Những bài toán đếm cách thường là những bài sắp xếp đồ vật (hoặc người) đáp ứng một điều kiện nào đó, ví dụ sắp xếp n người ngồi vào một hàng ghế, sắp xếp sách, tài liệu vào giá sách, lắp ráp các linh kiện máy móc ...
Một số lưu ý khi giải bài toán sắp xếp:
• Sắp xếp n phần tử khác nhau vào n vị trí có n! cách sắp xếp. • Sắp xếp k phần tử giống nhau vào n vị trí có Cnk cách (1≤ k ≤ n). • Sắp xếp n phần tử giống nhau (không thay đổi kết quả) vào n vị trí có
một cách sắp xếp.
Bài toán 2.1.8. Có 5 quyển tài liệu học tập của lớp 10; 6 quyển tài liệu học tập của lớp 11; 8 quyển tài liệu học tập của lớp 12. Các quyển tài liệu này là khác nhau. Sắp xếp các cuốn tài liệu này trên một kệ dài của giá sách. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
a) Các cuốn sách được xếp tùy ý.
b) Các cuốn sách cùng loại nằm kề nhau.
Giải. a) Do các quyển tài liệu là khác nhau nên số cách là (5 + 6 + 8)! = 19!
cách.
b) Sắp xếp tài liệu khối 10 có 5! cách. Sắp xếp tài liệu khối 11 có 6! cách. Sắp xếp tài liệu khối 12 có 8! cách. Với ba khối có 3! cách xếp các loại sách. Vậy có 3!·5!·6!·8! cách.
Bài toán 2.1.9. Có 5 viên bi xanh giống hệt nhau và 3 viên bi đỏ khác nhau. Sắp xếp 8 bi trên vào 8 ô nằm ngang. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho: a) Các viên bi xếp theo thứ tự tùy ý.
b) Các viên bi cùng màu nằm cùng một nhóm.
Giải. a) Xếp 5viên bi xanh giống hệt nhau vào 8 ô, ta cóC85 cách. Xếp ba viên bi màu đỏ khác nhau vào 3 ô còn lại, ta có 3! cách. Vậy có 3!·C85 cách xếp viên bi theo thứ tự tùy ý.
b) Có hai nhóm bi theo màu là nhóm màu xanh và nhóm màu đỏ nên có 2!
cách xếp hai nhóm bi này. Ta đếm số cách sắp xếp viên bi theo cùng một nhóm. Do 5 viên bi xanh giống hệt nhau nên ta chỉ có 1cách sắp xếp các viên bi trong nhóm màu xanh. Xếp ba viên bi màu đỏ khác nhau có 3! cách sắp xếp. Vậy có
2!·3! cách.
Bài toán 2.1.10. Có ba giáo viên và 8 em học sinh cùng chụp ảnh lưu niệm. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các em học sinh và giáo viên thành một hàng ngang sao cho các giáo viên không đứng cạnh nhau ?
Giải. Xếp 8 học sinh vào 8 vị trí có 8! cách. Do các giáo viên không đứng cạnh nhau nên ta phải xếp hai giáo viên cách nhau ít nhất một em học sinh. Do có
8 em học sinh nên ta có 9 vị trí có thể xếp cho ba giáo viên trên, nên số cách xếp là A39. Vậy số cách sắp xếp là 8!·A39.