he lap 3 an

Ví dụ 1: Giải hệ phơng trình + = + = + = 2 3 2 3 2 3 2 6 log (6 ) 2 6 log (6 ) 2 6 log (6 ) . x x y x y y z y z z x z ( HSGQG Bảng A - 2006) Giải: Điều kiện: <, , 6.x y z Hệ đã cho tơng đơng với: = + = + = + 3 2 3 2 3 2 log (6 ) (6.28) 2 6 log (6 ) (6.29) 2 6 log (6 ) . (6.30) 2 6 x y x x y z y y z x z z Xét hàm số 2 ( ) 2 6 x f x x x = + trên < 6.x Có 2 2 6 '( ) 0 ( 2 6) 2 6 x f x x x x x = > + + với < 6.x ( )f x là hàm số đồng biến trên ( ;6). Hàm số 3 ( ) log (6 )g x x= trên ( ;6) có 1 '( ) 0 (6 )ln3 g x x = < với < 6.x ( )g x là hàm số nghịch biến với < 6.x Nếu ( , , )x y z là một nghiệm của hệ phơng trình. Ta chứng minh = = .x y z Không mất tính tổng quát ta giả sử max( , , )x x y z= thì có 2 trờng hợp Trờng hợp 1 : x y z . Do là hàm ( )g x nghịch biến, 3 3 3 log (6 ) log (6 ) log (6 ) .y z x x z y Do y z nên = .z y Từ (6.28) và (6.29) ta có = = .x y z Trờng hợp 2 : x z Tơng tự 3 3 3 log (6 ) log (6 ) log (6 ) .y x z z x y Do x z nên = .x z Từ (6.28) và (6.30) ta lại có = = .x y z Phơng trình ( ) ( )f x g x= có nghiệm duy nhất = 3.x Vậy hệ phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất ( , , ) (3,3,3)x y z = . Chú ý: Đối với hệ phơng trình có dạng ( ) ( ) ( ) y f x z f y x f z = = = ( Đợc gọi là hệ lặp 3 ẩn ) Trong đó ( )f x là hàm số xác định trên D và đồng biến trên D. Ta tìm miền giá trị của hàm số ( )f x trên D. Giả sử ( , , )x y z là nghiệm của hệ trên. Không mất tính tổng quát ta xét hai trờng hợp sau: Trờng hợp 1: x y = = ( ) ( ) . ( ) ( ) f x f y y z x y z x x y z f z f x z x Trờng hợp 2: x y< < < < < < < < ( ) ( ) . ( ) ( ) f x f y y z x y z x f z f x z x ( vô lý ) Với x y z= = thay vào giải phơng trình ( )x f x= . Ví dụ 2: Giải hệ phơng trình sau + = + = + = 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0. y x x z y y x z z (6.31) Giải: Ta có = + = + = + 2 3 2 3 2 3 6 12 8 (6.31) 6 12 8 (6.32) 6 12 8. y x x z y y x z z Xét hàm số 2 3 ( ) 6 12 8f t t t= + . Do + 2 3 6 12 8 2 ( ) 2.t t f t + 3 , , [ 2; ).x y z Có = = = + 2 2 3 12 12 '( ) , '( ) 0 1. 3 (6 12 8) t f t f t t t t '( ) 0 1 ( )f t t f t> > đồng biến trên +(1; ). Chứng tỏ hàm số ( )f t đồng biến trên 3 ( 2; )+ do + + 3 (1; ) ( 2; ). Hệ (6.32) viết lại nh sau ( ) ( ) ( ) y f x z f y x f z = = = Giả sử ( , , )x y z là nghiệm của hệ (6.31). Không mất tính tổng quát ta giả sử: Nếu x y ( ) ( ) . ( ) ( ) f x f y y z x y z x f z f x z x = = .x y z Nếu x y< ( ) ( ) ( ) ( ) f x f y y z x y z x f z f x z x < < < < < < < ( vô lý ). Với = = = + = 3 2 (6.31) ( ) 6 12 8 0x y z x f x x x x = = 3 ( 2) 0 2.x x Do đó hệ có nghiệm là = = = 2.x y z Nhận xét: Cộng vế với vế của ba phơng trình của hệ ta đợc : − + − + − = 3 3 3 ( 2) ( 2) ( 2) 0.x y z C¸c b¹n thö ®i chøng minh 2x y z= = = lµ nghiÖm duy nhÊt cña hÖ ph¬ng tr×nh trªn b»ng c¸ch viÕt l¹i hÖ 3 3 3 8 6 ( 2) 8 6 ( 2) 8 6 ( 2) y x x z y y x z z  − = −  − = −   − = −  XÐt 2 trêng hîp 2x > vµ 0 2x< < dÉn ®Õn ®iÒu v« lý. . + = 3 2 3 2 3 2 6 12 8 0 6 12 8 0 6 12 8 0. y x x z y y x z z (6 .31 ) Giải: Ta có = + = + = + 2 3 2 3 2 3 6 12 8 (6 .31 ) 6 12 8 (6 .32 ) 6 12. 3 3 3 log (6 ) log (6 ) log (6 ) .y z x x z y Do y z nên = .z y Từ (6.28) và (6.29) ta có = = .x y z Trờng hợp 2 : x z Tơng tự 3 3 3 log