20 đề ôn thi HK2 lớp 11 có đáp án chính xác

1 Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.. Theo chương trình Nâng cao Bài 5b: Cho f x sin3x cosx 3 sinx cos3x a Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến

Đề 1

I Phần chung cho cả hai ban

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

1)

x

x x x

2 1



2) Cho hàm số y x

x

11







a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y x 2

2



Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2.

1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông.

8lim

Đề 2

I Phần chung cho cả hai ban.

Bài 1 Tìm các giới hạn sau:

5

lim5

1 1lim



 

.

2) Cho hàm số y x 4 x23 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

a) Tại điểm có tung độ bằng 3

Bài 6a Cho ysin 2x 2 cosx Giải phương trình y/= 0

2 Theo chương trình nâng cao

Bài 5b Cho y 2x x 2 Chứng minh rằng: y y3 // 1 0.

Bài 6b Cho f( x ) = f x x

x

x3

64 60( )   3 16 Giải phương trình f x( ) 0 .

2

2 2lim

7 3



 

 4)

f x

ax khi x 2

2( )

14

Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2.

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình x5 3x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5).

Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:

Bài 7 Cho hàm số ycos 22 x.

2

2lim

Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1.

Bài 3 Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x31000x0,1 0

Bài 4 Tìm đạo hàm các hàm số sau:





 4) ysin(cos )x

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a.

1) Chứng minh (SAC) ( SBD); (SCD) ( SAD)

2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y2sinxcosx tanx b) ysin(3x1) c)ycos(2x1) d) y 1 2 tan 4 x

Bài 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD600 và SA = SB = SD = a.

a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (ABCD).

b) Chứng minh tam giác SAC vuông.

c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

B PHẦN TỰ CHỌN:

1 Theo chương trình chuẩn

Bài 5a: Cho hàm số y f x ( ) 2 x3 6x1 (1)

a) Tínhf '( 5) .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm M o (0; 1)

c) Chứng minh phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

2 Theo chương trình Nâng cao

Bài 5b: Cho f x( ) sin3x cosx 3 sinx cos3x

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y22x2011

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng : y 1x 2011

a) Xét tính liên tục của hàm số khi m = 3

b) Với giá trị nào của m thì f(x) liên tục tại x = 2 ?

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình x5 3x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5)

Câu 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 5a: Cho tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC= a 2, I là trung điểm cạnh AC, AM là đường cao của SAB Trên đường

thẳng Ix vuông góc với mp(ABC) tại I, lấy điểm S sao cho IS = a.

a) Chứng minh AC  SB, SB  (AMC).

b) Xác định góc giữa đường thẳng SB và mp(ABC).

c) Xác định góc giữa đường thẳng SC và mp(AMC)

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Gọi O là tâm của đáy ABCD.

a) Chứng minh rằng (SAC)  (SBD), (SBD)  (ABCD).

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(ABCD) và từ điểm O đến mp(SBC).

c) Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC

2



Câu 3 (1 điểm): Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm trên [0; 1]: x35x 3 0 .

Câu 4 (1,5 điểm): Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y(x1)(2x 3) b) y 1 cos2 x

2

Câu 5 (2,5 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, BAD600, đường cao SO = a

a) Gọi K là hình chiếu của O lên BC Chứng minh rằng: BC (SOK)

b) Tính góc giữa SK và mp(ABCD)

c) Tính khoảng cách giữa AD và SB.

II PHẦN TỰ CHỌN

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 6a (1,5 điểm): Cho hàm số: y2x3 7x1 (C).

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k = –1.

Câu 7a (1,5 điểm): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA (ABC), SA= a M là một điểm trên cạnh AB,

ACM  , hạ SH CM.

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên đoạn AB.

b) Hạ AK  SH Tính SK và AH theo a và .

Câu 6b (1,5 điểm): Cho các đồ thị (P): y 1 x x2

2

   và (C): y 1 x x2 x3

a) Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với (C).

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của (P) và (C) tại tiếp điểm.

Câu 7b (1,5 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a; SA = SB = SC = SD = 5

5

1 2lim

4lim

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) tại điểm có hoành độ bằng 1.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và khoảng cách từ điểm D đến

đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.

II Phần tự chọn

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: 6x3 3x2 6x 2 0.

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

2 2 lim

8 lim

3 2 lim

Bài 2: Cho y x2  1 Giải bất phương trình: y y 2x21.

Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, AOB AOC  60 , 0 BOC  90 0

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông.

b) Chứng minh OA vuông góc BC.

c) Gọi I, J là trung điểm OA và BC Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung OA và BC.

Bài 4: Cho y f x ( )x3 3x22 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) biết tiếp tuyến song song với

d: y = 9x + 2011.

Bài 5: Cho f x x

x

2 1 ( )   Tính f( )n( )x , với n  2.

3 0

2 2

5 3lim

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi hàm số y x 3 tại điểm có hoành độ x0 1.

b) Tính đạo hàm của các hàm số sau:  y x 1x2 y(2 x2)cosx2 sinx x

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có SA  (ABCD) và ABCD là hình thang vuông tại A, B AB = BC = a, ADC45 ,0 SA a 2.

a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.

Câu 6a: Cho y x 3 3x22 Giải bất phương trình: y 3.

Câu 7a: Cho hình hộp ABCD.EFGH có AB a AD b AE c ,  , 

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 5b: a) Tính gần đúng giá trị của 4,04

b) Tính vi phân của hàm số y x cot2x

3 9 2 lim







2) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ytanx

3) Tính vi phân của ham số y = sinx.cosx

1) Chứng minh : BD SC SBD , ( ) (  SAC)

2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

3) Tính góc giữa SC và (ABCD)

II Phần tự chọn

1 Theo chương trình chuẩn

Câu 4a: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x  1

x tại giao điểm của nó với trục hoành

Câu 5a: Cho hàm số f x( ) 3 x 60 64  3 5

x x Giải phương trình f x( ) 0

Câu 6a: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a Tính  AB EG.

2 Theo chương trình nâng cao

Câu 4b: Tính vi phân và đạo hàm cấp hai của hàm số ysin 2 cos2x x

y x Với giá trị nào của x thì y x( )2

Câu 6b: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xác định đường vuông góc chung và tính

khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau BD và BC

9



 



Bài 2: Chứng minh phương trình x3 3x  có 3 nghiệm thuộc 1 0 2;2





 có đồ thị (H)

a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 1x 5

8

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với (ABCD) Gọi I,

K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD

a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x3 2mx2 x m  luôn có nghiệm với mọi m.0

Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.

Bài 5: Cho đường cong (C): y x 3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C):2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2

b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng y 1x 1

b) Chứng minh: SAD( ) ( SAB SCB), ( ) ( SCD)

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x2 3 10x 7 0 có ít nhất hai nghiệm

Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x3

2

  Gọi I là trung điểm BC

a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI)

a)

x

x x

Bài 2: Chứng minh rằng phương trình x4x3 3x2   có nghiệm thuộc ( 1;1)x 1 0 

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y x 2011 

a

4

  Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE

a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC)

5

1 2lim

4lim

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD = a và

khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a Gọi H là trung điểm BC, I là trung điểm AH.

1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.

2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC)

3) Tính khoảng cách giữa AD và BC

II Phần tự chọn

A Theo chương trình chuẩn

Bài 4a: Tính các giới hạn sau:

1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x6 3 3x2 6x  2 0

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a Tính chiều cao hình chóp.

B Theo chương trình nâng cao

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và SA = a 3

Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD) Thiết diên cắt bởi (P) và hình chóp là hình gì? Tínhdiện tích thiết diện đó

2lim

a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC)

b) Chứng minh (SAC)(SBC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC)

c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC) (O là trung điểm của AB)

d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC

1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: x2 310x 7

2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 300 Tính chiều cao hìnhchóp

B Theo chương trình Nâng cao

Bài 4b:

1) Cho f x( ) sin 2 x 2sinx 5 Giải phương trình f x( ) 0

2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân

Chứng minh rằng: (a2b b2)( 2c2) ( ab bc )2

Bài 5b:

1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm: (m21)x4 x3 1

2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.ABC, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a

2 Tính góc giữa 2mặt phẳng (ABC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC)

Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:

3

3lim

Tìm A để hàm số đã cho liên tục tại x = 5.

Câu 3: (1,5 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

x

2 2

b) Giả sử SA = a 3 và AB = a, tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

c) Gọi AM là đường cao của SAB, N là điểm thuộc cạnh SC Chứng minh: (AMN)  (SBC)

II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được chọn một trong hai phần.

Phần A: (theo chương trình chuẩn)

Câu 5a: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x5 3x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng(–2; 5)

   có đồ thị (C)

a) Tìm x sao cho y  0

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 0.

Phần B: (theo chương trình nâng cao)

Câu 5b: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình x2 3 6x  có ít nhát hai nghiệm.1 0

Câu 6b: (2 điểm) Cho hàm số y4x3 6x2 có đồ thị (C).1

1) Giải bất phương trình y 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:

x y 50 0  

Câu Vb: Dành cho học sinh học chương trình Nâng cao

1) Tìm 5 số hạng của một cấp số nhân gồm 5 số hạng, biết u  và 3 3 u 5 27.

2) Tìm a để phương trình f x( ) 0 , biết rằng f x( )a.cosx2sinx 3x1

b) Chứng minh rằng phương trình x33x2 4x 7 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–4; 0)

Câu III: (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, SA = SB = SC = SD =

2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SO Kẻ OP vuông góc với SA.

Câu IVa: Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn.

a) Cho hàm số f x( )x3 3x Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 2).4

b) Tìm đạo hàm của hàm số ysin2x

Câu IVb: Dành cho học sinh học theo chương trình nâng cao.

a) Cho hàm số f x( )x33x 4 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đó điqua điểm M(1; 0)

b) Tìm đạo hàm của hàm số ysin(cos(5x3 4x6)2011)

ĐÁP ÁN

ĐỀ 1 Bài 1

1)

x

x x x

2 1

 Hàm số không liên tục tại x = 3.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng ( ;3), (3;  ).

2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2x3 5x2  x 1 0.

 

+ Với x0 1 y00  PTTT: y 1x 1

 Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.

 BC  SA, BC  AB  BC  SB  SBC vuông tại B.

 CD  SA, CD  AD  CD  SD  SCD vuông tại D.

2) BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC).

3

   BSC600

4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

 Ta có: (SBD) ( ABCD)BD, SO  BD, AO  BD   (SBD ABCD),( )  SOA

 SAO vuông tại A  SOA SA

2 2 2

8lim

3)

x

x x

 PTTT: y2(x 1) 3  y2x1.

Bài 4:

1)  OA  OB, OA  OC  OA  BC (1)

 OBC cân tại O, I là trung điểm của BC  OI  BC (2)

Từ (1) và (2)  BC  (OAI)  (ABC)  (OAI) 2) Từ câu 1)  BC  (OAI)

3)  BC  (OAI)  AB AOI,( )  BAI

2

     AB AOI,( )3004) Gọi K là trung điểm của OC  IK // OB  AI OB,  AI IK,  AIK

A

B

C O

I

K

 AOK vuông tại O  AK2 OA2 OK2 5a2

Bài 6a: ysin 2x 2 cosx y2 cos2x2sinx

PT y' 0  2 cos2x2sinx 0 2sin2x sinx1 0

x x

1sin

x x

1 1

lim ( 1) 0lim (3 1) 2 0

f x

ax khi x 2

2( )

14

Mà BK  SC  SC  (BHK) 3) Từ câu 2), BH  (SAC)  BH  HK  BHK vuông tại H.

4) Vì SC  (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có: f x( )0 5  x x

x

2

2 0

K

0

60

 Với x02 y012  PTTT: y5x 22

Bài 7: ycos 22 x = 1 cos4x

2 21) y 2sin 4x  y"8cos4x y'" 32sin 4 x

x x

1 1

lim ( 1) 0lim (3 1) 2 0

Bài 5:

1)  BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC)

 CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  (DCS)  (SAD) 2)  Tìm góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD)

SA  (ABCD)   SD ABCD,( )  SDA

AH2 SA2 AD2 a2 a2

54

OH

 f(x) không liên tục tại x = –2.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng ( ; 2), ( 2;    ).

2 1 2 tan 4 1 2tan 4cos 4

Mặt khác ABD có AB = AD và BAD600 nên ABD đều

Do đó H là trọng tâm tam giác ABD nên H AO  H AC

 phương trình f x( ) 0 có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng (–1; 1).

Bài 5b: f x( ) sin3x cosx 3 sinx cos3x

   f x( ) cos3 x sinx 3(cosx sin3 )x

PT f x( ) 0  cos3x 3 sin3x sinx 3 cosx 1cos3x 3sin3x 1sinx 3cosx

H

Gọi ( ; )x y0 0 là toạ độ của tiếp điểm Ta có f x( ) 220   x x x

xlim ( )2 xlim (2 1) 3  f(x) liên tục tại x = 2.

Vậy với m = 3 hàm số liên tục trên tập xác định của nó.

x2 3

4'

3 2

AC = 2a  BI = a = SI  SBI vuông cân  SBI 450 c) SB  (AMC)   SC AMC,( )  SCM

Tính được SB = SC = a 2= BC  SBC đều  M là trung điểm của SB 

Trong SOC, vẽ OK  SC Ta có BD  (SAC)  BD  OK  OK là đường vuông góc chung của BD và SC 

D

O

HK

S

A

B

CI

M

Câu 3: Xét hàm số f x( )x35x 3  f x( ) liên tục trên R.

f(0)3, (1) 3f   f(0) (1) 0f   PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1).

a) Tìm quỹ tích điểm H khi M di động trên AB

 SA  (ABC)  AH là hình chiều của SH trên (ABC)

Mà CH  SH nên CH  AH.

S

CD

FH