bài tập bất phương trình (2)

thoả mãn điều kiện.

IV PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:

(x 1)(x 2) x x 8 (1)

2) 6x2−18x 12+ < +10 3x−x2 (2)

3) 2+ + + > +

2 x 2x 10 5 x(x 2) (3)

Giải:

1) Đặt: t= (x 1)(x 2) ;+ − (t≥0)

⇔ =2 2− − ⇔ 2− = +2

t x x 2 x x t 2

≥



≤ −



(1)

t t 2 8 0 t t 6 0

t 3 (lo¹i)

≤ −



(x 1)(x 2) 2 x x 2 4 x x 6 0

x 2

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là T= −∞ − ∪( ; 2] [3 ;+ ∞)

t 6x 18x 12 ; (t 0)

−

⇒ 2 = 2− + ⇒ − 2 =12 t2

t 6x 18x 12 3x x

6

−

⇔ < +(2) 12 t2 ⇔ < + − ⇔ + −2 2 < ⇔ − < <

t 10 6t 60 12 t t 6t 72 0 12 t 6

6x 18x 12 6 x 3x 2 6

2

2

2

⇔ − + < ⇔ ⇔ ≤ ⇔ ≤ <

− < <



Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là T= −( 1 ; 1] [∪ 2 ; 4 )

t x 2x 10 ; (t 3)

t x 2x 10 x(x 2) t 10

⇔(3) + > −2 ⇔ − − <2 ⇔ − < <

2t 5 t 10 t 2t 15 0 3 t 5

x 2x 10 5 x 2x 10 25 ⇔ 2+ − < ⇔ − < <

x 2x 15 0 5 x 3

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là T = (−5 ; 3)

Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau:

1) x 1+ + 4 x− + <1 2 4 3x+ −x2 (1)

09 BẤT PHƯƠNG TRÌNH – P2

Thầy Đặng Việt Hùng

2) 2

2x 1+ + 9 16x+ −4x < 9 2x− +5 (2)

4) x− 5 x− 2 + x 5 x− 2 >1 (4)

Giải:

1) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 4

Đặt: t = 1 x+ + 4 x ;− 5≤ ≤t 10

2

(1)

t 2;

>



⇔ + < − ⇔ − − > ⇔

< −

 lo¹i

1 x+ + 4 x− > ⇔ + + − +3 1 x 4 x 2 4 3x+ −x >9

2

⇔ − < ⇔ < <

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là T = (0 ; 3)

x

2≤ ≤ 2

Đặt: t = 2x 1+ − 9 2x ;− − 10 ≤ ≤t 10

2

2

−

2

(2)

10 t

t 2 2

<



−

>



Vậy:

 + − − <



+ − − >



2x 1 9 2x 0 (I)

2x 1 9 2x 2 (II)

+) Giải (I): 2x 1+ < 9 2x− ⇔2x 1 9 2x+ < − ⇔4x<8 ⇔ <x 2

2

− ≤ <

+) Giải (II):

 + ≥ −





+ − − >

2x 1 9 2x

+ ≥ −



⇔



2

4x 8

≥



⇔

+ − <

x 2

9 16x 4x 9

≥



x 2 4x 16x 0

≥



x 2

x 4

x 0

≥





⇔ >



 <



⇔ > x 4

Kết hợp điều kiện, có: 4 < x ≤ 9

2

+) Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là T 1 ; 2 4 ; 9

= − ∪ 

   

thoả mãn điều kiện

3) Điều kiện: − 10≤ ≤x 10

2

−

2

(3)

t 10

2

−

⇔ + < ⇔ + − < ⇔ + − < ⇔ − < <

Vậy:

2 2

2 2



⇔

+ − > −

⇔ − < − (Hai vế khụng õm, do: − 10≤ ≤x 10)

x 1

>



<



Kết hợp điều kiện, cú tập nghiệm bất phương trỡnh (3) là T= − 10 ; 1) (∪ 3 ; 10

Chỳ ý: Nếu tỡm điều kiện cho ẩn phụ t thỡ − 10≤ ≤t 5

4) Điều kiện: − 5≤ ≤x 5

t x 5 x 2x 5 x

x 5 x

2

−

2

(4)

5 t

2

−

⇔ + > ⇔ + − > ⇔ − − < ⇔ − < <

Vậy:

2

2

 − − <



⇔



− − > −



2

2



 − < +



đúng x 5

2

5 x x 1

2

x 1

x 1

x 1

x 1 2x 2x 4 0

x 2

> −



> −

Kết hợp điều kiện, cú tập nghiệm bất phương trỡnh (4) là T=(1 ; 5 

Chỳ ý: Nếu tỡm điều kiện cho ẩn phụ t thỡ: − 10 ≤ ≤t 5

x+ ≤2 m + 7− +x 14 5x+ −x (*) a) Giải bấtphương trỡnh (*) với m = −3

b) Tỡm m để bất phương trỡnh (*) cú nghiệm

c) Tỡm m để bất phương trỡnh (*) nghiệm đỳng ∀ ∈ −x [ 2 ; 7]

Giải:

Điều kiện: −2 ≤ ≤ x 7

Đặt: t= x+ −2 7−x; −3 ≤ t ≤ 3

( )2

2

14 5x x

2

−

⇔ ≤ +(*) 9 t2 ⇔ ≤ + − 2 ⇔ + − ≤2

t m 2t 2m 9 t t 2t 9 2m (**)

2

t 2t 9 6 t 2t 3 0 3 t 1

Vậy:







x 2 7 x 3, đúng x 2 ; 7 ⇔ x 2+ ≤ +1 7 x−

⇔ + ≤ + − +x 2 1 7 x 2 7 x− ⇔ 2 7 x− ≥2x 6−

≤



 − ≥ −  − ≥ − +

≤



≤













2

x 3

x 3

x 5x 2 0 4(7 x) 4(x 3) 7 x x 6x 9

x 3

x 3

x

5 17

2

3 x

5 17 5 17

Kết hợp điều kiện, cú tập nghiệm bất phương trỡnh (*) là

5 17

T 2 ;

2

b) Bất phương trỡnh (*) cú nghiệm ⇔ bất phương trỡnh (**) cú nghiệm t thoả món: −3 ≤ t ≤ 3

Đặt f(t) = t2 + 2t − 9; −3 ≤ t ≤ 3

Bảng biến thiờn:

f(t)

⇒ −10 ≤ f(t) ≤ 6; ∀t ∈ [−3 ; 3]

Do đú (**) cú nghiệm ⇔ −10 ≤ 2m ⇔ m ≥ −5

Kết luận: m ≥ −5, bất phương trỡnh (*) cú nghiệm

c) Bất phương trỡnh (*) nghiệm đỳng với ∀x ∈ [−2 ; 7] ⇔ (**) nghiệm đỳng ∀t ∈ [−3 ; 3]

Theo kết quả trờn, cú: 6 ≤ 2m ⇔ m ≥ 3

Kết luận: m ≥ 3, bất phương trỡnh (*) nghiệm đỳng ∀x ∈ [−2 ; 7]

Vớ dụ 4: Cho bất phương trỡnh + + − ≥ + − 2 +

a) Giải bất phương trỡnh (1) với m = −2

b) Tỡm m để bất phương trỡnh (1) cú nghiệm

c) Tỡm m để bất phương trỡnh (1) nghiệm đỳng ∀x ∈ [−2 ; 8]

–10

Giải:

Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 8

Đặt: t= 2x+ +4 16 2x;− 2 5≤ ≤t 2 10

2

2 t 20 2x 4 16 2x 2 2x 4 16 2x 2 16 6x x

2

−

−

⇔ ≥(1) t2 20+ ⇔ ≥ −2 + ⇔ − −2 ≤ −

t m 2t t 20 2m t 2t 20 2m (2)

2

Vậy:







2x 4 16 2x 4; đúng x [ 2 ; 8]

⇔ 2x+ +4 16 2x− ≤6 ⇔ 2x 4 16 2x 2 2x 4 16 2x+ + − + + − ≤36

≤



x 6x 0

x 0

Kết hợp với điều kiện, cú tập nghiệm bất phương trỡnh (1) là T = [−2 ; 0] ∪ [6 ; 8]

b) Bất phương trỡnh (1) cú nghiệm ⇔ bất phương trỡnh (2) cú nghiệm t thoả món: 2 5≤ ≤t 2 10

Đặt f(t) = t2 − 2t − 20; 2 5≤ ≤t 2 10

Bảng biến thiờn:

4 5

−

⇒ −4 5≤f(t)≤20 4 10− ; ∀t ∈  

2 5 ; 2 10

Kết luận: m≤2 5, bất phương trỡnh (1) cú nghiệm

2 5 ; 2 10

Theo kết quả trờn, cú: 20 4 10− ≤ −2m ⇔ m ≤ 2 10 − 10

Kết luận: m ≤ 2 10 − 10, bất phương trỡnh (1) nghiệm đỳng với mọi x thuộc đoạn [−2 ; 8]

Vớ dụ 5: Giải cỏc bất phương trỡnh sau:

Giải:

a) Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 5

2

Đặt: t = 5 2x− + x+2; t > 0

⇔ ( )2

2

2 10 x 2x+ − − = −x t 7

≥



≤ −



(1)

t 4 (lo¹i)

Vậy: 5 2x− + x 2+ ≥ ⇔ −3 5 2x x 2 2 5 2x x 2+ + + − + ≥9

2 10 x 2x x 2 4(10 x 2x ) (x 2) (do hai vế không âm)

40 4x 8x x 4x 4 9x 36

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (1) là T = [−2 ; 2]

Chú ý: Nếu tìm điều kiện cho t thì làm như sau:

2

= − + +  ≤ +  − + + 

+) 2 = − + − + ≥ −5 ⇔ ≥2 9 ⇒ ≥ 3

t 7 x 2 5 2x x 2 7 t t

≤ ⇔ − ≥ −







V× :

2 5 2x x 2 0

2

b) Điều kiện: x ≥ 0

Đặt: t= x 8+ − x , t>0

2

t = x 8+ − x ⇔ 2

t = + + −x 8 x 2 x x 8+ ⇔ 2 t2 8

2

−

−

2

Vậy:

 + − <







⇔ x 8+ − x<2

⇔ x 8+ < x+2 ⇔x 8+ < + +x 4 4 x ⇔4 x > ⇔4 x > ⇔ >1 x 1

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là T = (1 ; +∞)

Chú ý: Nếu tìm điều kiện cho t thì làm như sau:

+) Do x 8 + − x > 0; ∀x ≥ 0 ⇒ t > 0

+) t2 = +8 2x 2 x(x 8)− + = −8 2 x ( x 8+ − x )≤8 ⇒ 2≤ ⇒ ≤

t 8 t 2 2

+) Vậy: 0< ≤t 2 2

Cách giải khác:

⇔(2 )  x 8+ − x(x 8)+ + −x x <0

⇔ x 8 1+ ( − x) (− x 1− x)<0 ⇔ (1− x)( x 8+ − x)<0

⇔1− x <0 (V× : ( x 8+ − x)>0; ∀ ≥x 0)

⇔ x >1⇔ x > 1

Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (2) là T = (1 ; +∞)

Ví dụ 6: Cho bất phương trình: 2 x 1 2 x+ + − + +2 x x2− − ≤x 2 m (*)

a) Giải bất phương trình (*) với m = 11

b) Tìm m để bất phương trình (*) có nghiệm

c) Tìm m để bất phương trình (*) vô nghiệm

Giải:

Điều kiện: x ≥ 2

Đặt: t = x 1+ + x−2; t ≥ 3

2

⇔ =2 − + 2− −

t 2x 1 2 x x 2 (t2≥ 2.2 – 1 ⇔ t2≥ 3 ⇔ t ≥ 3)

⇔ + − − = 2+

2 t 1

x x x 2

2

+

⇔(*) +t2 1≤ ⇔ + + ≤2

2t m t 4t 1 2m

t 4t 1 22 t 4t 21 0 7 t 3

Vậy:

 + + − ≤







x 1 x 2 3

x 1 x 2 7; § óng x 2

x 1 x 2 2 x 1 x 2 9

2 x x 2 10 2x

x x 2 5 x ⇔  − ≥

5 x 0

≤



⇔

≤



x 5

9x 27

≤



≤



x 5

x 3

x 3

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm bất phương trình (*) là T = [2 ; 3]

b) Bất phương trình (*) có nghiệm ⇔ bất phương trình (**) có nghiệm t thoả mãn: t ≥ 3

Đặt f(t) = t2 + 4t + 1; (t ≥ 3)

Bảng biến thiên:

f(t)

3

4 4 3+

+∞

⇒ f(t) ≥ 4 + 4 3; ∀t ≥ 3

Kết luận: m ≥ 2 + 2 3, bất phương trình (*) có nghiệm

c) Theo phần trên, bất phương trình (*) vô nghiệm khi m < 2 + 2 3

Ví dụ 7: Giải các bất phương trình sau:

x +4x+ ≥3 3x+2 x −2x+3 (3)

Giải:

a) Đặt: t= x2−2x 3+ ; t ≥ 2

⇔ t2 = x2 – 2x + 3 ⇔ x2 + 1 = t2 + 2x – 2

( 2)

⇔ (x + 1)t ≥ t2 + 2x − 2 ⇔ − +t2 (x 1)t+2x− ≤2 0

+) t2 – (x +1)t + 2x – 2 là một tam thức bậc hai có nghiệm t = 2; t = x − 1

+) Trường hợp 1: x − 1 ≥ 2 ⇔ x ≥ 3

( 2)

⇔ 2 ≤ t ≤ x − 1 ⇔

2

2

 − + ≥





(Vì x2−2x 3+ = (x 1)− 2+2 > (x 1)− 2 = x 1− ≥ x − 1)

+) Trường hợp 2: x – 1 < 2 ⇔ <x 3

( 2)

2

2





⇔ 2

x −2x+ ≤3 2 (Vì: x2−2x 3+ > x – 1, ∀ x)

⇔ x2 – 2x + 3 ≤ 4 ⇔ x2 – 2x – 1 ≤ 0 ⇔1− 2 ≤ x ≤ 1+ 2

+) Kết luận: tập nghiệm bất phương trỡnh (2) là T = 1− 2 ; 1+ 2

b) Đặt: t = x2−2x 3+ ; t ≥ 2

⇔ t2 = x2 – 2x + 3 ⇔ x2 + 4x + 3 = t2 + 6x

(3)

⇔ t2 + 6x ≥ (3x +2 )t ⇔ t2 − (3x + 2)t + 6x ≥ 0

+) t2 − (3x + 2)t + 6x là một tam thức bậc hai cú nghiệm t = 2; t = 3x

+) Trường hợp 1: 3x ≥ 2 ⇔ x ≥ 2

3

(3)

≥



 ≤

2 2



2

2

x



− ≤ ≤

⇔

3 ≤ ≤ +

+) Trường hợp 2: 3x < 2 ⇔ x < 2

3

(3)

t 3x

≥



 ≤

2

2

 − + ≥



 − + ≤



⇔

2

 − + ≥



≥







 − + ≤



⇔ 2

2

 − − ≥



≥







 + − ≥



⇔

1

x

2

3

x

4

  ≥ +

 

 ≤ −



≥







 

 ≥

 

  ≤ −

 



⇔

1 x 2



≥ +





≤ −





≥





⇔

1 x 2



≥





≤ −



2≤ < 3

+) Kết luận: tập nghiệm bất phương trình (3) là T = (−∞; 1− 2  ∪ 1

2

+

 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

Bài 1: Giải các bất phương trình sau:

a)

2

3

x

1 0

x

2 2

x

2

Bài 2: Giải các bất phương trình sau:

a) x x( −4) − +x2 4x+ −(x 2)2 <2 b) x x( −4) 4x− x2 ≥ − −4 (2 )x 2

c)

2

2

x

x

2

2

5 25

x

x

Bài 3: Giải các bất phương trình sau:

2

40 16

16

x

2 2

x x

2

35 12 1

x x x

−