Phương pháp đơn điệu trong phương trình , Bất phương trình và hệ

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A) Phương pháp : 1. Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:  Hướng 1: Bước 1: Đưa phương trình về dạng : kxf = )( (1) Bước 2 : Xét hàm số )(xfy = Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước 3 : Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất 0 xx = ( mà ta nhẩm được)  Hướng 2: Bước 1 : Đưa phương trình về dạng : )()( xgxf = (1) Bước 2 : Xét hai hàm số )(xfy = và )(xgy = Dùng lập luận để khẳng định )(xfy = là hàm đồng biến (nghịch biến) và )(xgy = là hàm nghịch biến (đồng biến) Bước 3 : Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm 0 xx = là nghiệm duy nhất  Hướng 3: Bước 1: Đưa phương trình về dạng )()( vfuf = (1) Bước 2 : Xét hàm số : )(tfy = . Dùng lập luận để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước 3 : Khi đó từ (1) suy ra : vu = 2. Đối với loại bất phương trình có 2 hướng để giải quyết: Hướng 1: Bước 1: Đưa phương trình về dạng : kxf > )( (1) Bước 2: Xét hàm số )(xfy = .Dùng lập luận để khẳng định hàm số tăng (giảm) Bước 3: Từ (1) ta thấy )()( α fxf > Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra α > x nếu hàm số tăng hay α < x nếu hàm số giảm Hướng 2: Bước 1: Đưa phương trình về dạng : )()( vfuf > (1) Bước 2: Xét hàm số )(xfy = . Dùng lập luân để khẳng định hàm số đồng biến hay nghịch biến Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: vu > nếu đồng biến , vu < nếu nghịch biến B) Bài tập ứng dụng : Loại 1: Giải các phương trình 1. 11414 2 =−+− xx 2. 1sin2sin3 =−−+ xx 3. 541 3 +−−=− xxx 4. 2 5 1 )223(log 13 2 3 2 =       +++− −− xx xx 5. 21 )1(22 2 −=− −− x xxx 6. 1sin4 1 5sin8 1 1sin45sin8 − − − =− −− xx ee xx 7. 1111 22 =++++−+−+ xxxxxx  Bài làm: 1. 11414 2 =−+− xx Điều kiện:    ≥− ≥− 014 014 2 x x 2 1 ≥⇔ x Nhận xét : số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 1414 2 −+−= xxy và 1 = y Xét hàm số 1414 2 −+−= xxy • Miền xác định :       +∞= , 2 1 D • Đạo hàm 2 1 0 14 4 14 2 2 ' ≥∀> − + − = x x x x y Suy ra hàm số đồng biến Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 2 1 = x 2. 1sin2sin3 =−−+ xx Đặt xt sin = , điều kiện 1 ≤ t Khi đó phương trình có dạng : 123 =−−+ tt tt −+=+⇔ 213 (*) Xét hàm số : • Hàm số ttf += 3)( là hàm đồng biến trên [ ] 1,1 −= D • Hàm số ttg −+= 21)( là hàm nghịch biến trên [ ] 1,1 −= D Từ (*) suy ra : )()( tgtf = nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấy 1 = t là nghiệm phương trình (*), do đó : Zkkxx ∈+=⇔= π π 2 2 1sin 3. 541 3 +−−=− xxx (*) Điều kiện : 1 ≥ x Xét hàm số 1)( −= xxf là hàm đồng biến trên [ ) +∞= ,1D Xét hàm số 54)( 3 +−−= xxxg • Miền xác định [ ) +∞= ,1D • Đạo hàm : ⇔∈∀<−−= Dxxy 043 2' hàm số nghịch biến trên D Từ (*) ta có : )()( xgxf = . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.Ta thấy 1 = x thoả mãn phương trình Vậy phương trình có nghiệm 1 = x 4. 2 5 1 )223(log 13 2 3 2 =       +++− −− xx xx (*) Điều kiện : 023 2 ≥+− xx    ≥ ≤ ⇔ 2 1 x x Đặt 0,23 2 ≥+−= uxxu Lúc đó : 22 113 uxx −=−− Khi đó : (*) 2 5 1 )2(log 2 1 3 =       ++⇔ − u u (**) Xét hàm số : 2 1 3 5 1 )2(log)( x xxf −       ++= • Miền xác định: [ ) +∞= ,0D • Đạo hàm : 03ln.5.2. 5 1 3ln)2( 1 )( 2 ' >+ + = x x x xf , Dx ∈∀ Suy ra hàm số tăng trên D Mặc khác : 2)1( = f . Do đó (**) có dạng : )1()( fuf = 1 =⇔ u Với 2 53 1 ± =⇔= xu Vậy phương trình có nghiệm 2 53 ± = x 5. 21 )1(22 2 −=− −− x xxx Biến đổi phương trình về dạng : xxx xxx −+=−+ −− 21 2 212 (*) Xét hàm số txf t += 2)( • Miền xác định : RD = • Đạo hàm : Dttf t ∈∀>+= 012.2ln)(' Suy ra hàm số đồng biến Từ (*) có dạng )()1( 2 xxfxf −=− 11 2 =⇔−=−⇔ xxxx Vậy 1 = x là nghiệm của phương trình 6. 1sin4 1 5sin8 1 1sin45sin8 − − − =− −− xx ee xx Điều kiện : Rx ∈∀ Biến đổi phương trình về dạng : 1sin4 1 5sin8 1 1sin45sin8 − −= − − −− x e x e xx (*) Xét hàm số t etf t 1 )( −= • Miền xác định : RD = • Đạo hàm : Dx t exf t ∈∀>+= 0 1 )(' 2 Suy ra hàm số đồng biến. Từ (*) có dạng : 1sin45sin8)1sin4()5sin8( −=−⇔−=− xxxfxf    −=− −=− ⇔ xx xx sin415sin8 1sin45sin8     = = ⇔ 2 1 sin 1sin x x      +=∨+= += ⇔ π π π π π π 2 6 5 2 6 2 2 kxkx kx 7. 1111 22 =++++−+−+ xxxxxx Điều kiện :      ≥++++ ≥+−+ 011 01 2 2 xxx xxx      −−≥++ −≥+− ⇔ 11 1 2 2 xxx xxx Với          ≥+− ≥−    ≥+− ≤− ⇔−≥+− 22 2 2 1 0 01 0 1 xxx x xx x xxx x x x ∀⇔    ≤ ≥ ⇔ 0 0 Với          ++≥++ ≥−−    ≥++ ≤−− ⇔−−≥++ 121 01 01 01 11 22 2 2 xxxx x xx x xxx x x x ∀⇔    −≤ −≥ ⇔ 1 1 Vậy RD = Biến đổi phương trình về dạng : 1)1()1()1(11 22 ++−++++=+−+ xxxxxx 1)1()1()1()1(1 22 ++−+++++=++−+⇔ xxxxxxxx (*) Xét hàm số 1)( 2 +−+= ttttf • Miền xác định RD = • Đạo hàm : 1.14 1212 12 )'1( )(' 22 2 2 2 +−+−+ −++− = +−+ +−+ = ttttt ttt ttt ttt tf Nhận xét : 01212123)12(124441212 222 ≥−+−>−++−=−++−=−++− tttttttttt ⇔∀>⇒ xxf 0)(' hàm số đồng biến Khi đó : (*) 1)1()( +=⇔+=⇔ xxxfxf vô nghiệm Vậy phương trình vô nghiệm Loại 2:Giải các bất phương trình 1. 5429 >+++ xx 2. 1311632 22 −−−>+−−+− xxxxxx Bài làm: 1. 5429 >+++ xx (1) Điều kiện:    −≥⇔ ≥+ ≥+ 2 042 09 x x x (*) Xét hàm số 429)( +++== xxxfy • Miền xác định : [ ) +∞−= ,2D • Đạo hàm Dx xx xf ∈∀> + + + = 0 42 1 92 1 )(' Suy ra hàm số đồng biến trên D Ta có : 5)0( = f ,do đó : • Nếu 0 > x thì 5429)0()( >+++⇔> xxfxf , nên 0 > x là nghiệm • Nếu 02 ≤≤− x thì 5429)5()( ≤+++⇔≤ xxfxf nên 02 ≤≤− x không là nghiêm. Vậy với 0 > x là nghiệm của (1) 2. 1311632 22 −−−>+−−+− xxxxxx Điều kiện: 31 01 03 0116 032 2 2 ≤≤⇔        ≥− ≥− ≥+− ≥+− x x x xx xx (*) Biến đổi bất phương trình thânh: xxxxxx −++−>−++− 3116132 22 xxxx −++−>−++−⇔ 32)3(12)1( 22 (1) Xét hàm số tttf ++= 2)( 2 .Ta thấy hàm số đồng biến trên [ ] 3,1 Từ (1) ta có 231)3()1( >⇔−>−⇔−>− xxxxfxf So sánh với (*) ta có : 32 ≤< x là nghiệm của bất phương trình Loại 3: Giải các hệ phương trình 1.    =− −=−− yx xyx 4 3 )1( 11 2.      +=++ +=++ xyy yxx 323 323 2 2 3.      =+−+−+ =+−+−+ =+−+−+ xzzzz zyyyy yxxxx )1ln(33 )1ln(33 )1ln(33 23 23 23 Bài làm: 1.    =− −=−− yx xyx 4 3 )1( 11 Điều kiện :       ≥ ≥ ⇔ ≥ ≥− 0 1 0 01 y x y x Biến đổi tương đương hệ về dạng :    =− −=−−− yx xxx 4 32 )1( 1)1(1 Từ phương trình : 32 1)1(1 xxx −=−−− 221 23 +−+−=−⇔ xxxx (*) Ta thấy hàm số 1)( −= xxf là hàm đồng biến trên [ ) +∞ ,1 Xét hàm số 22)( 23 +−+−= xxxxg • Miền xác định : [ ) +∞= ,1D • Đạo hàm Dxxxxg ∈∀<−+−= 0223)(' 2 Suy ra hàm số nghich biến Từ (*) ta thấy 1 = x là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm )0,1( 2.      +=++ +=++ xyy yxx 323 323 2 2 Điều kiện:    ≥ ≥ 0 0 y x Biến đổi hệ      ++=+ +=++ yyx yxx 233 323 2 2 Cộng vế theo vế ta có : 333333 22 +++=+++ yyxx (*) Xét hàm số 333)( 2 +++= tttf • Miền xác định : [ ) +∞= ,1D • Đạo hàm : Dx t t t tf ∈∀>++ + = 01 2 3 3 )(' 2 Suy ra hàm số đồng biến Từ (*) ta có yxyfxf =⇔= )()( Lúc đó : 33 2 =++ xx • VT là hàm số hàm tăng • VP là hàm hằng • Ta thấy 1 = x là nghiệm Suy ra phương trình có nghiệm 1 = x là nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm ( ) 1,1 3.      =+−+−+ =+−+−+ =+−+−+ xzzzz zyyyy yxxxx )1ln(33 )1ln(33 )1ln(33 23 23 23 Xét hàm số )1ln(33)( 23 +−+−+= tttttf Lúc đó hệ có dạng      = = = xzf zyf yxf )( )( )( • Miền xác định: RD = • Đạo hàm : Rx tt t txf ∈∀> +− − ++= 0 12 12 33)(' 2 2 .Suy ra hàm số đồng biến trên D Ta giả sử ),,( zyx là nghiệm của hệ và { } zyxx ,,max = khi đó ta suy ra: xzfyfzzyfxfy =≥=⇒=≥= )()()()( Vậy zyxxzyx ==⇔≥≥≥ .Thay vào hệ ta có : xxxxx =+−+−+ )1ln(33 23 0)1ln(32 23 =+−+−+⇔ xxxx Ta thấy 1 = x là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT là đồng biến ) C) Bài tập tự luyện: Giải các phương trình,bất phương trình và các hệ sau: 1. 123 22 =−+−+− xxxx 2. 1233 23 −++−=− xxxx 3. xxx −=++− 4312 2 4. 1 1 12 1 112 − − − =− −− xx ee xx 5. 63)4(22 2346 2 −+−=− ++ mxm mxxm 6. 33.2tan tanlog 2 =+ x x 7. x xxx 4 cossinsin sin 2 1 2 1 222 =− 8. 0sin33).10sin3(3 2sin3sin2 =−+−+ −− xx xx 9.    =++ −=− 12 22 22 yxyx xy yx 10.    =−++ =−−++ 74324 025)3()14( 22 2 xyx yyxx 11. 11 2 ≥−+ xx 12. )3)(1(11 2 xxxx −+≥−+− 13. 32 211 xxxx −+−≤+ 14. xxx −≥−+ 933 15.      ++=+++ ++=+++ 35323 35323 2 2 xyy yxx 16.    =+ = 254 22 yx yx xy 17.      > =+ −=− 0, 32 22sin22sin yx yx xyyx π 18.        =−+− =−+− =−+− zxzz yzyy xyxx )6(log.62 )6(log.62 )6(log.62 3 2 3 2 3 2 19.    +−=−+ −=− 811 tantan yxy xyyx 20.        << +=+ = − 4 5 , )2(3110 sin sin 46 π π yx yx y x e yx . x là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT là đồng biến ) C) Bài tập tự luyện: Giải các phương trình, bất phương trình và các hệ sau: 1. 123 22 =−+−+−. trên D Ta giả sử ),, ( zyx là nghiệm của hệ và { } zyxx ,, max = khi đó ta suy ra: xzfyfzzyfxfy =≥=⇒=≥= )()()()( Vậy zyxxzyx ==⇔≥≥≥ .Thay vào hệ ta có : xxxxx