Đang tải... (xem toàn văn)
Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương pháp phù hợp để giải các bài tập là quan trọng nhất, chọn được phương pháp phù hợp giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác. Trong chuyên đề này tôi muốn trình bày việc sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài tập toán nhằm giúp học sinh hiểu rỏ thêm về không gian vectơ – tọa độ và rút ra những kinh nghiệm bổ ích khi làm bài tập toán
Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số:……………. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ Người thực hiện : TRẦN THỊ NGỌC HÒA Lĩnh vực nghiên cứu : Phương pháp dạy học bộ môn: Toán Có đính kèm: □ Mô hình □ Phần mềm □ Phim ảnh □ Hiện vật khác: Đĩa CD Năm học 2011 – 2012 Trang 1 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong quá trình dạy học các năm tôi đã nghiên cứu, tham khảo các tài liệu, chuyên đề về ứng dụng của phương pháp vectơ và tọa độ để ôn luyện cho học sinh. Đặc biệt ta thấy rỏ ràng với việc sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ cho phép chúng ta nghiên cứu hình học bằng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn ngữ hình học, giúp cho học sinh có thêm một công cụ để diễn đạt, suy luận để làm một bài toán đồng thời tạo cho học sinh có thêm những hiểu biết cần thiết để hiểu rỏ cấu trúc toán học ở bậc cao hơn. Tuy nhiên vấn đề đặt ra là cần đưa nội dung của phưong pháp vectơ và tọa độ ở mức độ như thế nào là thích hợp với điều kiện phát triển trí tuệ và sinh lý của học sinh, đảm bảo tính hiện đại, có hệ thống nhưng phải vừa sức với học sinh. Trong dạy và học toán nhiệm vụ của thầy và trò là tìm ra một phương pháp phù hợp để giải các bài tập là quan trọng nhất, chọn được phương pháp phù hợp giúp học sinh giải quyết bài toán nhanh, gọn, chính xác. Trong chuyên đề này tôi muốn trình bày việc sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài tập toán nhằm giúp học sinh hiểu rỏ thêm về không gian vectơ – tọa độ và rút ra những kinh nghiệm bổ ích khi làm bài tập toán. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Trang 2 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ PHẦN I: LÝ THUYẾT I. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG MẶT PHẲNG. 1. Định nghĩa : Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng x’ox, y’oy vuông góc với nhau.Trên Ox, Oy lần lượt chọn các véc tơ đơn vị 1 2 ,e e ur uur .Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. 2. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: Cho điểm M trong mp Oxy. Hạ MH vuông goc x’Ox và MK vuông góc y’Oy. Theo qui tắc hình bình hành, ta có: OM OH OK= + uuuur uuur uuur 1 2 xe ye= + ur ur Bộ hai (x, y) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x, y). Cho a ur trên hệ trục. Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a= uuuur ur . Gọi (x,y) là toạ độ của điểm M . Khi đó bộ hai (x,y) gọi là toạ độ của véc tơ a ur trên hệ trục Oxy và ký hiệu là a ur = (x,y). 3. Các phép tính véc tơ : Cho hai véc tơ 1 2 1 2 , ,( ) ; ( )a a a b b b= = r ur và k là một số thực. Các phép tính véc tơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một véctơ, tích vô hướng hai véc tơ được xác định như sau: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 ( , ) ( , ) . ( , ) . a b a b a b a b a b a b k a ka ka a b a b a b + = + + − = − − = = + r ur r ur ur r ur 4. Các công thức về lượng : Cho hai véc tơ 1 2 1 2 ; ;( ) ; ( )a a a b b b= = r ur và gọi α là góc tạo bởi hai véctơ đó . .a b a b= r r ur ur khi và chỉ khi a r và b r là hai véctơ cùng hướng Trang 3 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos . a b a ba b a b a a b b α + = = + + r ur r ur Khoảng cách từ điểm M(x 0 , y 0 ) đến đường thẳng (D):Ax +By +C = 0 là : 2 2 ( , ) o o Ax By C d M D A B + + = + 5. Phương trình của đường thẳng, đường tròn * Phương trình của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x 0 , y 0 ) và nhận véctơ ( , )n A B= r làm véc tơ pháp tuyến là: A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) = 0 * Phương trình đường tròn tâm I (a, b) bán kính R là: (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 II. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ DESCARTES VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa : Trong không gian cho ba đường thẳng x’ox, y’oy, z’Oz vuông góc với nhau đôi một. Trên Ox, Oy, Oz lần lượt chọn các véc tơ đơn vị 1 2 3 , ,e e e ur uur uur . Như vậy ta có một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxyz. 2. Toạ độ của một điểm và của một véctơ . Cho điểm M trong kh ông gian Oxyz. Hạ MH vuông góc x’Ox, MK vuông góc y’Oy và ML vuông góc z’Oz. Theo qui tắc hình hộp, ta có : 1 2 3 OM OH OK OL xe ye ze = + + = + + uuuuur uuuur uuuur uuur ur uur uur Bộ ba (x,y,z) được hoàn toàn xác định bởi điểm M và được gọi là toạ độ của điểm M, ký hiệu M(x,y,z). Cho a ur . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho OM a= uuuuur ur . Gọi (x, y. z) là toạ độ của điểm M. Khi đó bộ ba (x, y, z) gọi là toạ độ của véc tơ a ur trên hệ trục Oxyz và ký hiệu là a ur = (x,y,z). 3. Các phép tính véctơ : Cho hai véc tơ 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b= = r ur và k là một số thực. Trang 4 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Các phép tính vectơ như phép cộng, phép trừ, phép nhân một số với một vectơ, tích vô hướng, tích có hướng hai vectơ được xác định như sau: 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 ( , ) ( , ) . ( , ) . . ( , , ) a b a b a b a b a b a b k a ka ka a b a b a b a a a a a a a b b b b b b b + = + + − = − − = = + = r ur r ur ur r ur r ur 4. Các công thức về lượng : Cho hai vectơ 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b = = r ur và gọi α là góc tạo bởi hai vectơ đó . .a b a b= r r ur ur khi và ch ỉ khi a r và b r là hai vectơ cùng hướng 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 . . . . cos . a b a b a b a b a b a a a b b b α + + = = + + + + r ur r ur Cho (D) là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương 1, 2 3 ( , )a a a a = r và điểm M. Giả sử ta tính được 1, 2 3 ( , )AM b b b = uuuur Khi đó khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (D) được tính là : 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 2 1 2 3 ( , ) a a a a a a b b b b b b d M D a a a + + = + + 5. Phương trình của mặt phẳng, đường thẳng và mặt cầu. a. Phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x 0 ,y 0, z 0 ) và có cặp vectơ chỉ phương 1 2 3 1 2 3 , , ( , ) ; ( , )a a a a b b b b = = r ur là : 2 3 3 1 1 2 0 0 0 2 3 3 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 0 a a a a a a x x y y z z b b b b b b − + − + − = b. Phương trình tham số của đường thẳng (D) đi qua điểm M(x 0 ,y 0 ,z 0 ) v à nhận vectơ 1 2 3 , ( , )a a a a = ur làm vectơ chỉ phương là: Trang 5 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 0 1 0 2 0 3 x x at y y a t z z a t = + = + = + (t là tham số) c. Phương trình mặt cầu tâm I (a, b,c) và có bán kính R là : (x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = R 2 PHẦN II : CÁC BÀI TOÁN III. CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG: 1. CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ : Bài 1: Cho 4 số thực x 1 , x 2 , x 3 , x 4 . chứng minh rằng (x 1 2 +y 1 2 )(x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 Giải: Trên mặt phẳng toạ độ xét 2 vectơ : 1 1 2 2 ( , ); ( , )a x y b x y= = r ur Ta có 2 2 2 . ( . )a b ab a b a b≥ ⇒ ≥ r r r r ur ur ur ur vậy (x 1 2 +y 1 2 ) (x 2 2 +y 2 2 ) ≥ (x 1 x 2 + y 1 y 2 ) 2 đẳng thức xãy ra 1 2 2 1 //a b x y x y⇔ ⇔ = r ur Bài 2: Chứng minh rằng nếu x, y, z > 0 thì 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z+ + + + + > + + Giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) 2 2 2 2 2 2 2 2 y z y z x y x z y z+ + + + + > − + + Xét 3 điểm 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( , ) ; (0, ) ; ( ,0) y y z A x z B y z C+ + − (1) ⇔ AB + AC > BC Ta có AB AC BC+ ≥ với 3 điểm A, B, C bất kỳ ở đây Trang 6 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 3 2 2 3 2 2 ( , ) ( , ) y AB x y z AC x z = − − = − − − uuur uuuur Hai véctơ này không thể ngược hướng (vì hoành độ cùng âm) do đó không thể xảy ra đẳng thức AB + AC > BC. Vậy bất đẳng thức (1) được chứng minh. Bài 3: Giải bất phương trình: 2 1 3 2( 3) 2 2(1)x x x x− + − ≥ − + − Giải Điều kiện 1x ≥ Xét mặt phẳng toạ độ Oxy các vectơ: ( 3, 1) (1,1) u x x v = − − = r r 2 ( 3) 1 3 . 1 3 u x x v u v x x = − + − ⇒ = = − + − r r r r Suy ra bất phương trình (1) tương đương . .u v u v≥ r r r r 2 2 3 1 6 9 1 3 7 10 0 3 5 2 3 5 u v x x x x x x x x x x x x x ⇔ ↑↑ ⇔ − = − − + = − ⇔ ≥ − + = ⇔ ≥ = ⇔ = ≥ ⇔ = r r Vậy x=5 là nghiệm duy nhất. Bài 4: Trang 7 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Chứng minh rằng: 4 4 cos 1 sin 1 cos2 ,x x x x R + − + ≤ ∀ ∈ Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, các vectơ: 2 2 (cos ,1) (cos2 ,0) (sin ,1) a x a b x b x = ⇒ − = = r r r r Khi đó, từ 4 4 cos 1 sin 1 cos2 ( ) a b a b x x x dpcm − ≤ − ⇒ + − + ≤ ⇒ r r r r Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 ( ) cos 2cos 5 cos 4cos 8y f x x x x x= = − + + + + Giải Trong mặt phẳng toạ độ xét các véctơ: (1 cos ,2) (2 cos ,2) a x b x = − = + r r Khi đó : 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 cos ) 2 cos 2cos 5 (2 cos ) 2 cos 4cos 8 3 4 5 a x x x b x x x a b = − + = − + = + + = + + + = + = r r r r từ a b a b+ ≥ + r r r r <=> 5y ≥ Dấu “=” xảy ra (chẳng hạn) tại 2 3 x π = Vậy miny=5 Bài 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Trang 8 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )y x px p x qx q p q= − + + − + ≠ Giải Ta c ó 2 2 2 2 ( ) ( )y x p p x q q= − + + − + Trên mp toạ độ lấy hai điểm A(p, q) : B(q,q). Bài toán trở thành: Tìm M(x,0) thuộc Ox sao cho (MA +MB) đạt giá trị nhỏ nhất. Xét hai trường hợp: - Nếu pq <0 thì A hoặc B trùng O, hoặc A,B nằm về hai phía đối với O .Khi đó (MA + MB) nhỏ nhất ⇔ M trùng O, tức là 2 2 min 2 2 2( )y p q p q= + = + đạt được khi x = 0 - Nếu pq >0 thì A, B nằm cùng phía đối với O (đồng thời nằm cùng phía đối với Ox). Lấy A’ đối xứng với A qua Ox ta có A’(p, -p), đồng thời : ' 'MA MB MA MB A B+ = + ≥ Đẳng thức xãy ra ⇔ A’, M, B thẳng hàng 2 2 min 2 2 ( ) ' ' ( ) 2 ' ( ) ( ) 2( ) x p k q p A M k A B p k q p p k p q pq x p q y A B p q p q p q − = − ⇔ = ⇔ = + = + ⇔ = + = = − + + = + uuuuuur uuuuur đạt được khi x = 2pq/(p+q) Trang 9 GV Trần Thị Ngọc Hòa A A ’ B MO x y Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Bài 7 Giải phương trình: 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + + Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: ( 1,1) (3 2,5) (2 3,4) u x u v x v x = − ⇒ + = + = + r r r r 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29 u x x v x x u v x x = − + ⇒ = + + + = + + r r r r Suy ra phương trình (1) tương đương: u v u v+ = + r r r r ( 0) 1 (2 3) 1 .4 1 4 1 1 (2 3) 4 1 4 4 4 2 3 1 4 7 2 u kv k x k x k k x x k x x k x ⇔ = > − = + ⇔ = = ⇔ − = + = ⇔ − = + = ⇔ = r r Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất 7 2 x = Bài 8:Tìm m để phương trình sau có nghiệm Trang 10 GV Trần Thị Ngọc Hòa [...]... Phan Đức Chính và cộng sự - Các bài giảng luyện thi môn toán Trang 26 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 2 Nguyễn Gia Cốc - Ôn luyện giải toán hình học bằng phương pháp vectơ và tọa độ 3 Văn Như Cương - Bài tập Hình học 11 Nâng Cao - Nhà xuất bản giáo dục 4.Trần Văn Hạo và cộng sự (2006) - Hình học 10 – Nhà xuất bản giáo dục 5.Trần Văn Hạo và cộng sự - Sách... GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ ⇔ ( x − b) 2 + y 2 + z 2 + ( y − c ) 2 + z 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2 ⇔ ( x − b) 2 + ( y − c ) 2 + z 2 ≤ 0 x = b ⇔ y = c z = 0 ⇔ M (b, c, 0) Vậy quỹ tích cần tìm chỉ có một điểm duy nhất M(b,c,0) C BÀI HỌC KINH NGHIỆM Trang 25 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ - Sau khi thực hiện... IE ⊥ DC (dpcm) IV CÁC BÀI TOÁN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ VÀ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1 CÁC BÀI ĐẠI SỐ: Bài 1 :Giải hệ phương trình x + y + z =1 2 2 2 x + y + z =1 3 3 3 x + y + z =1 Giải u r r r Xét hai véc tơ u = ( x0 , y0 , z0 ) ; v = ( x02 , y0 2 , z0 2 ) trong đó u = ( x0 , y0 , z0 ) Trang 16 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Là nghiệm tuỳ ý (nếu... đã đưa vào một số lớp để ôn luyện vào các tiết tăng cường thì tôi thấy được sự tập trung và thích thú của các em học sinh , có thể là do các bài tập có dạng khác so với các bài tập trong SGK và nó gần với đề thi Đại học - Một số học sinh vận dụng thành thạo phương pháp vectơ và tọa độ để giải bài tập tương đương - Nên vận dụng linh họat tùy theo sức học của học sinh để các em tiếp thu vấn đề một cách... em khơng nản trong việc làm bài tập D KẾT LUẬN Trên đây là một số bài toán đại số và hình học trong mặt phẳng cũng như trong không gian Nếu khéo léo chọn hệ trục toạ độ phù hợp, vận dụng phương pháp vectơ và toạ độ thì có thể chuyển thành bài toán đại số hoặc giải tích và tìm ra lời giải ngắn gọn, phần nào làm sáng tỏ vấn đề mà tôi đưa ra Trong quá trình viết, do thời gian và kinh nghiệm giảng dạy có... Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ (Hướng dẫn) Xét hai vectơ r a = (3 − cos x, 2) r b = (1 + cos x,1) Bài 11: Chứng minh rằng với mọi giá trị x, y ta có 4 cos 2 x cos 2 y + sin 2 ( x − y ) + 4 sin 2 x sin 2 y + sin 2 ( x − y ) ≥ 2 ( Hướng dẫn) Xét hai vectơ r u = ( 2 cos x cos y, sin ( x − y ) r v = (2 sin x sin y, sin ( x − y ) 2 CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC : Bài 1:... ACD’ theo a, b, c b/ Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC Hãy tính thể tích cua tứ diện D’DMN theo a, b, c Giải a/ Ta lập hệ trục toạ độ vuông góc có gốc trùng với đỉnh A, các trục có phương uuu uuu uuur r r trùng với AB ; AD ; AA ' Khi đó : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c) Trang 20 GV Trần Thị Ngọc Hòa uuuu r Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ uuuur u uuuu uuuu r r AC... ) = bc bc ⇒ AM = c cos α + b sin α ⇒ Trang 12 M y B O X x GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài các trung tuyến va độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp lần lượt là ma , mb , mc , R Chứng minh: ma + mb + mc ≤ 9R 2 (Đại học Y Dược TPHCM năm 2000) A Giải c O B a b C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giac ABC.Ta có: uuu uuu... = 1 Giải z C y B I O A x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c) a,b,c > 0 Trang 22 GV Trần Thị Ngọc Hòa Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ a Ta có AB = (-a, b, 0), AC = (-a, 0, c) α cosA = cos( AB, AC ) = AB AC AB AC a2 ⇔ cosA = a2 + b2 a2 + c2 > 0 ⇒ A là góc nhọn Chứng minh tương tự B, C nhọn r 1 1 1 x y z + + =1⇒ n = ( , , ) a b c a b c r Phương. . .Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ 3 + x + 6 − x − (3 + x)(6 − x) = m Giải Đặt u = 3 + x ; v = 6 − x Phương trình đã cho trở thành u + v = 1 + 10 − 2m (1) u + v − uv = m 2 2 ⇔ u 2 + v 2 = 9 (2) u + v = 9 u ≥ 0, v ≥ 0 u ≥ 0, v ≥ 0 (3) - Phương trình (1) biểu thị 1 đường thẳng thay đổi song song với đường phân giác thứ hai, phương trình (2) biểu . Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT TRẤN BIÊN Mã số: ……………. SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP TOÁN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ. dụng phương pháp vectơ và tọa độ để giải một số bài tập toán nhằm giúp học sinh hiểu rỏ thêm về không gian vectơ – tọa độ và rút ra những kinh nghiệm bổ ích khi làm bài tập toán. B. GIẢI QUYẾT. Hòa A A ’ B MO x y Giải Một Số Bài Tập Toán Bằng phương pháp Vectơ và Tọa Độ Bài 7 Giải phương trình: 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x− + + + + = + + Giải Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét các vectơ: