Bài tập các nhóm môn hàm biến phức

Bài tập hàm biến phức và lời giải

Trang 1

Câu 1: Tính giá tr c a bi u th c:ị của biểu thức: ủa biểu thức: ểu thức: ức:

c/(1+i ) i=ei ln ⁡(1 +i)

Đ tặt w=ln(1+i)=a+ib(a , b ∈ R)

⇒1+i=e w=ea+ib=ea e ib

Trang 2

L i có: ại có: e i ln√ 2 =cos(ln√2)+i sin(ln√2)+ ¿ ¿

Suy ra: (1+i)i

Trang 3

¿ −i.(i2)860 i=i i=−1

f/ ln(1+i√2)

G i ọi w=ln ⁡(1+i√2) (gi s ải ửw=a+ ib, a , b ∈ R¿

⇒1+i√2=e w=ea+ib=e a e ib

Có 1+i√2=√3 (cos ( arctan√2 ) +i sin ( arctan√2 ))

Trang 6

V y h đậy ọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng trong m t ph ng z cho b i phặt ẳng z cho bởi phương trình: ởi phương trình: ương trình:ng trìnhℜ 1

z=c là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn tâm (2 c1 ;0) bán kính là 2|1c|

V y h đậy ọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng trong m t ph ng z cho b i phặt ẳng z cho bởi phương trình: ởi phương trình: ương trình:ng trìnhℑ 1

z=c là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng

2 c) bán kính là 2|1c|

Trang 7

(1) ⇔|(x−a1)+i( y−b1)|

|(x−a2)+i( y−b2)|=λ

⇔√(x−a1)2+(y −b1)2=λ√(x−a2)2+(y−b2)2

Trang 8

V y h đậy ọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng c n tìm là ph n n m dẳng z cho bởi phương trình: ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ằm dưới đường thẳng ưới a, b ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:i đ ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: y=1−x

Bài 4: Tìm t o nh trên m t c u Riemann c a các t p h p sau:ại có: ải ặt ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ủa biểu thức: ậy ợp sau:

G i ọi z ∈ m t ph ng ph c có t a đ ặt ẳng z cho bởi phương trình: ức: ọi ộ z=x +iy

Khi đó đi m chi u tểu thức: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là ương trình:ng ng trên m t c u Rieman là ức: ặt ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng z1 có t a đ là:ọi ộ

Trang 9

Mà argz=φ=arctan y

x=αy

V y nh c a ậy ải ủa biểu thức: arg z là đ ng tròn xác đ nh b i h (1). ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình: ị của biểu thức: ởi phương trình: ệ phương trình

b/ Đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn | |z r

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn | |z rtrên m t c u Rieman là ph n xác đ nh ặt ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ị của biểu thức:

b i h (2).ởi phương trình: ệ phương trình

Trang 10

Trang 11

V y nh c a ậy ải ủa biểu thức: Imz<0 là n a m t c u Rieman v i ử ặt ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng ới a, b η<0

Bài 5: Xét s h i t c a các chu i s ph c sau:ực ộ ục ảo ủa biểu thức: ỗi số phức sau: ố phức sau: ức:

3n|2+i|

n

¿∑1

∞ n

3n(|2+i|)

n

=∑1

∞ n

Trang 12

⇒ Chu i (1) h i t ỗi số phức sau: ộ ục ảo

Suy ra chu i (1) h i t tuy t đ i.ỗi số phức sau: ộ ục ảo ệ phương trình ố phức sau:

Trang 13

Do đó chu i (1) là h i t tuy t đ i.ỗi số phức sau: ộ ục ảo ệ phương trình ố phức sau:

Suy ra chu i (2) phân kỳ.ỗi số phức sau:

V y chu i (1) phân kỳ.ậy ỗi số phức sau:

Bài 6: Tìm bán kính h i t và mi n h i t c a các chu i hàm sau:ộ ục ảo ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ộ ục ảo ủa biểu thức: ỗi số phức sau:

1

2 n

= 2

20=2

Trang 14

V y bán kính b ng 2.ậy ằm dưới đường thẳng

Suy ra chu i có bán kính h i t r = 1 và mi n h i t ỗi số phức sau: ộ ục ảo ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ộ ục ảo|w| <1

⇔|z−1−i 2 i−1 |<1⇔|z −1−i|<|2 i−1|=√5 là bán kính hình tròn m tâm i + 1, bán ởi phương trình:kính là √5

V y bán kính h i t c a chu i đã cho là ậy ộ ục ảo ủa biểu thức: ỗi số phức sau: r =1

e Chu i đã cho h i t v i ỗi số phức sau: ộ ục ảo ới a, b

Trang 15

¿ lim

n → ∞√1+(n+1)2

1+n2 =1

V y (1) h i t ậy ộ ục ảo∀ w mà |z +i| <1, phân kỳ w mà |z +i| > 1

Mi n h i t là hình tròn tâm –i v i bán kính là 1.ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ộ ục ảo ới a, b

Trang 16

⇒ Mi n h i t là ph n trong hình tròn tâm O bán kính r =1ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ộ ục ảo ần tìm là phần nằm dưới đường thẳng

a/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng x=c

b/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng y=c

c/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng x=y

d/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z| =r

e/ T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng u=c

f/T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng v=c

Gi iảia/ Đ t ặt z=x +iy , ( x , y ∈ R) ⇒ z2

Trang 17

 có {u=c2− v2

4 c2y= v

2 c

Hay v2=4 c2(c2−u)

b/ G i ọi z=x +iy , w=u+iv ( x , y , u , v ∈ R)

Theo đ : ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ x= y ⇔{v =2 x u=02

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng y = x là n a trên c a tr c Ov.ử ủa biểu thức: ục ảod/ Đ t ặt z=x +iy , ( x , y ∈ R) ⇒ z2

Trang 18

 Trường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng h p r = 0 thì:ợp sau:

x2

+y2 =0

⇒{u ( x , y )=0 v ( x , y )=0

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z| =0 qua nh x ải ại có: f ( z )=z2 là g c t a đ ố phức sau: ọi ộ

 Trường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng h p r ợp sau: ≠ 0 thì:

Theo đ : u = c thì: ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ x2−y2=c

 N u c = 0 thì ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là x2−y2=0⇒ y=± x, là 2 phương trình:ng trình đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng.ẳng z cho bởi phương trình:

 N u c > 0 ta cóếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là x2−y2=c ⇔ x2

(√c)2−

y2

(√c)2=1, đây là hyperbol có tr c là Ox.ục ảo

 N u c < 0 ta cóếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là :x2−y2=c ⇔ x2

T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng v = c Thay v = c vào phương trình:ng trình ta đượp sau:c 2xy = c

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c ≠ 0⇒ 2 xy=c ⇔ xy= c

2

⇒ T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng v = c là hypebol xy= c

2

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c=0⇒ 2 xy=0 ⇔[x=0 y =0

⇒ T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng v = c là 2 đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng x = 0, y = 0ẳng z cho bởi phương trình:

Trang 19

a/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng x=c

b/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng y=c

c/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng y=x

d/ nh c a đẢnh của đường x=c ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z| =1

e/ T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng u=c

f/ T o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng v = c

Nên nh c a x = c là tr c o tr g c t a đ trên ải ủa biểu thức: ục ảo ải ừ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với ố phức sau: ọi ộ C

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c ≠ 0 thì: {u ( x , y )= c

Nên nh c a đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng x = c là đẳng z cho bởi phương trình: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn tâm (2 c1 ;0¿ bán kính |2 c1|

tr g c t a đ trên ừ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với ố phức sau: ọi ộ C

Trang 20

 N u c = 0 thì ta có:ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là {u (x , y )=1

x

v (x , y )=0

Nên nh c a y = 0c là tr c th c tr g c t a đ trên ải ủa biểu thức: ục ảo ực ừ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với ố phức sau: ọi ộ C

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c ≠ 0 thì: {u ( x , y )= x

ẳng z cho bởi phương trình: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình: 0 ;−1

2 c ¿ bán kính |2 c1| tr g c t a đ trên ừ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với ố phức sau: ọi ộ C

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: y=x qua ánh x ại có: f ( z )=1

z là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: u+v=0

Trang 21

 N u c = 0 ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là ⇒ x=0

Nên t o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng u = c là tr c o.ục ảo ải

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c ≠ 0 thì:

Nên t o nh c a đại có: ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng u = c là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng y = x qua ánh xại có: 1z là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng

th ng ẳng z cho bởi phương trình:

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là c=0 thì v=0 ⇔ y =0

⇒ T o nh là tr c th c.ại có: ải ục ảo ực

 N u ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là V =c ≠ 0 thì ⇔ x2

Trang 22

Bài 9: Tìm nh c a đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z|=r qua ánh x ại có: w=z2

V y nh c a ậy ải ủa biểu thức: w=z2 làm đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn u2+v2=r4

Bài 10: Tìm nh c a đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z−1| =1 qua ánh x ại có: w=1

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z−1| =1 qua ánh x ại có: w=1

z là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: u=1

2.Bài 11: Tìm nh c a đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z|=r qua ánh x ại có: w=z +1

Trang 24

Bài 12: Tìm nh c a đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z| =r qua ánh x ại có: w=z−1

Trang 25

V y nh c a đậy ải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng |z|=1 qua ánh x ại có: w=1

z là đường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn tâm O(0;0) bánkính là 1

Bài 15: Xác đ nh giá tr c a hàm sau t i ị của biểu thức: ị của biểu thức: ủa biểu thức: ại có: z=0 đ hàm liên t c t i ểu thức: ục ảo ại có: z=0

a)

b)

c)

Trang 26

d)

e)

f)

Gi iảia/

Đ hàm liên t c t i ểu thức: ục ảo ại có: z=0 thì ∃ lim z → 0 f ( z) và limz → 0 f ( z)=f ( 0)

Trang 28

z →0 f ( z)=0 (Cô ki m tra l i bài này h i vô lý ch ch n dãy)ểu thức: ại có: ơng trình: ỗi số phức sau: ọi

Và f (0 )=0=lim z → 0 f ( z)=0 nên hàm liên t c t i ục ảo ại có: z=0

Trang 29

V y ậy a=−1, b=1 thì hàm f ( z ) là C kh vi.ải

Bài 17: Tìm các h ng s a, b, c đ ằm dưới đường thẳng ố phức sau: ểu thức:f ( z )=x2+axy +by2+i(cx2+dxy + y2) là C kh vi.ải

Trang 30

{ u ' x=v 'y

u' y=−v 'x ⇔{ax +2 by=−2 cx−dy 2 x+ay=dx +2 y ⇔{b=−1 a=2

c=−1 d=2

V y v i ậy ới a, b a=2 , b=−1 , c=−1 , d=2 thì hàm f ( z) là C kh vi.ải

Bài 18: Ch ng minh r ng hàm ức: ằm dưới đường thẳng f ( z)=z Rez ch kh vi t i ỉ khả vi tại ải ại có: z=0

Suy ra: hàm f ( z)=z Rez có đ o hàm t iại có: ại có: z=0

V y hàm ậy f ( z )=z Rez ch kh vi t i ỉ khả vi tại ải ại có: z=0

Bài 19: Ch ng minh r ng hàm ức: ằm dưới đường thẳng f ( z)=|z|2 ch kh vi t i ỉ khả vi tại ải ại có: z=0.

Trang 31

V y hàm ậy f ( z)=|z|2 ch kh vi t i ỉ khả vi tại ải ại có: z=0.

Bài 20: Xét tính kh vi c a hàm ải ủa biểu thức: f ( z )=´z

⇒Không th a đi u ki n Cauchy-Riemanỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình

V y ậy f ( z ) không kh vi ải ∀ z∈C

Bài 21: Xét tính kh vi c a hàm ải ủa biểu thức: f ( z )=z ´z

Trang 32

Bài 22: Ch ng minh hàm ức: f ( z)={x2xy

+y2khi z ≠0

0 khi z =0

Th a mãn đi u ki n Cauchy-ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình

Rieman t i ại có: z=0 nh ng không ư C kh vi t i đó.ải ại có:

Trang 33

Th a mãn đi u ki n Cauchy-Rieman t i ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình ại có: z=0

nh ng không ư C kh vi t i đó.ải ại có:

Bài 23: Ch ng minh r ng hàm ức: ằm dưới đường thẳng f ( z )=´z không kh vi t i b t kì đi m nào trên ải ại có: ấy: ểu thức: C

⇒Không th a đi u ki n Cauchy-Riemanỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình

V y ậy f ( z ) không kh vi ải ∀ z∈C

√xy th a mãn đi u ki n Cauchy-Rieman t i ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình ại có: z=0

nh ng không ư C kh vi t i đó.ải ại có:

Trang 34

Vìu ( x , y ) và v ( x , y )là hàm liên t c trên ục ảo R2

z ⇒ f (z) không kh vi t i ải ại có: z=0

V y hàm ậy f ( z)=√3xy th a mãn đi u ki n Cauchy-Rieman t i ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình ại có: z=0 nh ng ưkhông C kh vi t i đó.ải ại có:

Trang 35

Bài 25: Ch ng minh hàm ức: f ( z)=|z|2(1+i ) ℑ z2 th a mãn đi u ki n Cauchy-Rieman ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình

t i ại có: z=0 f có kh vi t i ải ại có: z=0 không?

0 khi z=0 Th a mãn đi u ki n Cauchy-Rieman ỏa mãn hệ phương trình ều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ệ phương trình

t i m i đi m trên ại có: ọi ểu thức: C trừ (3) suy ra (1) là phương trình đúng với z=0

Trang 36

Suy ra hàm f (z) kh vi t i ải ại có: z=0.

Bài 27: Cho hàm s ố phức sau:( z )=z2+z ´z− ´z2 +2 z −´z Tìm nh ng đi m t i đó hàm là C kh ững điểm tại đó hàm là C khả ểu thức: ại có: ải

Câu 28: Tìm d ng t ng quát c a ánh x phân tuy n tính bi n:ại có: ổ sung được giá trị nào để hàm số đã cho liên tục tại ủa biểu thức: ại có: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là

a) N a m t ph ng trên lên chính nó.ử ặt ẳng z cho bởi phương trình:

b)N a m t ph ng trên lên n a m t ph ng dử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ưới a, b i

c) N a m t ph ng trên lên n a m t ph ng ph i.ử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ải

d)N a m t ph ng ph i thành chính nó.ử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ải

Trang 37

e) N a m t ph ng trái thành chính nó.ử ặt ẳng z cho bởi phương trình:

f) N a m t ph ng dử ặt ẳng z cho bởi phương trình: ưới a, b i lên chính nó

Gi iảia/ w=az +b

Hàm u , vliên t c trên ục ảo R2

Theo đ : Đều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng y = 0 bi n thành v = 0.ẳng z cho bởi phương trình: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là

⇔ a2x +b2=0

⇔ a2 =b2=0(∀ x∈ R)

Trang 38

Theo đ : Đều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng y = 0 bi n thành u = 0.ẳng z cho bởi phương trình: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là

Theo đ : Đều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng x = 0 bi n thành u = 0.ẳng z cho bởi phương trình: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là

Trang 39

⇔−a2y +b1=0

⇔ a2 =b 1 =0(∀ x ∈ R)

V y ậy w=a1z +ib2

M c khác: ặt Rez>0 bi n thành ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là Rew>0 mà Rew=a1x

Theo đ : Đều kiện cần và đủ của chuỗi hội tụ thì chuỗi đã cho là phân kỳ ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng x = 0 bi n thành u = 0.ẳng z cho bởi phương trình: ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là

⇔−a2y +b1=0

⇔ a2=b1=0(∀ x ∈ R)

V y ậy w=a1z +ib2

M c khác: ặt Rez<0 bi n thành ếu tương ứng trên mặt cầu Rieman là Rew<0 mà Rew=a1x

Trang 40

v=a1y +a2x+b2

Bài 29: Trong ánh x ại có: w=1

z hãy tìm nh c a các đải ủa biểu thức: ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng sau:

a) H đọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn x2+y2=ax

b) H đọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng tròn x2+y2=by

c) H đọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: y=x +b

d) H đọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: y=kx

f) H đọi ường trong mặt phẳng z cho bởi phương trình:ng th ng ẳng z cho bởi phương trình: y=−x+a

Gi iảia/ Gi s : ải ử z=x + yi ,(x , y ∈ R)

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	707,05 KB