ÔN T ẬP THỐNG KÊ và HỒI QUY ĐƠN Câu 1 (20 đi ểm): Hãy nêu đ ịn h ngh ĩa của kỳ vọng, ph ương sai, độ lệch chuẩn c ủa một biến ngẫu nhiên. Hãy chứng minh những tính chất sau đây của kỳ vọng và phương sai, trong đó X là m ột biến ngẫu nhiên và a, b là những hằng s ố. (a) E[a] = a (b) E[bX] = bE[X] (c) E[a + bX] = a + bE[X] (d) VAR[a] = 0 (e) VAR[bX] = b 2 VAR[X] (f) VAR[a + bX] = b 2 VAR[X] (g) VAR[X] = E[X 2 ] - (E[X]) 2 Gi ải: (a) E[a] = a (b) E[bX] = bE[X] (c) E[a + bX] = a + bE[X] (d) VAR[a] = 0 D ựa vào tính chất của to án t ử kỳ vọng E[X] : E[a] = a ( ở câu a) (e) VAR[bX] = b 2 VAR[X] (f) VAR[a + bX] = b 2 VAR[X] (g) VAR[X] = E[X 2 ] - (E[X]) 2 Đ ể đơn giản hóa ký hiệu, ta đặt µ = E[X] forum.ueh.edu.vn 2 Câu 2 (20 đi ểm): Có m ột giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được giải thích b ởi thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ. Để kiểm chứng giả thuyết này, một sinh viên Kinh t ế Khóa 34 đ ã ti ến hành thu thập dữ liệu từ một mẫu gồm 8 sinh viên c ủa Trường Đại Học Hoa Sen và đư ợc kết quả như sau: STT Đi ểm trung bình (ĐTB) Thu nh ập trun g bình hàng năm (TN – tr.đ ồng) 1 10.00 105 2 7.50 75 3 8.75 45 4 5.00 45 5 7.50 60 6 8.75 90 7 6.25 30 8 6.25 60 Gi ải: (a) Hãy tính các tr ị thống kê tổng hợp cho biến thu nhập trung bình hàng năm và biến đi ểm trung bình. Đi ền các kết quả vào bảng sau: Tr ị thống kê Tổng hợp HÀM EXCEL Bi ến ĐTB Bi ến TN S ố lần Quan sát =COUNT( ) 8 8 Trung bình =AVERAGE( ) 7.5 63.75 Trung v ị =MEDIAN( ) 7.5 60 Y ếu vị (mode) =MODE( ) 6.25; 7.5; 8.75 45; 60 Giá tr ị lớn nhất =MAX( ) 10 105 Giá tr ị nhỏ nhất =MIN( ) 5 30 Phương sai (*) =VAR( ) 2.679 626.786 Đ ộ Lệch chuẩn =STDEV( ) 1.637 25.036 H ệ số biến thiên = STDEV( )/ AVERAGE( ) 0.218 0.393 Đ ồng Phương sai =(n/(n-1))*COVAR() = 29.464 H ệ số biến thiên: đư ợc định nghĩa là t ỷ số σ/μ, trong đó tử số là độ lệch chuẩn và m ẫu số là trị trung bình. Đó là một đại lượng của sự phân tán của phân phối tương đ ối so với trị trung bình của phân phối. Đ ồng Ph ương sai: Trong lý thuy ết xác suất và thống kê, đ ồng phương sai (hay hi ệp phương sai) là đ ộ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên (phân biệt với phương sai - đo m ức độ biến thiên của một biến). forum.ueh.edu.vn 3 N ếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn giá tr ị kỳ v ọng thì bi ến kia có xu h ướng cũ ng cao hơn giá tr ị kỳ vọng), thì hiệp ph ương sai gi ữa hai biến này có giá trị dương. Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kì v ọng còn biến kia có xu h ướng nằm dưới giá trị kì vọng, thì hiệp phương sai của hai bi ến này có giá trị âm. Lưu ý: trong Excel có đ ến 4 hàm để tính Phương sai. Đó là VAR, VARA, VARP, VARPA. Nhưng đ ể tính phương sai cho mẫu, ta sử dụng công thức VAR( ), tương t ự như v ậy công thức (n/(n-1))*COVAR s ẽ tính đồng phương sai của hai biến trên mẫu. Ho ặc sử dụng Data Analysis/ Descriptive Statistics: Ta có b ảng sau: ĐIỂM TRUNG BÌNH THU NH ẬP Mean 7.5 Mean 63.75 Standard Error 0.578638 Standard Error 8.851452665 Median 7.5 Median 60 Mode 7.5 Mode 45 Standard Deviation 1.636634 Standard Deviation 25.03568881 Sample Variance 2.678571 Sample Variance 626.7857143 Kurtosis -0.7 Kurtosis -0.596449704 Skewness -6.3E-17 Skewness 0.46088053 Range 5 Range 75 Minimum 5 Minimum 30 Maximum 10 Maximum 105 Sum 60 Sum 510 Count 8 Count 8 (b) V ẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên. Dùng trục hoành cho biến thu nhập trung bình hàng n ăm và trục tung cho biến điểm trung bình. Nh ận xét một cách ngắn g ọn về đồ thị của dữ liệu. Tính toán các h ệ số hồi quy β 1 và β 2 trong mô hình h ồi quy sau: Đ TB = β 1 + β 2 *TN b ằng Excel . Đ ồ thị phân tán: forum.ueh.edu.vn 4 Nh ận xét: D ựa vào đ ồ thị trên, ta th ấy dư ờng nh ư giữa điểm trung bình của một sinh viên có mối tương quan tuyến tính đồng biến với thu nhập trung bình hàng năm của Cha M ẹ . Số quan sát (n) Thu nhập trung bình hàng năm (TN - tr.đ) - (X) Điểm trung bình (ĐTB) - (Y) X*Y X^2 1 105 10 1050.00 11025 2 75 7.5 562.50 5625 3 45 8.75 393.75 2025 4 45 5 225.00 2025 5 60 7.5 450.00 3600 6 90 8.75 787.50 8100 7 30 6.25 187.50 900 8 60 6.25 375.00 3600 TỔNG 510 60 4031.25 36900 TRUNG BÌNH 63.75 7.5 Tính hệ số hồi quy như sau: 0.047 4.5032 Các b ạn có th ể “click đúp” tr ực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán mà không c ần phải mở Excel. C ụ thể hơn, 1 và 2 đư ợc tính b ằng các công thức như sau: .047.0 )75.63(*836900 5.7.*75.63*83.4031 ).( ˆ 2 1 22 1 2 = − − = − − = ∑ ∑ = = n i i n i ii XnX YXnYX .5032.475.63*047.05.7 ˆˆ 21 =−=−= XY forum.ueh.edu.vn 5 (c) Theo Anh/Ch ị, giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được gi ải thích b ởi thu nhập trung bình hàng n ăm c ủa Cha Mẹ là đúng hay không đúng. Gi ải thích ngắn gọn câu trả lời của Anh/Chị. Câu này chưa c ần làm . Câu 3 (20 đi ểm): Thu th ập dữ liệu về thu nhập (R), chi tiêu cho ăn uống (C1) và các chi tiêu khác (C2), bình quân 1 tu ần c ủa 10 hộ gia đình ở một vùng, nhà nghiên cứu được kết quả sau (đơn v ị ngàn VNĐ/ tuần): H ộ gia đ ình i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 C1 i 320 310 340 310 450 420 480 520 600 520 C2 i 380 340 560 640 660 730 740 880 950 980 a) G ọi tổng chi tiêu bình quân 1 tuần của hộ gia đình là C (C = C1 + C2). Hãy tính giá tr ị kỳ vọng và phương sai của tổng chi tiêu C cho tập dữ liệu trên. HGĐ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 C1 i 320 310 340 310 450 420 480 520 600 520 C2 i 380 340 560 640 660 730 740 880 950 980 C i 700 650 900 950 1110 1150 1220 1400 1550 1500 Dùng hàm AVERAGE, VAR trong EXCEL ta đư ợc: C1 i C2 i C i 427 686 1113 10778.89 47848.89 99201.11 Kỳ vọng Phương sai Đồng phương sai 20286.7 Ta th ấy E(C) = E(C1) + E(C2) ; Var(C) = Var(C1) + Var(C2) +2Cov(C1,C2) (Các b ạn chỉ cần tìm ra Kỳ vọng và phương sai của C, ch ữ đậm màu đỏ ở bảng trên , “click đúp” tr ực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán c ụ thể) b) G ọi số tiền tí ch l ũy bình quân 1 tuần của hộ gia đình là P (P = R – C). Hãy tính giá tr ị kỳ vọng và ph ương sai của số tiền tích lũy bình quân 1 tuần cho tập dữ liệu trên. Ta có bảng số liệu sau: HGĐ i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 Ci 700 650 900 950 1110 1150 1220 1400 1550 1500 P i 100 350 300 450 490 650 780 800 850 1100 forum.ueh.edu.vn 6 Tương t ự, ta d ùng hàm AVERAGE, VAR trong EXCEL: R i C i P i 1700 1113 587 366666.7 99201.11 91423.33 Kỳ vọng Phương sai Đồng phương sai 187222.2 Ta th ấy E( P) = E(R) + E(C); Var(P) = Var(R) + Var(C) - 2Cov(R,C) (Các b ạn chỉ cần tìm ra Kỳ vọng và phương sai của P, ch ữ đậm màu đỏ ở bảng trên , “click đúp” tr ực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể) Câu 4 (20 điểm): Có m ột giả thuyết cho r ằng tổng chi tiêu của một hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập c ủa hộ gia đình đó. Để kiểm chứng giả thuyết này, nhà nghiên cứu đã dùng dữ liệu về thu nh ập (R), tổng chi tiêu (C) bình quân 1 tuần của hộ gia đình trong Câu 3: a) V ẽ đồ thị phân tán điểm cho tập d ữ liệu trên. Dùng trục hoành cho biến R và trục tung cho bi ến C. Nhận xét một cách ngắn gọn về đồ thị của dữ liệu. Theo đ ồ thị ta thấy hình như giữa C và R có mối quan hệ đồng biến, và giữa C & R có quan h ệ tuyến tính khá chặt. b) Hãy tìm kho ảng tin cậ y 95% c ủa thu nhập (R) bình quân 1 tuần của hộ gia đình. Câu này chưa c ần làm. forum.ueh.edu.vn 7 Câu 5 (20 đi ểm): Tìm hi ểu về nhu cầu sử dụng điện thoại, ông Bình đã sử dụng bộ dữ liệu của Singapore giai đo ạn 1960 -1981 v ới 2 biến sau: TEL: S ố l ượng máy điện thoại trên 10 00 ngư ời. GDP: T ổng sản phẩm quốc nội theo đầu người, tại mức giá cơ cấu tính theo đô la Singapore năm 1968. Năm TEL GDP Năm (tt) TEL GDP 1960 36 1299 1971 90 2723 1961 37 1365 1972 102 3033 1962 38 1409 1973 114 3317 1963 41 1549 1974 126 3487 1964 42 1416 1975 141 3575 1965 45 1473 1976 163 3784 1966 48 1589 1977 196 4025 1967 54 1757 1978 223 4286 1968 59 1974 1979 262 4628 1969 67 2204 1980 291 5038 1970 78 2462 1981 317 5472 a. Vẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên. Dùng trục hoành cho biến GDP và tr ục tung cho biến TEL. Bằng trực quan, Anh/ chị hãy nhận xét ngắn gọn về mối quan h ệ giữa 02 chỉ số trên dựa trên đồ thị này. Đ ồ thị cho thấy: khi GDP tăng th ì TEL t ăn g, và ngư ợc lại. Nói cách khác, GDP và TEL có quan h ệ thuận chiều (đồng biến). Đồ thị cũng cho thấy quan hệ GDP và TEL x ấp xỉ tuy ến tính. forum.ueh.edu.vn 8 b. Hãy tính các tr ị thống kê tổng hợp cho biến GDP và TEL (trung bình, phương sai, đ ộ lệch chuẩn, đồng phương sai). GDP TEL Ghi chú 2812.0 116.8 AVERAGE() 1750399.9 7829.3 VAR() 1323.0 88.5 STDEV() (n/(n-1))*COVAR() 113863.8 Trung bình Phương sai mẫu Độ lệch chuẩn Đồng phương sai (“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể) c. S ử dụng lệnh CORREL trong EXCEL, hãy xác định hệ số tương quan tuyến tính giữa TEL và GDP. Giải thích ý nghĩa của hệ số tương quan. Hệ số tương quan r = 0.97265 (“click đúp” tr ực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể) H ệ số tương quan dương cho thấy hai biến TEL và GDP có quan hệ tỷ lệ thuận. |r| r ất gần 1 ( ≥ 0.8) cho th ấy hai biến này có tương quan tuyến tính chặt. H ẾT Đ ể nắm vững cách làm, các bạn xem c ụ thể trong Excel kèm theo đáp án này. Ho ặc nhấn đúp vào biểu tượng sau GIẢI BẰNG EXCEL forum.ueh.edu.vn . phân tán điểm cho tập dữ liệu trên. Dùng trục hoành cho biến thu nhập trung bình hàng n ăm và trục tung cho biến điểm trung bình. Nh ận xét một cách ngắn g ọn về đồ thị của dữ liệu. Tính toán các. là t ỷ số σ/μ, trong đó tử số là độ lệch chuẩn và m ẫu số là trị trung bình. Đó là một đại lượng của sự phân tán của phân phối tương đ ối so với trị trung bình của phân phối. Đ ồng Ph ương sai: Trong. cách tính toán c ụ thể) b) G ọi số tiền tí ch l ũy bình quân 1 tuần của hộ gia đình là P (P = R – C). Hãy tính giá tr ị kỳ vọng và ph ương sai của số tiền tích lũy bình quân 1 tuần cho tập dữ liệu