Tổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trìnhTổng hợp bài tập hệ phương trình
www.VNMATH.com www.VNMATH.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015 NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC Bài 1 Giải hệ phương trình: 2 3 12 (12 ) 12 (1) 8 1 2 2 (2) x y y x x x y (x, y R) (ĐH khối A – 2014) Giải Điều kiện : 2 2 12 12 0 y x 2 12 2 3 2 3 y x Cách 1: Đặt 2 12 , 0 12 y a y a a PT (1) 2 2 (12 )(12 ) 12 xa a x 2 2 2 2 2 12 12 12 12 x a x a xa 2 2 2 2 2 2 2 2 12 12 12 12 12 2.12. xa x a x a xa x a 2 2 12 12 2.12 12 0 xa x xa a 2 12 ( ) 0 xa x a Ta có (x – a) 2 = 0 x = 12 y (*) Thế (*) vào (2) được : (12 ) 12 8 12 1 2 2 y y y y (4 ) 12 2 2 1 y y y (3 ) 12 12 3 2 2 2 0 y y y y 3 2(3 ) (3 ) 12 0 12 3 1 2 y y y y y y 3 1 2 12 0(voâ nghieäm) 12 3 1 2 y y y y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Vậy 3 3 x y Cách 2: Ta có 2 2 2 12 (12 ) 12 12 12 x y x y x x y y Dấu “=” xảy ra 2 12 12 y x y y 2 (12 )(12 ) x y y x (3) Khi đó (1) tương đương với (3) (3) 2 2 2 2 2 0 0 0 144 12 12 12 144 12 12 (4) x x x x y x y x y y x y x Thế (4) vào (2) ta có 3 2 3 2 (2) 8 1 2 10 8 1 2 10 0 x x x x x x 3 2 8 3 2 1 10 0 x x x 2 2 2 1 (10 ) 3 3 1 2. 0 1 10 x x x x x 2 2 2 9 3 3 1 2. 0 1 10 x x x x x 2 2 2( 3) 3 3 1 0 1 10 x x x x x 2 2 3 2( 3) 3 1 0 (voâ nghieäm vì x 0) 1 10 x x x x x 3 3 x y Vậy 3 3 x y Cách 3: Đặt 2 ; 12 ; 12 ; a x x b y y 12 a b (1) 2 2 2 . a b a b a b 12 x y (2) 3 2 8 3 2 10 2 x x x www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 2 3 3 3 3 1 2 10 1 x x x x x x 3 x y 2 2 3 1 10 1 2 3 0 x x x x Đặt 2 2 3 1 10 1 2 3 f x x x x x ' 0 0 f x x phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3) Bài 2 Giải hệ phương trình: 2 (1 ) 2 ( 1) 2 3 6 1 2 2 4 5 3 y x y x x y y y x y x y x y (ĐH khối B – 2014) Giải Điều kiện: 0 2 4 5 3 y x y x y Phương trình thứ nhất viết lại thành (1 ) (1 ) ( 1) ( 1) 1 (1 )(x y 1) 1 ( 1) 1 1 1 y x y y x y x y y y y y x y x y x y y TH1 : 1 y thay xuống (2) ta có 9 3 2 2 4 8 3( ) x x x x TM TH2 : 1 x y thay xuống (2) ta có 2 2 2 2 2 3 2 2 1 1 2 3 2 1 0 2( 1) ( 1 ) 0 1 ( 1) 2 0 1 5 1 5 1 ( ) 2 2 y y y y y y y y y y y y y y y y x TM Vậy hệ đã cho có nghiệm : 5 1 5 1 ( ; ) (3;1),( ; ) 2 2 x y . www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 3 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 ( 2 2) ( 6) ( 1)( 2 7) ( 1)( 1) y x x x y y x x x y Giải ĐK: , x y R Đặt 1 a x b y , ta có hệ trở thành: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) ( 1)( 6) ( 1)( 6) ( 1) (*) ( 1)( 6) ( 1) ( 1)( 6) ( 1)(**) b a a b a b b a b a a b b a a b Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có: ( )( 2 7) 0 2 7 0 a b a b a b ab a b ab Trường hợp 1: a b thay vào phương trình (*) ta có: 2 2 2 2 ( 1)( 6) ( 1) 5 6 0 3 a a a a a a a a 1 2 x x hệ có 2 nghiệm (x; y) là: Trường hợp 2: 2 7 0 a b ab Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: 2 2 5 5 1 2 2 2 a b Vậy ta có hệ phương trình: 2 2 2 7 0 5 5 1 2 2 2 a b ab a b Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm: 2 3 2 3 ; ; ; 2 3 3 2 a a a a b b b b Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2;3),(1;3),(2;2). Bài 4 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 12 6 16 0 4 2 4 5 4 6 0 x x y y x x y y Giải ĐK: 2;2 , 0;4 x y Ta có 3 3 2 (1) ( 2) 6( 2) 6 PT x x y y Xét hàm số 3 ( ) 6 , 0;4 f t t t t ta có 2 '( ) 3 12 3 ( 4) 0, 0; 4 ( ) f t t t t t t f t nghịch biến trên 0;4 . Mà phương trình (1) có dạng: ( 2) ( ) 2 f x f y y x thay vào phương trình (2) ta có: 2 2 4 6 3 4 0 x x x từ đó ta có y = 2. Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2). www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 5 Giải hệ phương trình: 3 2 2 1 3 4 1 9 8 52 4 x y x x y x y xy . Giải §K: 1 y . 3 2 3 2 1 4 1 4 4 13 8 52 0 x y HPT x x y xy x x y 2 3 2 1 ( 2 1) 13 8 52 0 3 2 1 2 13 0 3 2 1 1 5 x y x x y x y x y x y x y y y 2 3 2 1 5 11 24 0 3 2 1 7 5 3 3 8 x y y y y x y x y y y y Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: 7 3 x y . Bài 6 Giải hệ phương trình: 2 2 2 1 0 1 0 y x y x xy xy x y ĐK: 0; 0; 1 x y xy 1 2 0 2 1 0 y x y x xy y x y x y x y x thay vào 2 , ta được: 2 1 0 1 1 x x y KL: hệ pt có tập nghiệm: 1;1 S www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 7 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 2 3 5 8 5 5 1 2 2 x y x y x y xy xy xy x y x y ĐK: 1 ;0 2 5 x y Đặt , 0; , 0 u x y u v xy v khi đó 2 3 2 2 3 1 2 3 2 0 2 2 1 0 2 2 u u u u u u v uv v u v v v v v 2 2 0 x y xy x y x y thay vào 2 , ta được: 5 5 1 5 1 5 1 2 3 3 3 1 3 0 5 1 2 2 1 5 1 2 2 1 x x x x x x x x x x x 1 1 5 1 1 3 0 ì 2 5 5 1 2 2 1 x y VN v x x x KL: tập nghiệm của hệ pt là: 1;1 S Bài 8 Giải hệ phương trình: 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 0 x y x x x x y y x y y y x x y y ĐK: 0 y Hệ 2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 1 0 1 0 1 4 0 1 4 0 x y x y x y x y x y x x y y x x y y 1 1 1 2 y x x x y KL: 1;2 S Bài 9 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 7 4 5 6 3 2 3 10 34 47 x xy y x xy y x xy y x xy y ĐK: 2 2 2 2 3 2 0 4 3 7 0 x xy y x xy y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được: 2 2 2 2 2 2 1 5 6 4 0 6 4 3 7 3 2 x y n x xy y x y n x xy y x xy y Với x y thay vào 2 , ta được: 2 1 1 1 1 1 x y x x y Với 6 x y thay vào 2 , ta được: 2 47 47 6 82 82 82 47 47 47 6 82 82 y x y y x KL: 47 47 47 47 1;1 , 1; 1 , ; 6 ; ;6 82 82 82 82 S www.VNMATH.com Bài 10 Giải hệ phương trình: 2 4 2 2 3 3 0 9 5 0 x xy x y x y x y x Hệ 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 5 0 x y x xy x y x y x Thay 1 vào 2 , ta được: 2 2 2 0 0 1 9 15 4 0 1 3 4 4 0 3 x y x y y y x y x x VN KL: 1 0;0 ; 1; 3 S Bài 11 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 13 2 2 x y xy x xy y x y x y x y ĐK: 0 0 2 0 x y x y x y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ 2 2 4 4 4 8 5 0 2 2 x xy y x y x y x y x y x y Ta có PT 2 2 1 1 2 4 2 5 0 2 5 x y x y x y x y l Với 2 1 x y thay vào 2 , ta được: 3 2 3 1 1 1 3 9 6 13 0 0 1 y y y y y y y x thỏa mãn KL: 1;0 S Bài 12 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 5 2 3 2 2 1 3 6 x x y x y x y x y ĐK: 2 x y Ta có 2 2 6 3 x y thay vào 1 ta được: 1 5 6 5 5 9 1 3 y y y y x thỏa mãn KL: 3;1 ; 3;1 S Bài 13 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 6 5 1 1 1 1 x y y x y x y x x x y ĐK: 2 1 1 1 1 1 0 x x y x y Đặt: 2 1, 0 1, 0 a x a b y b , ta được: 2 3 2 2 2 4 5 6 b a b a ab a b Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: 10;2 ; 10;2 S Bài 14 Giải hệ phương trình: 3 2 2 2 20 3 3 0 3 1 y y xy x y x y y www.VNMATH.com www.VNMATH.com Hệ 3 2 2 20 3 1 3 1 0 3 1 y y y x y x y y . Thế 2 vào 1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3 KL: 3 1 3 1 ; ; ; 2 2 5 5 S Bài 15 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 3 0 2 1 2 3 1 0 x y x y y x y x ĐK: 1 2 y Ta có PT 2 2 2 3 3 0 1 3 3 6 6 0 y x y x y l x y y x y xy x y Với x y thay vào 2 , ta được: 2 4 3 2 1 1 2 1 3 1 6 11 8 2 0 2 2 2 2 2 2 y x y y y y y y y y l y x KL: 1;1 ; 2 2;2 2 S Bài 16 Giải hệ phương trình: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 4 8 x y x y x y y x x y xy y x ĐK: . 0 x y Ta có PT 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 x y x x y y x y x y x y x y x y Với x y thay vào 2 , ta được: 1 1 x y Với x y thay vào 2 , ta được: 1 1 y x KL: 1;1 ; 1; 1 S www.VNMATH.com www.VNMATH.com Bài 17 Giải hệ phương trình: 2 2 3 3 2 10 5 2 38 6 41 0 6 1 2 x y xy x y x xy y y x ĐK: 3 3 2 6 0 1 0 x xy y y x Ta có PT 2 2 1 10 2 19 5 6 41 0 x x y y y . Tính Δ 2 ' 49 1 0 1 x y y thay vào 1 được 2 x thỏa hệ phương trình KL: 2;1 S Bài 18 Giải hệ phương trình: 3 3 2 2 3 2 2 0 2 2 x y x y xy xy x y x y x x y ĐK: x y Ta có PT 2 2 2 2 1 1 1 0 0 y x x y x y x y x y x y 1 y x thay vào 2 , ta được: 3 2 0 1 2 0 1 0 x y x x x x y 2 2 0 0 x y x y x y ì 0 v x y thay vào hệ không thỏa KL: 1;0 ; 0; 1 S Bài 19 Giải hệ phương trình: 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 8 3 1 3 1 1 4 3 1 2 1 12 1 4 y x y y y y x y x ĐK: 1 1 2 2 x Đặt: 2 3 2 1 1 4 , 0 a y b x b , ta có: 3 2 2 2 3 2 2 3 2 3 0 3 2 0 a a a b b a b b a a a b thay vào 1 , ta được: 3 2 2 2 2 2 3 2 3 0 0 0 b b b b b b b b b a . Khi đó ta có: 2 2 3 1 1 4 0 2 1 0 1 x x y y [...]... [0; ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả 2 x y 2 1 5 Bài 37 Giải hệ phương trình: 2 4x 3x 57 y(3x 1) 25 (1) (2) Giải ĐK: x , y R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: 25x 2 25y 2 5 Hệ phương trình 200x 2 150x 114 50y(3x 1) Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2 25y... www.VNMATH.com 1 3 www.VNMATH.com Với 3 xy 2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) Với 3 xy 4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x 2 3 x 3 y 3 4x 2y Bài 29 Giải hệ phương trình sau: 2 x 3y 2 4 Giải 3 3 Phương trình (1) 2(x y ) 4(2 x y) Từ phương trình (2) thay 4 x 2 3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: y 0 x 2y 6xy 2... 2y 3 x y 1 0 Phương trình ( *) tương đương 2y 2 4y 2 3xy x 2 3x 0 x 2y 2 0 Với y = 1 – x thay vào phương trình ( 2 ) ta được x 1 2 x 1 x x 2 ( VN ) Với x = 2 – 2y thay vào phương trình (2) ta được phương trình đơn giản ẩn y Từ đó có nghiệm của hệ 2 2 2x x x 2 2y y 2y 1 ( 1 ) Bài 46 Giải hệ phương trình: 2 x 2y 2 2x ... 2 2 hệ vô nghiệm 2 2 25x 25y 5 25x 17 15x 5 x x 2 x 11 5; 25 Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là: 1 y y 2 5 25 x y 3x 2y 1 (1) Bài 38 Giải hệ phương trình: x y x y 0 (2) Giải x y 0 Điều kiện : 3x 2y 0 Hệ Phương trình tương đương ... Vậy hệ có nghiệm x ; y ; , ; 8 8 8 8 www.VNMATH.com www.VNMATH.com x 2 y 2 x y 1 25 y 1 Bài 41 Giải hệ phương trình: 2 2 x xy 2y x 8y 9 Giải Hệ phương trình tương đương x 2 y 2 x y 1 25 y 1 2 x y 2 x y 1 y 12 10 y 1 0 Nhận xét y 1 0 không là nghiệm hệ phương trình. .. (tmđk) x 1 2 vậy hệ pt có nghiệm là 1 y 2 27x 3y 3 7y 3 8 Bài 28 Giải hệ phương trình sau: 2 2 9x y y 6x Giải Nhận xét y 0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy )3 7(3xy )2 14(3xy ) 8 0 Từ đó tìm được hoặc 3 xy 1 hoặc 3 xy 2 hoặc 3 xy 4 Với 3 xy 1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do... phuong trình hai ta có x 2 x 2 2x 1 3x 3 x 1 1 0 x 1 1 y 2 2 Với y 1 x thay vào phương trình hai ta có x 2 x 2 2x 1 3x 3 1 x 1 0 x 3 1 y 4 4 2x 2 4x 1 2y 2 2y 1 y 32 Bài 52 Giải hệ phương trình: 2 x y 2 x y 1 2 Giải 1 2 2 Phương trình có nghiệm khi 1 4y 4y 2 3 4y 4y 2 0 Xét phương trình. .. 1 là nghiệm duy 3 nhất của (*) Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm 2;0 , 1; 3 2 2 x y x y 12 Bài 63 Giải hệ phương trình x, y y x 2 y 2 12 Giải Điều kiện: | x | | y | u x 2 y 2 ; u 0 1 u2 ; x y không thỏa hệ nên xét x y ta có y v Đặt v x y 2 v Hệ phương trình đã cho có dạng: u v 12 u... 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2 Hệ có 3 nghiệm (0; 0), (1; 2), (2; 2) 2 x 5y 3 6 y 2 7x 4 0 Bài 65 Giải hệ phương trình (x , y R) x , y y(y x 2) 3x 3 Giải Phương trình thứ (2) y (2 x )y 3x 3 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 2 www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2 (x 4) y x 2 x 4 3 2 Phương trình có hai nghiệm: Thay... 1 Hệ phương trình tương đương 3 ( vô lí ) 2 5x 0 Vậy cặp ( x , 0) không là nghiệm của hệ TH2 : Chia hai vế ( 3 ) cho y 3 ta có hệ phương trình tương đương 2 2 2x 2 y 2 1 2x y 1 2 3 x x x x 2 2 1 0 1 5 y y y y x y 1 x y 1 Kết luận : Hệ phương trình . www.VNMATH.com www.VNMATH.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2 015 NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3). a b a a b b a a b Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có: ( )( 2 7) 0 2 7 0 a b a b a b ab a b ab . 1 2 x x hệ có 2 nghiệm (x; y) là: Trường hợp 2: 2 7 0 a b ab Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: 2 2 5 5 1 2 2 2 a b