Bài tập hàm biến phức

Điểm bất thường + được gọi là điểm bất thường của nếu không giải ch tại.. + được gọi là điểm bất thường cô lập của nếu tồn tại một lân cận bán kính > 0 sao cho trong lân cận đó hà

LÝ THUYẾT & BÀI TẬP MÔN GIẢI TÍCH PHỨC

(Tài liệu chỉ có nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )

Trong tài liệu này xin tổng hợp lại tất cả các dạng bài tập có liên quan tới đề thi của các năm Riêng các bài tập căn bản các bạn xem lại trong các ví dụ ở giáo trình trên lớp Môn giải ch phức thực chất là một môn tương đối cơ bản nhưng lại có “môt chút rắc rối” (không phải ở môn học mà ở… các bạn chắc đã hiểu) vì vậy mọi người đừng chủ quan nhé Sau đây là một

= −

= Vậy = − +

= 2 ⇒ = √2 cos7

9 + sin

79

= 3 ⇒ = √2 cos10

9 + sin

109

= 4 ⇒ = √2 cos13

9 + sin

139

= 5 ⇒ = √2 cos16

9 + sin

169Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = √3

Bài 1.2 (bài 24.SGK,tr 18): Giải phương trình:

Giải:

(1 − ) = 16 ⇔ − + 16 = 0 ⇔ = 1 + 3√7

= 1 − 3√7Xét 1 + 3√7 có = √1 + 63 = 8

Làm tương tự với 1 − 3√7 trong đó chọn cos = ; sin = −√ , khi đó

= −2√2 3

4−

√74Vậy , là nghiệm của phương trình = 1 − 3√7

Suy ra , , , là nghiệm của phương trình (1 − ) = 16

II BÀI TOÁN 2: TÌM ẢNH VÀ TẠO ẢNH QUA ÁNH XẠ PHỨC

Bài 2.1 (bài 6, SGK, tr 55): Tìm ảnh của đường = qua ánh xạ phức =

(Đề thi kết thúc môn GTP - khóa 16)

Giải:

( , ) =

+ ( , ) = −

+Với = 1, khi đó ( , ) = và ( , ) = −

Bài 2.2 (bài 7, SGK, tr 55): Dùng tham số hóa để m ảnh của đường tròn | − | = qua ánh xạ phức = −

Khi đó:

( , ) = (2 cos ) − (2 sin ) = 4(cos − sin ) = 4 cos 2

( , ) = 2.2 cos 2 sin = 4 sin 2

Ta có = (cos + sin ) ⇒ = = (cos 2 + sin 2 ) ⇒ = 2

Ta coi miền quạt 0 < < được quét bởi a = , với biến thiên từ 0 đến

Theo chứng minh trên thì ảnh của a = qua phép biến hình = là a =

2 Khi biến thiên từ 0 đến thì 2 biến thiên từ 0 đến

Vậy ảnh của miền quạt 0 < < là nửa mặt phẳng trên 0 < <

++ Trường hợp = = 0, khi đó

( , ) = 0

( , ) = − , ( ≠ 0)⇒ = −

Vậy ảnh của đường = 0 là trục ảo trừ gốc tọa độ

+ Trường hợp = ≠ 0, khi đó

( , ) =

+ ( , ) = −

c Hàm liên tục

Cho ( ) xác định trong lân cận điểm , khi đó:

( ) liên tục tại ⇔

+ ( ) á đị ℎ ạ + ồ ạ lim

→ ( ) + lim

→ ( ) = ( ) ( ) liên tục trên miền nếu liên tục tại mọi điểm thuộc

a

→ b

→ c

→ ( ) Giải:

lim

→ ̅ = lim→

+

− = lim→ = lim→ 1 = 1 (1) + Cho → 0 theo hướng đường thẳng =

Từ (1) và (2) ta suy ra không tồn tại giới hạn lim

Lưu ý: điều kết luận trên cũng có nghĩa là hàm số ( ) =

Bài 3.5: Xét nh liên tục của hàm

→ ( ) = (1) nên hàm số liên tục tại = 1

→ ( ) ≠ (1) nên hàm số gián đoạn tại =

Suy ra không tồn tại lim

→ ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0

b Chọn 2 dãy = và ∗ = + , khi đó , ∗ → 0 khi → ∞

Suy ra không tồn tại lim

→ ( ) nên không thể gán giá trị của hàm số tại điểm = 0 để nó trở thành hàm liên tục tại = 0

Bài 3.7 (câu 2, đề thi môn GTP – K16): Chứng minh rằng hàm ( ) = liên tục trên ℂ Giải:

Giả sử = + , khi đó ( ) = ̅ = − = ( , ) + ( , )

Do lấy tùy ý trong ℂ nên hàm ( ) liên tục trên ℂ

Bài 3.8 (bài 10, SGK,tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = liên tục đều trên miền | | <

Giải:

Đặt : { : | | < 1}

Với , ′ ∈ ta có

| ( ) − ( )| = | − ′ | = | − ′|| + ′| ≤ | − |(| | + | |) < 2| − ′| Vậy ∀ > 0, ∃ = , ∀ , ∈ : | − | < ⇒ | ( ) − ( )| < 2| − | < 2 =

Do đó ( ) = liên tục đều trên : | | < 1

Bài 3.9 (bài 11, SGK, tr 52): Chứng minh rằng hàm ( ) = không liên tục đều trên miền

| | <

Giải:

IV BÀI TOÁN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI ĐẠO HÀM CỦA HÀM PHỨC

4.1 Kiến thức bổ trợ

a Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng đại số)

Cho hàm ( ) = ( , ) + ( , ) có đạo hàm tại điểm = + thì:

+ ( , ), ( , ) có đạo hàm riêng tại điểm ( , )

+ Các đạo hàm riêng của ( , ), ( , )thỏa mãn phương trình

= à = − (1)

Ngược lại nếu ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng liên tục tại điểm ( , ) và thỏa (1) thì ( ) = ( , ) + ( , ) có đạo hàm tại điểm = + và

( ) = ( , ) + ( , ) ℎ ặ ( ) = ( , ) − ( , )

b Điều kiện Cauchy-Riemann (dạng phức)

Ta có = cos , = sin , = + , = arctan , khi đó điều kiện Rieamann dạng phức là

Vậy hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0

Bài 4.2 (bài 13,14, SGK, tr52): Chứng minh rằng ; ( ) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức

Vậy ̅ không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức

+ Chứng minh ( ̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức

Giả sử = + , đặt ( ) = ̅, khi đó

Suy ra hàm ( ) có đạo hàm tại điểm = 0, không có đạo hàm tại mọi điểm ≠ 0

Vậy ( ̅) không tồn tại tại mọi điểm thuộc mặt phẳng phức

Bài 4.3: Cho hàm ( , ) có ( ) = − Giả sử ( ) có đạo hàm, m ( )

b Giả sử = (cos + sin ), khi đó

( ) = + ̅ = (cos 5 + sin 5 ) + (cos − sin )

= ( cos 5 + cos ) + ( sin 5 − sin ) = ( , ) + ( , )

⇒ ( , ) = cos 5 + cos

( , ) = sin 5 − sin

Suy ra

= 5 cos 5 + cos ; = 5 sin 5 − sin

= −5 sin 5 − sin ; = 5 cos 5 − cos

Rõ ràng

1

=1(5 cos 5 − cos ) = 5 cos 5 − cos ≠

−1 = −1(−5 sin 5 − sin ) = 5 sin 5 + sin ≠

Vậy ( , ), ( , ) có các đạo hàm riêng không thỏa điều kiện Cauchy-Riemann nên ( ) không khả vi tại mọi

c + Tập = { : | | > 3} là tập mở

+ ( ) giải ch tại điểm nếu khả vi trong lân cận của điểm

+ ( ) = ( , ) + ( , ) giải ch trong miền , các ( , ), ( , )có đạo hàm riêng liên tục trên thì ( , ), ( , ) thỏa phương trình Laplace:

Φ+ Φ = 0

Bài 5.2 (đề thi môn GTP – K15): Cho ( , ) = ( − )

a Chứng tỏ ( , ) là hàm điều hòa trên một miền thích hợp

b Tìm một hàm giải ch ( ) = ( , ) + ( , ), giải ch trên miền

c Biểu diễn trong câu (b) theo biến

Giải:

a Chứng minh ( , ) là hàm điều hòa

= ( cos − cos + sin )

= (− sin + sin + sin + cos ) = (2 sin − sin + cos )

⎧ = (sin − sin + cos ) (1)

= (− cos + cos − sin ) (2)

Từ (1): = (sin − sin + cos )

⇒ ( , ) = (− cos + cos + sin + cos ) + ( )

= ( cos + sin ) + ( )

= (cos − cos − sin ) + ′( )

Thay vào (2) ta được:

(cos − cos − sin ) + ( ) = (− cos + cos − sin )

⇔ ( ) = 0 ⇔ ( ) = =

⇒ ( , ) = ( cos + sin ) +

Vậy ( ) = ( sin − cos ) + ( ( cos + sin ) + )

c Biểu diễn ( ) ở câu b theo biến

( ) = ( sin − cos ) + ( ( cos + sin ) + )

= ( sin + sin ) − ( cos − cos ) +

VI BÀI TOÁN TÌM VÀ PHÂN LOẠI ĐIỂM BẤT THƯỜNG

6.1 Kiến thức bổ trợ

a Điểm bất thường

+ được gọi là điểm bất thường của ( ) nếu ( ) không giải ch tại

+ được gọi là điểm bất thường cô lập của ( ) nếu tồn tại một lân cận bán kính > 0 sao cho trong lân cận đó hàm ( ) không có điểm bất thường nào khác

+ được gọi là điểm bất thường cốt yếu nếu không tồn tại số nguyên dương sao cho

+ Xét điểm = 2 Tồn tại lân cận của điểm = 2 , bán kính = 1 > 0 mà trong lân cận đó không có điểm bất thường nào khác của hàm ( ) trừ điểm = 2 Vậy = 2 là điểm bất

cô lập của ( )

Tương tự = −2 cũng là điểm bất thường cô lập của ( )

b Hàm ( ) = không xác định tại = 0 nên = 0 là điểm bất thường của ( )

( ) , ∈ ℤ là các điểm cực đơn của ( )

+ Các điểm =( ) là các điểm rời rạc được đặt trên trục thực trong một khoảng hữu hạn chứa điểm 0 Do đó tại mỗi điểm tồn tại lân cận bán kính > 0 nào đó không chứa điểm bất thường nào khác Do đó =( ) là các điểm bất thường cô lập

+ Do =( ) → 0 khi → ∞ nên với mọi > 0, mọi lân cận bán kính luôn chứa điểm bất thường khác 0 Do đó = 0 không là điểm bất thường cô lập

+ Xét lim

→ ( − 0) ( ) = lim

→ = 0 ⇒ Không tồn tại nguyên dương thỏa mãn lim

→ ( − 0) ( ) ≠ 0 Do đó = 0 là điểm bất thường cốt yếu của ( )

c = 0 là điểm bất thường của ( )

+ lim

→ ( ) = lim

→

√

√ = 1 Do đó = 0 là điểm bất thường bỏ được của ( )

Bài 6.2 (đề thi môn GTP – CH K18):

a Xác định tất cả các điểm bất thường của hàm sau

( − ) ( + )

b Xác định các điểm mà tại đó ( ) giải ch

Do đó = 0 là điểm cực bậc 3 của hàm hay = ∞ là điểm cực bậc 3 của hàm ( )

b Theo câu a thì ( ) sẽ giải ch tại mọi điểm : ≠ 1, ≠ − , ≠ ∞

Bài 6.3 (bài 28, SGK, tr54): CMR hàm ( ) = ( ) có hai điểm cực bậc 2 tại = ±

và một cực điểm đơn tại vô cực

Do đó = 0 là điểm cực đơn của hay = ∞ là điểm cực đơn của hàm ( )

Bài 6.4 (bài 30,SGK, tr54): CMR hàm ( ) = có một điểm bất thường cốt yếu ở vô cực Giải:

VII BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN

7.1 Kiến thức bổ trợ

a Tích phân đường

+ Nếu ( ) = ( , ) + ( , ) thì ch phân đường của ( ) trên đường cong

+ Nếu đường cong có phương trình tham số = ( )= ( ); ≤ ≤ thì

( ) = { [ ( ), ( )] + [ ( ), ( )]} [ ( ) + ( )]

b Định lý Green (dạng phức)

( , ̅), ( , ̅) liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên miền , khi đó ta có:

∮ ( , ̅) + ( , ̅) ̅ = 2 ∬ +

̅ , biểu thị yếu tố diện ch

c Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Giả sử hàm giải ch trong miền đơn liên và ′ liên tục trong Khi đó với mọi đường cong đơn, đóng nằm trong , ta có:

∮ ( ) = 0

d Định lý Cauchy-Goursat

Giả sử hàm giải ch trong miền Khi đó ta có:

∮ ( ) = 0

với mỗii đường cong đơn, đóng trong

e Các hệ quả của định lý Cauchy

+ Nếu hàm giải ch trong miền đơn liên và , là 2 điểm thuộc thì ∫ ( ) không phụ thuộc vào đường nối hai điểm và

+ Cho giải ch trong miền giới hạn bởi hai đường cong kín , ( nằm trong ) và trên các đường cong này, khi đó:

∫ ( ) = ∫ ( )

+ Tích phân ∮ = 0 khi = nằm ngoài

2 khi = nằm trong với là đường cong đơn đóng

+ Tích phân ∮ ( ) = 2 khi = 1

0 khi ≠ 1 với là đường cong đơn đóng và = nằm trong

f Công thức ch phân Cauchy

+ Giả sử là miền đa liên giới hạn bởi các đường cong và các đường cong , , … ,nằm trong , ( ) giải ch trong và trên biên của nó, khi đó:

Bài 7.4 (bài 5,SGK, tr86): Tính = ∫ ( + ) trong các trường hợp sau:

a Dọc theo đường thẳng nối hai điểm = và = −

b Dọc theo đường cong = − , = + −

Giải:

Ta có ( ) = không giải ch tại điểm = 0 nhưng điểm = 0 không nằm trong và trên

C Vậy hàm ( ) giải ch trong và trên

Theo định lý Cauchy-Goursat ta có

Bài 7.6: Tính ch phân = ∫ ( − ) , với được cho như hình vẽ

Giải:

Ta có ( ) =4 − 1 giải ch trên toán mặt phẳng phức nên

áp dụng hệ quả 1 thì ch phân đã cho không phụ thuộc vào

đường nối 2 điểm = và = − nên ta có thể thay bằng

đoạn thẳng nối 2 điểm = và = − Khi đó ta có

= ∫ (4 − 1) = ∫ (4 − 1) = ∫ (4 − 1) = (2 − )| = −2

Bài 7.7: Tính = ∮ , với là chu tuyến như hình vẽ

Giải:

không là đường cong đơn nhưng có thể xem là hợp

của hai đường cong đơn, đóng , như hình vẽ

+ = 0 nằm trong , = 1 nằm ngoài nên theo hệ quả 5 ta có:

+ = 1 nằm trong , = 0 nằm ngoài nên theo hệ quả 5 ta có:

Đặt ( ) = cos , = 0 ⇒ ( ) = − sin ⇒ ( ) = − cos

Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm

a Nhận thấy = 1 và = 2 đều nằm trong nên áp dụng theo định lý Cauchy-Goursat cho miền đa liên ta có

Rõ ràng ( ) giải ch trong và trên nên áp dụng công thức ch phân Cauchy cho đạo hàm

Suy ra = sin hay ∮ = sin (đpcm)

VIII BÀI TOÁN TÌM SỐ NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

8.1 Kiến thức bổ trợ

Suy ra ( ) có 5 − 1 = 4 nghiệm trong hình vành khăn 1 ≤ < 2

Bài 8.2: Tìm số nghiệm của đa thức

Trên : | | = 1 ta có

| ( )| = | + 1| ≤ | | + 1 = 2 < 5 = | ( )|

Do đó theo định lý Rouche thì ( ) + ( ) = − 5 + 1 = ( ) có cùng số không điểm với ( ) = −5 trong : | | < 1 Mà ( ) có một không điểm trong nên suy ra ( ) cũng có một không điểm tức là có một nghiệm trong : | | < 1

có ba không điểm tức là có ba nghiệm trong : | | < 3

Suy ra ( ) có 3 − 1 = 2 nghiệm trong hình vành khăn 1 ≤ < 3

Suy ra ( ) có 3 − 1 = 2 nghiệm trong hình vành khăn 2 ≤ < 3

IX BÀI TOÁN KHAI TRIỂN CHUỖI VÀ TÌM MIỀN HỘI TỤ

Bài 9.1: Khai triển chuỗi Taylor của các hàm sau theo lũy thừa − Xác định miền hội

tụ của chuỗi vừa m được

Bài 9.2: Khai triển chuỗi Laurent của hàm ( ) =

b ( ) = ( − 3) sin = ( + 2) sin − 5 sin

Bài 9.6 (bài 21,SGK, tr 118): Khai triển chuỗi Laurent của hàm ( ) =

( )( ) trong các miền đã chỉ ra:

a < | − | < b < | − | <

Giải:

Bài 10.1 (câu 5, đề thi GTP – K18):

a Khai triển chuổi Laurent của hàm sau trong lân cận của điểm = :

( ) =

Xác định miền hội tụ của chuỗi vừa m

b Phân loại các điểm bất thường của hàm ( )

Giải:

Suy ra

!

1( − 2) = +

2

− 2+ ⋯ +

2

! ( − 2) + ⋯ (1) Miền hội tụ: < ∞ ⟹ | − 2| > 0

b Ta thấy chuỗi Laurent (1) của hàm ( ) có phần chính gồm vô hạn các số hạng nên điểm

= 2 là điểm bất thường cốt yếu của hàm ( )

Bài 10.2: Cho hàm số ( ) = ( − )

a Khai triển chuỗi Laurent trong lân cận = −

b Phân loại các điểm bất thường của hàm ( )

Khi biến thiên từ 0 → 2 thì chạy một vòng trên đường tròn đơn vị : | | = 1

Tường tự với ch phân dạng ∫ (sin , cos )

 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:

+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 2 đơn vị

+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên

+ ( ) không có cực điểm nằm trên trục thực

 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:

+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 2 đơn vị

+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên

+ ( ) có cực điểm , … , nằm trên trục thực

Theo công thức Euler ta có:

 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:

+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 1 đơn vị

+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên

+ ( ) không có cực điểm nằm trên trục thực

 Nếu ( ) là hàm hữu tỷ thỏa:

+ Bậc mẫu lơn hơn bậc tử ít nhất 1 đơn vị

+ ( ) có hữu hạn cực điểm , … , nằm trong nửa mặt phằng trên

a = ∫

( ) = b = ∫ = Giải:

b Làm tương tự như câu a

Bài 11.3: Tính = ∫ ( )( ) bằng phương pháp thặng dư

+ = 5 ⇒ = cos + sin =√ −

Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = 0

Hay hàm ( ) có 6 điểm cực đơn nhưng chỉ có 3 điểm cực đơn , , nằm trong nửa mặt phẳng trên Khi đó ta có

+ = 4 ⇒ = cos + sin = −

Vậy , , , , , là nghiệm của phương trình + 1 = 0

Hay hàm ( ) có 6 điểm cực đơn nhưng chỉ có 3 điểm cực đơn , , nằm trong nửa mặt phẳng trên Khi đó ta có