GI Ả I TÍCH PH Ứ C 01 LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC (Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – hp://nguyenchiphuong.WordPress.com ) Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm. Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp. Môn giải ch phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé. Sau đây là một số dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Kiến thức bổ trợ a. Đồng nhất số phức Cho = + khi đó phương trình = + ⇔ = = b. Căn thức Số phức được gọi là căn bậc của số phức nếu = (1) và phương trình (1) có đúng nghiệm được xác định bởi công thức = √ cos + 2 + sin + 2 , = 0,1, … , −1 1.2. Bài tập mẫu Bài 1.1 (bài 21.SGK,tr 18): Giải các phương trình sau: a. + + = b. + = c. = (+ ) d. + = e. + = √ f. = . Giải: a. 5 + 2+ 10 = 0 ⇔ = = − + = = − − b. + 81 = 0 ⇔ = −81 Ta có −81 = 81 ( cos ( ) + sin ( )) Khi đó căn bậc 4 của −81 được xác định bởi = √81 cos + 2 4 + sin + 2 4 = 3 cos + 2 4 + sin + 2 4 , = 0,1,2 GI Ả I TÍCH PH Ứ C 02 = 0 ⇒ = 3 cos + sin = 3 √ + √ = 1 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ + √ = 2 ⇒ = 3 cos + sin = 3 − √ − √ = 3 ⇒ = 3 cos + sin = 3 √ − √ Vậy , , , là nghiệm của phương trình + 81 = 0 c. 2= ( 2 + 9 ) ⇔2= −9 + 2⇔= − + d. Đặt = + , khi đó + 2̅= 2 − 1 + 3 ⇔+ + 2 ( − ) = ( 2 − ) (1 −3) 10 ⇔3−= − 1 10 − 7 10 ⇔ 3= − −= − ⇔ = − = Vậy = − + e. + 1 = √ 3⇔ = −1 + √ 3 Ta có −1 + √ 3= 2 − + √ = 2 cos + sin Khi đó căn bậc 6 của −1 + √ 3 được xác định bởi = √2 cos 2 3 + 2 6 + sin 2 3 + 2 6 = √2 cos + 3 9 + sin + 3 9 = 0 ⇒ = √2 cos 9 + sin 9 = 1 ⇒ = √2 cos 4 9 + sin 4 9 = 2 ⇒ = √2 cos 7 9 + sin 7 9 = 3 ⇒ = √2 cos 10 9 + sin 10 9 GI Ả I TÍCH PH Ứ C 03 = 4 ⇒ = √2 cos 13 9 + sin 13 9 = 5 ⇒ = √2 cos 16 9 + sin 16 9 Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = √ 3. f. = Ta có = cos + sin Khi đó căn bậc 2 của được xác định bởi = cos 2 + 2 2 + sin 2 + 2 2 = cos + 4 4 + sin + 4 4 , = 0,1. = 0 ⇒ = cos 4 + sin 4 = √ 2 2 + √ 2 2 = 1 ⇒ = cos 5 4 + sin 5 4 = − √ 2 2 − √ 2 2 Vậy , là nghiệm của phương trình = . Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình: ( − ) = Giải: ( 1 − ) = 16 ⇔ − + 16 = 0 ⇔ = 1 + 3 √ 7 = 1 −3 √ 7 Xét 1 + 3 √ 7 có = √ 1 + 63 = 8 cos = = sin = = √ , khi đó căn bậc 2 của 1 + √ 63 được xác định bởi = √8 cos + 2 2 + sin + 2 2 = 2√2 cos + 2 2 + sin + 2 2 , = 0,1. = 0 ⇒ = 2√2 cos 2 + sin 2 = 1 ⇒ = 2√2 cos + 2 2 + sin + 2 2 = −2√2 cos 2 + sin 2 GI Ả I TÍCH PH Ứ C 04 Ta có cos = ± = ± = ± và sin = ± = ± = ± √ Chọn cos = ; sin = √ , khi đó ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 2√2 3 4 + √ 7 4 = −2√2 3 4 + √ 7 4 Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 + 3 √ 7 Làm tương tự với 1 −3 √ 7 trong đó chọn cos = ; sin = − √ , khi đó ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = 2√2 3 4 − √ 7 4 = −2√2 3 4 − √ 7 4 Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 −3 √ 7 Suy ra , , , là nghiệm của phương trình ( 1 − ) = 16 II. BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC 2.1. Kiến thức bổ trợ Để m ảnh của một điểm, đường thẳng hay đường tròn qua ánh xạ phức = ( ) = ( , ) + (, ), ta xác định mối liên hệ của , dựa trên miền cho trước Ngược lại để m tạo ảnh của hàm ( , ) , (, ), ta xác định mối liên hệ của , . 2.2. Bài tập mẫu Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức = . (Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16) Giải: Giả sử = + , khi đó = = = − = ( , ) + (, ) GI Ả I TÍCH PH Ứ C 05 ⇒ ( , ) = + ( , ) = − + Với = 1, khi đó ( , ) = và ( , ) = − ⇒ + = 1 + ( 1 + ) = 1 1 + = ⇔ −+ = 0 ⇔− 1 2 + = 1 4 Vậy ảnh của đường = 1 là đường tròn tâm ( , 0), bán kính là . Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ phức = −. Giải: Giả sử = + , = + Ta có | − | = ⇒ − = ⇔= + , khi đó = −2 = ( + ) −2 = + + ( cos + sin ) −2 = ( − −2 −sin ) + ( + cos ) = ( , ) + (, ) ⇒ ( , ) = − −2 −sin ( , ) = + cos ⇔ sin = ( , ) + + 2 cos = ( , ) − ⇒ ( + ( + 2 ) ) + ( − ) = Vậy ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ = −2 là đường tròn tâm ( − −2, ) , bán kính . Bài 2.3: Cho hàm = . Tìm ảnh của: a. Đường tròn | | = , b. Miền quạt < < . Giải: a. Giả sử = + , khi đó = = ( + ) = − + 2= ( , ) + (, ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2 Ta có phương trình tham số của đường tròn | | = 2 là: = 2 cos = 2 sin 0 ≤≤2 GI Ả I TÍCH PH Ứ C 06 Khi đó: ( , ) = ( 2 cos ) − ( 2 sin ) = 4 ( cos −sin ) = 4 cos 2 ( , ) = 2.2 cos . 2 sin = 4 sin 2 ⇒ 4 + 4 = cos 2+ sin 2= 1 ⇔ + = 16 Vậy ảnh của đường tròn | | = 2 trong mp ( ) là đường tròn có tâm là gốc tọa đô, bán kính là 4 trong mp() b. Đặt = ⇒0 < < Ta có = ( cos + sin ) ⇒= = ( cos 2+ sin 2 ) ⇒= 2 Ta coi miền quạt 0 < < được quét bởi a = , với biến thiên từ 0 đến Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình = là a = 2. Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến . Vậy ảnh của miền quạt 0 < < là nửa mặt phẳng trên 0 < < . Bài 2.4: Cho hàm = , = + . Tìm: a. Ảnh của đường = b. Tạo ảnh của đường = . Giải: a. Ta có: = 1 = 1 + = − + = + − + = ( , ) + (, ) ⇒ ( , ) = + ( , ) = − + + Trường hợp = = 0, khi đó ( , ) = 0 ( , ) = − , ( ≠0 ) ⇒= − Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp = ≠0, khi đó GI Ả I TÍCH PH Ứ C 07 ( , ) = + ( , ) = − + ⇒ + = + ( + ) = 1 + = ⇔ − + = 0 ⇔− 1 2 + = 1 4 Vậy ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0, bán kình là || , ( ≠0 ) . b. = ⇔ = + Trường hợp = 0 ⇒= 0 Vậy tạo ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ + Trường hợp ≠0, khi đó + = ⇔ − + = 0 ⇔− + = Vậy tạo ảnh của đường = là đường tròn tâm , 0, bán kình là || , ( ≠0 ) . III. BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN VÀ CHỨNG MINH SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM PHỨC 3.1. Kiến thức bổ trợ a. Giới hạn dãy số phức Cho { } , = + lim → = = + ⇔ lim → = lim → = b. Giới hạn hàm phức Cho ( ) = ( , ) + ( , ) , = + , = + , khi đó lim → () = ⇔ lim → → (, ) = lim → → (, ) = Nếu khi xét → theo các hướng khác nhau thì có các kết quả khác nhau thì ta kết luận không tồn tại giới hạn tại = . GI Ả I TÍCH PH Ứ C 08 c. Hàm liên tục Cho () xác định trong lân cận điểm , khi đó: () liên tục tại ⇔ + ( ) á địℎ ạ + ồ ạ lim → ( ) + lim → () = ( ) () liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc . 3.2. Bài tập mẫu Bài 3.1: Tính → ( + ) Giải: Giả sử = + , khi đó + = ( + ) + = − + ( 2+ 1 ) = ( , ) + (, ) ⇒ ( , ) = − ( , ) = 2+ 1 ; = 1 + lim → → ( , ) = lim → → ( − ) = 0 lim → → ( , ) = lim → → ( 2+ 1 ) = 3 Vậy lim → ( + 1 ) = lim → → ( , ) + lim → → ( , ) = 3 Bài 3.2 (bài 6, SGK, tr51): Chứng minh rằng → − + −+ − = + . Giải: = lim → 3 −2 + 8 −2+ 5 − = lim → ( − ) [ 3 + ( 3−2 ) + ( 5 −2 ) + 5 ] − = lim → [ 3 + ( 3−2 ) + ( 5 −2 ) + 5 ] = 3 + ( 3−2 ) + ( 5 −2 ) + 5 = −3−3+ 2 + 5+ 2 + 5= 4 + 4 Bài 3.3 (bài 9, SGK, tr52): Tính các giới hạn sau: GI Ả I TÍCH PH Ứ C 09 a. → b. → c. → ( ) Giải: a. Đặt ( ) = + 1; ( ) = + 1, khi đó ( ) = + 1 = 0; ( ) = + 1 = 0 và ( ) = 6 = 6≠0 Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có lim → () () = lim → ′() ′() = lim → 10 6 = lim → 5 3 = 5 3 = 5 3 ⇒lim → + 1 + 1 = 5 3 . b. lim → = lim → = lim → = lim → Ta có lim → = 1 và lim → = 1 ⇒lim → 1 −cos sin = 1 2 . c. lim → ( cos ) = Bài 3.4: Xét sự tồn tại giới hạn của → . Giải: Giả sử = + , khi đó ̅ = + Cho →0 theo hướng trục khi đó = 0 lim → ̅ = lim → + − = lim → = lim → 1 = 1 (1) + Cho →0 theo hướng đường thẳng = lim → ̅ = lim → + − = lim → + − = lim → 1 + 1 − = −1 (2) GI Ả I TÍCH PH Ứ C 10 Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim → ̅ Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) = ̅ không liên tục tại = 0. Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm ( ) = − − ế | | ≠ ế | | = ạ = , = Giải: + Tại = 1 ta có: ( 1 ) = 3 và lim → ( ) = lim → = lim → ( + + 1 ) = 3 Vậy lim → ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại = 1 + Tại = ( ) = 3 và lim → ( ) = lim → = lim → ( + + 1 ) = Vậy lim → ( ) ≠(1) nên hàm số gián đoạn tại = Bài 3.6: Cho các hàm a. ( ) = () b. ( ) = | | c. ( ) = () | | Có thể gán giá trị của hàm số tại = để nó trở thành hàm liên tục tại = hay không? Giải: a. Chọn 2 dãy = và ∗ = , khi đó , ∗ →0 khi →∞ Xét lim → ( ) = lim → ( ) = lim → 1 1 = lim → 1 = 1 lim ∗ → ( ∗ ) = lim ∗ → ( ∗ ) ∗ = lim → 0 1 = lim → 0 = 0 [...]... nên ( ) có đạo hàm tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức b Giả sử = ( )=| | = GIẢI TÍCH PHỨC + , khi đó + = ( , )+ ( , ) 13 ( , )= + ( , )=0 ⇒ Suy ra =2 ; = 0; =2 ; =0 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ =− 2 =0 ⇔ 2 =0 ⇔ = =0 Vậy hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ; ( ≠0 ) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức Giải: ̅ +... TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC 4.1 Kiến thức bổ trợ a Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số) Cho hàm ( ) = ( , ) + GIẢI TÍCH PHỨC ( , ) có đạo hàm tại điểm = + thì: 12 + ( , ), ( , ) có đạo hàm riêng tại điểm ( , ) + Các đạo hàm riêng của ( , ), ( , )thỏa mãn phương trình = à =− (1) Ngược lại nếu ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( , ) và thỏa (1) thì ( ) = ( , ) + ( , ) có đạo hàm tại... ra =3 + ; = +3 ; =2 ; =2 Hàm ( ) có đạo hàm khi ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩ =− ⇔ 3 2 + = = −2 +3 Suy ra hàm ( ) có đạo hàm tại điểm ( Vậy ⇔ = =0 = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0 ̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức ( )= Bài 4.3: Cho hàm ( , ) có − Giả sử ( ) có đạo hàm, m ( ) Giải: Giả sử = + , ( ) = ( , )+ Theo giả thiết ta có ( , ) = − ( , ) ⇒ =2 ; = −2 Do ( )có đạo hàm nên ta có ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎩... thì ( , ), ( , ) thỏa phương trình Laplace: Φ + Φ = 0 b Hàm điều hòa + Hàm thực hai biến có đạo hàm riêng cấp 2 liên tục và thỏa phương trình Laplace được gọi là hàm điều hòa + Hai hàm điều hòa ( , ), ( , ) sao cho ( ) = ( , ) + hai hàm điều hòa liên hợp + Hàm ( ) = ( , ) + ( , ) xác định trên miền ( , ), ( , ) là các hàm điều hòa trên + ( , ) là hàm điều hòa trên ( , ) giải ch được gọi là đơn liên và... , ) 5.2 Bài tập mẫu Bài 5.1 (đề thi môn GTP – CH 2008-2009): Cho a Chứng tỏ là hàm điều hòa b Tìm hàm giải ch ( ) sao cho = ( , )= ( ) Tìm − − + − + ( ) Giải: a Chứng minh Φ là hàm điều hòa Φ Φ ⇒ = 12 −4 − 1, = 12 −4 + 1, Φ + Φ = 12 Φ Φ − 12 = 12 − 12 = 12 − 12 + 12 − 12 =0 Vậy hàm thực Φ hai biến có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại mọi điểm ( , ) và thỏa phương trình Laplace nên Φ là hàm điều... ) nên hàm ( ) không liên tục tại mọi điểm trên \{±1} Do đó ( ) không khả vi tại mọi trên \{±1} V BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HÀM GIẢI TÍCH, HÀM ĐIỀU HÒA 5.1 Kiến thức bổ trợ a Hàm giải ch + ( ) giải ch trên miền mở GIẢI TÍCH PHỨC nếu khả vi (tồn tại đạo hàm) tại mọi điểm thuộc 18 + ( ) giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm + ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng... Cauchy-Riemann (dạng phức) = cos , Ta có = sin , = + , = arctan , khi đó điều kiện Cauchy- Rieamann dạng phức là = 1 à =− 1 4.2 Bài tập mẫu Bài 4.1: Khảo sát sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau: a ( ) = b ( ) = | | Giải: a Giả sử = ( )= ⇒ + , khi đó =( + ) = + (3 −3 − ) = ( , )+ ( , ) ( , )= −3 ( , )=3 − Suy ra =3 ⇒ = −3 ; =3 =3 −3 −3 à ; =− = −6 ; =6 = −6 Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục... ≠ 1 = ( ) nên hàm ( ) không liên tục tại mọi điểm trên Do đó ( ) không khả vi tại mọi : | | = 3 Bài 4.5 (đề thi môn GTP – Cao học 2008-2009): Cho ( )= Hàm ( ) có đạo hàm tại = ớ | |≥ ớ | |< nào? Giải: + Xét tập = { : | | > 1} là tập mở Ta có ( ) = ⇒ =( + ) = − +2 = ( , )+ ( , ) ( , )= − ( , )=2 Suy ra =2 ; GIẢI TÍCH PHỨC =2 ; = −2 ; =2 17 ⇒ = =2 à =− = −2 Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên... điểm bất thường cô lập của hàm ( ) Tương tự = − cũng là điểm bất thường cô lập của hàm ( ) =∞ + Xét tại Đặt ⇒ ( )= = = = ) ( ) = 0 là điểm bất thường của hàm Rõ ràng Xét lim ( − 0) ( ) = lim ( − 0) → → ( ) ( = 0 là điểm cực bậc 3 của hàm Do đó ( ) ) ( → ) = ≠0 hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm ( ) b Theo câu a thì ( ) sẽ giải ch tại mọi điểm : Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm ( ) = = lim ( ( ≠ 1,... cực đơn của hàm ( ) hay Bài 6.4 (bài 30,SGK, tr54): CMR hàm ( ) = có một điểm bất thường cốt yếu ở vô cực Giải: Đặt = ⇒ ( )= Rõ ràng = = = 0 nên không xác định tại = 0 là điểm bất thường của hàm Xét lim ( − 0) = lim ( − 0) Do đó không tồn tại nguyên dương nào để lim ( − 0) → → = lim =0 → ≠ 0 nên → bất thường cốt yếu của hàm hay = 0 là điểm = ∞ là điểm bất thường cốt yếu của hàm ( ) VII BÀI TOÁN TÍNH . : | | < 1. Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = không liên tục đều trên miền | | < . Giải: IV. BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC 4.1 = 0 Hàm () có đạo hàm khi ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ = = − ⇔ 2= 0 2= 0 ⇔= = 0 Vậy hàm () có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠0 Bài 4.2 (bài 13,14,. dạng bài tập mà chúng ta sẽ ôn tập I. BÀI TOÁN 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 1.1. Kiến thức bổ trợ a. Đồng nhất số phức Cho = + khi đó phương trình = + ⇔ = = b. Căn thức Số phức