đương vuong goc chung cua hai duong thang cheo nhau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HOÀ BÌNH TRƯỜNG THPT YÊN THUỶ C Người thực hiện: Quách Thị Vân SÁNG KIẾN HƯỚNG DẪN HỌC SINH “DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU” Năm học 2012 - 2013 Mục lục Nội dung Trang Phần thứ nhất: Đặt vấn đề Phần thứ hai: Nội dung 1. Cơ sở khoa học 2. Nội dung 2.1. Cách 1.(Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau) 2.2. Cách 2.(Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b) 2.3. Cách 3. (Áp dụng cho TH dễ dựng mp(α) chứa a và song song với b) 2.4. Một số chú ý. 3. Hiệu quả sáng kiến Phần thứ ba: Kết luận chung và đề suất Tài liệu tham khảo PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Cơ sở thực tế, lý do chọn sáng kiến Toán học là một môn học quan trọng trong việc hình thành và phát triển khả năng tư duy logic và thế giới quan khoa học của học sinh. Quá trình học tập bộ môn, giúp cho học sinh khắc sâu những kiến thức cơ bản, hình thành được những khả năng tư duy, sáng tạo, phân tích, tổng hợp, so sánh. Từ thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy sau khi học sinh đã nắm được kiến thức, kỹ năng của 1 bài hoặc 1 chủ đề thì việc củng cố, luyện tập kiến thức, nhất là rèn luyện kỹ năng giải toán rất quan trọng. Hình học không gian lớp 11 là một trong những mảng kiến thức khó không chỉ đối với người học, mà đối với cả người dạy. Đặc biệt là phần “Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau”. Trong đề thi ĐH – CĐ của các khối A, B, D những năm gần đây luôn xuất hiện bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, và đây là một phần kiến thức mà học sinh gặp vướng mắc rất nhiều. Năm học 2012 – 2013, cá nhân tôi được phân công giảng dạy tại lớp 11A1 và 11A3 của trường THPT Yên Thuỷ C. Nhằm đáp ứng tốt hơn nhu cầu học tập của các em, cung cấp cho các em một hệ thống bài tập đầy đủ có phân chia theo phương pháp giải để các em làm tài liệu ôn tập, tôi viết sáng kiến “HƯỚNG DẪN HỌC SINH DỰNG ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU”. Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( theo cách trực tiếp) được chia thành hai phần: Phần định tính: Yêu cầu phải xác định chính xác đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Phần định lượng: Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm được dựa vào kiến thức hình học đã học. Trong hai phần này, khó khăn học sinh thường mắc phải là phần định tính. Vì vậy tôi đi sâu vào việc hướng dẫn các em đi tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau theo ba cách. Phần cuối cùng là một số chú ý để tính 1 khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo bằng cách dựa vào khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc hai mặt phẳng song song. 2. Mục đích, nhiệm vụ của sáng kiến Giúp học sinh nhận dạng, phân loại và nắm vững phương pháp dựng đường vuông góc chung, từ đó tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa ha mặt phẳng song song. 3. Phương pháp - Lựa chọn các ví dụ, bài tập cụ thể, phân loại bài tập theo phương pháp giải. - Giảng dạy thực tế để so sánh kết quả và rút kinh nghiệm. 2 PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG 1. CƠ SỞ KHOA HỌC 1.1. Đường thẳng Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là đường vuông góc chung của a và b. 1.2. Nếu đường vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung và độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Ký hiệu: d(a,b) = MN 2. NỘI DUNG 3 a b Δ M N H 2.1. Cách 1. (Áp dụng cho trường hợp a, b vuông góc với nhau) 2.1.1. Phương pháp Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) chứa a và vuông góc với b tại O Bước 2: Dựng OH vuông góc với b lại H. Khi đó OH là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH 2.1.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Cho tứ diện OABC, có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, và OA = OB = OC = a. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. Phân tích. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong trường hợp a chéo b và a vuông góc với b là đơn giản nhất trong các bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Vì thế, trước hết phải rèn cho học sinh bước kiểm tra giả thiết a vuông góc với b. Trong bài tập này, việc kiểm tra tương đối đơn giản. Và thông thường mặt phẳng (α) có sẵn trong bài, không phải dựng. Lời giải: Ta có    ⊥ ⊥ OC OA OA OB nên OA ⊥ (OBC) tại O Gọi I là trung điểm của BC. Do tam giác OBC cân tại O nên OI ⊥ BC Vậy OI là đoạn vuông góc chung của AO và BC. d(OA; BC) = OI. Trong tam giác OBC có OB = OC = a nên OI = 2 3 4 2 2 aa a =− Vậy, d(OA; BC) = OI = 2 3a Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = h. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau: 4 b a O H α A B I C O a. SA và BC b. SC và BD a. Phân tích. Dễ dàng chứng minh được SA ⊥ BC. Khi đó mặt phẳng (α) cần dựng trong bước 1 đã có sẵn, chính là mp(ABCD). Tuy nhiên vẫn cần hướng dẫn để học sinh phát hiện và chứng minh được nhận xét đó. Lời giải. Do SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC. Trong mặt phẳng (ABCD) có AB ⊥ BC. Vậy AB là đoạn vuông góc chung của SA và BC; D(SA;BC) = AB = a b.Phân tích Việc nhận ra BD ⊥ SC có khó khăn hơn ví dụ a. Vì vậy, khi dạy học phần quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng chứng minh đường thảng vuông góc với mặt phẳng; đường thẳng vuông góc với đường thẳng thật tốt. Trong ví dụ này, cần giúp học sinh chứng minh được BD ⊥ (SAC) nhờ khai thác giả thiết ABCD là hình vuông và SA ⊥ (ABCD). Từ đó tìm ra mp(α) chính là mp(SAC). Lời giải. Ta có    ⊥ ⊥ SA BD BD AC nên BD vuông góc với (SAC) tại O. Từ O dựng OH vuông góc với SC tại H. Khi đó OH chính là đoạn vuông góc chung của BD và SC. Và d(BD;AC) = OH. Tính OH. Ta có ∆CHO ∼∆CAS ⇒ SA SC OC OH SC OC SA OH .=⇒= Trong ∆SAC có SA = h, AC = a 2 nên SC = 22 2ah + . Từ đó OH = 22 2 . 2 2 ah ha + Vậy d(BD;AC) = 22 2 . 2 2 ah ha + 5 S C B D A H O Ví dụ 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a. a. Tính khoảng cách từ D đến (ACD’) b. Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC’ và CD’. Phân tích. Câu a không nằm trong nội dung của sáng kiến, nhưng vì yêu cầu của bài toán không quá phức tạp và có ích cho học sinh nên tôi hướng dẫn cách làm. Giả thiết cho hình hộp chữ nhật, như vậy học sinh cần nhận ra được tính chất đặc biệt của tứ diện DACD’ là có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc, quy về bài toán quen thuộc trong GGK. Câu b, học sinh cần tính chú ý giả thiết AB = AA’ =a để nhận ra được các mặt bên ABB’A’ và DCC’D’ là hình vuông cạnh a. Từ đó có CD’ ⊥ C’D dẫn đến CD’ ⊥ AC’. Lời giải a. Trong tam giác ACC’ có AC = 2222 4'' aaCCAC −=− = 3a Trong ∆ADC có AD = 2' 22 aCCAC =− Xét tứ diện ADCD’ có AD, DC, DD’ đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của D lên (ACD’) thì 2222 DD' 1111 ++= DCDADH = 2222 2 511 2 1 aaaa =++ ⇒ DH = 5 10a b. Do CDD’C’ là hình vuông nên CD’ ⊥ DC’, mặt khác CD’ ⊥ AD nên CD’ ⊥ AC’. Mặt phẳng (ADC’) chứa AC’ và vuông góc với CD’ tại I ( I = CD’ ∩ DC’) Trong mặt phẳng (ADC”) dựng IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đoạn vuông góc chung của CD’ và AC’. Tính IJ Ta có ∆JIC’ đồng dạng với ∆DAC’ nên IJ = 22.2 2 2 '2 '. ' '. a a a a AC ICAD AC ICAD ==== 6 A B C D B’ A’ D’ C’ I J Vậy d(CD’,AC’) = 2 a 2.1.3. Bài tập dành cho học sinh. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. 7 2.2. CÁCH 2. (Áp dụng cho trường hợp dễ dựng mp(α) vuông góc với a hoặc b) 2.2.1. Phương pháp Bước 1: Dựng mặt phẳng (α) vuông góc với a tại O và cắt b tại I Bước 2: Dựng b’ là hình chiếu của b lên (α) (Lấy B bất kỳ trên đường thẳng b, dựng BB’ vuông góc với (α) tại B’; b’ là đường thẳng qua I và B’) Bước 3: Dựng OH vuông góc với b’ tại H; dựng HN // a (N∈ b); dựng MN // OH (M ∈ a). Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = MN = OH 2.2.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD cá đáy là hình vuông cạnh a, SA = h và SA vuông góc với đáy. Dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng sau: a. SC và AB b. AC và SD a. Phân tích. Trước hết chúng ta nhận thấy các cặp đường thẳng cần tính khoảng cách trong bài toán này không vuông góc với nhau. Mặt khác, mp(SDC) vuông góc với đường thẳng AB tại A và cắt SC tại S. Các dữ kiện bài toán thoả mãn các yêu cầu của bài toán thứ 2. Trên cơ sở đó, ta dựng đoạn vuông góc chung theo phương pháp của bài toán thứ hai. Lời giải. Ta có )( ADAB SADAB SAAB ⊥⇒    ⊥ ⊥ tại A. Và (SAD) ∩ SC = S Mặt khác )( ADCD SADCD SACD ⊥⇒    ⊥ ⊥ nên hình chiếu của SC lên (SAD) là SD *) Dựng AH vuông góc với SD tại H; dựng HP // CD // AB ( P ∈ SC) 8 O b I a b’ α H N M S A D C B H P Q [...]... và chứa đường thẳng còn lại a b α d(a,b) = d(a,(α)) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó a α b β d(a,b) = d((α),(β)) Từ những nhận xét này ta có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau đơn giản hơn khi không phải dựng đường vuông góc chung Các bài toán ở phần 2.3 trong phần định tính có thể dừng lại ở bước... sinh học tốt hơn, biết cách phân tích để dựng đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 18 PHẦN THỨ BA : KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ XUẤT - Bản thân tôi cũng đã cố gắng để thể hiện đầy đủ nhất các dạng bài tập có liên quan đến các phương pháp để xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và sắp xếp ví dụ sao cho học sinh dễ tiếp cận nhất Nhưng... Khi đó HO là đoạn vuông góc chung của a, b và d(a;b) = OH 2.3.2 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông với mặt phẳng đáy (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60 0 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo... 6 16 M Nhận xét Rõ ràng việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau thông qua khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song sẽ đơn giản hơn rất nhiều Giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng; tù điểm đến mặt phẳng; khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng; giữa hai mặt phẳng thật tốt ở những phần trước 17 3 HIỆU... song song với AE, cắt AB tại K Khi đó HK là đường vuông góc chung của AB và SC và d(AB, SC) = HK = AE Tính AE: trong tam giác SAD ta có 1 1 1 1 1 1 = 2+ = 2+ 2 = 2 2 2 AE SA AD 4a 4a 2a ⇒ AE = a 2 Vây d(AB, SC) = a 2 2.3.3 Bài tập dành cho học sinh 13 2.4 Một số chú ý Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng mặt phẳng song song với nó... dựng được đường vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho Lời giải Trong mặt phẳng đáy kẻ đường thẳng At vuông góc với AC ⇒ AC ⊥ (SAt) Từ D, kẻ đường thẳng song song với AC, cắt At tại I, thì ID ⊥ (SAt) Như vậy SI chính là hình chiếu của SD lên mp(SAI) S Từ A dựng AE ⊥ SI tại E; Từ E dựng EF // AC (F∈ SD) E Từ F dựng FJ // AE ( J ∈ AC) Khi đó, IJ chình là đoạn vuông góc chung F I của AC và SD và d(AC,SD)... Q Khi đó PQ chính là đường vuông góc chung của SC và AB và d(SC,AB) = PQ = AH Tính AH Trong tam giác SAD ta có Từ đó d(SC,AB) = AH = 1 1 1 1 1 a 2 + h2 = 2+ = 2+ 2 = 2 2 AH 2 SA AD 2 h a ah ah a + h2 2 b Phân tích Từ phương pháp, ta thấy rằng nếu dựng được mặt phẳng (α) vuông với đường thẳng thứ nhất và cắt đường thẳng thứ hai thì bài toán dựng đường vuông góc chung sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều... ' 4 2 a 2 + a2 Vậy d(MN, A’C) = a 2 4 Ví dụ 3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D theo a Phân tích Công việc dựng được đường vuông góc chung của A’B và B’D sẽ gặp rất nhiều khó khăn Từ đó hướng dẫn cho học sinh cách dựng hai mặt phẳng chứa A’B và B’D, từ đó khoảng cách cần tính sẽ dựa vào những khoảng cách dễ tính hơn Cụ thể trong bài tập... hai đường thẳng AB và SN theo a Phân tích Cách xác định đường vuông góc chung theo cách 2 hoặc cách 3 trong nhiều trường hợp thật ra là một Việc phân biệt rạch ròi giữa hai phương pháp chỉ khi trong bài toán đã có sẵn mặt phẳng (α) chứa a và song song với b hoặc vuông góc với a và cắt b Trong nhiều bài toán, ta có thể sử dụng cả hai cách Việc lựa chọn cách nào tuỳ thuộc và giả thiết để bài làm được... đoạn vuông góc chung của AB và SN và d(AB, SN) = KP = AH Tính AH Ta có MN = 1 BC = a = AD; 2 Trong tam giác SAD có Vậy d(AB, SN) = 1 1 1 1 1 13 2a 39 = 2+ = + 2 = 2 2 2 2 ⇒ AH = AH SA AD 12a a 12a 13 2a 39 13 Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a Cạnh SA vuông với mặt phẳng đáy và SA = 2a Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng . vuông góc chung Δ cắt hai đường thẳng chéo nhau a, b lần lượt tại M, N thì đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông góc chung và độ dài đoạn vuông góc chung là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a. ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG VÀ TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . Bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ( theo cách trực tiếp) được chia thành hai phần: Phần định. chính xác đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau. Phần định lượng: Tính độ dài đoạn vuông góc chung vừa tìm được dựa vào kiến thức hình học đã học. Trong hai phần này, khó khăn học