Bài tập giải tích 12 tập 4

SỐ PHỨC CHƯƠNG IV SỐ PHỨC... Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân.. Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình... Tìm một acgumen

TRẦN SĨ TÙNG

›š & ›š

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

TẬP 4

ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

Năm 2009

1 Khái niệm số phức

· Tập hợp số phức: C

· Số phức (dạng đại số) : z a bi= +

(a, b R Ỵ , a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo, i 2 = –1)

· z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 (b = 0)

z là thuần ảo Û phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

'

a a

a bi a b i+ = + Ûì =í =ỵb b a b a b RỴ

2 Biểu diễn hình học: Số phức z = a + bi (a, bỴR) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay

bởi ur=( ; )a b trong mp(Oxy) (mp phức)

3 Cộng và trừ số phức:

· (a bi+ ) (+ a b i’+ ’) (= a a+ ’) (+ b b i+ ’) · (a bi+ ) (- a b i’+ ’) (= a a- ’) (+ b b i- ’)

· Số đối của z = a + bi là –z = –a – bi

· ur biểu diễn z, ' ur biểu diễn z' thì u u r r biểu diễn z + z’ và + ' u u r r biểu diễn z – z’ - '

4 Nhân hai số phức :

· (a bi a b i+ )( '+ ' ) (= ’– ’aa bb) (+ ab’ ’+ ba i)

· (k a bi+ )=ka kbi k R+ ( Ỵ )

5 Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi= -

z z z z z z z z z z

z z

è ø ; .zz a= 2+b2

· z là số thực Û z z= ; z là số ảo Û z= - z

6 Môđun của số phức : z = a + bi

· z = a2+b2 = zz = OMuuuur

· z ³ " Ỵ0, z C, z = Û = 0 z 0

· 'z z = z z ' ·

z z

z = z · z z- ' £ ±z z' £ +z z'

7 Chia hai số phức:

· z 1 12 z

z

z z z z z z z

z = - = z = z z ·

z w z wz

I SỐ PHỨC

CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

8 Căn bậc hai của số phức:

· z x yi= + là căn bậc hai của số phức w a bi= + Û z2 = Û w 2 2

2

x y a

xy b

ỵ

· w = 0 có đúng 1 căn bậc hai là z = 0

· w 0¹ có đúng hai căn bậc hai đối nhau

· Hai căn bậc hai của a > 0 là ± a

· Hai căn bậc hai của a < 0 là ± -a i

9 Phương trình bậc hai Az 2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, C là các số phức cho trước, A 0¹ )

D =B2-4AC

· D ¹ : (*) có hai nghiệm phân biệt 0 1,2

2

B z

A

- ± d

= , ( d là 1 căn bậc hai của D) · D = : (*) có 1 nghiệm kép: 0 1 2

2

B

z z

A

-Chú ý: Nếu z 0 Ỵ C là một nghiệm của (*) thì z cũng là một nghiệm của (*) 0

10 Dạng lượng giác của số phức:

· z r= (cosj +isin )j (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (z ¹ 0)

2 2 cos

sin

r a b

a r b r

ì

ïï

ï

ïỵ

· j là một acgumen của z, j =( ,Ox OM)

· z = Û =1 z cosj+isin (j jỴR)

11 Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác

Cho z r= (cosj +isin ) ,j z r'= '(cos ' sin ')j +i j :

· z z rr '= ' cos([ j + j +') sin(i j + j ')] · [cos( ') sin( ')]

12 Công thức Moa–vrơ:

· [r(cosj +isin )j ]n=r n(cosnj +isin )nj , (n NỴ *)

· (cosj +isinj =)n cosnj +isinnj

13 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:

· Số phức z r= (cos j+isin )j (r > 0) có hai căn bậc hai là:

· Mở rộng: Số phức z r= (cos j+isin )j (r > 0) có n căn bậc n là:

n r cos k2 isin k2 ,k 0,1, ,n 1

VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng – trừ – nhân – chia

Áp dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, căn bậc hai của số phức

Chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân

Bài 1 Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) ( ) (4 –i + 2 3 – 5+ i) ( )+ i b) 2 1 2

3

i ỉ iư

- +ç - ÷

3 4

i ỉ iư

è ø è ø f) (2 3 3- i)( )+ i

g)

i

i i

-+

1

i

2 1

3

i

i

-+ 1 1

k)

m

a i a

a i a

) 1 )(

2 1 (

3

i i

i

+ -+

o) 1

2

i

i

+

a i

b i

a+ q) 2 3

4 5

i i

-+

Bài 2 Thực hiện các phép toán sau:

a) ( ) ( )2 2

1+i - 1–i b) ( ) ( )3 3

2+i - -3 i c) ( )2

3 4i+ d)

3

1 3

) 2 ( ) 2 3 (

) 1 ( ) 2 1 (

i i

i i

+ -+

2 i- g) ( 1 )- +i 3-(2 )i 3 h) (1 )i - 100 i) (3 3 )+ i 5

Bài 3 Cho số phức z x yi= + Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau:

a) z2-2z+ 4i b)

1

-+

iz

i z

Bài 4 Phân tích thành nhân tử, với a, b, c Ỵ R:

a) a + 2 1 b) 2a + 2 3 c) 4a4+9b2 d) 3a2+5b2

e) a +4 16 f) a -3 27 g) a + 3 8 h) a4+a2+ 1

Bài 5 Tìm căn bậc hai của số phức:

a) 1 4 3i- + b) 4 6 5i+ c) 1 2 6i- - d) 5 12i- +

e) 4 5

3 2i

i) 1 2

-VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức

Giả sử z = x + yi Giải các phương trình ẩn z là tìm x, y thoả mãn phương trình

Bài 1 Giải các phương trình sau (ẩn z):

c) z+2z =2-4i d) z2 - z=0

e) z -2z= - - 1 8i f) (4 5- i z) = + 2 i

g) 1

4

=

÷

ø

ư

ç

è

ỉ

-+

i

z

i

i

i z

i

i

+

+

-=

-+

2

3 1 1

2

3 2- i z i+ = 3i

2

1 ](

3 )

2

i iz i z

zỉç - iư÷= + i

o) 3 5i 2 4i

z

+

= - p) (z+3i z) ( 2-2z+5)= 0

q) ( )(z2+9 z2- + = z 1) 0 r) 2z3-3z2+5z+ - = 3 3 0i

Bài 2 Giải các phương trình sau (ẩn x):

a) x2 - 3.x+1=0 b) 3 2.x2 -2 3.x+ 2=0

c) x2- -( )3 i x+ - = 4 3i 0 d) 3 i x2-2x- + = 4 i 0

e) 3x2- + = x 2 0 f) i x 2+2 i x- =4 0

g) 3x3-24 0= h) 2x4+16 0=

i) (x+2)5+ = 1 0 k) x +2 7 0=

l) x2+2 1( )+i x+ + = 4 2i 0 m) x2-2 2( )-i x+18 4+ i= 0

o) ix2+4x+ - = 4 i 0 p) x2+ -(2 3i x) = 0

Bài 3 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là:

a) 2 3+ i và- + 1 3i b) 2i và- + 4 4i

Bài 4 Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận a làm nghiệm:

d) a = - -2 i 3 e) a = 3-i 2 f) a = -i

g) a = +(2 )(3 )i -i h) a =i51+2i80+3i45+4i38 i) 5

2

i i

+

=

-a

Bài 5 Tìm tham số m để mỗi phương trình sau đây có hai nghiệm z 1 , z 2 thoả mãn điều kiện

đã chỉ ra:

a)z2-mz m+ + =1 0,đk z: 12+z22 =z z1 2+ 1 b) z2-3mz+ =5i 0,đk z: 13+z23=18

c) x2+mx+ =3i 0,đk z: 12+z22 = 8

Bài 6 Cho z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 (1+i 2)z2- +(3 2i z) + - = Tính giá 1 i 0

trị của các biểu thức sau:

a) A z= 12+ z22 b) B z z= 1 22 +z z1 22 c) 1 2

z z C

z z

= +

Bài 7 Giải các hệ phương trình sau:

a)

ỵ

í

ì

-= +

+

= +

i z

z

i z

z

2 5

4

2 2

2

1

2

ỵ í

ì

+

-= +

-=

i z

z

i z

z

2 5

5 5

2 2

2 1

2

0 ( ) 1

z z

z z

ì + = ï

í

= ïỵ

d)

1 2 3

1 1

z z z

z z z

z z z

í

ỵ

e)

4 1 8

z

z i z z

ì

-=

ï -ï í

ï -ỵ

f)

1 1 3 1

z

z i

z i

z i

ì

-=

ï -ï í

ï + ỵ

g) 12 22

1 2

5 2 4

z z i

ìï + = +

2

1

z i z

z i z

ï

í =

1 2

2

z z z z

z z i

ïỵ

Bài 8 Giải các hệ phương trình sau:

a) ì +í + = -ỵx x y2y= -31 2i i b) 2 25

8 8

x y i

ì + = -í

-ỵ c) ì + =íx y xy 7 44 i

= + ỵ

d)

2 2

1 1 1 1

2 2

1 2

i

x y

ì

+ =

-ï

í

-ỵ

e)

1 1 2

5

x y

x y

-ï

í + =

3 2

26 26

x y i

i

x y

ì + = + ï

í + = + ïỵ

g) 2 25

1 2

x y i

ì + =

2 3

x y

ì + =

-ỵ

VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm

Giả sử số phức z = x + yi được biểu diển điểm M(x; y) Tìm tập hợp các điểm M là tìm hệ thức giữa x và y

Bài 1 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

a) z z+ + = 3 4 b) z z- + - = 1 i 2 c) z z- +2i =2 z i- d) 2 1 2i z- = z+3 e) 2 2i- z = 2z- 1 f) z + = 3 1

g) z i+ = - -z 2 3i h) z 3i 1

z i

-=

k) 2 z+ = - i z l) z+ < 1 1 m) 1< - < z i 2

Bài 2 Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn

mỗi điều kiện sau:

a) z+ là số thực 2i b) z- + là số thuần ảo 2 i c) z z = 9

VẤN ĐỀ 4: Dạng lượng giác của số phức

Sử dụng các phép toán số phức ở dạng lượng giác

Bài 1 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau:

d)

4 sin 4

i

8 cos 8

i

f) (1-i 3)(1+i)

Bài 2 Thực hiện các phép tính sau:

a) 3 cos20( o+ sin 20i o)(cos25o+ sin 25i o) b) 5 cos sin 3 cos sin

c) 3 cos120( o+isin120o)(cos 45o+isin 45o) d) 5 cos sin 3 cos sin

e) 2 cos18( o +isin18o)(cos 72o+isin 72o) f) cos85 sin 85

cos 40 sin 40

i i

+ +

g)

) 15 sin 15 (cos

3

) 45 sin 45 (cos

2

0 0

0 0

i

i

+

3(cos15 sin15 )

i i

+ +

i)

) 2 sin 2 (cos

2

) 3

2 sin 3

2 (cos

2

p p

p p

i

i

+

+

k)

i i

Bài 3 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) 1 i- 3 b) 1 i+ c) (1-i 3)(1+i) d) 2.i.( 3- i) e)

i

i

+

-1

3

i

2 2

1

p +

Bài 4 Viết dưới dạng đại số các số phức sau:

a) cos 45o+isin 45o b) 2 cos sin

i c) 3 cos120( o+isin120o)

(1 )(1 2 )

i

i i

+

i

g) 1

2 1

i

i

+

1 i 3

40

(2 2 )

1

i i

i

k) 1 cos3 sin3

+

p p l)

100

i

p p m)

1

3 i

-Bài 5 Tính:

cos12o+ sin12i o b) (1 i+ )16 c) ( 3-i)6

2 cos30 isin30

ë û e) (cos15o+isin15 )o 5 f) (1 )+i 2008+ -(1 )i 2008

g)

21

3 2

1

3 3

5

÷÷

ø

ư çç

è

ỉ

-+

i

12

2

3 2

1

÷÷

ø

ư çç

è

ỉ

2008

1

÷ ø

ư ç è

ỉ +

i i

k) (cos sin ) (15 3 )7

p - p + l) z2008 20081 , biết z 1 1

z z

Bài 6 Chứng minh:

a) sin 5 16sint= 5t-20sin3t+5sint b) cos5 16 cost= 5t-20 cos3t+5cost

c) sin3t=3cos2t-sin3t d) cos3t=4 cos3t-3cost

Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 )( 3 2 )(5 4 )- - +i i - i b)

+

c)

ỉ + ư +ỉ - ư

-e) (2 4 )(5 2 ) (3 4 )( 6 )- i + i + + i - - i f) 1 + + + + + i i i2 3 i2009

g) i2000+i1999+i201+i82+i47 h) 1+ + + +i i2 i n, (n³ 1)

i) i i i i .2 3 2000 k) i-5( )-i -7+ -( )i 13+i-100+ -( )i 94

Bài 2 Cho các số phức z1= +1 2 ,i z2 = - +2 3 ,i z3= - Tính: 1 i

a)z z1+ + 2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 1 c) z z z 1 2 3

d) z12+z22+z32 e) 1 2 3

z z z

z +z + z f)

z z

z z

+ +

Bài 3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A z= 4+iz3- +(1 2 )i z2+3 1 3 ,z+ + i với z= + 2 3i

2

B= -z z + z - +z z với z= - i

Bài 4 Tìm các số thực x, y sao cho:

a) (1 2 )- i x+ +(1 2 ) 1y i= + i b) 3 3

i i

-c) (4 3 ) 2 (3 2 ) 4 2 1 2 (3 2 )2

2

i x i xy y x xy y i

-Bài 5 Tìm các căn bậc hai của các số phức sau:

a) 8 6i+ b) 3 4i+ c) 1 i+ d) 7 24i

-e)

2 1

1

i

i

ỉ + ư

ç - ÷

2

3

i i

2- 2 i h) i, –i i) 3

i

i

2+ 2i l) -2 1( +i 3) m) 1 1

1+i+1-i

Bài 6 Tìm các căn bậc ba của các số phức sau:

Bài 7 Tìm các căn bậc bốn của các số phức sau:

a) 2-i 12 b) 3 i+ c) 2i- d) 7 24i- +

Bài 8 Giải các phương trình sau:

a) z -3 125 0= b) z +4 16 0= c) z3+64i= 0 d) z3-27i= 0 e) z7-2iz4-iz3- = f) 2 0 z6+iz3+ - = g) i 1 0 z10+ - +( 2 )i z5- = 2i 0

Bài 9 Gọi u u là hai căn bậc hai của 1; 2 z1= + và 3 4i v v là hai căn bậc hai của 1; 2

2 3 4

z = - Tính i u1+ u2 + +v1 v2?

II ÔN TẬP SỐ PHỨC

Bài 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) z +2 5 0= b)z2+ 2 2 0z + = c) z2+ 4 10 0z + = d) z2- 5 9 0z + = e) -2z2+ 3 1 0z - = f) 3z2- 2 3 0z + = g) (z z z z+ )( - ) 0= h) z2+ + = z 2 0 i) z2 = + z 2

k) 2z+3z = + 2 3i l) (z+2i)2+2(z+2i)- = m) 3 0 z3 = z

n) 4z2+8 z2 = 8 o) iz2+ +(1 2 ) 1 0i z+ = p) (1 )+i z2+ +2 11 0i=

Bài 11 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)

2

4z i 54z i 6 0

z i z i

-è ø b) (z+5i z)( -3) (z2+ +z 3)= 0

c) (z2+ 2z) (-6 z2+ 2z)-16 0= d) z3- +(1 i z) 2+ +(3 i z) - = 3i 0

e) (z + i z) ( 2 2 2 0- z + ) = f) z2-2iz+ - = 2 1 0i

g) z2- -(5 14i z) -2 12 5( + i)= 0 h) z2-80z+4099 100- i= 0

z+ -i - z+ - +i = k) z2-(cosj +isinj +)z icos sinj j = 0

Bài 12 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) x2- +(3 4i x) + - = 5 1 0i b) x2+ +( )1 i x- - = 2 i 0 c) 3x2+ + = x 2 0

d) x2+ + = x 1 0 e) x - = 3 1 0

Bài 13 Giải các phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a)z3-iz2-2iz- = 2 0 b) z3+ -( ) (i 3 z2+ 4 4- i z) - + = 4 4i 0

Bài 14 Tìm m để phương trình sau: (z i z+ ) ( 2-2mz m+ 2-2m)= 0

a) Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b) Chỉ có đúng 1 nghiệm thực

c) Có ba nghiệm phức

Bài 15 Tìm m để phương trình sau: z3+ +(3 )i z2- -3 (z m i+ = có ít nhất một nghiệm thực ) 0

Bài 16 Tìm tất cả các số phức z sao cho ( z-2)(z i+ là số thực )

Bài 17 Giải các phương trình trùng phương:

a) z4-8 1( )-i z2+63 16- i= 0 b) z4-24 1( )-i z2+308 144- i= 0

c) z4+6(1 )+i z2+ + = 5 6i 0

Bài 18 Cho z z là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 z2- +(1 i 2)z+ - = Tính giá trị 2 3i 0 của các biểu thức sau:

a) z12+ z22 b) z z1 22 +z z1 22 c) z13+z23

è ø è ø e) z z2 13+z z1 23 f) 1 2

z z

z + z

Bài 19 Cho z z là hai nghiệm của phương trình: 1, 2 x2- + = Tính giá trị của các biểu x 1 0 thức sau:

a) x12000+x22000 b) x19991 +x19992 c) x1n+x n N2n, Ỵ

Bài 20 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức sau:

a) z 3

z i- = b) z2+z2 = 1 c)

1

z z

=

Bài 21 Hãy tính tổng S= + +1 z z2+z3+ z n-1 biết rằng z cos2 isin2

Bài 22 Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau:

a) i4+ + + + i3 i2 i 1 b) (1 )(2 )-i + i c) 2

1

i i

+ -d) 1 sin cos , 0

2

i

- a+ a < <a p e) 3 cos sin

2

i

+ < <p

a p a

g) sin (1 cos ), 0

2

i

Bài 23 Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

+

4

i

- +

+

c) (1+i 3) (n+ -1 i 3)n

4 -i 4

p p f) 2 2 3i- + g) 1 sin cos , 0

2

i

- a+ a < <a p h) 1 cos sin , 0

i i

< <

Bài 24 Tìm môđun và một acgumen của các số phức sau:

+

4

i

- +

+

c) (1+i 3) (n+ -1 i 3)n

Bài 25 Chứng minh các biểu thức sau có giá trị thực:

c)

+

+

e)

+

Bài 26 Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 2 3 3

2

z- + i = Tìm số phức z có môđun

nhỏ nhất

Bài 27 Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức sau:

4 ; (1 )(1 2 ); 2 6

+

- +

-a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông

Bài 28 Giải các phương trình sau, biết chúng có một nghiệm thuần ảo:

a) z3+ -(2 2 )i z2+ -(5 4 ) 10i z- i= b) 0 z3+ +(1 )i z2+ -( 1)i z i- = 0

c) z3+ -(4 5 )i z2+ -(8 20 )i z-40i= 0

Bài 29 Cho đa thức P z( )=z3+(3 6)i- z2+(10 18 )- i z+30i

a) Tính ( 3 )P - i b) Giải phương trình ( ) 0P z =

Bài 30 Giải phương trình

2 1 2 7

z z

z

-è ø , biết z= + là một nghiệm của phương trình 3 4i

Bài 31 Giải các phương trình sau:

a) z4+2z3-z2+2 1 0z+ = b) z4-2z3-z2-2 1 0z+ = c) z4- +(1 2)z3+ +(2 2)z2- +(1 2)z+ = 1 0 d) z4-4z3+6z2-4 15 0z- = e) z6+z5-13z4-14z3-13z2+ + = z 1 0

Bài 32 Giải các phương trình sau:

a) (z2+3z+6)2+2 (z z2+3z+ -6) 3z2 = 0 b)

3 8

z i

z i

ỉ + ư

=

ç - ÷

c) (z2- +z 1)4-6 (z z2 2- +z 1)2+5z4 = 0 d)

1 0

z i z i z i

z i z i z i

ỉ - ư +ỉ - ư +ỉ - ư+ =

Bài 33 Chứng minh rằng: nếu z £ thì 1 2 1

2

z i iz

-£

Bài 34 Cho các số phức z z z Chứng minh: 1, ,2 3

a) z z1+ 22+ z2+z32+ z3+z12 = z12+ z22+ z32+ z z1+ +2 z32

1+z z + z z- = +1 z 1+ z

1-z z - z z- = -1 z 1- z

d) Nếu z1 = z1 = thì c z z1+ 22+ z z1- 22 =4c2

Chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp và các em học sinh đã đọc tập tài liệu này

transitung_tv@yahoo.com