Bài soạn Phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu

S Ở GIÁO DỤC VÀ ð ÀO TẠO QUẢNG NGÃI TR Ư Ờ NG THCS – DTNT BA T Ơ ========== SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRI Ể N BÀI TOÁN M Ớ I T Ừ BÀI TOÁN BAN ð ẦU Môn : TOÁN Ngườ i t hự c h iệ n : Tr ầ n Ngọ c Du y G iá o v iê n: Tr ư ờ ng THCS – DTNT Ba T ơ Nă m h ọ c : 2005 - 2006 C MỞ ð Ầ U Vì sao ph ả i so ạ n thêm các câu hỏi và bài t ậ p m ớ i ? húng ta ñã biết hệ thống câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập ñã ñược biên soạn và chọn lọc, sắp xếp một cách công phu và có dụng ý rất sư phạm, rất phù hợp với trình ñộ kiến thức và năng lực của học sinh, phản ảnh phần nào thực tiễn ñời sống xã hội và học tập gần gũi với học sinh, phù hợp với tâm lý lứa tuổi học sinh. Tuy nhiên, SGK và SBT là tài liệu dành cho tất cả học sinh thành thị cũng như nông thôn, miền núi cũng như miền xuôi, vùng kinh tế phát triển cũng như vùng gặp khó khăn … với các ñặc trưng khác nhau. Vì vậy ñể có những bài tập phù hợp với yêu cầu của từng tiết dạy, phù hợp với từng ñối tượng học sinh của mình, phù hợp với hoàn cảnh thực tế ñịa phương mình, ngoài việc khai thác triệt ñể các bài tập trong SGK, SBT. Giáo viên phải tự mình biên soạn thêm những câu hỏi và bài tập mới. Trong việc ra ñề kiểm tra chất lượng ñầu năm, kiểm tra học kì , thi lên lớp, thi chọn học sinh giỏi …… thì Giáo viên ra ñề cần phải có năng lực sáng tác các ñề Toán mới vừa ñáp ứng ñược các yêu cầu kiểm tra, ñánh giá vừa ñảm bảo tính khách quan, công bằng và bí mật ( vì các ñề này không nằm trong bất cứ tài liệu nào ñã có ). Hơn nữa, ta ñã biết “ Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ ñộng, tư duy sáng tạo của người học: Bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vương lên “ ( Luật GD 1998, chương I , ñiều 4). ð ó là một trong những ñịnh hướng quan trọng ñổi mới phương pháp dạy học Toán là rèn luyện cho HS năng lực phát hiện và giải quyết vấn ñề. Muốn vậy, GV phải bồi dưỡng cho HS phải có kĩ năng tự học ñộc lập, thực chất là thói quen ñộc lập suy nghĩ, suy nghĩ sâu sắc khoa học. Một hình thức cao của công việc học tập ñộc lập ñòi hỏi nhiều sáng tạo là việc HS tự ra lấy ñề toán. Hình thức này yêu cầu HS phải nắm vững kiến thức, phải có thực tế, phải có trình ñộ phân tích tổng hợp cao ñể làm sao vừa ñặt vấn ñề vừa giải quyết vấn ñề thích hợp và trọn vẹn. Việc cho HS tự ra lấy ñề Toán là một trong những biện pháp gắn liền nhà trường với cuộc sống, tạo ñiều kiện sau này có khả năng vận dụng kiến thức. Toán học ñể giải quyết thành thạo những vấn ñề do cuộc sống thực tế ñặt ra. ð ó cũng là biện pháp ñể bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho HS trong quá trình ñi tìm cái mới, các phẩm chất tư duy sáng tạo ñược nảy nở và phát triển. Muốn rèn luyện cho HS khả năng tự ñặt ra các ñề Toán mới theo những yêu cầu nào ñó, bản thân GV phải có ý thức tự rèn luyện cho mình khả năng này. Việc rèn luyện này sẽ giúp nâng cao tiềm lực của mỗi GV làm cho chúng ta cảm thấy vững vàng và tự tin hơn trong quá trình dạy học. C Ơ S Ở K HO A H Ọ C KHI T Ạ O RA BÀI TOÁN MỚI T Ừ BÀI TOÁN BAN ð Ầ U Bài Toán mới có thể là bài Toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, ñào sâu những bài Toán ñã biết. Thực chất khó có thể tạo ra một bài Toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài Toán ñã có. Vì vậy ñể tạo ra một bài Toán mới từ bài Toán ban ñầu thì phải tuân theo các con ñường sau: 1. L ậ p bài Toán t ươ ng t ự . 2. L ậ p bài Toán ñ ả o. 3. Thêm một số yếu tố rồi ñ ặ c biệt hóa. 4. B ớ t một số yếu tố rồi khái quát hóa. 5. Thay ñổi một số yếu tố. NỘI DUNG Chúng t a b ắ t ñ ầ u t ừ bà i t oán sau: Cho a, b ∈ Z , b > 0 . So sánh hai số hữu tỉ a và b a + 2001 b + 2001 ( Bài 9, trang 4 SBT Toán 7, tập một NXB Giáo dục 2003 ) Bài Toán này chúng ta ñã có l ờ i gi ả i sau Xét tích a(b+2001) = ab + 2001a b(a+2001) = ab + 2001b Vì b>0 nên b + 2001 > 0 - Nếu a>b thì ab + 2001a > ab + 2001b a(b + 2001) > b(a + 2001) ⇒ a > a + 2001 b b + 2001 - Tương tự, nếu a<b thì ⇒ a < a + 2001 b b + 2001 - Nếu a=b thì rõ ràng a = a + 2001 b b + 2001 ð iều ñó cho ta bài toán m ớ i t ươ ng t ự nh ư bài toán trên B à i 1 : Cho a,b ∈ Z , b > 0 . So sánh hai số hữu tỉ a và b a + 2005 b + 2005 ð ến ñây chúng ta cũng ñến bài toán tổng quát sau. B à i 2 : Cho a,b ∈ Z , b > 0 và n ∈ N * . So sánh hai số hữu tỉ G iả i : Xét tích a(b+n) = ab + an b(a+n) = ab + bn a và b a + n b + n Vì b > 0 và n ∈ N * nên b + n > 0 - Nếu a>b thì ab + an > ab + bn a(b + n) > b(a + n) ⇒ a > a + n b - Tương tự, nếu a<b thì ⇒ b + n a < a + n - Nếu a=b thì rõ ràng b a = a + n b + n b b + n T ừ l ờ i gi ả i của bài toán này chúng ta l ạ i có bài toán m ớ i sau B à i 3: Cho a,b ∈ Z , b>0 và n ∈ N * . CMR: a) Nếu a > 1 thì a > a + n b b b + n b) Nếu a < 1 thì a < a + n b Giải : b b + n a) Ta có a > 1 b ⇔ a > b ⇔ an > bn vì n ∈ N * ⇔ ab + an > ab + bn ⇔ a(b+n) > b(a+n) ⇔ a > a + n b b + n b) Chứng minh tương tự như câu a. 1976 1975 1976 1975 ð iều này cho ta ñề xu ấ t các bài toán l ạ sau ñây: B à i 4: So sánh hai phân số a) 1941 và 1931 b) 1930 và 1945 2005 1995 1990 2005 G iải : a) Ta có: 1941 >1 nên theo bài 3 a) Suy ra 1941 > 1941 + 64 = 2005 1931 1931 1931 + 64 1995 b) Ta có: 1930 < 1 nên theo câu 3 b) Suy ra 1930 < 1930 + 60 = 1990 1945 1945 1945 + 60 2005 B à i 5 : So sánh hai số hữu tỉ sau: a) A = 1975 + 1 và B = 1975 + 1 1975 1975 + 1 1975 1974 + 1 b) C = 2005 2004 + 1 và D = 2005 2003 + 1 2005 2005 + 1 2005 2004 + 1 G iả i : a) Rõ ràng A>1 vì theo câu a bài 3 Ta có: A = 1975 + 1 > (1975 1976 1975 + 1) + 1974 = 1975 1976 1975 + 1975 1975 1975 + 1 (1975 + 1) + 1974 1975 + 1975 = 1975(1975 + 1) 1975 1975 = + 1 = B Vậy : A>B 1975(1975 1974 + 1) 1975 1974 + 1 b) Rõ ràng C<1 vì theo câu b bài 3. Tacó: 2005 2004 C = 2005 2005 + 1 < + 1 ( 2005 2004 ( 2005 2005 + 1) + 2004 + 1) + 2004 2005 2004 = 2005 2005 + 2005 + 2005 2005 (2005 2003 = 2005 ( 2005 2004 + 1) + 1) = 2005 2003 + 1 = D Vậy: C<D 2005 2004 + 1 m T ừ cách gi ả i của bài toán này ta có bài toán tổng quát sau B à i 6: Với n,m ∈ N * . So sánh hai số hữu tỉ a) A = n n +1 + 1 và B = n n + 1 n n + 1 n n − 1 + 1 b) C = m m + 1 và D = m m − 1 + 1 Giả i: m m + 1 + 1 m m + 1 a) - Nếu n =1 thì A = B. - Nếu n > 1 thì ta thấy A>1. Vì n n+1 +1 > n n +1 Theo bài 3 câu a . Ta có: A = n n +1 + 1 > (n n+1 + 1) + (n − 1) = n n +1 + n = n(n n + 1) = n n + 1 = B n n + 1 (n n + 1) + (n − 1) n n + n n(n n − 1 + 1) n n − 1 + 1 Vậy: A>B. b) - Nếu m = 1 thì C = D. - Nếu m > 1 thì ta thấy C<1. Vì m m +1<m m+1 +1 Theo bài 3 câu b. Ta có C = m + 1 < (m m + 1) + (m − 1) = m m + m = m(m m −1 + 1) = m m −1 + 1 = D m m + 1 + 1 Vậy: C<D (m m + 1 + 1) + (m − 1) m m + 1 + m m(m m + 1) m m + 1 T ừ cách gi ả i của bài 6 giúp ta ñến v ớ i bài toán tổng quát h ơ n khái quát h ơ n. B à i 7: Cho a, b, m, n, x, y ∈ N * thỏa mãn x ≥ a, y ≥ b . So sánh hai số hữu tỉ a) A = x n + 1 + a và B = x n + a x n + a m x n − 1 + a m − 1 b) C = y + b và D = y + b y m + 1 + b y m + b Bài Toán có còn gì n ữ a ch ă ng ! K Ế T LU Ậ N =============== B iết r ằ ng bài Toán này ñã ñ ượ c phát triển t ừ bài toán ñã có. Nh ư ng nó ñã nâng lên một b ướ c phát triển m ớ i trong ph ươ ng pháp gi ả ng d ạ y hiện nay. Kh ở i ñ ầ u của s ự sáng t ạ o m ớ i của GV bộ môn ñ ư a ñến cho HS tiếp thu nh ữ ng cái m ớ i l ạ , t ạ o h ứ ng thú trong học t ậ p và phát triển t ư duy Toán học. Trên ñây là nội dung sáng kiến mà b ả n thân tôi ñã tích lu ỹ ñ ượ c trong quá trình gi ả ng d ạ y. Vì kh ả n ă ng và th ờ i gian có h ạ n nên sáng kiến này xin ñ ượ c t ạ m d ừ ng ở ñây. R ấ t mong s ự góp ý của các ñồng chí, ñồng nghiệp ñể sáng kiến này ñ ượ c phát huy tốt h ơ n. 2005. Ba T ơ , ngày 20 tháng 10 năm NGƯỜI VIẾT Tr ầ n Ngọ c Du y . KHI T Ạ O RA BÀI TOÁN MỚI T Ừ BÀI TOÁN BAN ð Ầ U Bài Toán mới có thể là bài Toán hoàn toàn mới, cũng có thể là sự mở rộng, ñào sâu những bài Toán ñã biết một bài Toán hoàn toàn không có quan hệ gì về nội dung hoặc về phương pháp với những bài Toán ñã có. Vì vậy ñể tạo ra một bài Toán mới từ bài Toán ban