Một số vấn đề cơ sở của tổ hợp Đỗ Văn Pun.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN PUN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐỖ VĂN PUN MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ CỦA TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH. Hà Huy Khoái Thái Nguyên - 2014 Mục lục Lời mở đầu . . 2 Chương 1. Tập hợp và tổ hợp . . 5 1.1. Tập hợp và khả năng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Xâu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Tập hợp sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các phép toán trên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Giao của hai tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Hợp của hai tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Hiệu và phần bù của hai tập hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4. Tích Đềcác của n tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Số các tập con. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Quy tắc tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Quy tắc nhân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6. Hoán vị không lặp và hoán vị vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.1. Hoán vị không lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6.2. Hoán vị vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1. Chỉnh hợp không lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.2. Chỉnh hợp có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.8. Tổ hợp không lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.9. Hoán vị có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.10. Tổ hợp có lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.11. Tính chất của C n−m n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 1.12. Nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2. Giải bài toán tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1. Giải các bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1. Sử dụng xâu để giải bài toán đếm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2. Bài toán đếm số cách sắp xếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.3. Bài toán chọn số phương án để thỏa mãn một số điều kiện cho trước. . . 28 2.2. Các bài toán tổ hợp có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 3. Các phương pháp đếm nâng cao . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1. Phương pháp đếm nhờ thiết lập quan hệ truy hồi . . . . . . . . . 37 3.2. Phương pháp sử dụng quy tắc cộng tổng quát . . . . . . 43 3.3. Phương pháp xây dựng song ánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2 LỜI MỞ ĐẦU Toán tổ hợp là một lĩnh vực toán học được nghiên cứu từ khá sớm và ngày càng được quan tâm nhờ vai trò quan trọng của nó trong môn toán học. Những kết quả của nó đóng vai trò kiến thức nền tảng của giải tích, xác suất, thống kê, hình học. Trong thực tiễn giáo dục thì việc dạy và học toán tổ hợp cũng rất quan trọng bởi khi học tốt toán tổ hợp người học sẽ có năng lực sáng tạo và tư duy nhạy bén để học tốt môn học khác cũng như các lĩnh vực khác trong cuộc sống. Trong các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, thi Olympic toán khu vực và quốc tế các bài toán tổ hợp xuất hiện là một thử thách lớn cho các thí sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó được giải một cách khá gọn và đẹp bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Như vậy Toán tổ hợp có vai trò rất to lớn trong việc rèn luyện tư duy toán học và kỹ năng giải toán. Vì các bài toán tổ hợp từ lâu đã đóng một vai trò quan trọng trong việc rèn luyện tư duy toán học và kỹ năng giải toán. Những bài toán tổ hợp có một số đặc điểm quan trọng mang tính khác biệt như sau: + Không đòi hỏi nhiều kiến thức, do đó có thể giảng dạy tại các bậc lớp khác nhau. + Không có những khuôn mẫu nhất định cho việc giải (giống như việc giải phương trình, khảo sát hàm số, tính tích phân), do vậy luôn đòi hỏi sự sáng tạo từ phía học sinh. + Thường được phát biểu bằng lời văn, đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng đọc, hiểu và rút trích thông tin, biết cách phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học. Bài toán tổ hợp thường mang tính thực tế và tính thẩm mỹ cao, khiến học sinh yêu thích và ghi nhớ. Vì vậy, tại các kỳ thi Olympic Toán ở các nước, các bài toán tổ hợp luôn xuất hiện với một tỷ lệ khá cao. Tuy nhiên, ở Việt Nam, các bài toán tổ hợp xuất hiện khá ít. Điều này có thể thấy rõ thông qua việc nghiên cứu các đề thi học sinh giỏi các tỉnh thành, đề thi học sinh giỏi quốc gia, các đề toán trên báo Toán học và Tuổi trẻ. Theo sự góp ý của nhiều đồng nghiệp nước ngoài, thì đề thi Olympic Toán của Việt Nam mang nặng tính kỹ thuật, rất ít màu sắc thực 3 tế và vì vậy cũng thiếu luôn cả vẻ đẹp toán học. Đây là điều chúng ta cần bàn vì Toán học không chỉ là các bài toán khô khan, mà là cuộc sống, thực tế và vẻ đẹp. Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê Nhưng trong bản luận văn này tôi chỉ đi sâu đề cập 3 nội dung sau: - Chương 1:Tập hợp và tổ hợp - Chương 2: Ứng dụng giải bài toán tổ hợp - Chương 3: Phương pháp đếm nâng cao Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. TSKH. Hà Huy Khoái. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Hà Huy Khoái, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH trường THPT Chuyên Sơn La và các bạn trong lớp Cao học K6 trường Đại học Khoa học, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và làm luận văn. Sơn La, ngày 25 tháng 08 năm 2014 Học viên Đỗ Văn Pun 4 N tập các số tự nhiên Z tập các số nguyên Z + tập các số nguyên không âm Q tập các số hữu tỷ R tập các số thực ∅ tập rỗng n(A) số phần tử của tập hợp A |A| số phần tử của tập hợp A n - bộ xâu độ dài n n - tập tập hợp có n phần tử [a] phần nguyên của a P n số các hoán vị của n phần tử Q n hoán vị vòng quanh của n phần tử A k n số các chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử A k n số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử C k n số các tổ hợp không lặp chập k của n phần tử P (n 1 , n 2 , , n k ) số các hoán vị có lặp có cấu tạo (n 1 , n 2 , , n k ) C k n số các tổ hợp có lặp chập k của n phần tử 5 Chương 1 Tập hợp và tổ hợp 1.1. Tập hợp và khả năng 1.1.1. Tập hợp Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Giả sử đã cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc là a thuộc A). Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết a /∈ A (đọc là a không thuộc A). Ví dụ 1.1.1. Tập những học sinh giới tính nam trong một lớp, tập học sinh có nhà cách trường trên 30km,. . . Các phần tử của một tập hợp có thể chỉ ra được bằng một trong hai cách sau: • Liệt kê các phần tử của chúng. Ví dụ: A là tập hợp các ước nguyên dương của 30, Ta viết A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}. • Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử. 6 Ví dụ: B là tập hợp các nghiệm của phương trình : 2x 2 −5x + 3 = 0, ta viết là : B =  x ∈ R/2x 2 − 5x + 3 = 0  . Một số tập hợp toán học: Tập các số thực, được ký hiệu R ; Tập các số hữu tỷ, được ký hiệu Q ; Tập các số nguyên, được ký hiệu Z ; Tập các số nguyên không âm, được ký hiệu Z + ; Tập các số tự nhiên ký hiệu N ; Tập rỗng, tập không có phần tử nào, được ký hiệu ∅. Tập B mà mỗi phần tử của nó đều thuộc tập A, thì B được gọi là tập con của tập A và viết B ⊆ A. Tập B mà mỗi phần tử của nó đều thuộc tập A và B = A, thì A được gọi là tập con thực sự của tập A và viết B ⊂ A. Khi A ⊂ B và B ⊂ A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là A = B. Số các phần tử của tập hợp A được gọi là lực lượng của tập A, được ký hiệu bởi |A| hay n(A). Ví dụ |∅| = 0 , và |Z| = ∞. n - tập là ký hiệu tập có n phần tử. 1.1.2. Xâu Trong nhiều bài toán tổ hợp, thứ tự các phần tử đóng vai trò rất quan trọng (ví dụ thứ tự các trận đấu, thứ tự sắp xếp học lực của học sinh trong một lớp, thứ tự lắp ráp linh kiện cho một cỗ máy . . . ), trong khi đó trong tập hợp thứ tự giữa các phần tử không giữ vai trò gì. Do vậy phải đưa một khái niệm “xâu” để giải quyết các bài toán nêu trên. Định nghĩa 1.1.2. Cho tập X bất kỳ và tập gồm các số tự nhiên N n = {1, 2, 3, , n}. Cho ánh xạ từ tập N n vào tập X tương ứng số 1 với phần tử x 1 ∈ X, số 2 với phần tử x 2 ∈ X, . . . , số n với phần tử x n ∈ X. Kết quả ta nhận được bộ x 1 , x 2 , . . . , x n các phần tử của tập hợp X, trong đó mỗi số phần tử có thể xuất hiện nhiều lần. Khi sắp xếp các phần tử của bộ trên theo thứ tự, ta nhận được xâu (x 1 , x 2 , , x n ) độ dài n, lập nên từ những phần tử của tập X. Phần tử x k , 1 ≤ k ≤ n được gọi là thành phần thứ k hoặc là tọa độ thứ k của xâu (x 1 , . . . , x n ). 7 Các xâu có độ dài 2 được gọi là các cặp, còn xâu có độ dài 3 là bộ ba. Đôi khi các xâu độ dài n được gọi là n-bộ. Ví dụ 1.1.3. Xâu a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 , “abcdefg”, “123468”, . . . Hai xâu (x 1 , x 2 , . . . , x n ) và (y 1 , y 2 , . . . , y n ) được xem là bằng nhau nếu chúng có độ dài như nhau, đồng thời các thành phần của chúng có cùng số thứ thự thì bằng nhau. Ta kí hiệu bằng các xâu bằng chữ cái Hy Lạp. Như vậy, nếu α = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) và β = (y 1 , y 2 , . . . , y m ) thì α = β khi và chỉ khi n = m và x k = y k với mọi k, 1 ≤ k ≤ n. Ví dụ: Cho α =  √ 2, √ 3, 2  và β =  4 √ 4, 4 √ 9, 4 √ 16  , thì α = β vì 4 √ 4 = 4 √ 2 2 = 2 2 4 = 2 1 2 = √ 2, 4 √ 3 = 4 √ 3 2 = 3 2 4 = 3 1 2 = √ 3, 4 √ 16 = 4 √ 2 4 = 2. Các xâu (a, b, c, d) và (a, b, c) không bằng nhau vì có độ dài khác nhau. Các xâu (a, b, c) và (c, a, b) không bằng nhau vì thứ tự các thành phần khác nhau. Các thành phần của xâu có thể là những tập hợp, những xâu, . Ví dụ 1.1.4. Xâu (a, b, {c, d}) và xâu (a, b, {d, c}) bằng nhau vì các tập hợp {c, d} và {d, c} bằng nhau. Xâu không chứa phần tử nào được gọi là xâu rỗng, ký hiệu bởi ( ). 1.1.3. Tập hợp sắp thứ tự Định nghĩa 1.1.5. Một tập hợp được gọi là sắp thứ tự, nếu các phần tử của nó được sắp xếp theo một thứ tự xác định. Ví dụ 1.1.6. Sắp thứ tự tập các em học sinh trong lớp theo vần chữ cái của tên, theo điểm trung bình môn. . . 1.2. Các phép toán trên tập hợp 1.2.1. Giao của hai tập hợp Định nghĩa 1.2.1. Giao của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp đó. Giao của A và B ký hiệu là A ∩ B. Theo định nghĩa, ta có A ∩ B = {x|x ∈ B và x ∈ A}. 8 [...]... theo quy tắc nhân, ta có Ak = nk n 1.8 Tổ hợp không lặp Định nghĩa 1.8.1 Cho n - tập A, k là số tự nhiên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ n Mỗi k - tập con của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n - tập hợp A Số k các tổ hợp chập k của một tập hợp gồm n phần tử ký hiệu là Cn 16 Ví dụ 1.8.2 Mỗi cách chọn ra 3 học sinh trong một lớp gồm 35 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 35 học sinh trong lớp đó k Định lý...1.2.2 Hợp của hai tập hợp Định nghĩa 1.2.2 Hợp của hai tập hợp là tập hợp gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập hợp đó Hợp của hai tập hợp A và B được ký hiệu là A ∪ B Theo định nghĩa, ta có A ∪ B = {x|x ∈ B hoặc x ∈ A} 1.2.3 Hiệu và phần bù của hai tập hợp Định nghĩa 1.2.3 Hiệu của hai tập hợp A và B là các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B Hiệu của hai tập hợp A và B ký hiệu... tức là số tập con của k - tập X là 2k Thêm vào X phần tử xk+1 , ta nhận được tập Y = {x1 , x2 , , xk , xk+1 } Một tập hợp con tùy ý của tập hợp Y hoặc không chứa phần tử mới xk+1 , hoặc chứa nó Trường hợp thứ nhất, nó là một tập hợp con của k - tập X Số các tập con như vậy bằng 2k Trong trường hợp thứ hai, nếu loại phần tử xk+1 , ta lại nhận được một tập hợp con của X Như vậy, số các tập hợp con... thùng khác nhau (một số thùng có thể rỗng) cũng bằng mk Áp dụng tính số tập con của một tập có n phần tử Thật vậy, lấy hai số 0 và 1 Mỗi tập con A của tập hợp X tương ứng với mỗi ánh xạ ϕ tập hợp X vào tập hợp {0, 1}, trong đó các phần tử của A được ánh xạ vào 1, các phần tử còn lại ánh xạ vào 0 Như vậy tồn tại tương ứng một một giữa các tập con của tập hợp X và các ánh xạ của tập hợp này vào tập gồm... Trường hợp tổng quát, ta phân tích hoàn toàn như trên Kết quả ta thu được P (n1 , n2 , , nk ) = (n1 + n2 + + nk )! n1 !n2 ! nk ! Ví dụ 1.9.6 Từ các chữ số 1, 2, 3 lập được bao nhiêu số tự nhiên có đúng năm chữ số 1, hai chữ số 2 và ba chữ số 3 18 Giải Xem số cần lập có 10 chữ số gồm năm chữ số 1 giống nhau, hai chữ số 2 giống nhau và ba chữ số 3 giống nhau Vậy có 10! = 2520 số 5!2!3! 1.10 Tổ hợp có... a) Gọi S là tập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lấy từ các số của tập A Tính n(S) ? b) Gọi B là tập số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lấy từ các số của tập A Tính n(B) ? Giải a) Số cần tìm là chỉnh hợp chập 3 của 7 Ta có n(S) = A3 = 210 số 7 b) Số cần tìm là một xâu có dạng (a1 , a2 , a3 ) a3 có ba cách chọn Chọn hai phần tử a2 , a3 có A2 = 30 cách chọn 6 Vậy có 3 · 30 = 90 số ⇒ n(B) = 90 Bài... lao động ? Giải Số cách chọn ba học sinh chính là số các chỉnh hợp chập 3 của 50 học sinh và bằng 50(50 − 1)(50 − 2) = 117600 cách chọn Chú ý Với quy ước 0! = 1, ta có Ak = n n! , với 1 ≤ k ≤ n (n − k)! 1.7.2 Chỉnh hợp có lặp Định nghĩa 1.7.5 Một xâu có độ dài k lập nên từ các phần tử của một n tập X được gọi là một chỉnh hợp có lặp chập k của n phần tử Số các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được... xếp, chọn tên của người có mặt sau đó chọn tên các thành viên còn lại, chọn chức vụ của thành viên có chức vụ sau đó chọn thành viên không có chức vụ Bài toán 2.1.11 Có bao nhiêu cách chia một lớp có 35 học sinh thành bốn tổ, sao cho tổ một có 8 học sinh và ba tổ còn lại mỗi tổ có 9 học sinh ? 35! 8 Giải Chọn 8 em của tổ một trong 35 em học sinh của lớp có C35 = 8!27! 27! 9 Chọn 9 em của tổ hai trong... số 3 giống nhau Vậy có 10! = 2520 số 5!2!3! 1.10 Tổ hợp có lặp Định nghĩa 1.10.1 Các cấu tạo khác nhau của các xâu độ dài n từ các phần tử của m - tập được gọi là các tổ hợp có lặp chập n của m phần tử n Ký hiệu số các tổ hợp có lặp chập n của m phần tử bởi Cm Định lý 1.10.2 Số các tổ hợp lặp chập k của n phần tử được xác định bởi n n Cm = Cn+m−1 Chứng minh • Trước tiên, ta chứng minh công thức k P... A4 , , An A1 của đa giác, ta đều được kết quả là n − 4 Vậy với n cạnh của đa giác có n(n − 4) tam giác thỏa mãn trường hợp này • Trường hợp 2: Đếm số tam giác lập từ các đỉnh của đa giác và có hai cạnh là cạnh của đa giác Ta có với mỗi cạnh có hai đỉnh kề Do đó với n cạnh của đa giác n × 2 tam giác thỏa mãn Tổng số các tam giác được lập từ n đỉnh của đa giác là 3 Cn = n! 3!(n − 3)! Vậy số các tam giác