SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNHTRƯỜNG THPT YÊN THUỶ CNgười thực hiện: Quách Thị Vân SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH “DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CH
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNHTRƯỜNG THPT YÊN THUỶ C
Người thực hiện: Quách Thị Vân
SÁNG KIẾN
HƯỚNG DẪN HỌC SINH
“DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH
GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”
Năm học 2012 - 2013
Trang 22.1 Cách 1.(Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.2 Cách 2.(Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.3 Cách 3 (Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) chứa a và song song với b)
2.4 Một số chú ý
3 Hiệu quả sáng kiến
Phần thứ ba: Kết luận chung và đề suất
Tài liệu tham khảo
Trang 3PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ
1 Cơ sở thực tế, lý do chọn sáng kiến
Toán học là một môn học quan trọng trong việc hình thành và phát triển khả năng tư duy logic và thế giới quan khoa học của học sinh Quá trình học tập bộ môn, giúp cho học sinh khắc sâu những kiến thức cơ bản, hình thành được những khả năng tư duy, sáng tạo, phân tích, tổng hợp, so sánh
Từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học sinh đã nắm được kiến thức,
kỹ năng của 1 bài hoặc 1 chủ đề thì việc củng cố, luyện tập kiến thức, nhất là rèn luyện kỹ năng giải toán rất quan trọng
Hình học không gian lớp 11 là một trong những mảng kiến thức khó không chỉ đối với người học, mà đối với cả người dạy Đặc biệt là phần “Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau” Trong đề thi ĐH – CĐ của các khối A, B, D những năm gần đây luôn xuất hiện bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, và đây là một phần kiến thức mà học sinh gặp vướng mắc rất nhiều Năm học 2012 – 2013, cá nhân tôi được phân công giảng dạy tại lớp 11A1 và 11A3 của trường THPT Yên Thuỷ C Nhằm đáp ứng tốt hơn nhu cầu học tập của các em, cung cấp cho các
em một hệ thống bài tập đầy đủ có phân chia theo phương pháp giải để các em
làm tài liệu ôn tập, tôi viết sáng kiến “HƯỚNG DẪN HỌC SINH DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”.
Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( theo cách trực tiếp) được chia thành hai phần:
Phần định tính: Yêu cầu phải xác định chính xác đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
Phần định lượng: Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm được dựa vào kiến thức hình học đã học
Trong hai phần này, khó khăn học sinh thường mắc phải là phần định tính Vì vậy tôi đi sâu vào việc hướng dẫn các em đi tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau theo ba cách Phần cuối cùng là một số chú ý để tính
Trang 4khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo bằng cách dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc hai mặt phẳng song song.
2 Mục đích, nhiệm vụ của sáng kiến
Giúp học sinh nhận dạng, phân loại và nắm vững phương pháp dựng đường vuông góc chung, từ đó tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa ha mặt phẳng song song
3 Phương pháp
- Lựa chọn các ví dụ, bài tập cụ thể, phân loại bài tập theo phương pháp giải
- Giảng dạy thực tế để so sánh kết quả và rút kinh nghiệm
Trang 5PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG
1 CƠ SỞ KHOA HỌC
1.1 Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b
và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là
đường vuông góc chung của a và b.
1.2 Nếu đường vuông góc chung Δ cắt
hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N
thì đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung
và độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Trang 62.1 Cách 1 (Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau)
2.1.1 Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc
với b tại O
Bước 2: Dựng OH vuông góc với b lại H
Khi đó OH là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH
2.1.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc với
nhau, và OA = OB = OC = a Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC
Phân tích.
Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong trường hợp a chéo b và a vuông góc với b là đơn giản nhất trong các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Vì thế, trước hết phải rèn cho học sinh bước kiểm tra giả thiết a vuông góc với b Trong bài tập này, việc kiểm tra tương đối đơn giản Và thông thường mặt phẳng (α) có sẵn trong bài, không phải dựng
Do tam giác OBC cân tại O nên OI ⊥ BC
Vậy OI là đoạn vuông góc chung của AO và BC
d(OA; BC) = OI
Trong tam giác OBC có OB = OC = a nên OI =
2
3 4
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh
a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = h Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
b
a
O
Hα
A
B I C O
Trang 7a SA và BC
b SC và BD
a Phân tích.
Dễ dàng chứng minh được SA ⊥ BC Khi đó mặt phẳng (α) cần dựng trong bước
1 đã có sẵn, chính là mp(ABCD) Tuy nhiên vẫn cần hướng dẫn để học sinh phát hiện và chứng minh được nhận xét đó
Việc nhận ra BD ⊥ SC có khó khăn hơn ví dụ a Vì vậy, khi dạy học phần quan
hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chứng minh đường thảng vuông góc với mặt phẳng; đường thẳng vuông góc với đường thẳng thật tốt Trong ví dụ này, cần giúp học sinh chứng minh được BD ⊥ (SAC) nhờ khai thác giả thiết ABCD là hình vuông và SA ⊥
nên BD vuông góc với (SAC) tại O
Từ O dựng OH vuông góc với SC tại H
Khi đó OH chính là đoạn vuông góc chung của BD và SC Và d(BD;AC) = OH
SC
OC OH SC
OC SA
2
a h
h a
+
Vậy d(BD;AC) = 2 2
2
2
2
a h
h a
+
S
C
B D
A H O
Trang 8Ví dụ 3 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’
tứ diện DACD’ là có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc, quy về bài toán quen thuộc trong GGK
Câu b, học sinh cần tính chú ý giả thiết AB = AA’ =a để nhận ra được các mặt bên ABB’A’ và DCC’D’ là hình vuông cạnh a Từ đó có CD’ ⊥ C’D dẫn đến CD’ ⊥ AC’
AD, DC, DD’ đôi một vuông góc
Gọi H là hình chiếu của D lên (ACD’) thì
2 2
2
1 1
1
DC DA
2
5 1 1 2
1
a a a
a + + = ⇒ DH =
5
10
a
b Do CDD’C’ là hình vuông nên CD’ ⊥ DC’, mặt khác CD’ ⊥ AD nên CD’ ⊥
AC’ Mặt phẳng (ADC’) chứa AC’ và vuông góc với CD’ tại I ( I = CD’ ∩ DC’)Trong mặt phẳng (ADC”) dựng IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đoạn vuông góc chung của CD’ và AC’
Tính IJ
Ta có ∆JIC’ đồng dạng với ∆DAC’ nên IJ =
2 2 2
2 2 ' 2
' '
'
a
a a AC
IC AD AC
Trang 9Vậy d(CD’,AC’) =
2
a
2.1.3 Bài tập dành cho học sinh
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH = a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a
Trang 102.2 CÁCH 2 (Áp dụng cho trường hợp dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b)
2.2.1 Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a
tại O và cắt b tại I
Bước 2: Dựng b’ là hình chiếu của b lên (α)
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; b’ là đường thẳng qua I và B’)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với b’ tại H;
dựng HN // a (N∈ b); dựng MN // OH (M ∈ a)
Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = MN = OH
2.2.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD cá đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và
SA vuông góc với đáy Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:
nên hình chiếu của SC lên (SAD) là SD
*) Dựng AH vuông góc với SD tại H; dựng HP // CD // AB ( P ∈ SC)
S
A
D C
B
H P Q
Trang 11Từ P, dựng PQ song song với AH cắt AB tại Q Khi đó PQ chính là đường vuông góc chung của SC và AB và d(SC,AB) = PQ = AH.
Tính AH
Trong tam giác SAD ta có 1 2 12 12 12 12 22 22
h a
h a a h AD SA
AH
+
= +
= +
=
Từ đó d(SC,AB) = AH = 2 2
h a
SD Từ nhận định đó trong mặt phẳng đáy ta dựng đường thẳng At vuông góc với AC, ta sẽ được mặt phẳng (SAt) vuông góc với AC và cắt SD tại S Theo đó,
ta dễ dàng dựng được đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho
Lời giải
Trong mặt phẳng đáy kẻ đường thẳng At vuông góc với AC ⇒ AC ⊥ (SAt)
Từ D, kẻ đường thẳng song song với AC, cắt At tại I, thì ID ⊥ (SAt) Như vậy
SI chính là hình chiếu của SD lên mp(SAI)
1 a
BD=
F E
S
A
B C
D
O
Trang 12Trong tam giác SAI có
3
3
.
2 2
a SA AI
AI SA SI
AI SA
Trang 132.3 CÁCH 3
2.3.1 Phương pháp
Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và song song với b
Bước 2: Dựng hình chiếu b’ của b lên (α) Gọi O = a ∩b’
(Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b,
dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; Qua B’ dựng b’ song song với b)
Bước 3: Dựng OH vuông góc với (α) cắt b tại H
Khi đó HO là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH
2.3.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a
Phân tích.
Cách xác định đường vuông góc chung theo cách 2 hoặc cách 3 trong nhiều trường hợp thật ra là một Việc phân biệt rạch ròi giữa hai phương pháp chỉ khi trong bài toán đã có sẵn mặt phẳng (α) chứa a và song song với b hoặc vuông góc với a và cắt b Trong nhiều bài toán, ta có thể sử dụng cả hai cách Việc lựa chọn cách nào tuỳ thuộc và giả thiết để bài làm được đơn giản hơn Ví dụ này là một trường hợp như vậy
Lời giải.
Do BC // (SMN); BC và MN đồng phẳng nên BC // MN
Từ đó có N là trung điểm của AC
Do SA ⊥ (ABC) nêm SA ⊥ BC
Mặt khác BC ⊥ AB (giả thiết) nên BC ⊥ SB,
từ đó có góc giữa SB và (ABC) là góc ·SBA
Trong tam giác SAB có SA = AB.tan·SBA
b
O B’
Trang 14Trong mặt phẳng (ABC) xác định điểm D sao cho AMND là hình chữ nhật Khi
đó AB // (SND) , SN ∩ (SND) = S
Do AMND là hình chữ nhật nên ND ⊥ AN, lại do ND ⊥ SA nên ND ⊥ (SAD),
từ đó suy ra (SAD) ⊥ (SND) và (SAD) ∩ (SND) = SN
Trong tam gics SAD dựng đường cao AH, Qua H dựng HK song song với DN cắt SN tại K Từ K dựng KP song song với AH, P ∈ AB Khi đó KP chính là đoạn vuông góc chung của AB và SN và d(AB, SN) = KP = AH
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB
= a, BC = 2a Cạnh SA vuông với mặt phẳng đáy và SA = 2a Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a
E
H
Trang 15Qua E dựng đường thẳng song song với DC, cắt SC tại H, Q H dựng đường thẳng song song với AE, cắt AB tại K Khi đó HK là đường vuông góc chung của AB và SC và d(AB, SC) = HK = AE.
Tính AE: trong tam giác SAD ta có 2 2 2 2 2 2
Trang 162.4 Một số chú ý Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng mặt phẳng song song với nó
và chứa đường thẳng còn lại.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
Từ những nhận xét này ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đơn giản hơn khi không phải dựng đường vuông góc chung Các bài toán ở phần 2.3 trong phần định tính có thể dừng lại ở bước dựng được mp(α) chứa a và song song với b
Sau đây là một số ví dụ khác, minh họa cho những chú ý này.
Ví dụ 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông
và BA = BC = a; AA’ = a 2 Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa AM và B’C
Trang 17của đề bài suy ra tứ diện BAMN có các cặp cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc và quy về tính khoảng cách từ B đến mp(AMN)
Lời giải
Gọi N là trung điểm của BB’
thì ta có B’C // MN nên B’C // (AMN)
Khi đó d(B’C, AM) = d(B’C, (AMN)) = d(B,(AMN))
(do M là trung điểm của BC)
Tính khoảng cách từ B đến (AMN)
Xét tứ diện ABMN có các cạnh BA, BM, BN đôi một vuông góc, gọi H là hình
chiếu của B lên (AMN) thì ta có 1 2 12 1 2 12 12 42 22 72
Ví dụ 2 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của Ab và CD Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN
Phân tích.
Học sinh phải dựng được một mặt phẳng chứa đường này và song
song với đường còn lại Đẻ dựng mặt phẳng chứa A’C và song song với MN sẽ khó khăn Bên cạnh đó ta thấy MN // BC nên sẽ gợi ý cho việc chọn mp(A’BC) chứa A’c và song song với MN Từ đó ta tính khoảng cách từ MN đến (A’CB)
Trang 18Tính AH Xét tam giác BAA’ đồng dạng với tam giác BHM,
Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D theo a
Phân tích.
Công việc dựng được đường vuông góc chung của A’B và B’D sẽ gặp rất nhiều khó khăn Từ đó hướng dẫn cho học sinh cách dựng hai mặt phẳng chứa A’B và B’D, từ đó khoảng cách cần tính sẽ dựa vào những khoảng cách dễ tính hơn Cụ thể trong bài tập này, cần dựng mp(A’BP) và mp(B’NDM), trong đó M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, A’D’, AD
Khi đó d(A’B, B’D) = d((A’BP),(B’NDM)) = d(D,(A’BP) = d(A,(A’BP))
Và bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều
Lời giải
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
của BC, A’D’, AD
Ta có BP//MD nên BP //(B’NDM)
Và A’P//ND nên A’P // (B’NDM)
Vậy (A’BP) // (B’NDM)
Mặt khác AD cắt (A’BP) tại trung điểm P
nên ta có d(A’B, B’D) = d((A’BP),(B’NDM)) = d(D,(A’BP) = d(A,(A’BP))Tính d(A,(A’BP))
Xét tứ diện AA’BP có AA’, AB, AP đôi một vuông góc Gọi H là hình chiếu của A lên mp(A’BP) thì ta có 2 2 2 2 2 2 2 2
A
C’ D’
A’
B’
P
Trang 19Nhận xét Rõ ràng việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song sẽ đơn giản hơn rất nhiều Giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; tù điểm đến mặt phẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; giữa hai mặt phẳng thật tốt ở những phần trước.
Trang 203 HIỆU QUẢ SÁNG KIẾN
Nội dung của sáng kiến được tôi sử dụng giảng dạy (trong 5 tiết tự chọn) lần đầu cho 2 đối tượng học sinh, gồm 20hs của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A1; 18 học sinh của tổ 1 và tổ 2 lớp 11A3 Sau đó cho kiểm tra đánh giá trên 78 học sinh của hai lớp Giảng dạy lần 2 cho 21 học sinh của tổ 3 và tổ 4 lớp 11A1; 19 học sinh tổ 3 và tổ 4 lớp 11A3 Sau đó kiểm tra đánh giá lại 40 học sinh của hai lớp trên Kết quả thu được như sau:
Trang 21PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT.
- Bản thân tôi cũng đã cố gắng để thể hiện đầy đủ nhất các dạng bài tập có liên quan đến các phương pháp để xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và sắp xếp ví dụ sao cho học sinh
dễ tiếp cận nhất Nhưng do các nguyên nhân chủ quan và khách quan nên bản sáng kiến có thể còn những thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của các đồng nghiệp và các em học sinh
- Bản sáng kiến mới chỉ được giảng dạy tại lớp 11A1 và 11A3 của Trường THPT Yên Thủy C nên đối tượng học sinh chưa nhiều, chưa phong phú Kết quả sẽ tốt hơn khi giáo viên lựa chọn những ví dụ phù hợp cho những đối tượng học sinh giảng dạy sau này
- Tôi mong rằng bản sáng kiến có thể làm tài liệu cho học sinh học tập, và
là tài liệu cho chính chúng tôi trong quá trình giảng dạy
Trang 223 Tài liệu tham khảo
1 SGK Hình học 11, Trần Văn Hạo chủ biên, NXB GD năm 2010
2 Giải toán hình học 11, Trần Thành Minh, NXB GD 1997
3 Chuyên đề luyện thi vào Đại học Hình học không gian, Trần Văn Hạo, NXB
GD 2001
4 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào CĐ, ĐH năm 2012