Những bài toán sắp xếp đồ vật theo một tiêu chí nào đó, bài toán đếm số lấy từ tập A = {a1, a2, ..., an} trong đó ai ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} thỏa mãn một điều kiện nào đó thì ta có thể sử dụng xâu để giải.
Khi giải cần chú ý đến vị trí đầu tiên, vị trí cuối cùng của xâu, các phần tử trong xâu có thể lặp lại hay không, ... Ví dụ khi phải đếm số có n chữ số thì phần tử đầu tiên thường khác 0, số cần tìm là số chẵn hay số lẻ thì phải chia trường hợp cho chữ số cuối cùng ... Sau đó sử dụng hai phương pháp sau đây để giải bài toán.
• Phương pháp đếm trực tiếp: Đếm trực tiếp dựa vào các yêu cầu bài toán đặt ra.
những cái không cần đếm, để biết những cái cần đếm”. Nói theo ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp, thì phương pháp gián tiếp thực chất là “ phép lấy phần bù ”. Lưu ý sử dụng đúng quy tắc cộng và quy tắc nhân khi sử dụng hai phương pháp trên.
Dưới đây là một số bài tập minh họa cho hai phương pháp trên.
Bài toán 2.1.1. Cho tập A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lấy từ các phần tử của tập A sao cho:
a) Có 6 chữ số;
b) Có 6 chữ số khác nhau;
c) Có 6 chữ số khác nhau và là số lẻ; d) Có 6 chữ số khác nhau và là số chẵn.
Giải. Số cần tìm là một xâu có dạng (a1, a2, a3, a4, a5, a6).
a) Các chữ số trong xâu có thể lặp lại, riêng chữ số a1 phải khác 0. a1 có 9
cách chọn (do a1 khác0). Số cách chọn các chữ số a2, a3, a4, a5, a6 là chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử trên nên ta có 10·10·10·10·10 = 105 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có 9·105 = 900000 số có 6 chữ số.
b) a1 có 9 cách chọn (do a1 khác 0).
Số cách chọn a2, a3, a4, a5, a6 là A59 = 15120 cách. Vậy có 9·15120 = 136080 số thỏa mãn yêu cầu.
c) a6 lẻ nên a6 có 5 cách chọn. a1 có 8 cách chọn (do a1 khác 0 và khác a6). Chọn 4 phần tử a2, a3, a4, a5 có A48 = 1680 cách.
Vậy có 5·8·1680 = 67200 số.
d) Trường hợp 1: a6 = 0 có một cách chọn.
Chọn 5 phần tử a1, a2, a3, a4, a5 có A59 = 15120 cách. Vậy trường hợp này có 1·15120 = 15120 số.
Trường hợp 2: a6 khác 0⇒ có 4 cách chọn. a1 có 8 cách chọn (do a1 khác 0
và khác a6).
Chọn 4 phần tử a2, a3, a4, a5 có A48 = 1680 cách. Vậy có 4·8·1680 = 53760 số.
Vậy có 15120 + 53760 = 68880 số.
Chúng ta có thể dùng phương pháp đếm loại trừ bằng cách lấy kết quả của câu b) trừ đi kết quả của câu c) ta được 136080−67200 = 68880 số.
Bài toán 2.1.2. Cho tập A={1,2,3,4,5,6,7}.
a) Gọi S là tập số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau lấy từ các số của tập A. Tính n(S) ?
b) Gọi B là tập số tự nhiên chẵn có 3 chữ số khác nhau lấy từ các số của tập A. Tính n(B) ?
Giải. a) Số cần tìm là chỉnh hợp chập 3 của 7. Ta có n(S) = A37 = 210 số. b) Số cần tìm là một xâu có dạng (a1, a2, a3). a3 có ba cách chọn. Chọn hai phần tử a2, a3 có A26 = 30 cách chọn.
Vậy có 3·30 = 90 số ⇒n(B) = 90.
Bài toán 2.1.3. Cho tập A= {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau lấy từ tập A sao cho:
a) Luôn có mặt ba chữ số 4,6,8.
b) Luôn có mặt hai chữ số 6,8 và hai chữ số này luôn đứng kề nhau. c) Luôn có mặt hai chữ số 6,8 và hai chữ số này không đứng kề nhau.
Giải. Ta chọn một xâu X = (a1, a2, a3, a4, a5, a6) có 6 phần tử, rồi xếp các phần tử của tập A vào xâu này để biểu diễn số tự nhiên có sáu chữ số cần tìm. a) Cách 1. Ta có6 cách sắp xếp số 4, có năm cách sắp xếp số 6, có bốn cách sắp xếp số 8 vào sáu vị trí của xâu X, ba phần tử còn lại lấy từ 6 phần tử còn lại trong tập A và số cách xếp ba phần tử này bằng A36 cách. Vậy theo quy tắc nhân, ta có 6·5·4·A63 = 14400 số tự nhiên luôn có mặt ba chữ số 4,6 và 8.
Cách 2. Ta lấy ba phần tử 4,6và 8từ tập A, sau đó lấy tiếp ba phần tử còn lại từ tập A\ {4,6,8} rồi xếp vào xâu X.
Lấy ba phần tử4,6và8có một cách. Lấy ba phần tử còn lại từ tậpA\{4,6,8} có C63 cách. Ta có6! cách sắp xếp sáu phần tử này vào xâuX. Vậy có1·6!·C63 = 14400 số cần tìm.
b) Lấy hai phần tử 6,8 từ tập A có một cách. Lấy 4 phần tử còn lại từ tập A\ {6,8} có C74 cách.
Xếp hai phần tử 6,8 kề nhau có 2 cách.
Ta coi hai phần tử 6,8 kề nhau như là một phần tử x của X, lúc này xâu còn 5 phần tử. Sắp xếp x với 4 phần tử còn lại có 5! cách sắp xếp. Từ đó ta có số cách sắp xếp 6 số đã chọn là 2×5!. Vậy ta có C74×2×5! = 8400 số cần tìm.
c) Ta sử dụng phương pháp loại trừ. Ta có 6 cách xếp số 6, có 5 cách xếp số 8 vào sáu vị trí của xâu X, xếp bốn phần tử còn lại lấy từ 7 phần tử còn lại trong A có A47 cách. Vậy theo quy tắc nhân ta có 6×5×A47 = 25200 số tự nhiên luôn có mặt hai chữ số 6 và 8.
Theo câu b) số có 6 chữ số khác nhau sao cho 6,8 luôn đứng kề nhau là C74×2×5! = 8400 số. Vậy số các số cần tìm là 25200−8400 = 16800.
Bài toán 2.1.4. Cho tậpA= {0,1,2,4,7,8,9}. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau lớn hơn 4000 lấy từ tập A?
Giải. Ta chọn một xâu có 4 phần tử X = (a1, a2, a3, a4), rồi xếp các phần tử của tập A vào xâu này. Do số cần tìm lớn hơn 4000 nên a1 ∈ {4,7,8,9}.
Trường hợp 1. a1 = 4, a4 là số chẵn nên có 3 cách chọn.
Sắp 5 phần tử còn lại của A vào hai vị trí a2, a3 của xâu X có A25 cách. Vậy trường hợp này có 3×A25 cách.
Trường hợp 2. a1 = 7, a4 là số chẵn nên có 4 cách chọn.
Sắp 5 phần tử còn lại của A vào hai vị trí a2, a3 của xâu X có A25 cách. Vậy trường hợp này có 4×A25 cách.
Với a1 = 8, tương tự trường hợp 1, có 3×A25 cách. Với a1 = 9, tương tự trường hợp 2, có 4×A25 cách.
Vậy có 2×(3×A25+ 4×A25) = 2×7×A25 = 14×A25 = 280 cách.
Bài toán 2.1.5. Giả sử p1, p2, ..., pm là những số nguyên tố khác nhau. Có bao nhiêu ước số của q = pα1
1 ...pαm
m , trong đó α1, ..., αm là những số tự nhiên nào đó (trong đó kể cả 1 và q).
Giải. Mỗi ước của số q có dạng pβ1
1 ...pβm
m , trong đó 0 ≤ βi ≤ αi, 1 ≤ i ≤ m. Nghĩa là số mũ βi có thể nhận αi+ 1 giá trị. Nhưng khi đó theo quy tắc nhân, số các xâu (β1, ..., βm) (và do là ước của q) bằng (α1+ 1)...(αm+ 1).
Bài toán 2.1.6. Có bao nhiêu cách đặt các quân trắng (2con mã, 2con tượng,
2 con xe, con Hậu và con Vua) lên hàng đầu tiên trên bàn cờ ?
Giải. Trong bài này cần tìm số xâu độ dài 8 có cấu tạo (2,2,2,1,1). Số các xâu như vậy (tức là số các hoán vị có lặp) bằng
P(2,2,2,1,1) = 8!
2!2!2!1!1! = 5040.
Bài toán 2.1.7. Có bao nhiêu cách chọn ra bộ 8 cái bánh ngọt, nếu có 4 loại bánh khác nhau ?
Giải. Vì trong bài toán này thứ tự những chiếc bánh ngọt không có vai trò gì, nên mỗi bộ là một xâu độ dài 8 lấy từ 4 phần tử (là tên các loại bánh) đồng thời thứ tự các thành phần của xâu không có vai trò gì. Nói cách khác, ta cần tìm số các cấu tạo khác nhau của những xâu này. Những số cần tìm bằng số các tổ hợp có lặp chập 8 từ 4 phần tử, tức là bằng C8
4 = C118 = 165. Nghĩa là có 165 bộ khác nhau.