Gọi I là trung điểm OA, qua I kẻ dây MN vuông góc với OA.. C thuộc cung nhỏ MB C khác B, M, AC cắt MN tại D a Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp b Chứng minh AD.AC=R2 c Khi C chạy trên cun
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
NĂM HỌC 2013-2014
Môn Toán
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Đề thi có 01 trang
-Câu1 (2,0 điểm)
a) Tính :A= 2 16 − 49
b) Trong các hình sau đây : Hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình
thang cân hình nào có hai đường chéo bằng nhau ?
Câu2 (2,0 điểm)
a) Giải phương trình : 2x2 − 7x+ 3 = 0
b) Giải hệ phương trình
= +
= + 2
4 3
y x
y x
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức −
−
−
+
+ +
=
1
1 1
1
a
a a a
a a
b) Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 ;
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm OA, qua I kẻ dây
MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN tại D
a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp
b) Chứng minh AD.AC=R2
c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng cố định
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho x, y là 2 số thực dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x(2x+y x)++y y(2y+x)
Trang 2
-Hết -HƯỚNG DẪN
Câu1 (2,0điểm)
a) Tính :A= 2 16 − 49
b) Trong các hình sau đây : Hình Vuông, hình bình hành, hình chữ nhật,hình thang cân hình nào có hai đường chéo bằng nhau ?
a) A = 8 - 7 = 1
b) Hình có 2 đường chéo bằng nhau: Hình vuông, hình chữ nhật, hình thang cân
Câu2 (2điểm)
a) Giải phương trình : 2x2 − 7x+ 3 = 0
b) Giải hệ phương trình
= +
= + 2
4 3
y x
y x
a) Ta có: ∆ = 49 – 24 = 25 > 0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
=
− 4
5 7
2
1
; x2 = =
+ 4
5 7
3 ; Vậy phương trình có nghiệm x1 = 2
1
; x2 = 3;
b) Ta có:
= +
= + 2
4 3
y x
y x
⇔
= +
= 2
2 2
y x
y
⇔
= +
= 2 1
1
x
y
⇔
=
= 1
1
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm
=
= 1
1
y
x
;
Câu 3 (2điểm)
a)Rút gọn biểu thức −
−
−
+
+ +
=
1
1 1
1
a
a a a
a a
b) Cho phương trình x2 +2(m+1)x +m2 =0 (1)
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng -2 ;
a) Ta có: −
−
−
+
+ +
=
1
1 1
1
a
a a a
a a B
−
−
−
+
+ +
=
1
) 1 ( 1 1
) 1
(
1
a
a a a
a a
B
B= 1 + 1 −
a
B= 1 −
Trang 3b) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ∆’ > 0
Ta có: ∆’ = (m+1)2 – m2
= m2 + 2m + 1 – m2
= 2m + 1
∆’ > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m >
-2
1
(*)
Vì phương trình có 1 nghiệm là -2 nên thay x = -2 vào (1) ta được:
(-2)2 + 2(m+1)(-2) + m2 = 0
⇔ 4 – 4m – 4 + m2 = 0
⇔ – 4m + m2 = 0
⇔m(m - 4) = 0
⇔ m = 0 hoặc m = 4 (**)
Từ (*) và (**) suy ra m = 0 ; m = 4 thỏa mãn đề bài
Câu 4 (3điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Gọi I là trung điểm OA, qua I kẻ dây
MN vuông góc với OA C thuộc cung nhỏ MB (C khác B, M), AC cắt MN tại D
a) Chứng minh tứ giác BIDC nội tiếp
b) Chứng minh AD.AC=R2
c) Khi C chạy trên cung nhỏ MB chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng cố định
a) Ta có : ∠ ACB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
hay ∠ DCB = 90 0 ;
Lại có ∠ DIB = 90 0 (gt)
Tứ giác BIDC có ∠DCB +∠DIB = 900 +90 0 = 180 0
⇒ Tứ giác BIDC là tứ giác nội tiếp.
b) Dễ thấy ∆AID đồng dạng với ∆ACB (g.g) nên ⇒
AB
AD AC
AI =
⇒ AD.AC = AI.AB ⇒ AD.AC =
2
R
.2R = R2 ;
c) Dễ thấy ∆AMD đồng dạng với ∆ACM (g.g)
D H
N
M
I
A
C
Trang 4AM
AD AC
AM = ⇒ AM2=AC.AD ⇒AM là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD mà AM vuông góc với MB suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMD luôn thuộc đường thẳng BM cố định
Câu 5 (1 điểm)
Cho x, y là 2 số thực dương
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x(2x+y x)++y y(2y+x)
Vì x, y > 0 nên áp dụng Bất đẳng thức CôSi cho 2 số dương
2
b a
ab ≤ +
Ta có:
) 1 ( 2
5 2
2 3 )
2
(
3x x+ y ≤ x+ x+ y = x+ y
) 2 ( 2
5 2
2 3 )
2
(
3y y+x ≤ y+ y+x = y+x
2
6 6
) ( 3 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3
) (
+ +
+
+
=
y x
y x x
y y y
x x
y x P
x y y
y x x
+
=
+
=
⇔
=
2 3
2 3 3
3
;
Giáo viên: Phan Duy Thanh – THCS Dị Nậu – Tam Nông – Phú Thọ