Đề thi chọn HSG cấp trường môn Toán 11 - 2013

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN. KHỐI 11. NĂM HỌC 2012- 2013 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm 01 trang gồm có 06 câu) Câu 1(4 điểm) Giải các phương trình sau: a. ( ) 12sin32 2 sin =−+       + xx π π b. 3 cos)12cos2(3cos π =+xx Câu 2 (4 điểm) a. Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự lập thành cấp số cộng: 012)1(2 24 =+++− mxmx b. Biết tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của n x)1( + là 512. Tìm hệ số của 5 x trong khai triển ( ) n xx 31 2 + . Câu 3 (2 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định như sau:      ≥+= = − 2;2 2 1 1 nuu u nn Chứng minh rằng: 1 2 cos2 + = n n u π Câu 4 (2 điểm) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 xét tập hợp E gồm các số có 7 chữ số khác nhau viết từ các số đã cho. Chứng minh rằng tổng S tất cả các số của tập E chia hết cho 9. Câu 5 (4 điểm) a. Tính giới hạn sau:         ++− ++ + + + ∞→ 1212 1 53 1 31 11 lim nnn n b. Chứng minh rằng phương trình : 0324 24 =−−+ xxx có ít nhất hai nghiệm trái dấu trong khoảng (-1 ; 1). Câu 6 (4 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a. Chứng minh rằng các đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b. Tính cosin của góc hợp bởi các đường thẳng AC và BD theo a, b, và c. Hết SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11. NĂM HỌC 2012- 2013 Câu ý Nội dung Điểm 1 a ( ) Zk kx kx x xx xx ∈     = += ⇔ ==       −⇔ =+⇔ =−+       + , 3 3 cos 2 1 3 2cos 12sin32cos 12sin32 2 sin π π π ππ π π 0.5 0.5 0.5 0.5 b ( ) ( ) 213cos2cos25cos2 13cos22cos.3cos4 1)12cos2(3cos2 1 3 cos)12cos2(3cos =++⇔ =+⇔ =+⇔ =+ xxx xxx xx xx π + Xét π kxx =⇔= 0sin không phải là nghiệm của phương trình. Nhân 2 vế của (2) với sinx và biến đổi ta được: Zk k x k x xx ∈       += = ⇔= , 7 2 7 5 2 sin6sin ππ π 0.5 0.5 1 2 a Đặt : 012)1(2 24 =+++− mxmx (1) Đặt : 2 xt = khi đó (1) trở thành: ( ) 2012)1(2 2 =+++− mtmt Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt: .0 21 tt << ĐK:      −> ≠ ⇔      >+= >+= >=∆ ′ 2 1 0 012 0)1(2 0 2 m m mP mS m Theo yêu cầu bài toán ta có: 12 9tt = , từ đó giải ra được m = 4; m= -4/9. Khi đó: + m= 4 thì 4 nghiệm của pt đã cho là : -3; -1; 1; 3. + m= - 4/9 thì 4 nghiệm của pt đã cho là: -1; -1/3; 1/3; 1 ĐS: m=4; m= - 4/9 0.5 0.5 0.5 0.5 b SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN Ta có: ( ) n n n nnn n CxCxxCCx ++++=+ 1 2210 Cho: nn nnn CCCx 2 :1 10 =+++= Cho: ( ) 01 :1 10 =−++−−= n n n nn CCCx Suy ra : 1220 2 − =++++ nk nnn CCC Theo giả thiết: 1025122 91 =⇒== − n n Từ đó ta có: ( ) 2 10 0 10 10 0 10 2 10 2 .33.31 + == ∑∑ ==+ kk k kkk k k xCxCxxx Ta được hệ số của x 5 là 3240 0.5 0.5 0.5 0.5 3 Ta có : ⇒=== 2 1 2 cos.2 2 2 .22 π u đúng với n = 1. Giả sử : 1 2 cos2 + = k k u π . Ta đi chứng minh: 2 1 2 cos2 + + = k k u π Thật vậy: 2 22 2 11 1 2 cos2 2 cos2 2 cos2.2 2 cos12 2 cos222 + ++++ + = ==       +=+=+= k kkkk kk uu π ππππ Vì 2 2 0 2 ππ << +k nên 0 2 cos 2 > +k π Vậy ta luôn có: 1 2 cos2 + = n n u π 0.5 0.5 0.5 0.5 4 Từ tập E ta có thể lập được 7! = 5040 số gồm 7 chữ số khác nhau. Nhận xét rằng các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 xuất hiện ở các hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn …720 lần, từ đó ( ) ( ) 9)10 10.(28.720 7654321720.10 7654321720.10 06 06 ++= =++++++++++++++=S Vì 9720  0.5 0.5 0.5 0.5 5 a . 2 2 2 112 lim 2 1212 5735311 lim 1212 1 53 1 31 11 lim = −+ =         −−+++−+−++− =         ++− ++ + + + ∞→ ∞→ ∞→ n n nn n nnn n n n 1 1 b Xét hàm số : 324)( 24 −−+= xxxxf xác định trên R nên liên tục trên R. Ta có : f(-1) = 4; f(0) = -3; f(1) = 2. Vậy f(-1) f(0) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm âm trong khoảng (-1; 0) Và f(0) f(1) < 0 nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương trong khoảng (0; 1) 0.5 0.5 0.5 0.5 (ĐPCM) 6 a A I K D B J C Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD; Hai tam giác ABC và ABD bằng nhau vì :      = = ADBC BDAC chungAB Suy ra 2 trung tuyến tương ứng bằng nhau : CI = DI Tam giác ICD cân tại I nên trung tuyến IJ cũng là đường cao nên CDIJ ⊥ . Tương tự : JABJAJBACDBCD ∆⇒=⇒∆=∆ cân tại J nên trung tuyến JI cũng là đường cao ABJI ⊥⇒ Vậy IJ vuông góc với hai cạnh đối AB và CD. Chứng minh tương tự cho các cặp cạnh đối còn lại. 0.5 0.5 0.5 0.5 b Gọi K là trung điểm AD. Ta có : 22 ; 22 bAC JK bBD IK ==== . Trong tam giác ABC có đường trung tuyến CI có: 4 22 2 2 222 2 2 222 acb CI AB CICBCA −+ =⇒+=+ Tam giác IJC vuông tại J: =−= 222 CJCIIJ 244 22 2222222 acbaacb −+ == −+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác IJK: 2 22 222 cos cos 2 b ca JKI JKIKJIKKJIKIJ − =⇔ −+=   Mà IK//BD, KJ//AC mà góc hợp bởi hai đường thẳng AC và BD là góc nhọn Nên ( ) 2 22 cos, ˆ cos b ca JKIBDCA − ==  0.5 0.5 0.5 0.5 . ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN. KHỐI 11. NĂM HỌC 201 2- 2013 Thời gian : 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ( Đề thi gồm 01 trang gồm có 06 câu) Câu. BD theo a, b, và c. Hết SỞ GD & ĐT THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐÁP ÁN MÔN TOÁN KỲ THI CHỌN HSG CẤP TRƯỜNG KHỐI 11. NĂM HỌC 201 2- 2013 Câu ý Nội dung Điểm 1 a ( ) Zk kx kx x xx xx ∈     = += ⇔ ==       −⇔ =+⇔ =−+       + , 3 3 cos 2 1 3 2cos 12sin32cos 12sin32 2 sin π π π ππ π π 0.5 0.5 0.5 0.5 b (. yêu cầu bài toán ta có: 12 9tt = , từ đó giải ra được m = 4; m= -4 /9. Khi đó: + m= 4 thì 4 nghiệm của pt đã cho là : -3 ; -1 ; 1; 3. + m= - 4/9 thì 4 nghiệm của pt đã cho là: -1 ; -1 /3; 1/3; 1 ĐS: