SKKN - Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phương pháp lượng giác

Đặt vấn đề Khi hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều: Đại đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không chủ động, sáng tạo trong t duy logic, lập luận không rõ ràng, mạch lạc . Xảy ra điều trên là do nhiều nguyên nhân, chẳng hạn nh: hiểu, nắm lý thuyết lơ mơ, không biết phân tích giả thiết, kết luận của bài toán để dẫn đến đ- ờng lối giải quyết bài toán, . Để phần nào khắc phục đợc điều này, trong phạm vi bài viết này, tôi xin nêu ra một trong những việc tôi đã thực hiện trong quá trình giảng dạy, đó là: "Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phơng pháp lợng giác". Trên cơ sở học sinh đã nắm vững các kiến thức lợng giác kết hợp với việc tìm tòi các khía cạnh của mỗi bài toán, để rồi "quy lạ về quen" sẽ dẫn đến đờng lối giải quyết bài toán, thông qua các thí dụ và một số bài tập tơng tự; ở các thí dụ tôi chỉ nêu ra lời giải bằng phơng pháp lợng giác mà không nêu ra lời giải bằng các phơng pháp khác. Tuy nhiên trong phạm vi của bài viết này, tôi cũng chỉ đề cập đợc một số vấn đề nhỏ và còn có thể còn những chỗ cha thực sự hợp lý. Tôi rất mong đợc sự đóng góp để có một cách khai thác tốt bài toán thuộc loại này. 1 Nội dung A. Cơ sở lý thuyết cần nhớ để vận dụng: 1) Nếu gặp biểu thức dạng x k (k>0) thì ta có thể đặt x = k sin hoặc x = cos . 2) Nếu gặp biểu thức dạng x 2 + y 2 =k 2 thì ta có thể đặt x=k sin , y=k cos . 3) Nếu gặp biểu thức dạng x 2 + k 2 thì ta có thể đặt x = k tg . 4) Nếu gặp x k thì ta có thể đặt x = . Chú ý: Tuỳ từng bài toán cụ thể; cần chọn góc đợc đa vào thích hợp để tránh sai lầm trong lập luận. B. Các thí dụ: * Thí dụ 1: Cho hàm số y = |x| (4x 2 +m). Hãy tìm m để |y| 1 khi |x| 1. Bài giải: Vì |x| 1 nên ta đặt |x| =- cos, chọn 2 ;0 khi đó ta có y = |x| (4x 2 +m) = cos (3 cos 2 m) = 4cos 3 + cos = 4cos 3 - 3cos +(m+3)cos = cos 3 + (m+3) cos . + Nếu m = -3, ta có y=cos3y =cos3 1. Nên m = -3 thích hợp. + Nếu m +3 > 0 m < -3, thì với t =0, ta có y=1+(m+3)>1 y > 1. Nên m > -3 không thích hợp. + Nếu m +3 < 0 m < -3, thì với t = , ta có y=-1+<-1y > 1. Nên m <-3 không thích hợp. Kết luận: Giá trị cần tìm là m = -3. * Thí dụ 2: Phơng trình 8x (2x 2 -1)(8x 4 -8x 2 +1)=1 có bao nhiêu nghiệm trên đoạn [0;1]? Bài giải: Do 0 x 1, nên đặt x = cos , chọn 2 ;0 ta đợc phơng trình: 8 cos (2 cos 2 -1)(8cos 4 -8cos 2 + 1)=1 8 cos . cos2 .[2.(2cos 2 -1) 2 -1] =1 8 cos . cos2 .(2cos 2 2 -1) =1 2 8 cos . cos2 cos4 =1 (*) Nếu = 0, ta đợc 8 =1 vô lý 0 và 0 < sin > 0. Do đó (*) 8 sin cos cos2 . cos 4 = sin . sin8 =sin )() 2 ( 9 2 )( 7 2 28 28 Zll Zk k l k += = += += Để 0 < thì k =1, l =0 và l = 1. Do vậy phơng trình đã cho có 3 nghiệm. * Thí dụ 3: Giải và biện luận phơng trình: 4x 3 - 3x=m(1) với m 1. Bài giải(1): Vì m 1, nên tồn tại 3 để cos 3 = m. Do đó (1) 4x 3 -3x = cos3 4x 3 - 3x = 4cos 3 -3cos 4(x 3 -cos 3 ) - 3(x-cos) = 0 4(x -cos)(x 2 +xcos + cos 2 ) - 3 (x-cos) = 0. (x -cos)(4x 2 +4xcos + 4cos 2 - 3) = 0. =++ = 03cos4cos44 cos 22 xx x (2) Giải (2) (2) += = +=+= 3 2cos 3 2 cos 3 cossin 2 3 cos 2 1 x x Kết luận: Phơng trình đã có nghiệm: x=cos x = cos 3 2 x = cos + 3 2 3 * Thí dụ 4: Chứng minh: ( ) 2)1)(1(311 2222 ++ baababba Bài giải: Vì: 1 1 01 01 2 2 a b a b Nên ta đặt: = = ,cos ,cos yb xa Khi đó vế trái trở thành: )cos1)(cos1(cos.cos.3cos1.coscos1.cos 2222 yxyxxyyx ++ = ( ) ysonxyxxyyx sin.cos.cos3sin.cossin.cos + = ( ) yxyxxyyx sin.sincos.cos3sin.cossin.cos + = ( ) 231)cos(.3)sin( 2 =++++ yxyx Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: [ ] =+ = = 3 1 )( ;0, cos cos yxtg yx yb xa [ ] = = = xb xb xxa 6 7 cos 6 cos ;0,cos *Thí dụ 5: (Đề 122 - Câu III 2 ). Chứng minh rằng nếu x 1 thì (1+x) n +(1-x) n 2 n với mọi n2, nN. Bài giải: Vì x <1, nên đặt x = cos , chọn (0;) Khi đó: (1+x) n +(1-x) n = (1+cos ) n +(1-cos ) n = nnnnn nn 2 2 sin 2 cos2 2 .sin 2 .cos2 2 sin2 2 cos2 222222 = + += + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = 1 * Thí dụ 6: (Đề 94 - Câu II 2 ) Trong các nghiệm (x; y, z, t) của hệ: + =+ =+ 20 25 16 22 22 ytxz tz yx Nghiệm nào là cho x + z đạt giá trị lớn nhất. Bải giải: 4 chọn x [0;] chọn y [0;] Vì: x 2 +y 2 = 16 và z 2 + t 2 =25. Nên ta đặt: = = cos4 sin4 y x và = = sin5 cos5 t z Khi đó bất phơng trình của hệ trở thành: 4 sin . 5cos +4cos.5sin 20. 20 (sin cos + cos sin ) 20 sin ( +) 1. sin ( +) = 1 + = + k2 (kZ) Ta có: x + z = 4 sin + 5 cos = 4 sin + 5 cos . = + cos 41 5 sin 41 4 41 = ( ) + sin.41 với = = 41 5 sin 41 4 cos Do đó: max (u+z) = 41 khi +=+ +=+ 2 2 2 2 k l (k,lZ) Hay: === === === === 41 25 sin5sin5 41 20 cos5cos5 41 20 sin4cos4 41 16 cos4sin4 t z y x * Thí dụ 7: Cho x 2 +y 2 +2x-2y+1=0 (1) Chứng minh: ( ) ( ) 222132132)(3 22 +++++ xyyxyx (2) Bài giải: Từ (1) ta có x 2 +y 2 - 2x - 2y + 1=0 (x - 1) 2 + (y - 1) 2 = 1 Nên ta đặt: += += = = 1cos 1sin cos1 sin1 y x y x 5 Do đó vế trái của (2) trở thành: [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1cos1321sin132)1(cos)1(sin3 22 +++++++ =++++ 2)1)(cos1(sin2 = sin.323cos.323sin.32)cos(sin3 22 ++ - -2 3 +2 3 .cos + 2 3 -2cos - 2 + 2 sin cos+ 2cos + + 2sin +2 - 2 = - 3 (cos 2 -sin 2 ) +2sin.cos = - 3 .cos2 +sin2 = 2 2 2sin22cos 2 3 2sin 2 1 2 = Vì sin 1 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: = += += 1 2 2sin 1cos 1sin y x (x,y) là các cặp số (0;1), (1;0), (2;1), (1;2) * Thí dụ 8: Cho bốn số a, b, x, y tuỳ ý. Chứng minh rằng rằng: ax+by 2222 . yxba ++ (1) Bài giải: + Nếu a = b = 0 hoặc x = y = 0 thì (1) đúng. + Nếu a 2 + b 2 > 0 và x 2 + y 2 > 0 thì. (1) 1 22222222 ++ + ++ yx y ba b yx x ba a (2) Vì 1 2 22 2 22 = + + + ba b ba a và 1 2 22 2 22 = + + + yx y yx x Nên ta đặt: = + = + sin cos 22 22 ba b ba a và = + = + sin cos 22 22 yx y yx x Khi đó (2) cos .cos + sin. sin 1 cos(-) 1. Hiển nhiên đúng. 6 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b = x = y. Chú ý: Sử dụng kết quả trên ta chứng minh đợc bài toán: "Cho 2n số a 1 , a 2 , . ,a n , b 1 , b 2 , . ,b n (nN,m n 1). Chứng minh rằng: 2 11 2 21 222 2 2 2 2 1 2 ) .() .( . nnnn bbbaaabababa +++++++++++++ * Thí dụ 9: Giải bất phơng trình: (2a) x 2 +2x+3 +(1-a) x 2 +2x+3 (1+a2) x 2 +2x+3 (1) với 0 < a < 1 Bải giải: Đặt a =tg , chọn 0 < < hay 0 < < Thì cos 2 1 2 1 1 1 ;sin 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 = + = + = + = + tg tg a a tg tg a a Và do vậy nếu chia cả hai vế của (1) cho (1+a 2 ) x 2 +2x+3 Ta đợc: (sin) x 2 +2x+3 + (cos) x 2 +2x+3 1. (sin) (x+1) 2 +2 + (cos) (x+1) 2 +2 1. Mà: (x+1) 2 + 2 2 với mọi x . Nên: (sin) (x+1) 2 +2 sin 2 (2) (cos) (x+1) 2 +2 cos 2 (3) Cộng các vế tơng ứng của (2), (3) ta đợc: (sin) (x+1) 2 +2 + (cos) (x+1) 2 +2 sin 2 + cos 2 =1 Vậy bất phơng trình (1) nhận mọi x làm nghiệm. * Thí dụ 10: (Đề thi ĐH Bách Khoa - 1983) Chứng minh 1 1 cos2sin)1( 2 2 + + x axax Bài giải: Đặt x = tg b, chọn b 2 ; 2 Yêu cầu bài toán 1cos. 1 2 sin. 1 1 22 2 + + + a btg tgb a btg btg 1cos2sinsin2cos + abab 7 sin(a+2b) 1. Hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi += = )( 224 2 ; 2 , Zkk a b btgbx * Thí dụ 11: Chứng minh: 222222 1.11.11.1 cb ca ba ba ca ca ++ + ++ ++ (1) Bài giải: Đặt a= tg , b =tg, c= tg Khi đó: (1) 222222 1.11.11.1 tgtg tgtg tgtg tgtg tgtg tgtg ++ + ++ ++ (2) Mặt khác: tgx-tgy=; 1+ tg 2 x = . áp dụng vào (2) ta có: (2) cos 1 . cos 1 cos.cos )sin( cos 1 . cos 1 cos.cos )sin( cos 1 . cos 1 cos.cos )sin( + sin( -)sin( -)+sin(-) (3) Lại có [ ] )()(sin)sin( += = = )sin()cos()cos()sin( + )sin()cos()cos()sin( + ( ) )sin(sin + ( ) 1)cos(,1)sin( vi (4) Từ (3) và (4), ta có điều cần chứng minh: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi == === 1)cos()sin( 0)22sin()22sin( ,, tgctgbtga a=b=c * Thí dụ 12: Với a 1, b 1. Chứng minh: 1 11 22 + ab ba (1) 8 Bài giải: Vì: cosx 1 1, nên đặt a = b = và chọn 1cos0 2 3 ; 2 ;0 < 1cos0 2 3 ; 2 ;0 < Khi đó vế trái của (1) trở thành: cos.cos 1 cos.cos )sin( cos.cos 1 cos.cos 1 22 + = + = + tgtg tgtg = sin( +) 1. Hiển hiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi =+ == 1)sin( cos 1 ; cos 1 ba =+=+ == )2;1;0( 2 cos 1 ; cos 1 kk ba C. Bài tập tơng tự. 1 Cho y = x + -m. Tìm m để y 0 với mọi x thuộc tập xác định. 2 (Đề thi ĐH khối A - 1987). Trong những nghiệm (x,y,z,t) của hệ: + =+ =+ 12 16 9 22 22 yzzt tz yx Nghiệm nào làm cho x + z đạt giá trị lớn nhất. 3 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 22 4 )1( 1 + + = x x y 4 (Đề thi ĐH miền Bắc năm 1972) Chứng minh - u (y-x)+v(x+y) - với x,y là các số thực thoả mãn x 2 +y 2 =1, u 2 +v 2 =1. 5 (Đề 65- Câu III 1 ) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 +x + 12 = 36 9 6 (Đề tuyển sinh vào trờng ĐH Cần Thơ - Năm 1997). Cho phơng trình: -x 2 +2x + 4 = m -3. a) Giải phơng trình khi m = 12. b) Tìm m để phơng trình có nghiệm. 7 (Đề tự ôn - Báo THTT- tháng 5- năm 2004): Cho bất phơng trình xa + = 4 8 (Đề 69 - CâuII 2 ) Cho bất phơng trình: )6)(4( xx x 2 -2x +m (1) Tìm m để (1) đúng với mọi x [-4;6] 9 (Đề 59 - Câu II 1 ) Cho phơng trình: )6)(3(63 xxxx +++ =m (1) a) Giải phơng trình khi m =3 b) Tìm m để (1) có nghiệm. 10 (Đề 149-Câu III 2 ) Cho bất phơng trình: - 4 x 2 -2x+a-18 (1) a) Giải (1) khi a = 6 b) Tìm a để (1) đúng với mọi x [-2; 4] 11 (Đề tuyển sinh ĐH Kinh tế năm 1999) Cho phơng trình: =a a) Giải phơng trình khi a = 3. b) Tìm a để phơng trình có nghiệm. 12 Cho hàm số y = 8x 4 -8x 2 +m a) Tìm m để y 1 khi x 1. b) Với giá trị m vừa tìm đợc. Hãy chứng tỏ rằng phơng trình 8x 4 - 8x 2 +m=0 có đúng 4 nghiệm khác nhau trên đoạn [-1;1] 13 Phơng trình: 265x 9 -576x 7 +432x 5 -120x 3 +9x=0 có bao nhiêu nghiệm trên khoảng (-1;0). 14 (Đề 11- Câu III 2 ): Tìm giá trị lớn nhất của: f(x) = +. Sử dụng giải phơng trình: + = x 2 -6x+11. 15 Cho 3 số x,y,z thoả mãn xy + yz + zx = 1 và x, y, z (0;1). Chứng minh bất đẳng thức: 10 [...]... khi giải toán Với những bài toán thuộc loại toán nói trên, với cách hớng dẫn học sinh xuất phát từ các kiến thức lợng giác, liên hệ với giả thiết, kết luận của bài toán gặp phải Từ đó giúp học sinh có cách xử lý thích hợp, sáng tạo trong từng trờng hợp cụ thể Cách làm này đã đợc tôi áp dụng truyền đạt cho học sinh các lớp 12I, 12P khoá học 199 8-2 001, lớp 11M khoá học 200 2-2 005, lớp 11H; 11K khoá học. .. lớp 11H; 11K khoá học 200 3-2 006 Kết quả là đa số các em đã tiếp thu kiến thức một cách vững vàng và tự tin khi gặp các bài toán đại số có dấu hiệu giải đợc bằng phơng pháp lợng giác, tạo cho học sinh tính năng động, cải biến đợc hành động học tập, chủ động, tự tin, phát triển t duy độc lập sáng tạo, rèn luyện đợc kỹ năng giải toán Khi kiểm tra về vấn đề này 12 thì hơn 50% học sinh đạt kết quả từ khá... 1 z2 16 Giải phơng trình: x3+ = x 17 Giả sử: a2 + b2 =1, c2 + d2 =1, ac +bd = 0 Chứng minh a2+c2=1, b2 + d2=1, ab+cd =0 18 Giả sử: x2 + y2 0 Chứng minh: - 19 Chứng minh rằng với mọi a R, n Z, n 2 - (1+a2)n (2-a)n +(1-a2)n (1+a2)n = 21 + 20 Giải phơng trình: x + 3 1+ x2 1 1 1 x + y + x y 2 2 2 x + y = 1 21 Giải hệ : 22 Giải và biện luận bất phơng trình: x+ 0; b > 0) 23 Giải và... trình: (a+b) - (a-b) = a2+b2 24 Cho x, y, z dơng thoả mãn: x 2 + xz + z 2 = 3 2 2 y + yz + z = 16 Chứng minh xy + yz + zx 8 25 (Đề 146) Chứng minh: 1 ( a + b)(1 ab) 1 2 (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 2 26 Chứng minh rằng với mọi x thoả mãn 1 x 5, ta có +2 11 Kết luận Đối với mỗi một dạng toán thì việc hớng dẫn học sinh xuất phát từ những kiến thức cơ bản đã biết để tìm ra cách giải tơng ứng là một việc... tập, chủ động, tự tin, phát triển t duy độc lập sáng tạo, rèn luyện đợc kỹ năng giải toán Khi kiểm tra về vấn đề này 12 thì hơn 50% học sinh đạt kết quả từ khá trở lên, và đợc các thầy cô giáo trong Tổ toán của trờng rất ủng hộ cách làm này và mạnh dạn đem áp dụng đối với lớp của mình./ Nga Sơn, tháng 5 năm 2005 Ngời thực hiện Nguyễn Văn Kế 13 . là: "Hớng dẫn học sinh giải một số bài toán đại số bằng phơng pháp lợng giác& quot;. Trên cơ sở học sinh đã nắm vững các kiến thức lợng giác kết hợp. Đặt vấn đề Khi hớng dẫn học sinh giải các bài tập toán, tôi nhận thấy một điều: Đại đa số học sinh tìm lời giải cho các bài toán một cách thụ động, không