Vận Dụng Lý Thuyết Kiến Tạo Trong Dạy Học Chủ Đề Cấp Số Cộng Và Cấp Số Nhân

1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ‐‐‐‐‐‐‐‐ Người thực hiện: Nguyễn Bảo An Nguyễn Đắc Hiếu Nguyễn Thị Nhã Trúc Lê Thanh Thoại VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN Huế, tháng 9 năm 2014 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU 3 I. SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO 4 II. VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 5 A. DẠY HỌC CẤP SỐ CỘNG 5 1. Hình thành định nghĩa cấp số cộng. 5 2. Hình thành tính chất của cấp số cộng 7 3. Số hạng tổng quát của cấp số cộng 8 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng 9 B. DẠY HỌC CẤP SỐ NHÂN 11 1. Hình thành định nghĩa cấp số nhân 11 2. Tính chất của cấp số nhân 13 3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân 14 4. Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân. 16 KẾT LUẬN 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 3 LỜI NÓI ĐẦU  .      .          . Cp s cng và cp s nhân là mt ni dung quan tri s và gii tích 11. Nó giúp chúng ta gii quyt các bài thc t n tit ngân hàng, li nhu  giúp hc sinh hc tp ch  này tt    c ch ng dy hc, vic vn dng lý thuyt kin to vào dy hc cp s nhân và cp s cu cn thit. Qua phn này, mong rng các bn s  c nhi u thú v khi vn dng lý thuyt kin to vào dy hc Toán nói chung và dy hc ch  cp s cng, cp s nhân nói riêng. Hu Nhóm tác gi 4 I. SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT KIẾN TẠO  n: Kin tng nên mt  i khng ra lý thuyt kin to là Jean Piaget (1896  1980)  nhà tâm lý hc, sinh h i Th  sut cu i, ông ch i mt m : xây dng mt hc thuyt v s phát sinh tri thc. Ông nghiên c tr li câu hi: tri thn v nào? Câu tr li ca ông chính là thuyt kin to. Nhng lun ca thuyt kin to: - Tri thc kin to mt cách tích cc bi ch th nhn thc, không phi tip thu mt cách th ng t ng bên ngoài. - Nhn thc là mt quá trình thích nghi và t chc li th gii quan ca chính mi i. - Hc là mt quá trình mang tính xã h em dn t hòa mình vào các hong trí tu ca nhi xung quanh. - Nhng tri thc mi ca mi cá nhân nhc t viu chnh li th gii quan ca h  c nhng yêu cu mà t nhiên và thc trng xã ht ra. - Hc tri thc mi theo chu trình: tri th d  kim nghim  (tht bi ) thích nghi  tri thc mi. m kin to v Toán: - Toán ht s sáng to ci, phát trin bên trong các ng cnh  - Thông qua các hoi kin to các khái nim toán hc cho phép h cu trúc nên các tri nghim và gii quyt v. - Toán hc còn bao gm nhng dng biu din nhng chuyn bin ca các v, nhng minh và các tiêu chun, chng c. m v  - Mong ch s ng hp lý, phong cách riêng ca hc sinh khi tip cn ni dung toán hc. - Ga s cái mà hc sinh làm là hp lý ri tìm cách mô t nó t m ca hc sinh. 5 - Kho sát vic s dng ví d, hình  to nên mô hình th hin c s hiu bit ci hc v ni dung toán h Dy hc theo thuyt kin t cao vai trò tích cc, ch ng ca h làm lu m vai trò cm bo mc tiêu giáo dc. y, dy hc theo lý thuyt kin to là kiu dy ht k tình hung cho hc sinh tham gia kin thit, to dng và bii các tri tha  phù hp vi tình hung mi và có nhn thc mc t vào tình hung mà  i hc cm thy cn thit và có kh i quyi hc s kin tc kin to mt cách tích cc bi ch th nhn thc. II. VẬN DỤNG LÝ THUYẾT KIẾN TẠO TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN A. DẠY HỌC CẤP SỐ CỘNG 1. Hình thành định nghĩa cấp số cộng. Sau khi hc hc nht ca mt dãy s ra v  ?1. Cho các dãy s sau:   12 Các s hng trong mi dãy s i liên h gì? Hc sinh va mc hc v dãy s, nên vi kin thc hin ti, hc sinh s  tìm ra câu tr li: Dãy s th 1: s hng sau bng s hc c v, dãy s th 2: s hng sau bng s hc c, dãy s th 3: s hng sau bng s hc c. Giáo viên tip tc yêu cu 1 hc sinh lên bng vit tip 5 s hng tip theo vào mi dãy s trên. 6 Sau khi hc sinh t c câu tr li cho câu hi c th trên, giáo viên s tng quát hóa li câu tr li là: các dãy s t quy lut là s ng sau bng s ng c cng cho mt s d i. T i thiu các dãy s có tính cht  s c khác nhau ca khoa h c t cuc si ta gi các dãy s y là nhng cp s cng. Vi kt qu c c th  trên, giáo viên yêu cu hc sinh phát bip s cng ri giáo viên chính xác hóa lp s c “CSC là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng các số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là: (u n ) là cấp số cộng           Số d được gọi là công sai của cấp số cộng” Vi vi nhng dãy s c th và gii quyt các v t ra, hc sinh n tc tri thc mp s cng. p s cng, giáo vt s ví d  giúp hc sinh cng c, khc sâu kin thc va hc ?2. Dãy s i là mt CSC không. Nu phnh công sai d ? ?3. Trong các dãy s sau, dãy s nào là cp s cng? Nu là cp s cng thì công sai d là bao nhiêu? a)  1 2 4 1 3 3 3 c) ; ; ; ; b) -7, -2, 3, 8, 13 d) 3,5; 5; 6,5; 8; 9,5; 11. ?4. Cho ( u n ) là mt s CSC có 1 13u  , d = 3. Hãy vit dng khai trin ca nó. T c hc, hc sinh có th gii quyc câu hi trên. Giáo viên yêu cu hc sinh lên bng trình bày li gii cho các bài tp trên. Tip theo giáo viên mun hc sinh bi có th chng minh mt dãy s là mt CSC,  ?5. Chng minh các dãy s sau là mt CSC. a) 1; -2; -5; -8; - b)                    ng dn hc sinh gii bài toán trên: yêu cu hc sinh tính hiu ca 2 s hng lin nhau  mi dãy s trên. a) Ta thy mi s hu bng s hng c cng cho (-3) chng hn -2 = 1 + (-3) 7 b) Ta có 1 2 nn uu   vy (u n ) chính là mt CSC vi công sai d = 2. T bài toán trên, giáo viên yêu cu h chng minh mt dãy s là mt CSC. Hc sinh da vào cách làm ca bài toán c th  c chng minh mt dãy s nh sa và chính xác hóa l - B 1 : Tính hiu u n+1 - u n = d - B 2 : Nu d là hng s thì (u n ) là mt CSC. 2. Hình thành tính chất của cấp số cộng t v bng bài tp nh sau: ?1: Biu din mt s s hng ca CSC sau  trên trc s: -5,-9/2,-4,-7/2,- u din các s hng ca CSC trên trc s cho hc sinh quan sát trc s ri tr li mt s câu hi ca giáo viên: ?2: Nhn xét gì v m u 3 so vm lin k bên c dài cn u 2 u 3 n u 3 u 4 . Hc sinh d dàng nhn thy u 3 m cn u 3 u 4 . T p tt nhng câu hi tng quát  ?3. Hãy tính   và   theo   và d ?4. Suy ra   t ng thc  ?3 ?5. 2 k u =? T  k u =? theo 1k u  và 1k u  T c hc, hc sinh d dàng tr lc các câu hi va c kt qu là: 1kk u u d   và 1kk u u d   c          u 1 u 2 u 3 u 5 u 4 -5 92 -4 72 -3 8 Khi hc sinh vc biu thc trên thì giáo viên gii thiu cho hc sinh biu tht tính cht ca CSC. T nh lý nói v tính cht này: “ Nếu     là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nớ trong dãy, tức là:         Sau khi vc hc tính cht này, giáo viên t bài t hc sinh áp dng và khc sâu tính ch 3. Số hạng tổng quát của cấp số cộng Sau khi hc sinh nhn bic th nào là mt cp s cng khi nhìn vào mt dãy s thì hc sinh s thc m c dng tng quát ca dãy s  giúp hc sinh gii quyt v này giáo viên yêu cu hc sinh thc hin các yêu cu sau: ?1:Cho CSC (u n ) vi u 1 và d. Tính u 2 ,u 3 ,u 4 theo u 1 và d. T  n , biu din u n theo u 1 và d. Sau khi ht ca cp s cng hc sinh bic s hng sau luôn bng s hc cng vi hng s i gi là công sai d. T c sinh s tr li câu h  21 u u d ,             ,              Khái quát hóa lên             với    T nh lý v s hng tng quát ca cp s cng: “Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d thì số hạng tổng quát u n của nó được xác định theo công thức sau: u n = u 1 + (n-1)d.” Yêu cu hc sinh tho lun nhóm và ch chnh lý trên, giáo viên yêu cu hc sinh nhc lng minh quy np.  hc sinh hinh lý giáo viên cho hc sinh thc hin hong sau: ?2: Cho CSC ( u n ) vi: u 1 = -5 và 12d  . a) Tính 15 18 u ,u . b) s 45 là s hng th bao nhiêu c 9 c) S 13 có phi là s hng c Vc hc v nh lý s hng tng quát hc sinh gi a)Ta có: u n = u 1 + (n-1)d. Suy ra u 15 = u 1 + (15-1)d = 15 18 17 5 14 2 22 u . ; u     b) Gi s 45 là s hng th    1 45 5 1 2 n     n = 101. Vậy 45 là s hng th 101 ca dãy.          Vy 13 không phi là mt s hng ca CSC. 4. Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng Bây gi giáo viên yêu cu hc sinh tính tng n s hu tiên ca mt cp s cng. Vic làm này là không h n v giúp hc sinh gii quyt v này giáo viên s gi ý cho hc sinh thông qua các câu hi sau: ?1: Cho CSC (u n ) vi công sai d. Vit các s hng theo th t c li. Câu tr lc th hin qua bng sau: u 1 u 2 u 3 u 4  u n-1 u n u n u n-1 u n-2 u n-3 u 2 u 1 ?2: Tính các tng u 2 +u n-1 , u 3 +u n-2 theo u 1 và u n Giáo viên cho hc sinh tính ri gi lên bng vit kt qu  : u 2 +u n-1 = u 3 +u n-2 =u 1 +u n ?3: Xét n s hu tiên trong CSC có bao nhiêu cp s có tng bng u 1 +u n Hc sinh d dàng bic là có n/2 cp 10 ?4: T t qu gì v tng n s hu tiên ca 1 CSC : S n = u 1 +u 2 +u 3  n- 1 +u n Suy ra          ?5: Thay 1 ( 1) n u u n d   vào công thc công thc gì ? Vy          Cui cùng giáo viên ch ra rng công thc S n va rút ra  các câu hi trên chính là công thc tính tng n s hu tiên ca cp s cng. Giáo viên phát binh lý : Giả sử (u n ) là một cấp số cộng. Với mỗi số nguyên dương n gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên của nó(S n = u 1 + u 2 + …+ u n ). Khi đó ta có :          Giáo viên giúp hc sinh ghi nh nh lý thông qua ví d sau: ?6: Cho CSC (u n ) có u 1 =-2 và có công sai d=2. Hãy tính tng 17 s hu tiên ca cp s  Hc sinh s áp dng công thc va mi h tính. Cách 1: Ta có u 1 = -2, u 17 =-2+16.2=30 S 17 =                 Cách 2:                          y, vn dng lý thuyt kin to vi s  ca giáo viên, hc sinh t kin thit t, s hng tng quát và tng ca n s hu tiên ca mt cp s cng. c sinh nm vc ni dung kin thc và cách gii các bài tp v mt cp s cng [...]...B DẠY HỌC CẤP SỐ NHÂN 1 Hình thành định nghĩa cấp số nhân ỏi g i mở h Ví d : cho các dãy s sau: 2; 6; 18; 54; 162;… 1 25; 2 5; 5; 10; 20; 40;… 1/3; 4/3; 16/3; 64/3; 256/3;… Giáo viên nêu câu hỏi: ?1 Các s h ng trong mỗi dãy s trên có quan h gì v i nhau? : D 1: h ng sau b ng s h c nó nhân v i 2, dãy 3: s h H c sinh d c m i quan h nhân v i 3, dãy 2: s h ng sau b ng s h b ng s h ng sau nhân v i... lí ở sách giáo khoa Nếu un là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy un2=un-1.un+1 y thông qua vi c tìm m i quan h b ng ho ng phân tích t ng h p, h t nh lí, vi c d y b ng lí thuy t ki n t o giúp các em d nh th y quen thu c v tìm ra m Ở ỉ ng dẫn và t ng h p l i, còn t t c ki n th... nêu n nh lý: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu : q 0 thì số hạng tổng quát : của nó được xác định bởi công thức: và công bội Qua ph n này các em t tìm ra công th c t ng quát c a m t c p s nhân khi bi t s h ng th nh t và công b y sau ph gi i quy t v ề gặp ph i ở ph n trên Ho ng này h qua vi c này, các em hi toán khó m t cách có th t ki n t o ra tri th c cho mình t nh ẵn thông xử lí các bài và h th ng... t c nh ĩ nh lý hay cách gi i bài t p c a c p s nhân, c p s c ng V n d ng lý thuy t ki n t o trong d y h c ch ề này giúp cho h c sinh ti p thu ki n th c nhanh, khắc sâu ki n th c sinh có th v n d ng d dàng, tránh vi c h c sinh h c t p m t cách th ng, máy móc ề tài này, ta có th h c ki n t o : ú c b ng so sánh gi a l p h c truyền th ng và l p Lớp học truyền thống C ng d y bắ Lớp học kiến tạo u v i các... u1-un+1=u1-u1.qn=u1(1-qn) Sn(1-q) = u1(1-qn) suy ra: K c p s nhân ẽ k t lu M t h c sinh nhắc l Nếu ( c tính t ng c a n s h nh lí v a h c: được tính theo công thức là một cấp số nhân với công bội q 1 thì giúp h c sinh c ng s nh lý v a h c: Cho c p s nhân (un) có u3=24, và u4=48 tìm t ng c Đ gi i bài t 1 h t các câu hỏi g i ý: ?1 em hãy tìm công b i c a c p s nhân? ?2 bây gi hãy tìm s h u tiên c a u tiên c a c... i tr c ng gi i cho các bài toán có nhiề nh lí v a h c 3 Số hạng tổng quát của cấp số nhân Ở ví d th gi i quy H c u2 và u4 khi bi t u1 và u3 V y bây gi , li u các em có c u100 hay không? H c sinh sẽ gặ gi i quy t v ề này V c câu hỏi nêu ra ở trên, giáo viên sẽ ặt ra v n ề sau n hành theo yêu c u c a giáo viên: Cho c p s nhân (un) có s h u là u1 và công b i q 0 14 ?1 Bi u di n u2 theo u1? ?2 Bi u di n... quát c a c p s nhân, giáo viên cho h c sinh áp d ng ki n th c v a h c ngay vào bài t p giúp các em có th ti p thu ki n th c m t cách tr c ti p Thông qua bài t p này c ng c thêm về ki n th c v a h c Ví dụ: Cho c p s nhân (un) có u1= 3, u5=48 và công b i q >0.Tìm s h ng t ng quát và tính u10? th ng câu hỏi: ?1 Mu n tìm s h ng t ng quát c a 1 c p s nhân ta c n tìm nh ng cái gì? ?2 T u1 và u5 ta có th... có th tính công b i q c a c p s nhân trên hay không? ?3 T rút ra công th c t ng quát là gi? ?4 V n d ng công th c v D tìm un v i n=10 ng dẫn c a giáo viên h c sinh hoàn thành bài t p 15 4 Tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân ĩ H l i các câu hỏi dẫn dắt ?1 Ở c p s c ?2 G i Sn là t ng c a n s h ?3 u tiên, v y ở c p s nhân thì sao? t t ng n s h u tiên c a c p s nhân( un), có công b i q, bi u di... t p và d y h c b ng lí thuy t ki n t o,h c sinh có th t mình tìm ra ki n th c về ĩ ng gi i các bài t ắc sâu ki n th c về ĩ ũ c gi i bài t p H c sinh sẽ t ng gi i quy t cho các bài t p khác ĩ p nh m áp d c tìm các s h ng c a m t c p s nhân c th Bài toán: Tìm c p s nhân có 5 s h ng v i s h Trong bài t h c H ĩ t khi tính u3, u4, u5? u u1=2, công b i q=-2 l i câu hỏ : “ i u1 và q em có th Tuy nhiên trong. .. sinh tr l i câu hỏ c ? Đ bi ĩ ng dẫn h c sinh làm bài t c u2 i mở ng h p n ỉ bi t c hay không ta sẽ h c ph n sau 12 và a ?” hình thành ta có th tính 2 Tính chất của cấp số nhân Giáo viên ti n hành ho ng dẫn dắt h c sinh vào ph nh lí Giáo viên yêu c u m t h c sinh nhắc l nh lí th nh t trong bài c p s c ng, h c sinh nhắc l 1: “ u (un) là m t c p s c ng thì k t s h ng th hai, mỗi s h ng (tr s h ng cu