MỞ ĐẦUSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III .HÌNH HỌC L
Trang 11 MỞ ĐẦU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GỢI ĐỘNG CƠ CHO VIỆC HÌNH THÀNH ĐỊNH LÝ VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Ở CHƯƠNG II, III HÌNH HỌC
LỚP 11
Người thực hiện: Cao Tú Cường Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2014
Trang 2LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay nhằmphát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học sinh, đòihỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụnhận thức dưới sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên Vì vậy, việc giáo dụcToán học ở trường THPT đặt ra yêu cầu đối với người học phải có nền tảng trithức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập
và đời sống Dù khai thác theo định hướng nào, đều có quan điểm chung trêntinh thần đổi mới phương pháp giảng dạy theo Lý thuyết kiến tạo, tức là: họcsinh phải huy động kiến thức, tập trung suy nghĩ, độc lập sáng tạo để giảiquyết vấn đề dưới sự hướng dẫn, gợi động cơ của giáo viên
Ở những lớp dưới, thầy giáo thường dùng những cách như: cho điểm,khen chê, thông báo kết quả học tập cho gia đình… để gợi động cơ Càng lênlớp cao, cùng với sự trưởng thành của học sinh, với trình độ nhận thức và giácngộ chính trị ngày càng được nâng cao, những cách gợi động cơ xuất phát từnội dung hướng vào những nhu cầu nhận thức, nhu cầu của đời sống, tráchnhiệm đối với xã hội ngày càng trở nên quan trọng
Việc phát triển tư duy Hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí tưởngtượng không gian, phát triển tư duy Hình học luôn gắn với việc phát triển củaphương pháp suy luận; việc phát triển tư duy Hình học sẽ kéo theo sự pháttriển tư duy Đại số Như vậy, dạy học Hình học không gian cần phải được chútrọng
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của SKKN là:
“Gợi động cơ cho việc hình thành định lý và định hướng giải một số bài tập ở chương II, III Hình học lớp 11”
2 NỘI DUNG
Trang 32 1 Cơ sở lí luận
Gợi động cơ không phải chỉ là việc làm ngắn ngủi bắt đầu dạy một tri thứcnào đó mà phải xuyên suốt quá trình dạy học Vì thế có thể phân biệt gợi động
cơ mở đầu, gợi động cơ trung gian và gợi động cơ kết thúc
Gợi động cơ là làm cho học sinh có ý thức về ý nghĩa của những hoạtđộng và của đối tượng hoạt động Gợi động cơ nhằm làm cho những mục tiêu
sư phạm biến thành những mục tiêu của cá nhân học sinh, chứ không phải chỉ
là sự an bài, đặt vấn đề một cách hình thức
Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán Từcác khái niệm, định lý cơ bản đã học giúp học sinh xây dựng các quy trình giảibài toán Hình học không gian điển hình
2 2 Thực trạng của vấn đề
Trong việc học tập môn hình học không gian đa số học sinh thường cho
là khó hiểu và khó tiếp cận, vì hình học không gian lớp 11 được triển khaibằng phương pháp tiên đề
Trên cơ sở bám sát vào chương trình và sách giáo khoa Hình học 11 hiện
hành nếu người thầy giáo biết quan tâm, khai thác và vận dụng phương pháp phù hợp trong dạy học hình thành định lý và giải bài tập Toán thì sẽ tổ chức tốt hoạt động nhận thức cho học sinh và từ đó góp phần nâng cao hiệu quả dạy
học Toán ở trường THPT
2 3 Giải pháp thực hiện
a) Gợi động cơ cho việc hình thành định lý:
Đối với việc dạy học định lý Toán học, người ta phân biệt hai con đường:con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn Hai con đường nàyđược minh họa bằng sơ đồ sau:
Con đường có khâu suy đoán Con đường suy diễn
Gợi động cơ và phát biểu vấn đềGợi động cơ và phát biểu vấn đề
Dự đoán và phát biểu định lí Suy diễn định lý
Chứng minh định lí Phát biểu định lí
Vận dụng định lí để giải quyết vấn đề dặt ra
Trang 4Qua sơ đồ trên cho thấy, dù đi theo con đường nào chúng ta cũng phảichú ý tới bước gợi động cơ cho việc hình thành định lý Việc gợi động cơ choviệc hình thành định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặctrong nội bộ Toán học [1, tr.383].
Dưới đây chúng ta xét cụ thể một số ví dụ thông qua dạy học các định lý
về hai đường thẳng chéo nhau quan hệ vuông góc:
Ví dụ 1: Gợi động cơ cho việc hình thành định lý đường vuông góc chung
của hai đường thẳng chéo nhau:
"Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b, luôn luôn có duy nhất một đường thẳng cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy Đường thẳng đó được gọi là đường vuông góc chung của a và b" [2, tr.80].
Để dạy học định lý này, đầu tiên chúng ta có thể gợi động cơ cho học sinhnhư sau:
- Hai đường thẳng song song luôn luôn
có đường vuông góc chung
a
Trang 5Nếu ta xem a là đường thẳng đi qua B', C',
b là đường thẳng đi qua A', A Khi đó đường
thẳng đi qua A', B' cắt và vuông góc với cả hai
đường thẳng a, b tại A' và B' (hình 1.1)
Xét ba đường thẳng x, y, z đôi một
vuông góc và cắt nhau tại O Tìm các đường
thẳng đó lần lượt lấy các điểm A, B, C khác O
Khi đó các đường thẳng AB và z chéo nhau
Hãy dựng một đường thẳng cắt và vuông góc
với hai đường thẳng chéo nhau nói trên? Đó
chính là đường thẳng d qua O và d vuông góc
AB(hình 1.2)
Xét mô hình trực quan mô tả hai đường chéo bất kỳ: đường thẳng thứ
ba cắt và vuông góc làm bằng các thanh thép (hoặc nhôm) được hàn kết vớinhau
Từ các trường hợp riêng hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc vớinhau và xét mô hình trực quan để học sinh phát biểu mệnh đề tổng quát về
sự tồn tại và duy nhất đường thẳng cắt và vuông góc với hai đường thẳngchéo nhau
Ví dụ 2: Xét định lý mở đầu về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
"Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P) thì vuông góc với mọi đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P)" [2, tr.59].
Tạo tình huống: Chúng ta có thể dùng các mô hình (có thể làm bằng tấmbìa nhỏ và các dây thép nhỏ) và gợi ý cho học sinh như sau:
Vật liệu: Hai thanh thép (hoặc nhôm) mảnh, thẳng được hàn kết với nhau
ở giữa và tạo lỗ thủng để có thể cắm vừa vào thanh thép thứ ba vuông góc vớihai thanh nói trên; chúng mô tả các đường thẳng a, b cắt nhau và đườngthẳng thứ ba vuông góc với hai đường thẳng kia
Trang 6thứ ba xuyên qua hai thanh thép a, b và
đồng thời xuyên qua tấm gỗ được giữ
+ Góc giữa c và ' khi c không song song với a và b
Trong trường hợp cuối, học sinh có thể kết luận góc (c, ') bằng baonhiêu, giáo viên hướng dẫn đặt đầu thanh thép sát và vị trí giao của hai thanh
a, b nằm trên mặt phẳng (P) sao cho c' // c Học sinh trực giác phán đoán độlớn góc (c', ') bằng 90o
Từ việc xem xét trên, giáo viên cho học sinh phán đoán mệnh đề về gócgiữa đường thẳng c bất kỳ thuộc (P) và đường thẳng ', có nghĩa là góc giữa c
và : "Nếu đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau a, b thuộc mặt phẳng (P) thì vuông góc với mọi đường thẳng c thuộc (P)".
Ví dụ 3: Gợi động cơ phát hiện định lý: "Nếu mặt phẳng () chứa hai đường thẳng a và b cắt nhau và hai đường thẳng này cùng song song với mặt phẳng () cho trước thì mặt phẳng () và () song song với nhau" [2, tr.33].
Tạo tình huống: Hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 (hình 1.4a) làm bằngbìa hoặc gỗ mỏng được cắt thành hai nửa ((hình 1.4b) và (hình 1.4c)) vàchúng có thể gắn kết lại bằng những nam châm mỏng
Giáo viên cho học sinh quan sát (hình 1.4a) và nhận xét mặt phẳng(ABCD) song song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Cho học sinh nhận xét tiếp các
a
c
c'bOP
Hình 1.3
Trang 7cặp đường thẳng (AB, AD); (BA, BC); (CB, CD) đều có tính chất cắt nhau vàsong song với mặt phẳng (A1B1C1D1) Giáo viên đặt câu hỏi cho học sinh:
"Cần bao nhiêu cặp đường thẳng cắt nhau của mặt phẳng (ABCD) song song với mặt phẳng (A 1 B 1 C 1 D 1 )?".
"Hãy quan sát hai hình được cắt ra: ở (hình 1.4b) chỉ có hai đường BA', BC' cắt nhau song song với mặt phẳng (B 1 C' 1 A' 1 ) và (hình 1.9c) chỉ có cặp đường thẳng (DA", DC") mỗi đường song song với mặt phẳng (A" 1 C" 1 D 1 ) Tuy nhiên vẫn giữ nguyên các cặp mặt phẳng (A 1 BC 1 ); (A' 1 B 1 C' 1 ) song song với nhau và (DA"C"), (D 1 A" 1 C" 1 ) song song với nhau".
Từ các tình huống trên đề xuất học sinh phát biểu điều kiện để mặt phẳng(P) song song với mặt phẳng (Q) nhằm phát hiện định lý
b) Gợi động cơ định hướng giải bài tập:
Trong quá trình dạy học tìm phương pháp chung giải toán cần có nhữnggợi ý để thầy hỗ trợ cho trò và để trò tự định hướng suy nghĩ tìm ra lời giải.Việc gợi động cơ định hướng giải các bài tập Toán thường được xảy ra thôngqua việc sử dụng các quy trình giải các dạng toán điển hình hoặc sử dụng cácbài tập gốc Thông qua các quy trình hoặc các bài tập gốc, giáo viên hướngdẫn học sinh giải bài toán theo quy trình hoặc tương tự bài tập gốc
Sau đây là một bản gợi ý về căn bản dựa theo Polya được tác giả
Nguyễn Bá Kim đề cập trong "Phương pháp dạy học môn Toán", chúng ta có
thể áp dụng các bước 1, 2 để gợi động cơ định hướng giải bài tập
Trang 8Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.
* Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Cái phải tìm có thể thoả mãn các điềukiện cho trước hay không? Hay chưa đủ? Hay thừa? Hay có mâu thuẫn?
* Hãy vẽ hình Hãy sử dụng kí hiệu thích hợp
* Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện Có thể diễn tả các điềukiện đó thành công chức hay không?
* Thấy được một bài toán có liên quan mà bạn đã có lần giải rồi, có thể
sử dụng nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hãy sử dụngphương pháp giải bài toán đó Có cần phải đưa thêm một số yếu tố phụ thìmới áp dụng được bài toán đó hay không?
* Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Một cách khácnữa? Quay về những định nghĩa
* Nếu bạn chưa giải được bài toán đã đề ra thì hãy thử giải một bài toán
có liên quan và dễ hơn hay không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trườnghợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn có thể giải một phần bài toán haykhông? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia Khi đó cái cần tìmđược xác định đến một chừng mực nào đó; nó biến đổi như thế nào? Bạn cóthể nghĩ ra những điều kiện khác có thể giúp bạn xác định được cái phải tìmhay không? Có thể thay đổi cái phải tìm hay cái đã cho, hay cả hai nếu cầnthiết, sao cho cái phải tìm mới và cái đã cho mới được gần nhau hơn không?
Trang 9* Bạn đã sử dụng mọi cái đã cho hay chưa? Đã sử dụng hết các điều kiệnhay chưa? Đã để ý một khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?
* Bạn có thể kiểm tra lại kết quả? Có thể kiểm tra từng bước, thấy mỗibước đều đúng? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải bài toán haykhông?
* Có thể tìm được kết quả một cách khác không? Có thể thấy trực tiếpngay kết quả không?
* Nếu tìm được nhiều cách giải thì hãy so sánh các cách giải đó để tìm ralời giải ngắn gọn và hợp lý nhất [1, tr.420-422]
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cũng cần quan tâm cho học sinh biếtkiến thức nào là cơ sở và kiến thức nào có thể để học sinh tự học hoặc tự suyluận được trên cơ sở kiến thức đã được lựa chọn truyền thụ cho học sinh.Hoặc giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh xây dựng các bài toán gốc đểcủng cố các khái niệm, định lý Hệ thống bài tập gốc đóng vai trò hết sức quantrọng và ngoài chức năng củng cố kiến thức cho học sinh, hệ thống bài tập gốccòn góp phần định hướng tìm tòi lời giải cho các dạng toán, nhất là các dạngtoán có quy trình giải Việc thực hiện quy trình trong dạy học toán khôngnhững hướng cho học sinh tới tư tưởng thuật toán mà còn tạo điều kiện cho
sử dụng mềm mại, uyển chuyển các phương pháp dạy học khác nhau, dựa vàonhững kiến thức cần truyền đạt để dạy học sinh tưởng tượng, phát triển trựcgiác Toán học, giúp học sinh phát triển tư duy tích cực, độc lập sáng tạo Chúng
ta hãy xét các ví dụ sau:
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD thuộc mặt phẳng (P) Gọi S là điểm
không thuộc mặt phẳng (P) Các điểm M, N lần lượt là trung điểm các đoạn AB
và SD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng
a) (SMN) và (P)
b) (SMN) và (SAC)
Giáo viên gợi động cơ định hướng tìm lời giải bài toán trên bằng các câuhỏi sau:
Trang 10- Cho hai mặt phẳng () và () tìm giao tuyến hai mặt phẳng đó ta phảilàm như thế nào?
+ Ta phải tìm ra hai điểm chung A, B của 2 mặt phẳng đó Vì A, B ()nên theo tiên đề hai của mặt phẳng thì mọi điểm trên đường thẳng AB đềuthuộc mặt phẳng () Tương tự với A, B () Vậy giao tuyến của () và () làđường thẳng AB
- Hãy vận dụng quy trình trên để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SMN)
Vậy M là điểm chung thứ 2
Giao tuyến cần tìm là đường thẳng DM
b) - Hãy tìm giao tuyến của (SMN) và (SAC)?
- Hãy xác định 2 điểm chung của hai mặt phẳng đó?
S là điểm chung thứ nhất Ta tìm điểm chung thứ hai
S
N
DA
M
O
Hình 2.1
Trang 11Giao tuyến của 2 mặt phẳng (SMN) và (SAC) là SO (hình 2.10).
Ví dụ 5: Cho hình hộp chữ nhật
ABCD A'B'C'D' có AB = a, BC = b, CC' =
c Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng BB' và AC' [3, tr.86]
Giáo viên có thể hướng đích gợi
động cơ cho học sinh giải các bài tập
trên bằng câu hỏi sau: "Để tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a
và b ta phải làm như thế nào?".
Học sinh có thể dựa vào bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng
chéo nhau: "Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Một mặt phẳng (P) chứa
b và song song với a Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đường thẳng a,
b bằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)" để lập quy trình
giải bài toán này như sau:
Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa b và song song với a
Bước 2: Trên a chọn một điểm M sao cho hình chiếu của A xuống mặtphẳng (P) là H dễ dàng xác định được
Bước 3: Gắn MH vào trong một "hình" nào đó để thuận lợi cho việc tính
A
DH
Hình 2.2
Trang 12Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BB' và AC' là khoảng cách giữaBB' với mặt phẳng (ACC').
Xác định khoảng cách giữa đường thẳng BB' với mặt phẳng (ACC')?Gọi H là hình chiếu của B lên AC Khi đó, ta dễ dàng chứng minh được
BH (ACC') vậy khoảng cách giữa BB và AC' là độ dài đoạn BH
Hãy tính độ dài đoạn BH?
Xét tam giác vuông ABC:
1 BH
ab
Đối với các dạng toán cần quan tâm tới trình tự sau:
Khái niệm, Định lý dạng toán ứng dụng quy trình giải xây dựngcác bài tập gốc vận dụng quy trình các bài toán nâng cao vận dụng lược đồtrên nhằm thực hiện mục đích kép: vừa để khắc sâu khái niệm, định lý; vừa bồidưỡng năng lực huy động kiến thức cho học sinh khi giải các bài toán nângcao
Ví dụ 6: Dạng toán xác định giao điểm
của một đường thẳng với một mặt phẳng
Trước tiên giả thiết rằng đường thẳng
Hình 2.3
Trang 133 Trong mặt phẳng (Q) xác định giao của đường thẳng a và Khi đó
I a và I nên I (P) I là giao điểm cần tìm
b) Bài toán gốc vận dụng quy trình nhằm khắc sâu quy trình và khắc sâu các tính chất của mặt phẳng Chẳng hạn xét bài toán:
Bài toán 1: "Cho tam giác ABC và điểm O nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
Trên các đoạn thẳng OA, OB, OC lần lượt lấy các điểm A', B', C' không trùngvới các đầu mút của đoạn thẳng đó Gọi M là một điểm thuộc mặt phẳng(ABC) và nằm trong tam giác ABC Tìm giao điểm của đường thẳng OM vớimặt phẳng (A', B', C')" [4, tr.25]
Thực hiện các bước quy trình:
Bài toán 2: Cho tam giác ABC và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC).
Gọi I là trung điểm cạnh BC Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia AB, SCnhưng không thuộc các đoạn AB, SC Hãy xác định giao điểm H của đườngthẳng MN và mặt phẳng (SAI) [4, tr.26]
KI
Hình 2.4