Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 15 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
15
Dung lượng
378,39 KB
Nội dung
2012 BÀI TẬP GIẢI TÍCH II HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Phép tính vi phân hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt, phương trình vi phân Tạ Ngọc Ánh Bộ mơn Tốn - Khoa CNTT - HVKTQS (Sưu tầm biên soạn) Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Tìm tập xác định hàm số a) u x y b) u x y 2 Tìm giới hạn hàm số x2 y2 a) u ( x; y ) (0;0) x y2 xy c) u 2 x y e) u ( x y ) x c) u x y xy b) u ( x; y ) (0;0) x y4 x ( x; y ) (; ) 2 y d) u ln xy d) u ( x y ) sin ( x, y ) (0;0) f) u ( x; y ) (0;0) xy ln( x e y ) ( x, y ) (0;0) x2 y sin xy h) u ( x, y ) (0;3) x g) u ( x y ) ( x y ) ( x; y ) (; ) Xét tính liên tục hàm số x2 y ( x, y ) (0, 0) b) u x y 0 ( x, y ) (0, 0) x 21y xy a) u e 0 xy Tính đạo hàm riêng hàm số a) u ln( x x y ) b) u x y Tính đạo hàm riêng hàm số O(0;0) x3 y3 ( x; y ) (0; 0) a) u x y 0 ( x; y ) (0; 0) Tìm vi phân toàn phần hàm số a) u x y 3xyz b) u d) u e cos c) u e xz x y x xy ( x y )e x y ( x; y ) (0; 0) b) u ( x; y ) (0;0) 0 xy x 3y c) u arcsin x y d) u ln( x y ) Kiểm tra xem hàm số u x3 y có khả vi O(0;0) hay không ? Sử dụng vi phân tồn phần để tính gần 1.01 a) ln( 1.03 0.981) b) arctan c) 1.023 1.973 0.99 Tính đạo hàm, đạo hàm riêng hàm ẩn xác định phương trình a) xe y ye x e xy b) ( x y ) x y y tính y '(0) biết y (0) d) xe x y e y ze z e) xe y yz ze xy điểm (1;1) 10 Tính đạo hàm riêng cấp hai a) u ln( x x y ) e) u arctan( x y ) b) u x ln( x y ) c) u e x ln y sin y.ln x c) x y z e z d) u x y xy x2 y2 '' '' ( x, y ) (0;0) f (0;0) Tính đạo hàm riêng f xy (0; 0) f yx (0; 0) Chỉ 2 x y '' '' f xy (0; 0) f yx (0; 0) 12 Tính vi phân cấp hai hàm số 11 Cho f ( x, y ) xy a) u x 3xy y b) u x y z , chứng minh d 2u c) u x y z xy xz điểm M (1;1;1) , tìm ma trận dạng tồn phương d u ( M ) với biến dx, dy , dz 13 Khai triển hàm số thành chuỗi Maclaurin đến vi phân cấp ba a) u e x sin y b) y ln(1 x y ) c) u sin( x y ) 14 Chứng minh a) y.z 'x x.z ' y với z f ( x y ) f (t ) hàm khả vi ( xy ) c) z "xx z " yy với z ln( x y ) x y d) z "xx z "yy ( z "xy ) với z y f ( x / y ) f (t ) có đạo hàm cấp hai liên tục b) x.z "xx y.z "xy z ' x với z 15 Tìm hàm z z ( x, y ) thỏa mãn a) z 'x ye xy , z ' y xe xy , z (0;1) b) z 'x x xy 3, z ' y y x y c) z "xx 12 x y 2, z ' y x 30 xy , z (0; 0) 1, z (1;1) 2 16 Tính đạo theo hướng vector v điểm M a) u x y , M (1;1), v (3; 4) b) u xy z , M (1; 2;3), v (1; 2; 5) 17 Tìm cực trị hàm số a) u x3 xy 30 x 18 y b) u 4( x y ) x y c) u x y xe y d) u x3 xy 15 x 12 y e) u x y x xy y f) u xy ln( x y ) g) u x xy y x y h) u x x y (1 x ) i) u x3 y 3xy 4 2 j) u x y 3( x y ) k) u x y 3z x y z l) u x y z 12 y z m) u x3 y z 12 xy z 18 Tìm cực trị có điều kiện hàm số a) u x y với x y b) u x y với xy y c) u x 12 xy y với x y 25 d) u x y y với x y xy x y e) u cos x cos y với x y f) u x y z z xy x2 y2 z2 x2 y 2 g) u x y z với z 1 h) u xyz với x y z 19 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số miền tương ứng x2 y2 a) u x y miền x y 25 b) u x y miền 1 c) u x y xy xy miền x 4, y 2 d) u 3xy x y miền D ( x, y ) : x y 9 e) u x xy y x miền x y f) u x xy y miền x y f) u x y z miền x y z 20 Viết phương trình tiếp tuyến đường cong a) y xy y x3 12 điểm M (1; 2) b) x ( x y )e x y điểm M (0;1) c) x 2t , y 3t , z et 1 điểm M (2;3;1) , viết phương trình tiếp tuyến pháp diện 21 Tìm tiếp diện pháp tuyến mặt cong a) x y z điểm M (1;1; 2) b) xy z điểm M (1;1;1) Chương TÍCH PHÂN BỘI Tính tích phân a I ( x xy )dxdy với D giới hạn y x, y x, x (Đs I 10 ) D b I xydxdy với D giới hạn x y 0, x y (Đs I 90 ) D c I D xy dxdy với D tam giác có đỉnh O(0,0), A(3,3), B(3,0) x y2 (Đs I d I cos( x y ) dxdy với D xác định D 0 x , y x ln ) (Đs I ) D e I D x2 x dxdy với D giới hạn y , y x x2 y (Đs I ln ) f I ( x y )dxdy với D giới hạn y x , x y (Đs I D 33 ) 140 Đổi thứ tự lấy tích phân a I dy f ( x, y )dy c dy f ( x, y )dy (Đs I dy 2 f ( x, y )dx 1 x 1 1 y y2 (Đs I dx 3 x dx f ( x, y)dy dx 1 1 y f ( x, y )dx 1 0 x x2 1 y 2x (Đs I dx f ( x, y )dx y2 2x b I dx 3 y 1 dy f ( x, y )dx ) y2 1 f ( x, y )dy ) 1 x f ( x, y )dy dx f ( x, y )dy ) 0 Đổi biến để tính tích phân a I dxdy với D giới hạn y x, y x, y x 1, y x (Đ/s I D b I xdxdy với D xác định x y x 3, 2 x y 2 x ) (ĐS I ) D 20 ) (Đs I ) (Đs I ln 1 ) c I ( x y )3 ( x y )2 dxdy với D giới hạn x y 1, x y 1, x y 3, x y 1 D d I (4 x x y )dxdy với D giới hạn x y x D e I ln(1 x y )dxdy với D xác định x y 1, x y D f I (4 x y )e4 x y2 dxdy với D xác định x y D (Đs I g I xydxdy với D nửa hình trịn ( x 2) y (Đs I D h I D dxdy 4 x y 32 ) 3 (Đs I ) với D xác định x y y, x y y2 k I xy x y dxdy với D xác định x y x x D (Đs I l I ( x 1) sin x y dxdy với D xác định x y 4 (Đs I 6 ) 4 ) 12 D m I x y dxdy với D miền giới hạn D x2 y2 a2 i) ,a 2 x y 4a (Đs I ii) Đường hai cánh r a sin 2 , a 4a (Đs I ) n I sin x y 14 a3 ) 2 dxdy với D giới hạn x y , x y 2 2 x2 y Tính diện tích hình phẳng giới hạn a y x, y x x D (b a ) ) 3 a c r a (1 cos ), a (Đs S ) 3 d r 2a cos 2 , r a ứng với phần r a (Đs S a ) e y nhịp đường cycloid x a (t sin t ), y a (1 cos t ), t 2 , a (Đs S 3 a ) f ( x y )2 a ( x y ) a (Đs S a ) 3 a g x 2/3 y 2/3 a 2/3 a (Đs S ) h r a sin 2 a0 Tính diện tích phần mặt: x2 y 2 2 a z x y nằm mặt trụ x y b z nằm mặt z a b 2 2 x y x y c z nằm mặt với a, b a b a b 2 2 d x y z a nằm mặt ( x y )2 a ( x y ) a e z x y nằm hình trụ x y Tính thể tích a Phần hình nón z x y nằm mặt trụ x y b r a cos , r b cos , b a (Đs S b.Vật thể giới hạn hai mặt x y z z , x y z lấy phần z x y (Đs V ) c Vật thể giới hạn x y z a mặt ( x y )2 a ( x y ) Xác định trọng tâm phẳng đồng chất giới hạn đường x2 y2 x y 2 a y x y 2 x b 1 25 c y x x y d x a (1 cos ) Tính tích phân a0 với V giới hạn x y z , z (Đs I 4 ) 21 với V giới hạn z 0, z y , y x , y a I x y zdxdydz (Đs I ) 189 (Đs I 4 a 3bc ) 15 V b I xy zdxdydz V c I x dxdydz với V giới hạn V x2 y z2 1 a2 b2 c với V giới hạn x y z , z d I | xyz | dxdydz (Đs I 32 ) V e I z dxdydz với V xác định x y z 4, x y z z (Đs I V f I x y dxdydz V g I zdxdydz V h I z x y dxdydz 2 ) 16 43 với V xác định x , x y x, z x y ( I ) 3072 với V xác định x y z 1, x y z , z (Đs I 16a ) (Đs I ) 10 với V giới hạn x y x, z 0, z a (Đs I V i I x y z dxdydz với V miền x y z x V j I ( x y )dxdydz với V giới hạn x y z , z (Đs I V 2 k I x z dxdydz 59 ) 15 2 với V giới hạn y x z , y x z V 16 ) 2 (I ) 16 l I ( x y z )dxdydz với V giới hạn 3( x y ) z 3a , a V m I V 1 x y z dxdydz với V miền x y z 2 2 n I ( x y )dxdydz 2 với V miền a x y z b , z (Đs I 4 (b a ) ) 15 (Đs I ) 10 V o I x y dxdydz với V giới hạn z x y , z a, a V p I x y z dxdydz với V giới hạn x y z z V x2 y2 z2 q I ( x y z )dxdydz với V miền 1 a2 3a V 2 với V miền x y z r I z dxdydz (Đs I V 128 ) 15 s I ( xy yz xz )dxdydz với V miền x y z V với V giới hạn y x z , y a t I ydxdydz V Hãy tính tích phân sau cách chuyển sang x x2 a I dx 0 8a dy z x y dz hệ tọa độ trụ (Đ/s I ) 1 x b I dx a 2 x2 y2 dy z dz hệ tọa độ cầu x2 y 10 Tính thể tích vật thể giới hạn z x2 y2 b z 2( x y ) 2 x y 2x x y y a 2 x y z x2 y2 z2 x y z 3 2 c x y z d x y z 1 x y z 2 2 x y z , z 11 Xác định trọng tâm vật thể đồng chất giới hạn a x y 2az , x y z 3a , z 0, a b x y 1, z x y , x 0, y 0, z Chương3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT Tính tích phân đường loại I x2 y a) I xyd với : a b x2 y z2 a2 y2 b) I x d J x d với : x y z x2 y z2 a2 c) I ( x y )d với : x y z t2 t3 d) I yd với C đường cong x t , y , z , t C e) I xyd với C cung elip C x2 y nằm góc x, y a b2 f) I xyd với C đường cong x a cos t , y b sin t , z ct , t C Tính khối lượng đường cong x x a a e e a , x a biết khối lượng riêng ( x, y ) 2 y a) y b) x a cos t , y a sin t , z bt , t 2 biết khối lượng riêng ( x, y, z ) z Tìm chiều dài trọng tâm đường đồng chất a) x a (t sin t ), y a(1 cos t ),0 t 2 b) x a cos t , y b sin t , z ct , t Tính tích phân đường loại II a) I ( x xy )dx ( y xy )dy với đường y x nối A(1;1) B(1;1) b) I ( x y )dx ( x y )dy với đường elip (2;3) c) I (2;3) xdy ydx d) I ( 1;3) e) I ( 1;3) ( xy 1)dx x ydy AB đường x x2 y2 , lấy hướng dương a2 b2 AB xdx ydy x2 y2 y2 nối A(1;0) B(0;2) f) I ( xy x y )dx ( xy x y )dy với C: x y x Tính trực tiếp sử dụng công thức Green C g) I x dx y dy với AB đường tròn x y x nối A(0;0) B(2;0) AB h) I 2( x y )dx ( x y ) dy với tam giác ABC A(1;1), B(2; 2), C (1;3) i) I ( x y cos xy )dx ( AB x3 xy x x cos xy )dy với AB cung tròn x y A(2;0), B(2;0) j) I ( x 1) ( y 1) 1 x y dx y xy ln x x y dy k) I x3 ( xy x y cos xy )dx xy x x cos xy dy 2 x y 1 l) I x2 ( xy 3x y )dx y x dy 2 x y2 4 m) I ( xy x y )dx ( xy x y )dy x y 4 x n) I ( x y )dx xy dy x2 y 1 a2 b2 n’) C xdy ydx với C đường cong kín đơn khơng qua O(0;0) x2 y2 ( 2;0) o) I e x y (1 x y )dx (1 x y )dy (2;0) p) I xy dx yz dy zx dz C đoạn thẳng nối O (0;0), B(2; 4;5) C x y z 45 q) Vẫn tính tích phân p) với C đường trịn khơng gian cho 2 x y x2 y2 z2 r) I zdx xdy ydz C đường C x z s) I ( y z )dx ( z x )dy ( x y )dz với C giao tuyến mặt x y z y C 2 x y y, z Tích phân lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía z x2 y2 z2 t) I ( y z )dx ( z x)dy ( x y )dz với C giao tuyến mặt Tích phân x y z C lấy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía x x2 y2 u) I 3 ydx 3dy zdz với C đường trịn Tích phân lấy theo chiều ngược chiều z C kim đồng hồ nhìn từ phía z x2 y2 z2 v) i x dx y dy z dz với C đường cong Tích phân lấy theo chiều ngược z y C chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ O Tính tích phân mặt loại I 4y x y z a) I ( z x )ds S mặt với x, y, z 3 S b) I yds S mặt z x y với x 1, y S c) I ( x y )ds S mặt z x y với z S d) I ( x y z )ds với S phần mặt x y z nằm góc x, y, z S e) I x y 1ds với S phần mặt y z 16 cắt x 0, x 1, z S Tìm khối lượng trọng tâm mặt z x y , z khối lượng riêng ( x, y, z ) z Tính tích phân mặt loại II a) I xyzdxdy S phía ngồi mặt cầu x y z 1; x, y S b) I xdydz dzdx xz dxdy S phía mặt cầu x y z 1; x, y , z S c) I x dydz y dzdx z dxdy S phía ngồi mặt cầu x y z S d) Tính tích phân c) với S phía ngồi mặt nón z x y , z e) I xdydz ydzdx zdxdy với S phía ngồi mặt paraboloid z x y , z S f) I xzdydz yzdzdx dxdy với S phía ngồi chỏm cầu x y z 25 cắt z S g) I xdydz ydzdx zdxdy S phía ngồi mặt cầu x y z S h) I x dydz y 3dzdx z 3dxdy S phía ngồi mặt cầu x y z S i) I xzdydz yx dzdx zy dxdy S phía ngồi mặt x y 9, z 0, z S k) I ( y z )dydz ( z x)dzdx ( x y )dxdy S phía ngồi mặt x S Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN x(1 y )2 dx y (1 x ) dy y 'cos y sin y 1 y ' xy y ' cos( x y ) x y dx y x dy 0, y (0) ( x 1) y ' y 4, y (1) sin x cos x y ' y2 x y ' ( y ')3 ( y x)dx ( x y )dy y2 10 y ' x y 1 x y 1 11 y ' x y3 12 xdy ydx x y dx 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 y ' xy xe x (1 x ) y ' xy (1 x )3 (1 x ) y ' xy 1, y (0) ( x y 1)dx ( x y 3)dy xy ' y 2 x y y' y ( y ') e ( y ')3 y yy ' y x( y ')2 ( y ')3 xy ' x 2e y yy ' xy x3 x y " e y" y " y" y 10 y2 z2 , x 25 26 27 28 29 30 31 32 33 y " yy " ( y ') yy " ( y ')2 y 2ln y yy " ( y ')4 ( y ')2 ( y ") xy " y ' sin x y " y ' y biết nghiệm riêng y x x y " y ' y x y " y ' y e x e x y " y x sin x y " y sin x 34 y " y x 2e x 35 Lập phương trình tuyến tính cấp hai nhận y1 x, y2 x làm hệ nghiệm 36 Lập phương trình tuyến tính cấp hai nhận y1 sin x, y2 cos x làm hệ nghiệm y ' y 2z 37 z ' y z y ' z 1 38 z ' y y ' 2y z 39 z ' y 2z y ' 2y z 40 z y ' y 2z y ' y z 41 y ' y 3z y2 y' z 42 z ' y y ' z 43 z2 z' y x y ' y z 2e 44 x z ' y z 4e y ' y z x 45 z ' y 5z 11 BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ Xét tính liên tục hàm số x2 ( x2 y ) x y 4 a) f x, y x y m x y b) x2 sin cos 21y x f x , y e 1 c) x2 y2 sin x y2 f x, y d) e) x, y x y x y x y x2 y2 x, y (0, 0) f x, y x y x y x, y (0, 0) 2 x y x y sin 2 x y f x, y x y Tìm cực trị hàm số a) u x y x y x y2 z2 b) u 2x y z x, y , z c) u x y z 3x y d) u 3x y x y e) u arctan x y y f) u x y z x y z Tìm cực trị có điều kiện hàm số y2 z2 x y 1 b) u x, y, z x y z với điều kiện z xy a) u x y z với điều kiện x x2 y2 c) u xy yz với điều kiện x, y , z y z y2 d) u x y z với điều kiện x z2 4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số a) u x y xy xy miền đóng x 1, y 12 b) u x y x y miền D: x 0, y 0, x y c) u x y 12 x 16 y miền D {(x,y): x y 36} Tính vi phân, đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến, đạo hàm hàm ẩn a) Cho z hàm ẩn xác định z ye x / z Tính dz 0; 1 b) Cho u ln x y z điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm u điểm A theo U A hướng AB Tìm giá trị lớn u c) u x sin(3 yz ) Xác định Grad u M (1;1; 0) với i j 2k d) z z ( x, y ) hàm ẩn hai biến xác định hệ thức: yz e z xe y Tính dz 1;0 Áp dụng tính gần z 0,95;0, 05 e) y = y(x) hàm số ẩn xác định từ biểu thức: x3 y xy Tính d y điểm x 27 Tính tích phân bội x2 y z2 a) ze dxdydz với V xác định 2 V z x y b) ( x y )3 ( x y ) dxdy với D miền x2 y giới hạn D x y 1, x y 3, x y 1, x y 2x c) dxdy D miền x y 4, x 0, y 2 4 x y D x2 y2 d) xyzdxdydz với V miền z2 V e) x y z dxdydz , V miền x y z 1, x, y, z V f) z x y dxdydz V miền giới hạn mặt trụ x y x, z V Tính thể tích vật thể giới hạn mặt a) z x y z b) x y z xyz nằm góc x, y, z c) z x y , y z d) ( x y z )2 z ( x y ) nằm góc x, y, z e) z x y , z x y f) ( x 2)2 y 4, x y z 16 g) x y x z Tính diện tích a) Hình phẳng giới hạn đường cong ( x y )2 x 13 đường thẳng x2 y b) Hình phẳng giới hạn đường cong xy ( x 0, y 0) c) Hình phẳng giới hạn đường cong x y x y d) Mặt paraboloid z x y nằm mặt trụ x y e) Mặt cầu x y z nằm mặt trụ x y 3x Tính tích phân đường, tích phân mặt a) ( x y )ds với nửa phía trục hồnh cung trịn x y AB AB b) y z dydz z x dzdx x y dxdy với S mặt mặt nón x y z z có pháp S tuyến hướng phía ngồi 2 2 2 c) x dydz y dzdx z dxdy với S mặt nón x y z z 1 có pháp tuyến hướng phía S ngồi d) y z dx z x dy x y dz C đường x y , C x z chiều lấy tích phân ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz 2 e) xdydz ydzdx zdxdy với S mặt hình trụ x y 4, z có pháp tuyến hướng S phía 2 x y x y f) x 1 e dx xe dy với OA cung x y x y 0 theo chiều từ O(0,0) đến A(2,0) OA g) x y z dydz với S biên miền V : x y z , x có pháp tuyến hướng phía S 2 2 h) -x y x y dx xy x y dy với OA nửa cung tròn x y y, x chiều từ OA O(0,0) đến A(0,2) 2 2 2 i) I x y dx y xy ln( x x y dy L đường trịn x y lấy L theo chiều dương x y dx x y dy với C đường trịn bán kính R bao quanh gốc tọa độ Trong trường j) x2 y2 C hợp có áp dụng cơng thức Green khơng? 2 k) Tìm điều kiện m để tích phân đường (3 x y )dx (mxy y 4)dy không phụ thuộc vào AB đường cong nối A(1;3) B (2; 4) Hãy tính tích phân 10 Giải phương trình, hệ phương trình vi phân a) y y y 4 xe x b) y y y x 1 e2 x c) y " y ' y x 14 d) y " y ' y e x e x e) y " y x sin x f) y " y sin x g) y " y x 2e x h) y y y e x x 3 i) j) với y 1, y 1 ex y y y xe3 x y y x x y y ' x y x x y l) y x y y ' 2y z m) z ' y 2z y ' 2y z n) z ' y 2z y ' y z o) z ' y 3z k) ln x y x x q) xy y x sin x p) y ' r) 1 x y dx x y x dy s) (1 x ) y ' xy (1 x )3 (1 x ) y ' xy 1, y (0) t) 2 u) (1 x y )dx x ( y x)dy y y v) y x sin x y sin x x w) sin y x dx x sin ydy cách nhân thêm thừa số tích phân x2 y với điều kiện y 1 x x y) xy y xy e phép đổi biến z x y z) x y " xy ' y x phép đổi biến x et x) xy y x sin Chúc em ngày tiến bộ, học tập đạt kết cao! 15 ...Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN Tìm tập xác định hàm số a) u x y b) u x y 2 Tìm giới hạn hàm số x2 y2 a) u ( x; y ) (0;0) x y2 xy c)... tục hàm số x2 y ( x, y ) (0, 0) b) u x y 0 ( x, y ) (0, 0) x 21y xy a) u e 0 xy Tính đạo hàm riêng hàm số a) u ln( x x y ) b) u x y Tính đạo hàm riêng hàm. .. đạo hàm theo hướng hàm nhiều biến, đạo hàm hàm ẩn a) Cho z hàm ẩn xác định z ye x / z Tính dz 0; 1 b) Cho u ln x y z điểm A 1;1; 1 , B(0;3;1) Tính đạo hàm u điểm A theo