.Vậy ảnh của đường thẳng x=0 là trục ảo trừ... trừ gốc tọa độ..[r]
(1)BÀI TẬP HÀM BIẾN PHỨC 1.5 Xét hội tụ các chuỗi : n a) ∑ e i π n i=1 Giải: n Ta có: −i ∑e π n n i=1 n Xét chuổi : ∑ i=1 | cosn sinn +i n n | n b¿∑ i=0 ∑ i=1 i √( cosn sinn + n n π n )( ) ¿ i=¿ ∑¿ n 1n phân kì i=1 n ( 2i )n n i=0 n n ( 2i )n | | Ta có : d=lim n→ ∞ an+ an i=0 n →∞ i=0 n ∑ cosin 2n i=1 ∑ ¿ i=0 n ( e en +e−n n 2 i=0 n ¿ ) ( phân kì vì hội tụ vì n Từ (1 )( ) → chuỗi ∑ i=1 n i=0 n+1 n : 2n +1 2n n n 2i ) ) cosin 2n [( n →∞ hội tụ n [( ) ( ) ] e >1 <1 2e ( 1) (2) phân kì e n−e−n n n n en n = + ∑ n n i=0 2 ( 2e )n ( ) ¿ lim e n + ∑ i=0 2e n i=0 d) ∑ nsin ( ¿ ) =∑ n n ¿ n () ∑ ( 21e ) ¿∑ Xét : lim ¿ nên chuỗi ∑ ( ¿1 n n ∑ 2nn ¿ n ¿ i=0 ∑e phân kì nên Xét chuỗi : ∑ c) i=0 n ∑ 1n i=1 sinn +i ∑ ( cosn n n ) ¿ n ¿ n Mà chuỗi n ∑ cosn+isinn n i=1 ¿ ) ( )] ( n+1 ) 2n n 2n+1 ¿ lim n →∞ n+1 2n (2) n ¿∑ Xét : i=0 n.e n ( ) n →∞ ( an+1 an lim Ta có : d = ¿ lim n n →∞ ( n+1 ) en +1 2n n e n 2n +1 n → n ¿ Ta có : d ) ¿ lim n →∞ n 2e i=0 ¿ lim n →∞ ( n Nên chuỗi ∑ i=0 ) ¿ lim n →∞ 1.7 Cho hàm w n (2 e )n ( ) a) ¿ → chuỗi ∑ z n+1 n : n +1 2e (2 e )n ¿ hội tụ (2) n →∞ i=0 ¿ ¿1 ( 1) ( n+1 2n ) ¿ lim n ( ) (2 ) ) n a n+1 an ( n+1 ) ( 2e )n ¿ lim n →∞ n ( e )n+1 Từ ( e ( n+1 ) e = 2n ( ) phân kì ∑(( ) ) (( ) i=0 : ( ) = n e n 2n chuỗi ∑ Xét ( n+1 ) e n+1 2n+1 lim n →∞ n e n 2n nsin ( ¿ ) 2n ) ¿1 phân kì Hãy tìm : Ảnh các đường x = c Giải : Đặt z ¿x Ta có : ¿ ( x , y )= TH1: c ¿0 u gốc tọa độ → +iy x x +y u=o −1 v= y { → w= ,v x +iy ( x , y )= x ¿ 2 x +y x 2+¿ y y −i ¿ −y 2 x +y .Vậy ảnh đường thẳng x=0 là trục ảo trừ (3) c c +y → −y v= 2 c +y { u= ≠0 TH2: c Nên u2 +v 2= u c ¿ ( ;0 2c ) 2 u c ¿ , bán kính 2 Vậy ảnh đường thẳng x=c 2|c| ≠ 0là trừ gốc tọa độ Ảnh |z−1|=1 ↔| x+iy−1|=1↔|( x−1 ) +iy|=1 Ta có : |z−1|=1 ↔ √( x−1 ) + y Thay vì u2 +v 2− → đường tròn tâm (u + v = c +1 y mà c + y = uc ) 2 ¿1 ¿ ( x , y )= vào u x + y =2 x thẳng u ↔ ( x−1 )2 + y 2=1↔ x2 + y 2=2 x x x + y2 ta u= .Vậy ảnh là đường ¿ Tạo ảnh đư ờngu=c Giải :muốn tìm tạo ảnh thì u = c vào biểu thức u Ta được: c = ( x , y )= x x + y2 x x +y ¿ TH :c=0 → x=0 Vậy tạo ảnh là trục ảo x 2 ¿ TH :c ≠0 → x + y − =0 c 2|c| 1.7 Tìm f (z) kính a) u ( x , y )= x .Vậy tạo ảnh là đường tròn tâm biết phần thực và phần ảo: ,v ( x , y )= y ( 21c ; 0) ,bán (4) Giải: Đặt z ¿ x+iy → ź=x−iy ¿ ( z+ ź ) Ta có: ¿ Thế → u x= ( z+ ź ) ( x , y )= y= ¿ Thế ¿ x ( x , y )= u ( x , y )= vào v ( x , y ) +i ¿ Thế ta u x ¿ + 2 x x +y ¿ ( z+ ź ) , y= y (x, y) v −i b) u ( x , y ) = x 2− y 2−2 y +1 , v Đặt z ¿ x+iy → ź=x−iy Ta có: x (x, y) = +2 i −i ( z−ź ) = ta v = z + ź −i ( z−ź ) z + ź (2) −2 z −ź y x +y ( x , y )=2 xy +2 x −i ( z−ź ) suy f (z) vào u 1.12 Giải các phương trình: z e =2 Giải: 1 ( z+ ź ) 2 −i x= ( z+ ź ) , y= ( z−ź ) 2 ( x , y )=2 xy +2 x a) ( x , y )= ( 1) −i ( z−ź ) −2 ( x +iy ) −i ( z−ź ) vào u z + ź ( ) (2 ) → f ( z )=¿ Từ y= , e z =2↔ z=L n 2↔ z=ln 2+ik π ,k ∈ Z (x, y) = 2 x − y −2 y +1 và v (5)