phat trien bai toan tu bai toan goc

PHÁT TRIỂN MỘT BÀI TOÁN. I/ Hệ phương trình: Bài toán gốc 2 2 4 2 x xy y xy x y  + + =  + + =  Phát triển bài toán theo ý tưởng Đại số 1/ Thay x bằng ( ) x− ,ta đượchệ phương trình mới: 2 2 4 2 x xy y xy x y  − + =  − − + =  ,hoặc thay y bởi ( ) y− ,ta được hệ phương trình mới: 2 2 4 2 x xy y xy x y  − + =  − + − =  2/ Thay x kx = , chẳng hạn 2k = .ta được hệ phương trình mới: 2 2 4 2 4 2 2 2 x xy y xy x y  + + =  + + =  3/ Thay x bằng x , y giữ nguyên, ta được hệ phương trình mới: 2 4 2 x x y y x y x y  + + =   + + =   hoặc thay x bằng x , thế y bằng một hàm 2 y ,ta được hệ phương trình mới: 2 4 2 4 4 2 x x y y x y x y  + + =   + + =   4/ Thay cotx, y =tanyx = , ta được hệ phương trình mới: 2 2 cot cotx.tan tan 4 cotx.tan cotx tan 2 x y y y y  + + =  + + =  5/ Thay bởi tham số: 2 2 2x xy y m xy x y m  + + =  + + =  a/ giải hệ phương trình khi 2m = . b/ Tìm m để phương trình có nghiệm. c/ Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. Phát triển bài toán theo ý tưởng Hình học. Bài toán gốc: 2 2 4 2 x y x y  + =  + =  . Tacó: 2 2 4x y+ = là phương trình đường tròn, 2x y+ = là phương trình đường thẳng. Phát triển bài toán: 2 2 2x y m x y m  + = +  + =  a/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.( Đường thẳng tiếp xúc đường tròn). b/ Tìm m để hệ phương trình có nghiệm .( Đường thẳng tiếp xúc đường tròn hoặc cắt đường tròn). Có thể mở rộng mặt cầu, mặt phẳng, … II/ Tích phân: Bài toán gốc: 2 2 1 x dx ∫ . 1/ Thay x bằng sin x .Ta đi tìm (sin )d x là cosx.dx. Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta được bài toán mới: 2 2 0 sin . osxdxx c π ∫ 2/ Thay x bằng 1 x e + .Ta đi tìm d( 1 x e + ) là x e dx.Ta được bài toán mới: ln2 2 0 ( 1) x x e e dx+ ∫ . 3/ Thay x bằng ln 1x + .Ta đi tìm d( ln 1x + ) là 1 x dx.Ta được bài toán mới: 2 1 (ln 1) e x dx x + ∫ . Bài toán gốc: 4 1 xdx ∫ . 1/ Thay x bằng 2 1x + . Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta được bài toán mới: 4 0 2 1x dx+ ∫ .Tiếp tục thay x bằng lnx, Ta đi tìm (ln )d x là 1 x .dx, sau đó chọn cận cho phù hợp ta được bài toán mới: 1 2ln 1 e x dx x + ∫ 2/ Thay x bằng 2 1x + .Ta đi tìm 2 ( 1)d x + là 2x .dx Sau đó chọn cận cho phù hợp. Ta được bài toán mới: 3 2 0 1x xdx+ ∫ .Tiếp tục thay x bằng lnx, Ta đi tìm 2 (ln )d x là 1 ln x x .dx, sau đó chọn cận cho phù hợp ta được bài toán mới: 2 1 ln 1ln e x x dx x + ∫ . Bài toán gốc: 2 3 3 1 0 1 ln 2 2 0 1 4 4 1 1 1 tanx 4 2 0 1 lnx 0 1 2 sinx 0 2 cosx 0 cotx 4 2 0 ln os os sin sin x e x x x x x e e xdx e x e x dx dx x e e dx dx x x e dx c x e dx e dx x e c xdx e xdx e dx x π π π π −      →    →       →                ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ . Xuất phát bài toán gốc: 1 1 e dx x ∫ ( ) 2 1 1 2 1 1 0 1 2 0 1 1 1 2 1 2ln 1 sinx os 1 1 1 osx sin 1 1 (ln 1) e x e x e dx dx x x x dx c x e dx dx e x c dx x dx x x π  →  + +    +    →  +     +    +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ III/ Phương trình: Xuất phát từ bài toán gốc như sau: 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log 3log 3.log 2 0 log log 27.log 2 0 log 3log (2 ) 5 0 1/ 3 2 0 log 3log 2 0 log 3log (4 ) 8 0 log 3log (4 ) 8 0 4 log 3log ( ) 4 0 x x x x x x x x x x x x x x x x  − + =  − + =   − + =  − + = → − + = → − + =   − + =   − − =   2 2 2 2 2 log 3 log 2 2. 3 2 / 3 2 0 3 2 2.2 3 log 2log 2 3 x x x x x x x e e x x x x x − −  + =   + =  − + = → + = →  + =   + =  3/ Cho hàm số ( ) y f x= đồng biến hoặc nghịch biến trênmột miền xác định của hàm số. Kí hiệu: ( ) 1 f x − là hàm số ngược của ( ) y f x= . Giải phương trình ( ) ( ) 1 f x f x − = Giải. Đặt ( ) ( ) 1 y f x x g y − = ⇒ = . Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1 f x y f x f x f y x −  =  = ⇔  =   . Giải hệ đối xứng này ta thu được ngiệm của phương trình. VD: Giải phương trình 2 1 3 3 1x x+ = − (1) Giải. Đặt ( ) 2 2 3 1 0 3 1 1 3y x y y x y x= − ≥ ⇔ = + ⇔ + = . Do đó phương trình (1) 2 2 1 3 1 3 y x x y  + = ⇔  + = 