /(a 1)8; b) 12 111 + + a c c b b a 19/ Chứng minh: ( ) a ba 8 2 ( ) b ba ab ba 82 2 + với a > b > 0. 20/ Cho các số dơng abc = ab + bc + ca, chứng minh: 16 3 23 1 32 1 32 1 ++ + ++ + ++ cbacbacba * Đặt x = bca 2 2 + ; y = acb 2 2 + ; z = abc 2 2 + Ta có ( ) 1 2 <++=++ cbazyx 21/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn 3 5 222 =++ cba Chứng minh abccba 1111 <++ 22/ Cho các số dơng thoã mãn: 1/x 1/y = 1/y 1/z, chứng minh: 4 22 + + + xz zy yx yx 23/ Cho b a < d c và b,d > 0 .Chứng minh rằng b a < d c db cdab < + + 22 24/ Cho x 0 , y 0 thỏa mãn 12 = yx CMR 5 1 + yx 25/ a) Cho các số dơng + x 1 y 1 + z 1 = 4, CMR: zyx ++2 1 + zyx ++ 2 1 + zyx 2 1 ++ 1 b) Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi. CMR: cba ab 2 ++ + cba bc ++ 2 + cbc ac ++ 2 2 p c) Trong ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ). CMR : ap 1 + bp 1 + cp 1 2 ( a 1 + b 1 + c 1 ) 26/ Cho a ,b,c là số đo ba cạnh tam giác, cmr: a) 1 2 a b c b c c a a b < + + < + + + b) .2 + + + + + ca c bc b ab a c) .3 + + + + + cba c bca b acb a d) ++ + + cbacpbpap 111 2 111 27/ Cho các số dơng thoã mãn điều kiện: a + b + c 6; chứng minh: 2 3111 ++ cba . . Chứng minh rằng: 8 6 1 x x + x > 1. 18/ Cho a>1, b>1, cm: a) a 2 /(b 1)+b 2 /(a 1 )8; b) 12 111 + + a c c b b a 19/ Chứng minh: ( ) a ba 8 2 ( ) b ba ab ba 82 2 + với. (x+y)(y+z)(z+x) 8xyz e) a 8 +b 8 +c 8 a 2 b 2 c 2 (ab+bc+ca) B. điều kiện là bất đẳng thức: Với các số không âm chứng minh (bài 1, 2): 1/ a) (a+b)(b+c)(c+a) 8abc b) (a + b)(ab + 1) 4ab. c). cdabdcba c) ( )( ) 81 111 ++++++ dcba d) ab + cd 2 (hoặc ac + bd 2; ad + bc 2) e) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 4. g) 8 3 ))(1( 22 + ++++ ba baba h) (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8. 3/ Cho abc = 1