giải hệ phương trình bằng phương pháp đồng bậc

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC Các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng. Để giúp các bạn học sinh ôn tập tốt về phần này, bài viết này xin nêu ra một phương pháp hiệu quả để giải quyết một lớp các hệ phương trình đó là phương pháp đồng bậc. Thí dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 9 1 4 5 5 2 x xy y x xy y  − + =   − + =   Giải: Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 5 5 2 3 9 4 5 4 26 30 0 5 2 3 0 2 3 x y x xy y x xy y x xy y x y x y x y =  ⇒ − + = − + ⇔ − + = ⇔ − − = ⇔  =  Với 5x y= thay vào (1) ta có 2 2 1 2 18 9 2 2 y y y= ⇔ = ⇔ = ± tương ứng 5 2 2 x = ± . Với 3 2 y x = thay vào (1) ta có 2 4 2y y= ⇔ = ± tương ứng 3x = ± . Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là ( ) ( ) 5 2 2 5 2 2 ; ; ; ; 3;2 ; 3; 2 . 2 2 2 2     − − − −  ÷  ÷  ÷  ÷     Thí dụ 2: Giải hệ phương trình ( ) 2 2 3 3 30 (1) 35 2 x y y x x y  + =   + =   Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc. Giải: Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 2 3 3 7 6 6 7 7 6 0 2 3 3 2 0 2 2 3 x y x y y x x y x x y y x y x y x y x y x y x y   = −   + = + ⇔ − − − = ⇔ + − − = ⇔ =    =  Với x y= − thay vào (2) suy ra vô nghiệm. Với 3 2 x y= thay vào (2) ta có 3 8 2y y= ⇔ = suy ra 3x = . Với 2 3 x y= thay vào (2) ta có 3 27 3y y= ⇔ = suy ra 2x = . Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ) 3;2 , 2;3 . Thí dụ 3: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 3 3 2 1 1 2 2 2 y x x y y x  − =   − = −   Giải: Từ (1) và (2) ta được phương trình đồng bậc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 0 3 5 0 3 5 0 3 x y y x y x x x y xy y x y x xy y x y x xy y − = − − ⇔ + + − = ⇔ − + + = =  ⇔  + + =  Với x y= thay vào (1) ta được 2 1 1y y= ⇔ = ± . Ta có 2 2 2 2 3 11 3 5 0 2 4 x xy y x y y   + + = + + ≥  ÷   . Rõ ràng 0x y= = không phải là nghiệm hệ phương trình. Vậy (3) vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có nghiệm là ( ) ( ) 1;1 , 1; 1− − . Thí dụ 4: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 1 5 3 2 x y x y y x y  + + − =   + =   Giải: Điều kiện của phương trình 0x y≥ ≥ Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2x+2 4 2 2 2 2 0 5 4 0 5 4 0 y x x y x y y x y y x y y x x y y x y x y x y y xy y x − ≥   + + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔  − = −   ≥  ≥   ⇔ ⇔ =    − =    − =   Với 0y = thay vào (2) ta suy ra 9x = (loại) Với 5 4 0y x− = thay vào (2) ta có 4 1 1 5 x x y= ⇔ = ⇒ = (thỏa mãn). Vậy hệ phương trình có nghiệm là 4 1; 5    ÷   . Thí dụ 5: Giải hệ phương trình 2 2 5 5 3 3 3 31 7 x xy y x y x y  + + =   + =  +  Giải: Điều kiện của phương trình x y≠ − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 1 31 7 31 2 7 x xy y x xy y x y x y x y x y  + + =  + + =   ⇔   + = + = +    +  Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 2 2 3 3 5 4 3 2 4 4 21 31 10 31 31 31 10 0 3x y x xy y x y x x y x y xy y+ = + + + ⇔ + + + + = . Rõ ràng 0x y= = không phải là nghiệm hệ phương trình. Đặt x ty= thay vào (3) ta được: ( ) ( ) ( ) 5 5 4 3 5 4 3 4 3 2 4 3 2 10 31 31 31 10 0 10 31 31 31 10 0 1 0 1 10 21 10 21 10 0 10 21 10 21 10 0 y t t t t t t t t t t t t t t t t t t + + + + = ⇔ + + + + = + =  ⇔ + + + + + = ⇔  + + + + =  Với 1 0 1t t+ = ⇔ = − hay 0x y x y= − ⇔ + = (loại). Với ( ) 4 3 2 10 21 10 21 10 0 3t t t t+ + + + = . Vì 0t = không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho 2 t ta được: 2 2 1 1 10 21 10 0t t t t     + + + + =  ÷  ÷     , Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2; u 2 2u t u t t u t t t = + ⇒ ≥ = + + ⇒ + = − . Khi đó (3) trở thành 2 2 5 10 21 10 0 5 2 u u u u  =  + − = ⇔   = −   Với 5 2 u = − ta có 2 2 1 5 2 5 2 0 1 2 2 t t t t t t = −   + = − ⇔ + + = ⇔  = −  Với 2t = − ta có 2x y= − thế vào (1) ta có 2 2 3 3 1 1y y y= ⇔ = ⇔ = ± tương ứng 2x = m . Với 1 2 t = − ta có 2y x= − thế vào (1) ta có 2 2 3 3 1 1x x x= ⇔ = ⇔ = ± tương ứng 2y = m . Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 2 , 1;2 , 2; 1 , 2;1 . − − − − Thí dụ 6: Giải hệ phương trình 3 4 2 2 3 7 2 9 x y y x y xy y  − =   + + =   Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 2 2 3 2 7 1 7 2 9 9 2 y x y x y y x y xy y y x y  − =  − =   ⇔   + + =  + =    Từ hệ suy ra .y 0; y, y 0x x≠ ≠ ± > . Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn. Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: ( ) ( ) 3 3 3 3 3 8 4 4 7 9 y x y y x y − = + . Đặt x ty= ta được phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 8 4 1 7 3 9 1 t t − = + . Từ phương trình này suy ra 1t > . Xét ( ) ( ) ( ) 3 3 8 1 ; t 1. 1 t f t t − = ∀ > + (loại) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 8 7 7 2 3 3 3 3 2 3 8 8 2 7 3 3 2 8 9 1 1 8 1 1 1 1 9 9 8 8 f' 1 1 1 1 9 8 0 1 1 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − + − + − − + + − + = = + + − + + + = > ∀ > + Vậy f(t) đồng biến với mọi 1t > . Nhận thấy 2t = là nghiệm của (3). Vậy 2t = là nghiệm duy nhất. Với 2t = ta có 2x y= thế vào (1) ta được 4 1 1y y= ⇔ = (vì 0y > ) suy ra 2x = . Vậy hệ có nghiệm là ( ) 2;1 . Bài tập tự làm Giải các hệ phương trình sau Bài 1: 3 3 2 4 4 1 4 4 x y xy x y x y  + − =   + = +   . Bài 2: ( ) 3 3 2 2 8 2 3 3 1 x x y y x y  − = +   − = +   . Bài 3: 2 0 1 4 1 2 x y xy x y  − − =   − + − =   Bài 4: 3 2 2 3 6 9 4 0 2 x x y xy y x y x y  − + − =   − + + =   Bài 5: 4 4 6 6 1 1 x y x y  + =   + =   Bài 6: 5 5 9 9 4 4 1x y x y x y  + =   + = +   Bài 7: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 13 25 x y x y x y x y  − + =   + − =   Bài 8: 2 2 2 2 2 x xy y 3(x y) x xy y 7(x y)  − + = −   + + = −   Tác giả Lê Xuân Thắng GV THPT Triệu Sơn 4, Triệu Sơn, Thanh Hóa . phần này, bài viết này xin nêu ra một phương pháp hiệu quả để giải quyết một lớp các hệ phương trình đó là phương pháp đồng bậc. Thí dụ 1: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 9 1 4 5 5. =   + =   Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc. Giải: Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc ( ). GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG BẬC Các bài toán về hệ phương trình thường xuất hiện trong các kì thi Đại học, Cao đẳng.