Xác định các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z 1... Tìm miền giá trị của các hàm 1.. Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm 1... Chứng tỏ rằng các hàm số sau liên tụ
Trang 1BÀI TẬP CHƯƠNG I 1.1 Thực hiện các phép tính
1 (5−6 )i +(2+4 )i 2 (2−3 )(4i + 3 i) 2 3
(1+i) (1−i) 4 2 3
5 4
i i
+ +
5 (3 2 )(1 2 )
4 3
i
(1 )(1 2 ) (2 )(4 3 )
3 2
i
3 (1 ) (2 )(1 2 )
i
+
9 (1+2 )i 5 10
25
2
i i
+
−
9 8
(1 ) ( 2)
i i
+
12 ( 7 +i 3) ( 73 −i 3)2
13 − +3 4i 14 5−12i 15 2i 16 − −1 2 2i
1.2 Viết số phức dưới dạng lượng giác và dạng mũ
1 4 2 3i 3 − 4 2 2i 2i − +
5 − 6−i 2 6 2 3 + 7 2i − 2+ 5i 8 12− 5i
1.3 Viết dưới dạng mũ
1 A=(2−2 )(3i +3 3 )i 2 B =(4+4 )( 1i − + 3 i)
1
i C
i
−
= + 4
i D
i
+
=
− +
1.4 Tìm modul của các số phức
1 2
3 4
i
i
− 2 (1−i 3)( 3+ 3 i)
(2−3 ) (3i +i)
4
3 2
(3 4 )
i
i
+
+
1 i +1 i +1 2i
1.5 Giải các phương trình
1 z −2z + −5 6i = 2 0 z2 =4z 3 2
2
1 3
i
i
−
+
4 | |z − = + 5 z 3 i 2
| |z + +1 6i =2z
1.6 Chứng minh với mọi số phức z z, 1,z 2
1 |− =z | | |z 2 | |z =| |z 3 | |z 2 = z z
4 |z1 +z2 |≤|z1 |+|z2 | 5 |z1 |−|z2 | ≤|z1−z2 |
1.7 Chứng minh rằng
1 Nếu | |z =1 thì 2≤|z3−3 |≤4 2 Nếu | |z =2 thì |z + +6 8 |i ≤12
1.8 Cho
1
z i w
iz
+
=
+ Chứng minh rằng nếu Im( )z ≤ thì 0 |w |≤1
Trang 21.9 Chứng minh rằng nếu ( )n
1.10 Chứng minh rằng ( ) 0 1 2 2 n 0
n
f z =a +a z +a z + +a z = , nếu ( )f z = , với 0 a k ∈ℝ (k =0, 1, , )n
1.11 Bằng cách xét tích của 1
1
2i + và 1
1
3i
arctan arctan
π
1.12 Biểu diễn qua lũy thừa của cos , sinx x
1 cos 2 , sin 2x x 2 cos 3 , sin 3x x 3 cos 4 , sin 4x x
1.13 Tính các số phức
1 (1−i 3)3 2 4− 3 1 5
(− 3−i)− 4 (− 2 +i 6)4
5 (2−2 )i 5 6 (1+i 3)−7 7
1 2 (1+i) 8 ( 3+i)−6
9
4
1
( 3−i) 10
1 3 ( )− 11 i 3
13
10
5
1 1
i i
+
−
4
1
i i
( 1− +i) ( 3 +i)−
17
4 3
(2 2 )
i
i
−
10
i i
−
1.14 Tính và viết dưới dạng mũ
1 3− +2 2i 2 4 3+i 3 5− +4 3i
1.15 Giải phương trình trong ℂ
1 x8 −16= 2 0 3
1.16 Cho biểu thức 1 3
1
i A
i
+
=
−
1 Viết biểu thức trên dưới dạng A= +x iy
2 Viết dạng mũ của 1+i 3 và 1− Suy ra dạng lượng giác củaA , từ đó tính i cos7
12
π
sin 12
π
1.17 Tính lần lượt căn bậc 2, 3, 4, 5, 6 của số phức 1 và biểu diễn các giá trị đó trên đường tròn lượng giác
1.18 Các giá trị của n1
cos sin , 0, 1, , 1
k
1 Tính tổng w0 +w1+ + w n−1
2 Chứng minh rằng w k và w n k− (k =1, ,n−1) là cặp số phức liên hợp và nghịch đảo của nhau
Trang 33 Tính 1 1
k n k
w +w − , k =1, , n−1
4 Tính 1 1
1 w k +1 w n k−
1.19 Xác định các điểm trong mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức z
1 Re( )z =Im( )z 2 | |z < 3 3 |z − +1 i|≤1
4 Re(z − = 5 Re( ) Im( ) 1i) 2 z + z < 6 | 2z −i|=4
7 0<Re( )iz < 8 Im(1 z − ≥ 9 i) 3 |z −i|=|z−1 |
10 z =| |z 11 Im( )z2 = 12 2 | |z =Re( )z
13 arg z = − 14 z |z−1 |+|z +1 |=4 15 arg
3
z = π
16 arg( 1)
4
z − = π 17 |z−i|+|z +i|<6 18 arg
< <
1.20 Xác định đường cong C cho bởi phương trình
1 z = −2t2 +it, 0< < +∞t 2 z =3t−2 ,it − ≤ <1 t 2
3 z t i, 0 t
t
= − < < ∞ 4 2 4
,
z =t +it − ∞ < < ∞t
, 1
it
= − ∞ < < ∞
3 3(cos sin ),
z = t+i t π < <t π
7 z =cost +2 sin , 0i t < <t π 8 2 sin2 i sin ,
t
z = + t −π < < t π
9 z = − +t i 1−t2, − ≤ ≤1 t 0 10 2( it),
z = t + −i ie− − ∞ < < ∞t
………
BÀI TẬP CHƯƠNG II
2.1 Tính giá trị của hàm tại điểm z0
1 f z( )= −z 3 Im( )z
a) z0 =1 b) z0 = −2i c) z0 = −1 2i
2 f z( )=z z2 − 2i
a) z0 =2i b) z0 = +1 i c) z0 = −3 2i
3 f z( )=| |z 2 −2 Re( )iz +z
a) z0 = −3 4i b) z0 = +1 2i
2.2 Tìm phần thực và phần ảo của các hàm
1 f z( )=5z −3i+ 2 ( )4 f z = −2z +3z − 3 i 2
f z =z − −i z
4 f z( )=| | 2 Im( )z − iz 5 ( )
1
z
f z
z
=
1 ( )
z
= −
Trang 42.3 Biết z =re i ϕ, tìm phần thực và phần ảo của các hàm theo r ϕ,
1 f z( )= 2 z f z( )=| |z 3 f z( )=z4
4 f z( )=x2 +y2− 5 iy f z( ) z 1
z
( ) Re( )
2.4 Tìm miền giá trị của các hàm
1 f z( )= xác định trong nửa mặt phẳng trên Im( )z z > 0
2 f z( )=Im( )z xác định trong hình tròn đóng | |z ≤2
3 f z( )=| |z xác định trong hình vuông 0≤Re( )z ≤ , 01 ≤Im( )z ≤ 1
2.5 Tìm miền xác định và miền giá trị của các hàm
1 f z( ) z
z
z z
+
=
−
2.6 Tìm ảnh B của tập A qua phép biến hình w = f z( )
1 f z( )= ; z
a) A là đường thẳng y = b) A là đường thẳng y3 = x
2 f z( )=(1+i z)
a) A là đường thẳng x = b) A là đường thẳng 2 y =2x + 1
3 f z( )=2z
a) A là nửa mặt phẳng trên Im( )z > b) 1 A={z ∈ℂ: 0<Re( )z <1}
4 f z( )=iz
a) A là đường tròn |z −1 |=2 b) A={z ∈ℂ:− <1 Im( )z <0}
2.7 Tìm ảnh qua phép biến hình w =z2
1 đường thẳng x = 2 đường thẳng 1 y = − 3 tập 2 : 0 arg
4
ℂ
2.8 Tìm ảnh qua phép biến hình 1
w z
=
1 đường thẳng y= 2 đường thẳng x x = 3 đoạn thẳng từ điểm 1 i1 − đến điểm 2 2i−
4 đường tròn | |z =2 5 đường tròn |z −1 |=1 6 tậpA={z ∈ℂ: 1<Re( )z <2}
2.9 Tìm giới hạn của các hàm số
1 2
2
z i z z
1
z i z iz
1
lim
z i
→ +
−
Im( ) lim
Re( )
z i
z
2.10 Chứng minh
1
0
lim
z z c c
→ = (c ∈ ℂ ) 2
lim
z z z z
→ = 3
0
1 lim
z→ z = ∞ 4 lim1 0
z→∞z =
Trang 52.11 Sử dụng kết quả bài 2.10, tìm các giới hạn
1 2
2
lim ( )
z i z z
→ + − 2 5
z i z z
→ − + 3
4
1 lim
z i
z
→−
− +
4
2
2
1
1 lim
1
z i
z
z
→ −
+
2
2
2 lim
(1 2 )
z
i z
→∞
+ −
1 lim 2
z
iz
z i
→∞
+
−
2.12 Xét xem các hàm số sau có giới hạn khi z → hay không? 0
1 Re( )
( )
Im( )
z
f z
z
z
=
2.13 Chứng tỏ rằng các hàm số sau liên tục tại z0
1 f z( )=z2 − + − ; iz 3 2i z0 = −2 i 2 f z( )= −z 3 Re( )z + ; i z0 = −3 2i
3
3 1 , | | 1
z
z
z
−
= −
; z0 =1
2.14 Xét tính liên tục của các hàm số
1 f z( )= 2 z 2
( ) Im( )
2.15 Xét tính khả vi của hàm f z và tính đạo hàm (nếu có) ( )
1 f z( )= 2 z 2
( ) ( )
f z = z 3.f z( )=z Im( )z 4 f z( )=z z
5 f z( )=Re( )z2 6 ( ) |z 1|2
f z =e − 7 f z( )=z5 + 8 z f z( )=| | z z
2.16 Chứng tỏ các hàm số sau không giải tích tại bất kỳ điểm nào trong mặt phẳng phức
1 f z( )=Re( )z 2 f z( )= +y ix 3 f z( )=2x2 + +y i y( 2 −x) 4 f z( )=4z −6z + 3
2.17 Các hàm số sau giải tích trong miền nào của mặt phẳng phức
1 f z( )=z2 2 f z( )=z Re( )z 3 f z( )=Im( )z2 4 f z( )=z2 +zz
2.18 Chứng minh rằng
1 Nếu f giải tích trong miền D và | ( ) |f z là hằng số trong D thì f cũng là hằng số trong D
2 Nếu f giải tích trong miền D và f z′( )=0 thì f là hằng số trong D
2.19 Cho z = +x iy =re i ϕ và f z( )=u x y( , )+iv x y( , )
=
1
= −
2.20 Tìm hàm giải tích f z( )= +u iv, biết
1 u = + 2 x y v = −x 2y 3 u =2xy+3x 4
y x
−
=
5 v =x3−3xy2 6 u arctany
x
v =e− y+ x − y
Trang 62.21 Tìm các hằng số a b c, , và d để các hàm sau giải tích
1 f z( )= +x ay+i bx( +cy) 2 f z( )=3x − +y i ax( +by− 3)
3 f z( )=x2 +axy +by2 +i cx( 2 +dxy+y2)
2.22 Tìm phần thực và phần ảo của các hàm số
1 f z( )=e− +3 4i 2.f z( )=cos(2+ 3 ( )i) f z =sin 2i 4 f z( )=sh(1−4 )i
2.23 Tính sin z , nếu ln(3 2 2)
2
2.24 Chứng minh
1 sin(x +iy)=sin chx y+icos shx y 2 cos(x +iy)=cos chx y +isin shx y
2.25 Giải phương trình
1 sinz = 2 cos2 z = 3 3 e z = 4 1 e z = − 1
………
BÀI TẬP CHƯƠNG III 3.1 Tính các tích phân
C
I = ∫ z + i dz , C có phương trình x =2 ,t y =4t−1, 1≤ ≤t 3
C
I = ∫ z −z dz , C có phương trình x = −t y, =t2 +2, 0≤ ≤t 2
3 | |2
C
t
4 Re( )
C
I = ∫ z dz , C là đường tròn | |z =1
5
C
I = ∫z dz , C là đường tròn | |z =1
6
2
3
C
z i
z i
3.2 Tính các tích phân
1 ( 2 3)
C
I = ∫ x +iy dz , C là đoạn thẳng
a) nối từ z = đến z1 = i
b) nối từ z = + đến z1 i = i
C
z
z
+
a) nửa phải đường tròn đơn vị từ z = − đến z i = i
b) nửa trái đường tròn đơn vị từ z = − đến z i = i
3 I = ∫ (x2 −iy dz2) , C có điểm đầu z = − và điểm cuối 1 z = , trong hai trường hợp sau 1
Trang 7a) C là nửa dưới đường tròn đơn vị
b) C là nửa trên đường tròn đơn vị
C
I = ∫e dz , với C là đường gấp khúc nối 0, 2, 1+iπ
5
C
I = ∫ zdz theo ellip
2 2 1 4
x y
+ = từ điểm z = đến điểm z2 = , chiều ngược kim đồng hồ i
C
z
= ∫ theo đường tròn | |z =1 từ điểm z = đến điểm 1 z = − , trong hai trường hợp 1
a) nửa mặt phẳng trên
b) nửa mặt phẳng dưới
7 Im( )
C
I =∫ z−i dz , với biên C gồm đường tròn | |z =1 từ z = đến z1 = và đoạn thẳng từ z i = i
đến z = 1
C
I = ∫ze dz , với C là biên của hình vuông có các đỉnh là z = , 0 z =1, z = +1 i và z = i
3.3 Tính tích phân ( )
C
I = ∫ f z dz , với C là biên của tam giác có các đỉnh là z =0,z =1 và z = + : 1 i
1 f z( )=Re( )z 2 f z( )=z2 3 f z( )=2z − 4 1 f z( )=z2
3.4 Tính tích phân ( 2 2)
C
I = ∫ z − +z dz , với C có điểm đầu z = , điểm cuối i z = , trong các trường hợp: 1
1 C là đường thẳng x + = 2 C là đường gấp khúc nối y 1 i, 1+i, 1
3 C là parabol y = − 4 C là đường tròn 1 x2 | |z =1 (chiều cùng kim đồng hồ)
3.5 Tính tích phân ( )2
C
I = ∫ z dz với C là đường nối từ điểm z = đến điểm 0 z = + trong trường hợp 1 i
1 C là đoạn thẳng 2 C là đường gấp khúc nối 0, 1, 1+ i
3.6 Tính tích phân | |
C
I = ∫ z dz , nếu C là
1 đoạn thẳng nối từ điểm z = − đến điểm z i = i
2 nửa trái đường tròn | |z =1 nối từ điểm z = − đến điểm z i = i
3 nửa phải đường tròn | |z =1 nối từ điểm z = − đến điểm z i = i
3.7 Tính tích phân
C
I = ∫ zdz từ z = đến z1 = , theo mỗi đường sau i
1 dọc theo trục Ox đến O , rồi dọc theo trục Oy đến i
2 dọc theo đường thẳng y = − 1 x
3 dọc theo đường thẳng đứng đến (1+ rồi dọc theo đường ngang đến i i)
3.8 Tính tích phân | |
C
I = ∫ z dz , với C là đường tròn |z−i|=1
Trang 83.9 Tính các tích phân
1
3
2
0
i
z dz
+
/2
i z i
e dz π
2
sin 2
i
z dz
π
π
+
∫
4
0
i
z
ze dz
1
0
sin
i
π
+
1
2
1
i
dz
∫
3.10 Tính các tích phân
1 cos
C
I = ∫ zdz, trong đó C ={( , ) :x y x =y2, 0≤ ≤y 1}
2
2
1
C
z
4
3
2
3
C
z
−
=
4 (1 2) 1
C
I = ∫ +z −dz , C là elip x2 +4y2 = 1
3.11 Tính các tích phân
1
2 2
C
z
=
−
2
2
1 9
C
z
=
+
: | 2 |
2
3
2 2
C
+ −
=
: | 5 |
2
4
2
2
C
z
+
=
− −
5
3
1
C
z z
=
−
6
3 ( 1)
z
C
e
z z
=
−
: | |
2
C z =
: | 1 |
2
C z − = d) C : | |z =2
3.12 Tính các tích phân
1
cos( )
C
iz
=
+
2
sin( / 2)
1
C
z
z
π
=
−
( 1)
z
C
e
z z
+
C
z
∫
5
1
, C : | 2 | 4
C
z z
−
5
cos 2
, C : | | 1
C
z
z
Trang 93.13 Tính các tích phân
2
sin
1
C
z
z
π
−
2
2
cos 1
C
z
z
=
−
∫ , C là biên của tam giác có các đỉnh z = , 0 z = − và 2 2i z = + 2 2i
3
2 2 4
C
z
z
=
+
∫ , C là biên của hình vuông có các đỉnh là z = − , 2 z = , 2 z = − +2 4i và z = +2 4i
4
iz
C
e
=
−
3.14 Cho t > và C là đường cong trơn, kín, bao quanh điểm 0 z = − 1
Chứng minh rằng:
2 3
1
zt
t C
π
−
= −
3.15 Cho C là nửa trên đường tròn | |z =R từ z = đến z R = − R
Chứng minh rằng:
imz
C
π
BÀI TẬP CHƯƠNG IV 4.1 Xác định xem các dãy sau, dãy nào hội tụ, dãy nào phân kỳ
1
2
in
(1 ) 1
n
n
n
n
+
1
2 arctan
n
4.2 Chứng tỏ các dãy sau hội tụ bằng cách sử dụng định lý 4.1
1 4 3
2
1 4
n
i
+
4.3 Tìm tổng của các chuỗi sau (nếu chuỗi hội tụ)
1
1 ( 1)
k
i
k k
∞
1
(1 )k k
i
∞
=
−
1
3 2
k
∞
=
+
4
1
1
1
4
2
k
k
i
−
∞
=
1 (1 )
k k k
i i
∞
−
1
∞
=
∑
4.4 Tìm bán kính và hình tròn hội tụ của các chuỗi
1
2 1
( )n
n
z i
n
∞
=
−
1 0
n n n
i
∞
+
=
−
−
1
( 1)
2
n
n n
n
n
∞
=
∑
4
2
(2 )!
( 1) ( !)
n
n
z n
∞
=
−
n n
z n
∞
=
2
n
∞
=
+
∑
Trang 104.5 Khai triển Taylor các hàm số sau trong lân cận điểm a và cho biết miền khai triển được
( )
1
f z
z
=
− , a =3i 2 ( )
z
f z = , a e =π i
( )
f z
z
= , a = 4 ( )1 f z =cosz, a = π/ 4
( )
2
f z
z
=
+ , a = − , a1 = 6 i
1 ( )
1
z
f z
z
−
= + , a = , 0 a = 1
4.6 Khai triển Taylor các hàm số sau trong lân cận điểm a và tìm bán kính hội tụ
1 ( )
( )( 2 )
i
f z
=
− − , a = 2 0 ( ) 2
z
f z
=
− − , a = ,0 a = 2
4.7 Khai triển Laurent các hàm số trong miền cho trước
1 cos
( ) z, | | 0
z
= > 2 f z( ) z sin5 z, | |z 0
z
−
1 ( ) z , | | 0
−
= > 4 ( ) 2 2, | 1 | 0
z
e
z
−
( ) sin , | | 0
z
1 2 ( ) z, | | 0
f z =z e z >
( 1)
z z
1
( 1)
z
+
4.8 Khai triển Laurent hàm số
2
1 ( )
( 1)
f z
z z
=
− trong các miền
1 0<| |z <1 2 | |z >1
4.9 Khai triển Laurent hàm số 1
( )
( 3)
f z
z z
=
− trong các miền
1 0<| |z <3 2 | |z >3 3 0<|z −3 |<3
4 |z −3 |>3 5 1<|z −4 |<4 6 1<|z +1 |<4
4.10 Khai triển Laurent hàm số ( )
( 1)( 2)
z
f z
= + − trong các miền
1 1<| |z <2 2 |z +1 |>2 3 0<|z +1 |<3 4 0<|z −2 |<3
4.11 Tìm và phân loại các điểm bất thường cô lập của các hàm số
1
3
2 ( )
( 1) ( 1)
z
f z
+
=
1 cos
f z
z
−
2 ( )
( 1)
f z
z
= +
4
1 ( ) z
5 2
( )
z
f z
z
=
1 ( ) cos
f z
z i
=
+
7
2
( )
z
f z
−
=
1 ( )
( 1)( 1)
z
f z
−
=
9
sin
f z
=
cos cos 2
f z
z
−
=
Trang 114.12 Tính thặng dư của các hàm sau tại các điểm bất thường cô lập
( )
z
f z
z
+
=
16
z
f z
z
=
1 ( ) 1
f z
z
=
2
1
−
5
3
cos
f z
z
4 3
( )
z
f z
z
=
1 ( )
f z
z z i
=
z
e
f z
z
=
−
9
1 ( )
f z
=
− 10
1 2
f z =z e 11
3
sin
f z
z
−
2
( ) ( 1)( 2)( 3)
f z
=
13 ( ) 2 2
( 1)
z
f z
z
=
cos ( )
z
f z
=
1 ( )
sin
f z
3
z
+
4.13 Sử dụng thặng dư tính các tích phân
C
=
: | |
2
C z = b) : | | 3
2
C z = c) C : | |z =3
2
2
1
C
z
+
=
−
∫ a) C : | |z =1 b) C : |z −2 |i =1 c) C : |z −2 |i =3
3 3 1/z2
C
I = ∫z e− dz a) C : | |z =5 b) C : |z +i|=2 c) C : |z −3 |=1
sin
C
= ∫ a) C : | |z =3 b) C : |z −2 |i =1 c) C : |z −2 |i =4
4
iz
C
e
=
−
∫ , C : |z −i|=2
6
1
C
z z
=
−
: | 2 |
2
C
z
=
8 22 3 1
C
z
z z
−
=
+
2
= và y= 1
9 4/(z 2)
C
I = ∫e − dz, C : |z −1 |=3
10
1
C
=
11
3 10
1
C
z z
=
−
12
6
1
C
z
z
=
+
4
y = −x
4.14 a) Sử dụng khai triển cơ bản chứng tỏ z = là không điểm cấp 2 của 1 cosz0 −
b) Từ kết quả câu a) suy ra z = là cực điểm cấp 2 của hàm ( )0
1 cos
z
e
f z
z
=
0 2
e
Trang 12Sử dụng khai triển của e và z 1−cos z và đồng nhất các hệ số từ
0 2
z z
= − + + +
để xác định c−2,c−1 và c0
c) Tính tích phân
1 cos
z
C
e
z
=
−
∫ , C : |z −i|= 2
4.15 Sử dụng thặng dư tính các tích phân
1
2
0
1
5 4 sin
t
π
=
+
0 5 3 cos
dt I
t
π
=
−
2
0
cos
t
t
π
=
+
4
2
0
sin
t
t
π
=
−
2 0
1
t
π
= +
0
cos
t
t
π
=
−
∫
7
2
0
1
π
=
2
0
cos 2
t
t
π
=
−
∫
4.16 Chứng minh rằng
1
0
1
a
π
π
2
2 0
cos
t
π
π
+
∫
4.17 Sử dụng thặng dư tính các tích phân
1
2
1 16
x
+∞
−∞
=
+
2
1
+∞
−∞
=
2
1
+∞
−∞
=
∫
+∞
−∞
=
0
1
x
+∞
=
+
2
0 ( 1)
x
x
+∞
=
+
∫
7
1
x
+∞
−∞
=
+
2 4 0
1 1
x
x
+∞
+
=
+
6 0
1 1
x
+∞
=
+
10
2
x
+∞
−∞
=
2
cos 1
x
x
+∞
−∞
=
+
2
sin 2 1
x
+∞
−∞
=
+
∫
13
2
sin
x
+∞
−∞
=
0
cos
x
x
+∞
=
+
4 0
cos 2 1
x
x
+∞
=
+
∫
16
4 0
sin 1
x
+∞
=
+
cos 4
x
+∞
−∞
=
0
sin 3
+∞
=
∫