Kiểm tra học kỳ 1 lớp 12 năm học 2014-2015. Hướng dẫn chấm và Biểu điểm đề chính thức môn Toán. 1/4 SỞ GDĐT TỈNH ĐỒNG NAI KIỂM TRA HỌC KỲ I LỚP 12 NĂM HỌC 2014-2015 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Môn Toán (đề chính thức) Câu Nội dung Biểu điểm (đ) 1 . 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): = 1,5 đ y = 1 2 ·x 4 – x 2 – 1 (C). Tập xác định . y ' = 2x 3 – 2x = 2x x 2 – 1 . Vậy y ' = 0 x = 0 hoặc x = 1. 0,25 đ y ' < 0 x < –1 hoặc 0 < x < 1, y ' > 0 –1 < x < 0 hoặc x > 1. Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng (–1 ; 0), (1 ; +); nghịch biến trên mỗi khoảng (– ; –1), (0 ; 1). Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = 0, giá trị cực đại y(0) = –1. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = 1, giá trị cực tiểu y(1) = –3 2 · 0,25 đ lim x → – y = +, lim x → + y = +. 0,25 đ Bảng biến thiên: x – –1 0 1 + y ' – 0 + 0 – 0 + y + + –1 –3 2 –3 2 0,25 đ Đồ thị ( C ) qua những điểm (–2 ; 3), (2 ; 3), nhận O y làm trục đối xứng: 0,5 đ 1. 2) Viết phương trình tiếp tuyến: = 1,0 đ Vì M(x M ; y M ) (C) và y M = 3 nên 3 = 1 2 · x M 4 – x M 2 – 1 0,25 đ x M 4 – 2 x M 2 – 8 = 0 x M 2 = –2 hoặc x M 2 = 4 x M = –2 (vì x M < 0) 0,25 đ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 1. 2) tiếp Tiếp tuyến đã cho có hệ số y ' (–2) = –12 0,25 đ Tiếp tuyến đã cho là tiếp tuyến của (C) tại điểm M(–2 ; 3) có phương trình y = –12( x + 2) + 3 y = –12 x – 21. 0,25 đ 2 . 1) Tìm giá trị nhỏ nhất: = 1,0 đ Hàm số y = x – e x liên tục trên [–2 ; 2]. y ' = 1 ̶ e x 0,25 đ y ' = 0 x = 0 [–2 ; 2]. 0,25 đ Mà y(2) = 2 – e 2 < y(–2) = –2 – 1 e 2 < y(0) = –1. Vậy min [–2 ; 2] y = 2 – e 2 . 0,5 đ 2. 2) Tính đạo hàm: = 0,5 đ y = ln(cos2 x ) y ' = 1 cos2 x (cos2 x ) ' = –2tan(2 x ), x thỏa cos2 x > 0. 0,25 đ Suy ra y ' 8 = –2. 0,25 đ 3. Tìm các số thực x: = 1,0 đ 100 x + 10 = 10 x + 1 + 10 x 10 x 2 – 11.10 x + 10 = 0 0,5 đ 10 x = 10 hoặc 10 x = 1 x = 0 hoặc x = 1. Tập các giá trị cần tìm {0 ; 1}. 0,5 đ Cách 2: 100 x + 10 = 10 x + 1 + 10 x 10 x (10 x – 10) – ( 10 x – 10) = 0 0,25 đ (10 x – 10)(10 x – 1) = 0 0,25 đ 10 x = 10 hoặc 10 x = 1 x = 0 hoặc x = 1. Tập các giá trị cần tìm {0 ; 1}. 0,5 đ 4. Tính bán kính, diện tích mặt cầu; thể tích khối cầu: = 1,0 đ Mặt cầu (S) đã cho có bán kính r = (6a) 2 + (8a) 2 = 10a. 0,5 đ Vậy mặt cầu (S) đã cho có diện tích bằng 4(10a) 2 = 400a 2 . 0,25 đ Khối cầu (S) đã cho có thể tích bằng 4 3 ·(10a) 3 = 4000a 3 3 · 0,25 đ 5. Tính theo a thể tích: = 1,0 đ Gọi D là trung điểm cạnh AB. 0,25 đ (chưa vẽ E, F, I) SD AB (vì SA = SB nên SAB cân tại S). Vì SD ( SAB ) ( ABC ), ( SAB ) ( ABC ) = AB nên S D ( ABC ). 0,25 đ D S B A C E F I www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Kiểm tra học kỳ 1 lớp 12 năm học 2014-2015. Hướng dẫn chấm và Biểu điểm đề chính thức môn Toán. 3/4 5. tiếp Góc giũa SC và mặt phẳng (ABC) là SCD = 60 0 . SDC vuông tại D có SD = CD.tan60 0 = 3a (vì CD là đường cao tam giác đều ABC cạnh 2a nên CD = a 3 ). 0,25 đ Tam giác đều ABC cạnh 2a có diện tích bằng a 2 3 . Vậy khối chóp S.ABC có thể tích V = 1 3 ·SD.a 2 3 = a 3 3 . 0,25 đ Tính d(A, (SBC)): = 0,5 đ d(A, (SBC) = 2d(D, (SBC), do AB = 2DB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, BE DF // AE và AE BC DF BC. Mà BC SD, do SD (ABC). Suy ra BC (SDF) 0,25 đ Vẽ DI SF, I SF DI BC. Vậy DI (SBC). SDF vuông tại D có 1 DI 2 = 1 DF 2 + 1 SD 2 = 13 9a 2 ; vì DF = AE 2 = a 3 2 · Do đó d(A, (SBC) = 2DI = 6a 13 13 · 0,25 đ 6 . 1) Chứng minh hàm số đồng biến: = 0,75 đ Hàm số f(x) = x 3 + x – 1 – 9 xác định trên (1 ; +). 0,25 đ [f(x)] ' = 3x 2 + 1 2 x – 1 > 0, x > 1. Vậy f(x) đồng biến trên (1 ; +). 0,5 đ 6. 2) Tìm tập xác định của hàm số: = 0,75 đ Gọi D là tập xác định của hàm số y = log 3 x 3 + x – 1 – 9 (1) x D x thỏa x 1 x 3 + x – 1 – 9 > 0 (2). 0,25 đ Hàm số f(x) = x 3 + x – 1 – 9 liên tục trên [1 ; +), đồng biến trên (1 ; +) (câu 6.1); mà f(2) = 0. 0,25 đ Vậy (2) x > 2. Do đó hàm số (1) có tập xác định D = (2 ; +). 0,25 đ 7. 1) Tính S và V: = 0,5 đ Vì hình hộp chữ nhật đã cho có ba kích thước là a, b, c nên: Tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật đã cho là: S = 2(ab + bc + ca). 0,25 đ Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho là V = abc. 0,25 đ 7. 2) Tìm giá trị lớn nhất của V: = 0,5 đ Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số dương: 12 + 3 (abc) 2 = ab + bc + ca + 3 (abc) 2 2 ab 2 c + 2 ca 3 (abc) 2 4 4 (abc) 2 . 3 (abc) 2 = 4 3 (abc) 2 0,25 đ V = abc 8; với mọi 0 < a, b, c thỏa ab + bc + ca = 12. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Do đó maxV = 8. 0,25 đ www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Kiểm tra học kỳ 1 lớp 12 năm học 2014-2015. Hướng dẫn chấm và Biểu điểm đề chính thức môn Toán. 4/4 7. 2) tiếp Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho ba số dương: 12 = ab + bc + ca 3 3 (abc) 2 . 0,25 đ V = abc 8; với mọi 0 < a, b, c thỏa ab + bc + ca = 12. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Do đó maxV = 8. 0,25 đ Hướng dẫn chung: Nếu học sinh giải cách khác đúng thì được điểm tối đa theo quy định và thống nhất cách cho điểm thành phần trên cơ sở của Hướng dẫn chấm và Biểu điểm này. Làm tròn tổng điểm của bài kiểm tra thực hiện theo Điều 8, khoản 4 tại Quy chế đánh giá, xếp loại học sinh trung học cơ sở và học sinh trung học phổ thông (THPT) ban hành kèm theo Thông tư số 58/2011/TT-BGDĐT ngày 12/12/2011 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. Sở Giáo dục và Đào tạo yêu cầu Tổ Giám khảo môn Toán căn cứ Hướng dẫn chấm và Biểu điểm này, họp thống nhất trước khi chấm. Việc họp thống nhất trước khi chấm vận dụng theo Điều 25, khoản 2, điểm d của Quy chế thi tốt nghiệp THPT ban hành kèm theo Thông tư số 10/2012/TT-BGDĐT ngày 06/3/2012 của Bộ Giáo dục và Đào tạo. . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . hoặc x M 2 = 4 x M = –2 (vì x M < 0) 0,25 đ www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com 1. 2) tiếp Tiếp tuyến đã cho có hệ số y ' (–2) = –12 0,25 đ Tiếp. ( SAB ) ( ABC ) = AB nên S D ( ABC ). 0,25 đ D S B A C E F I www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com Kiểm tra học kỳ 1 lớp 12 năm học 2014-2015. Hướng dẫn chấm và Biểu điểm đề. bc + ca = 12. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 2. Do đó maxV = 8. 0,25 đ www .MATHVN. com www.DeThiThuDaiHoc .com Kiểm tra học kỳ 1 lớp 12 năm học 2014-2015. Hướng dẫn chấm và Biểu điểm đề