Bài tập bất phương trình

GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN BÀI TP BT PHNG TRÌNH I BT PHNG TRÌNH A THC A - LÝ THUYT Phương pháp giải : • Vân dụng ñịnh lí dấu tam thức bậc 2(ñịnh lí ñảo dấu tam thức bậc 2 ) • Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B - BÀI TP Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0 + > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4 x < Bài giải : ðặt f(x) = ax +4 Ta có : ( ) 4;4 ( ) ax 4 0 ∈ − = + > ∀ x f x ( 4) 0 4 4 0 1 (4) 0 4 4 0 1 − ≥ − + ≥ ≤    ⇔ ⇔ ⇔    ≥ + ≥ ≥ −    f a a f a a Vậy giá trị cần tìm là : 1 1 a − ≤ ≤ Bài 2: Cho bpt : 2 2 ( 4) ( 2) 1 0 m x m x − + − + < (1) 1) Tìm m ñể bpt vô nghiệm 2) Tìm m ñể bpt có nghiệm x = 1 Bài giải : 1) TH 1 : 2 2 4 0 2 m m m = −  − = ⇔  =  • Với m = -2 : 1 (1) 4 1 0 2 4 x x m ⇔ − + < ⇔ > ⇒ = − (ktm) • Với m = 2 : (1) 1 0 ⇔ < vô nghiệm 2 ⇒ = m thỏa mãn . TH 2 : 2 m ≠ ± (1) vô nghiệm 2 2 ( 4) ( 2) 1 0, ⇔ − + − + ≥ ∀ x m x m x 2 2 2 4 0 2 2 ( 2)(3 10) 0 ( 2) 4( 4) 0  − > < − ∪ >   ⇔ ⇔   − + ≥ ∆ = − − − ≤    m m m m m m m 2 2 10 3 10 2 2 3 < − ∪ >   ≤ −   ⇔ ⇔ −  ≤ ∪ ≥  >   m m m m m m Từ 2 trường hợp trên ta thấy giá trị cần tìm là : 10 2 3 m m ≤ − ∪ ≥ 2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1 2 2 1 21 1 21 ( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0 2 2 − − − + ⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m Bài 3: ðịnh m ñể bpt : 2 2 2 1 0 x x m − + − ≤ (1) thỏa mãn 1;2     ∈ ∀ x Bài giải: Cách 1 : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 (1) 2 1 (2) ⇔ − ≤ −x x m Xét f(x) = x 2 – 2x trên [1;2] (2) thỏa mãn với mọi x thuộc [1;2] khi và chỉ khi Max f(x) 2 1 m ≤ − (3) Lập bảng bt của f(x) suy ra Maxf(x) = 0: Vậy (3) 2 1 0 1 1 m m m ≤ −  ≤ − ⇔  ≥  Cách 2 : ðặt f(x) = x 2 – 2x + 1 – m 2 , Ta có : f(x) 0 ≤ [ ] 1;2 x∈ ∀ 2 2 2 1. (1) 0 1 2.1 1 0 1 1 0 1. (2) 0 1 4 2.2 1 0  ≤ − + − ≤ ≤ −    ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ⇔    ≤ ≥ − + − ≤     f m m m f m m Bài 4: Với giá trị nào của a thì bất pt sau nghiệm ñúng với mọi giá trị của x : 2 2 ( 4 3)( 4 6) (1) x x x x a + + + + ≥ Bài giải : ðặt : 2 2 4 3 4 6 3 t x x x x t = + + ⇒ + + = + Ta có: 2 ( 2) 1 1 1 ( 3) (3) = + − ≥ − ⇒ ≥ − ⇔ + ≥ t x t t t a Xét hàm số : f(t) = 2 3 ,( 1) t t t + ≥ − (3) inf ( ) M t a ⇔ ≥ Lập bảng biến thiên của f(t): Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) 2 a ≤ − Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x: 2 2 2 3 2(1) 1 x mx x x + − − ≤ ≤ − + Bài giải : Ta có : 2 1 0, x x x − + > ∀ Do ñó (1) 2 2 2 2 2 2 3( 1) 2 4 ( 3) 1 0(2) 2 2( 1) ( 2) 4 0(3)   − − + ≤ + − + − + ≥   ⇔ ⇔   + − ≤ − + − + + ≥     x x x mx x m x x mx x x x m x (1) ñúng với mọi x 2 (2) 2 (3) ( 3) 16 0 1 7 1 2 6 2 ( 2) 16 0  ∆ = − − ≤ − ≤ ≤   ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤   − ≤ ≤ ∆ = + − ≤    m m m m m BÀI TP V NHÀ Bài 1: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiên : 2 1 x − ≤ ≤ 2 ( 1) 2( 1) 0 m x m x x + + − − > (1) Bài giải : 2 (1) ( 2) 2 0(2) m m x m⇔ + − + + > ðặt f(x) = (m 2 + m – 2 )x + m + 2 Bài toán thỏa mãn: 2 2 2 2 3 ( 2) 0 ( 2)( 2) 2 0 2 6 0 2 3 0 2 (1) 0 2 ( 2)(1) 2 0 2 0 2 0    − > + − − + + > − − + > − < <     ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ < <     > + − + + > + >       < − ∪ >  f m m m m m m m f m m m m m m m Bài 2: Tìm m ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 2 2 1 0 x x m − + − > Bài giải : GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Do a = 1 > 0 Vậy bài toán thỏa mãn: 2 2 2 ' 1 1 0 2 0 2  < − ⇔ ∆ = − + < ⇔ − < ⇔  >   m m m m Bài 3: Tìm a nhỏ nhất ñể bpt sau thỏa mãn [ ] 0;1 x∈ ∀ : 2 2 2 ( 1) ( 1) a x x x x + − ≤ + + (1) Bài giải : ðăt : 2 1 t x x = + + = f(x) Lập bbt f(x) trên [0;1] Suy ra f(x) 1 3 t ⇒ ≤ ≤ 2 2 1;3 1;3 (1) ( 2) 2 0 (2)         ∈ ∈ ⇔ − ≤ ∀ ⇔ − + ≥ ∀ t t a t t t at a ðặt f(t) = t 2 – at + 2a 2 8 0 2 8 0 (2) 1. (1) 0 1 9 1 2 2 2 8 0 1. (3) 0 3 2 2                                     ∆ = − ≤ ∆ = − > ⇔ ≥ ⇔ − ≤ ≤ − = < ∆ = − > ≥ − = > a a a a f a b a a a a f b a a Suy ra a c ầ n tìm là : a = -1 BÀI TP TUYN SINH Bài 1: Tìm a ñể hai bpt sau t ươ ng ñươ ng :( a-1).x – a + 3 > 0 (1) và (a+1).x – a + 2 >0 (2) Bài giải : TH 1 : a = 1 ± thay tr ự c ti ế p vào (1) và (2) th ấ y không t ươ ng ñươ ng. TH 2 : a > 1 : 1 2 3 2 (1) ; (2) 1 1 − − ⇔ > = ⇔ > = − + a a x x x x a a (1) 1 2 (2) 5 x x a ⇔ ⇔ = ⇔ = TH 3 : a < -1 : 1 2 (1) (2) x x x x ⇔ < ⇔ < ðể 1 2 (1) (2) 5 x x a ⇔ ⇔ = ⇔ = ( lo ạ i) TH 4 : -1 < a < 1 : (1) Và (2) không t ươ ng ñươ ng K ế t lu ậ n :a = 5 th ỏ a mãn bài toán . Bài 2: ( ð HLHN): Cho f(x) = 2x 2 + x -2 . Gi ả i BPT f[f(x)] < x (1) Bài giải : Vì f[f(x)] – x = f[f(x)] – f(x) +f(x) – x = [2f 2 (x) + f(x) -2] – (2x 2 + x – 2) + f(x) – x = = 2[f 2 (x) – x 2 ] + 2 [f(x) – x ] = 2 [f(x) – x ][f(x) + x +1] = 2(2x 2 – 2)( 2x 2 +2x-1) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Vậy (1) 2 2 1 3 1 2 2(2 2)(2 2 1) 0 1 3 1 2  − − < < −   ⇔ − + − < ⇔  − + < <   x x x x x Bài 3: (ðHKD-2009). Tìm m ñể ñường thẳng (d) : y = -2x + m cắt ñường cong (C): y = 2 1 x x x + − tại 2 ñiểm pb A ,B sao cho trung ñiểm I của ñoạn AB thuộc oy Bài giải : Xét pt hoành ñộ : 2 1 2 (1) x x x m x + − − + = ðể (d) cắt (C) tại 2 ñiểm pb (1) ⇔ có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khác 0 2 (1) 3 (1 ) 1 0 ( ) x m x f x ⇔ + − − = = Do a .c = -3 <0 ,f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm phân biêt khác 0 . ðể I thuộc oy 1 2 1 0 0 1 2 6 x x m m + − ⇔ = ⇔ = ⇔ = Bài 4: Tìm m ñể (d) : y = -x + m cắt (C )y = 2 1 x x − tại 2 ñiểm pb A,B sao cho AB = 4. Bài giải : Xét pt hoành ñộ : 2 1 x x m x − − + = (1) ðể (d) cắt (C ) tại 2 ñiểm pb (1) ⇔ có 2 nghiệm pb khác 0 2 2 1 ( ) 0 x mx f x ⇔ − − = = có 2 nghiệm pb khác 0. Do a.c = -2 < 0 , f(0) = -1 Vậy (1) luôn có 2 nghiệm pb x 1 , x 2 khác 0. ðể AB = 4 2 2 2 2 1 2 1 16 ( ) ( ) 16 AB x x y y ⇔ = ⇔ − + − = 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2( ) 16 2 ( ) 4 2( 4.( )) 16 2 6 4 2   ⇔ − = ⇔ + − = − − = ⇔ = ±   m x x x x x x m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN II BT PHNG TRÌNH CHA TR TUYT I A - LÝ THUT 1. 2. 3. ( )( ) 0 A B B A B A B A B A B A B A B A B < ⇔ − < < >  > ⇔  < −  > ⇔ − + > Các tính chất : , , 1. 2. . 0 3. , 4. ( ). 0 A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B B + ≤ + ∀ + < + ⇔ < − ≥ − ∀ − > − ⇔ − > B - BÀI TP Bài 1:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 2 1) 2 3 3 3 2 ) 3 2 2 5 4 3) 2 5 7 4 4) 1 4 − − ≤ − − + + > − + + > − ≤ − x x x x x x x x x x x x Bài giải : 2 2 2 2 2 3 3 3 6 0 3 2 (1) 2 5 0 5 2 3 3 3 5 0   − − ≥ − + + − ≥ ≤ − ∪ ≥    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ≤ ≤    ≤ ≤ − − ≤ − − ≤      x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 5 2 0 (2) 3 2 2 2 0 3 2 2 1 1 2 2 2 2 2  − + > −  − + > ⇔ − + > − ⇔ ⇔   − > − + < −     < ∪ > <   ⇔ ⇔   > >   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN [ ] [ ] 2 2 2 2 (3) (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 (2 5) (7 4 ) (2 5) (7 4 ) 0 1 (12 2 )(6 2) 0 (6 )(3 1) 0 6 3 ⇔ + > − ⇔ + − − > ⇔ + + − + − − > ⇔ − − > ⇔ − − > ⇔ < < x x x x x x x x x x x x x (4). ðk: x 2 ≠ ± 2 2 2 2 2 2 2 (4) 5 4 4 ( 5 4) ( 4) (8 5 )(2 5 ) 0 8 0 5 5 2 ⇔ − + ≤ − ⇔ − + ≤ − ⇔ − − ≤  ≤ ≤  ⇔   ≥   x x x x x x x x x x x Bài 2:Giải các bpt sau : 2 2 2 2 4 3 1) 1 2) 1 2 8 5 − + ≥ − ≤ − + + − x x x x x x x Bài giải: 1) Bảng xét dấu : x −∞ 0 +∞ 4 5 X 2 – 4x + - + + X - 5 - - - + +) Xét : 0 4 5 x x <   ≤ <  2 2 2 4 3 3 2 2 (1) 1 0 5 5 3 − + + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − − + − + x x x x x x x x (do 2 5 0, x R x x ∈ − + > ∀ ) +) Xét : 0 4 x ≤ < : 2 2 2 4 3 1 (1) 1 2 5 2 0 2 5 2 − + + ⇔ ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ − + x x x x x x x +) Xét : 5 x ≥ : 2 2 2 4 3 5 8 1 21 8 1 21 (1) 1 0 5 5 2 5 2 − + − − − − + ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ∪ ≤ ≤ + − + − x x x x x x x x x (ktm) Vậy nghiệm bpt là : 2 3 1 2 2 x x −  ≤    ≤ ≤   2. ðặt t = , 0 x t ≥ : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 0 2 8 1 9 (2) 1 2 8 9 2 1 2 8 2  − + ≥  − + − ≤ −   ⇔ − ≤ − + ⇔ ⇔ ⇔ ≤   ≤ − ≤ − +     t t t t t t t t t t t t t Vì 9 9 9 9 0 0 2 2 2 2 ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ t x x Bài 3: Giải và biện luận bpt sau : 2 2 3 4 (1) x x m x x m− − ≤ − + Bài giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 (1) 3 4 2 7 2 0 2 7 2 0 ⇔ − − ≤ − + ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ x x m x x m x x x m x x x m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Ta có : 7 (2 7)( 2 ) 0 2 0 2 x x x m x m x x − − = ⇔ = ∪ = ∪ = +) Nếu 2m < 0 : Có trục xác ñịnh dấu: Kết luận : 2 7 0 2 x m x ≤    ≤ ≤  +) Nếu 2m = 0 Kết luận: 7 2 x ≤ +) Nếu 7 7 0 2 0 2 4 m m < < ⇔ < < Kết luận: 0 7 2 2 x m x ≤    ≤ ≤  +) Nếu 2m = 7 2 7 4 m ⇔ = Kết luận: 0 7 2 x x ≤    =  +) Nếu 7 7 2 2 4 m m > ⇔ > Kết luận: 0 7 2 2 x x m ≤    ≤ ≤  B - BÀI TP V NHÀ Bài 1: Giải các bpt sau : 2 2 2 2 1) 1 2 2) 1 4 2 1 3) 2 2 2 2 4) 3 3 9 2 − < − ≥ + + − ≤ − − − − > − x x x x x x x x x x x Bài giải : Kết quả : 1.) 1 2 1 2 x− + < < + 2.) 0 1 x x ≤   ≥  3.) 2 0 1 x x = −   ≤ ≤  4.) GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN 2 2 2 2 2 3 9 2 3 3 3 9 2 3 3 9 2 4 19 3 8 1 0 3 3 10 5 0 4 19 3  − + − < −  ⇔ − < − + ⇔  − < − +    − <   − − >   ⇔ ⇔   − + <  +  >   x x x x x x x x x x x x x x x Bài 2: Giải các bpt sau : 2 2 4 2 1) 1 2 3 2) 1 1 3) ( 3)( 1) 5 ( 1) 11 ≤ − − ≤ + + − − ≤ + − x x x x x x x Bài giải : 1.ðặt : 2 , 0 x t t = > . Ta ñược : 2 2 2 2 2 2 0 2 2 1 2 0 1 2 2 0   − ≤ − + − ≤ − ≤ − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ⇔ ⇔ < ≤   − ≥ − + ≤   t t t t t t t t t t t t t t t t Vậy 2 1 1 0 1 0 x x x − ≤ ≤  < ≤ ⇔  ≠  2.ðk : 1 x ≠ − TH 1 : 0 ≥ x 2 2 2 2 3 (2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 ) 1 1 3 8 14 3 0 4 2 − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ + ⇔ − ≤ + + ⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤ x x x x x x x x x (tm) TH 2 : 0 1 x x <   ≠ −  2 2 2 2 3 (2) 1 2 3 1 (2 3 ) (1 ) 1 3 1 8 10 3 0 4 2 + ⇔ ≤ ⇔ + ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ + + ≤ ⇔ − ≤ ≤ − x x x x x x x x x ( tm ) 3. 2 4 2 4 (3) 2 3 5 ( 1) 11 ( 1) 9 ( 1) 11 ⇔ + − − ≤ + − ⇔ + − ≤ + − x x x x x ðặt : 2 ( 1) , 0 t x t = + ≥ . Ta ñược : 2 2 2 2 2 9 11 2 0 9 11 11 9 20 0 1 2 5 5 4 4   − ≤ − − − ≥   − ≤ − ⇔ ⇔   − + ≤ − + − ≥     ≤ − ∪ ≥ ≤ −   ⇔ ⇔   ≤ − ∪ ≥ ≥   t t t t t t t t t t t t t t t t Vậy 4 t ≥ ( tm ) 2 1 ( 1) 4 ( 1)( 3) 0 3 ≥  ⇔ + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  ≤ −  x x x x x Bài 3: Giải và biện luận bpt sau theo tham số m. 2 2 2 3 x x m x x m − + ≤ − − GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN Bài giải : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 (3) 2 3 2 (2 5 ) 0 (2 5)( 2 ) 0 ⇔ − + ≤ − − ⇔ + − ≤ ⇔ + + ≤ x x m x x m x m x x x x x m Nếu : 5 5 2 2 4 m m − < − ⇔ > thì 2 (3) 5 0 2 x m x ≤ −   ⇔  − ≤ ≤  Nếu : 5 5 2 2 4 m m − = − ⇔ = thì (3) 0 x ⇔ ≤ Nếu 5 5 2 0 0 2 4 m m − < − < ⇔ < < thì 5 (3) 2 2 0 x m x  ≤ −  ⇔  − ≤ ≤  Nếu 2 0 0 m m − = ⇔ = thì 5 (3) 2 x ⇔ ≤ − Nếu m < 0: thì 0 2 5 2 x m x ≤ ≤ −    ≤ −  Kết luận : Bài 4: Với giá trị nào của m thì bpt sau thỏa mãn với mọi x : 2 2 2 2 0 x mx x m − + − + > Bài giải : 2 2 (4) ( ) 2 2 0 x m x m m ⇔ − + − + − > ðặt : , 0 x m t t − = ≥ Ta ñược : t 2 + 2t + 2 – m 2 > 0 (5) ðể tmbt 2 2 0 ( ) 2 2 t f t t t m ≥ ⇔ = + > − ∀ 2 inf( ) 2(6) M t m⇔ > − Lập bbt của f(t) : Suy ra Minf(t) = 0 : Vậy 2 (6) 0 2 2 2 m m⇔ > − ⇔ − < < Bài 5: Với giá trị nào thì bpt sau có nghiệm: 2 2 2 1 0 x x m m m + − + + − ≤ Bài giải : 2 2 2 2 2( ) 1 0 ( ) (5) 2( ) 1 0 ( ) x x m m m I x m x x m m m II x m   + − + + − ≤   ≥   ⇔   − − + + − ≤    <   (5) có nghiệm khi và chỉ khi (I) có nghiệm Hoặc (II) có nghiệm: 2 2 ( ) 2 ( ) 1 x m I x x f x m m ≥  ⇔  + = ≤ − + +  Có f(m) = m 2 + 2m (I) có nghiệm 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 ⇔ − + ≥ + ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ m m m m m m m GIA SƯ ðỨC KHÁNH 0975.120.189 22A – PHẠM NGỌC THẠCH – TP. QUY NHƠN (II) 2 2 2 ( ) 3 1 x m x x g x m m <  ⇔  − = ≤ − − +  (II) có nghiệm 2 2 2 1 2 3 1 2 1 0 1 2 ⇔ − < − − + ⇔ + − < ⇔ − < < m m m m m m m Kết luận : 1 1 2 m − ≤ ≤ Cách 2: ðặt : 0 t x m = − ≥ ,phải tìm m ñể f(t) = 2 2 2 1 0 t t mx m + + + − ≤ có nghiệm 0 t ≥ .Parabol y = f(t) quay bề lõm lên trên và có hoành ñộ ñỉnh là t = -1< 0 nên phải có f(0) = 2mx + m - 1 0 ≤ .Khi t = 0 thì x = m suy ra 2 1 2 1 0 1 2 m m m + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Bài 6: Tìm a ñể với mọi x : 2 ( ) ( 2) 2. 3 = − + − ≥ f x x x a Bài giải : Bài toán thỏa mãn : 2 2 2 1 2 ( ) 0 (2) 6 1 2 ( ) 0 (3) x a x a x x a f x x x a g x ≥ <  − + − = ≥ ∀  ⇔  − + + = ≥ ∀   2 ' 0 0 0 ' 0 (2) 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 1 1 2 a a o a f a a a a b a a ∆ ≤   ≤      > ≤   ∆ >   ⇔ ⇔ ⇔      ≥ − + ≥ ≥ +        <      − <    (3) 2 ' 0 8 2 0 8 2 0 4 ' 0 1. ( ) 0 4 1 0 2 3 3 2 a a a g a a a a b a a a ∆ ≤   − ≤      − > ≥   ∆ >   ⇔ ⇔ ⇔      ≥ − + ≥ ≤ −        <      < −    Vậy ñể thỏa mãn bài toán : 0 4 a a ≤   ≥  Bài 7: Tìm a ñể bpt:Ax + 4 > 0 (1) ñúng với mọi giá trị của x thỏa mãn ñiều kiện 4 x < Bài giải : Nhận thấy trong hệ tọa ñộ xoy thì y = ax + 4 với -4 < x < 4 là một ñoạn thẳng . Vì vậy y = ax + 4 > 0 ( 4) 0 1 1 1 (4) 0 1 y a a y a − ≥ ≥ −   ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤   ≥ ≤   Bài 8: Tìm a ñể bpt sau nghiệm ñúng với mọi x : 2 2 ( 4 3)( 4 6) x x x x a + + + + ≥ Bài giải : ðặt : 2 2 4 3 ( 2) 1 1 1 = + + = + − ≥ − ⇒ ≥ − t x x x t Bài toán thỏa mãn : 1 ( 3) ( ) t t t f t a ≥− ⇔ + = ≥ ∀ Xét f(t) với t 1 ≥ − Suy ra Min f(t) = -2 Vậy bài toán thõa mãn 2 a ⇔ ≤ − [...]... PH NG PHÁP T N PH Bài 1: Gi i bpt sau : ( x + 1)( x + 4 ) < 5 x + 5 x + 28 (1) Bài gi i : ð t : t = x 2 + 5 x + 28, t > 0 ( Do x 2 + 5 x + 28 > 0, ∀ x∈R ) Khi ñó : (1) ⇔ t 2 − 24 < 5t ⇔ t 2 − 5t − 24 < 0 ⇔ 0 < t < 8 ( do t> 0 ) 2 ⇔ 0 < x 2 + 5 x + 28 < 8 ⇔ x 2 + 5 x − 36 < 0 ⇔ − 9 < x < 4 K t lu n : -9 < x < 4 Bài 2: Gi i bpt sau : 7 x + 7 + 7 x − 6 + 2 49 x 2 + 7 x − 42 < 181 − 14 x Bài gi i : (1) 7... −  −3 < x ≤ − 6  x ≤ −2 ∪ x ≥ 2 6 x + 13 ≤ 0 6  13  x≤− V y kêt lu n :  6  x≥3  BÀI T P V NHÀ Bài 1: Gi i các bpt sau : GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP QUY NHƠN 1) 2x −1 ≤ 8 − x 2) 2 x2 − 6 x + 1 − x + 2 > 0 3) − x2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x 4) x + 3 ≥ 2x − 8 + 7 − x 5) x + 2 − x +1 < x Bài gi i : 1 8 − x ≥ 0  (1) ⇔ 2 x − 1 ≥ 0 2 x − 1 ≤ (8 − x)2  x ≤ 8  1  ⇔ x ≥... QUY NHƠN Bài 3: Gi i bpt sau : −3 x 2 + x + 4 + 2 0  9 4 V y bpt có nghi m : < x ≤ 7 3 +) Xét: −1 ≤ x < 0 : bpt luôn ñúng  −1 ≤ x < 0 K t lu n nghi m c a bpt:  9  0  A < B2  A ≥ 0  2 A ≤ B ⇔  B ≥ 0  A ≤ B2  B < 0 B ≥ 0 3 A > B ⇔  ∪ 2 A ≥ 0 A > B B ≤ 0 B > 0 4 A ≥ B ⇔  ∪ 2 A ≥ 0 A ≥ B Bài 1: Gi i các bpt sau : 1) x − 3 < 2x −1... 6u + 1 > 0 ⇔ 0 < u < ∪u > 2u 2 2 3− 7 3+ 7 8−3 7 8+3 7 ∪ x> ⇔ 0< x< ∪x> 2 2 2 2 8−3 7 8+3 7 K t lu n : 0 < x < ∪x> 2 2 ⇔0< x < BÀI T P V NHÀ Bài 1: Gi i các bpt sau : 3x 2 + 6 x + 4 < 2 − 2 x − x 2 1) 2) 2 x 2 + 4 x + 3 3 − 2 x − x 2 > 1 3) 3x 2 + 5x + 7 − 3x 2 + 5 x + 2 ≥ 1 Bài gi i : 1.ð t : t = 3 x 2 + 6 x + 4, t ≥ 0 ⇒ t 2 = 3 x 2 + 6 x + 4 = 3( x 2 + 2 x) + 4 ⇒ x 2 + 2 x = t2 − 4 3 t2 − 4 ⇔ t 2... (1 − x ) < 4 x( x + 1)  < x ≤1 −3 + 2 3 3 Bài 2: Gi i các bpt sau : 1) ( x 2 − 3x) 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0 2) ( 2 x2 3 − 9 + 2x ) 2 < x + 21 3) x2 ( 1+ 1+ x ) 2 > x−4 Bài gi i : 1     1 x = 2  x≤−  2 x 2 − 3x − 2 = 0   2    1 (1) ⇔ 2 x 2 − 3 x − 2 > 0 ⇔  x = − ⇔ x = 2  2  2  x ≥ 3  ...  2 ≤ x 0   x ≥  4  3x 2 + x − 4 ≥ ( x + 1)2  Bài 2: Gi i các bpt sau : 1) x + 1 ≥ 2( x 2 − 1) 2) ( x + 5)(3 x + 4) > 4( x − 1) 3) x + 2 − 3 − x < 5 − 2x 4) ( x − 3) x 2 − 4 ≤ x 2 − 9 Bài gi i : GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP QUY NHƠN 2( x 2 − 1) ≥ 0  1 ⇔  x + 1 ≥ 0 2( x 2 − 1) ≤ ( x +... −1  x ≤ −1 ∪ x ≥ 3 3x 2 + 5 x + 2 ≥ 0    −2 ⇔ 2 ⇔  ⇔  ≤x≤1 3x + 5 x + 2 ≤ 4   −2 ≤ x ≤ 1 3 3  3  Bài 2: Gi i các bpt sau : GIA SƯ ð C KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP QUY NHƠN 1) x + 2 x −1 + x − 2 x −1 > 2) 5 x + 3) 5 2 x 3 2 1 +4 2x < 2x + x x +1 −2 >3 x +1 x Bài gi i : 1 (1) ⇔ ( ) 2 x −1 +1 + ðk : x ≥ 1 : Bpt ⇔ ( ) x −1 −1 x −1 + 1 + 2 > 3 2 x −1 −1 > 3 2 ð t : t = x −... KHÁNH 0975.120.189 22A – PH M NG C TH CH – TP QUY NHƠN 1 − 2t > 3 ⇔ 2t 3 + 3t 2 − 1 < 0 ⇔ 2 t ( t + 1) ( 2t 2 + t − 1) < 0 1 x +1 1 4 (do t > 0) ⇔ 0 < < ⇔ − < x < −1 2 x 2 3 35 x Bài 3: Gi i bpt sau: x + 2 > x − 1 12 ⇔0 1 ðk: x 2 − 1 > 0 ⇔  +) Xét x < -1 :bpt VN +) Xét x > 1 : (1) ⇔ x 2 + ð t: t= x2 x2 1225 + 2 > ⇔ 2 x −1 x 2 − 1 144 x4 x2 1225 + 2 − >0 2 x −1 x 2 − 1 144... nghi m c a bpt:  9  . của f(t): Suy ra Mìn(t) = -2 Vậy (3) 2 a ≤ − Bài 5: Tìm m ñể bất phương trình sau ñúng với mọi x: 2 2 2 3 2(1) 1 x mx x x + − − ≤ ≤ − + Bài giải : Ta có : 2 1 0, x x x − + > ∀ Do. ) • Tính chất của hàm số bậc nhất và bậc 2 B - BÀI TP Bài 1: Tìm a ñể bất pt : ax 4 0 + > ñúng với mọi x thỏa mãn ñiều kiện 4 x < Bài giải : ðặt f(x) = ax +4 Ta có : ( ) 4;4 (. : 10 2 3 m m ≤ − ∪ ≥ 2) Bất phương trình (1) có một nghiệm x = 1 2 2 1 21 1 21 ( 4).1 ( 2).1 1 0 5 0 2 2 − − − + ⇔ − + − + < ⇔ + − < ⇔ < <m m m m m Bài 3: ðịnh m ñể bpt : 2