MÔ HÌNH H ỒI QUY ĐƠN Câu 1 (25 đi ểm) : Các kh ẳng định sau đây có chính xác không? Hãy cẩn thận suy xét và gi ải thích các câu tr ả lời của Anh/Chị. a. Các ư ớc lượng bình phương nhỏ nhất thông thường (OLS) cho hệ số gốc được ư ớc tính chính xác hơn n ếu nh ư các gi á tr ị của X gần với các giá trị trung bình mẫu hơn. Trư ớc khi trả lời câu này, nhắc lại sự khác nhau giữa " đúng" và "chính xác" là h ữu ích. Đúng ngh ĩa là không chệch; chính xác ngh ĩa là phương sai thấp. Do đó , câu h ỏi này là về phương sai của các hàm ư ớc l ư ợng bình phương thông thường nhỏ nh ất (OLS). Phương sai c ủa các hàm ước lượng độ dốc OLS trong mô hình hồi qui đơn giản là: T ừ biểu thức này chúng ta thấy rằng ph ương sai là nhỏ hơn (hàm ước lượng này chính xác hơn) n ếu các giá trị của X cách xa giá trị trung bình m ẫu hơn. V ậy kh ẳng định trên là sai. b. N ếu X i và u i tương quan v ới nhau, thì các hàm ước lượng (OLS) vẫn là không ch ệch. Đi ều này không đúng. Đ ể thấy tại sao, hãy viết biểu thức sau đối với hàm ước lư ợng độ dốc : Nếu X i và u i có tương quan với nhau, thì số hạng sau cùng trong biểu thức này không ph ải là zero và hàm ước lượng này là chệch. c. Các hàm ư ớc lượng không thể là ước lượng không chệch tuyến tính tốt nhất (BLUE) tr ừ khi các u i đ ều có phân phối chuẩn. BLUE ngh ĩa là "Hàm ư ớc lượng không chệc h tuy ến tính tốt nhất." Trong b ối c ảnh này, "tuyến tính " chỉ một hàm ước lượng là một hàm tuyến tính c ủa số hạng forum.ueh.vn 2 sai s ố ngẫu nhiên trong mô hình này, hoặc là một hàm tuyến tính c ủa biến phụ thu ộc của mô hình này. Kiểm tra các hàm ước lượng OLS cho đ ộ dốc và tung đ ộ gốc là đủ để xác lập rằng chúng là tuyến tính. Không yêu cầu tính chuẩn. Không ch ệch được thiết lập bằng cách lấy kỳ vọng của hàm ước lượng OLS, là đi ều mà chúng ta đã làm nhiều lần. Không cần tới tính chuẩn khi chứng minh r ằng k ỳ vọng này bằng v ới giá trị thực (nhưng chưa biết) của thông số. T ốt nhất là dùng Định lý Gauss -Markov. Phép ch ứng minh định lý này không c ần t ới tính chuẩn. Chúng ta th ấy rằng phát biểu này là sai. d. N ếu phương sai của u i l ớn thì các khoảng tin cậy đối với các hệ số sẽ rộn g hơn. Đi ều này là đúng. Chi ều rộng của một khoảng tin cậy liên quan trực tiếp tới đ ộ lớn c ủa độ lệch chuẩn của hàm ước lượng và độ lệch chuẩn của hàm ước lư ợng liên quan tr ực tiếp tới độ lệch chuẩn của số hạng sai số. Anh/Chị cần vi ết được các biểu th ức c ó liên quan này d ựa vào trí nhớ. e. N ếu các giá trị của X có một phương sai lớn th ì các kho ảng tin cậy sẽ hẹp hơn . Đi ều này là đúng. Xem các câu tr ả lời cho phần 4a và 4 d. f. M ột giá trị p cao có nghĩa là hệ số này khác không ở mức độ có ý nghĩa về mặt th ống kê. Đi ều này là sai. Câu h ỏi này nói tới kiểm định thống kê của giả thuyết cho là h ệ số h ồi qui bằng không. Giá trị p là xác suất của việc trị thống kê kiểm định này có thể vượt quá giá trị tuy ệt đối của trị thống kê kiểm định được tính toán cho một mẫu cụ t h ể, cho trư ớc r ằng giả thuyết không là đúng. Giá trị tuyệt đối của trị thống kê ki ểm định càng lớn thì giá tr ị p sẽ càng nhỏ. Trị thống kê kiểm định càng lớn thì h ệ số càng có ý nghĩa th ống kê h ơn. g. N ếu Anh/Chị chọn một mức độ ý nghĩa cao hơn thì một hệ số h ồi qui có khả năng có ý ngh ĩa nhiều h ơn. forum.ueh.vn 3 Đi ều này đúng. Câu h ỏi này nói tới kiểm định thống kê của giả thuyết cho là h ệ số h ồi qui bằng không. Một mức độ ý nghĩa cao thu được một giá trị tới hạn nhỏ hơn nếu xét về giá trị tuy ệt đối. Bác bỏ giả thuyết khôn g khi giá tr ị tuyệt đối của giá trị tới hạn nhỏ hơn là đi ều dễ h ơn. h. Giá tr ị p là xác suất để giả thuyết không (H 0 ) là đúng. Đây là m ột giải thích không chính xác (nhưng thư ờng gặp) đối với gi á tr ị p. Xem câu tr ả lời cho phần 4 f. Câu 2 (25 đi ểm): M ột số l i ệu thống kê về lãi suất ngân hàng (X, % n ăm) và tổng vốn đầu tư (Y, tỉ đồng) trên đ ịa bàn tỉnh Bình Dương qua 10 năm liên tiếp như sau: Năm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X i 7.0 6.5 6.5 6.0 6.0 6.0 5.5 5.5 5.0 4.5 Y i 29 32 31 34 32 35 40 43 48 50 1. Hãy l ập mô hình hồi quy tuyến tính mô tả quan hệ giữa tổng vốn đầu tư và lãi su ất ngân hàng (mô hình hồi quy đơn). Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy ước lư ợng được. Đánh giá m ức độ phù hợp của mô hình . Mô hình h ồi quy tuyến tính mô tả quan hệ giữa tổng vố n đ ầu tư và lãi suất ngân hàng đư ợc cho như sau: Trong đó: là tung đ ộ gốc c ủa hàm hồi quy trê n, đư ợc tính bằng lệnh Intercept trong Excel v ới cú pháp như sau: Intercept (T ập hợp các dữ liệu của biến phụ thuộc, T ập hợp các dữ liệu c ủa biến đ ộc lập) = 93.164. Giá tr ị này nói lên rằng khi lãi su ất ngân hàng bằng 0% (đi ều này hiếm xảy ra trên thực tế) , thì t ổng vốn đầu tư trung b ình m ột n ăm sẽ là 93.164 t ỉ đồng. là h ệ số góc c ủa hàm hồi quy trên, được tính bằng lệnh Slope trong Excel v ới cú pháp như sau: Slope (T ập hợp các dữ liệu của biến phụ thuộc, Tập hợp forum.ueh.vn 4 các d ữ liệu của biến độc lập) = -9.532. Giá tr ị này nói lên rằng : xét các giá tr ị c ủa X nằm trong khoảng (4.5, 7)% , khi lãi su ất ngân hàng tăng thêm 1% m ột năm thì tổng vốn đầu tư một năm sẽ giảm trung bình 9.532 tỉ đồng/năm. 2. Ki ểm định giả thiết: Hệ số hồi quy của X trong hàm hồi quy tổng thể bằng 0 v ới mức ý nghĩa 2% và nêu ý nghĩa của kết quả. Đ ể kiểm định β 2 = 0 v ới mức ý nghĩa 2%, ta làm các bư ớc sau: Đ ặt giả thiết không và giả thiết đối: H 0 : β 2 = 0 với H 1 : β 2 ≠ 0 Chúng ta bi ết rằng trong mô hình h ồi quy hai biến ki ểm định β 2 = 0 c ũng chính là ki ểm định s ự phù hợp của mô hình hồi quy (X thật sự có tác động đến Y ?) Để kiểm định giả thiết trên ta áp dụng quy tắc kiểm định sau: Tính : N ếu F > F α (1, n-2) thì ta bác b ỏ giả thiết H 0 D ựa vào bảng số liệu trên, ta tính được = 5.025; = 4.975. C ụ thể h ơn , Xin tham kh ảo bảng tính sau (double click vào đ ể xem cách tính) : Năm Xi Yi xi xi^2 ei ei^2 1 7.0 29 1.2 1.323 2.562 6.565 2 6.5 32 0.7 0.423 0.796 0.634 3 6.5 31 0.7 0.423 -0.204 0.042 4 6.0 34 0.2 0.023 -1.970 3.881 5 6.0 32 0.2 0.023 -3.970 15.762 6 6.0 35 0.2 0.023 -0.970 0.941 7 5.5 40 -0.4 0.123 -0.736 0.542 8 5.5 43 -0.4 0.123 2.264 5.124 9 5.0 48 -0.9 0.722 2.498 6.238 10 4.5 50 -1.4 1.823 -0.269 0.072 Tổng 5.025 39.801 Trung bình 5.9 37.4 Bêta 1 mũ 93.164 sigma mũ ^2 4.975 Bêta 2 mũ -9.532 F= 91.776 T ừ kết quả trên, = ( 2 ) 2 ∑ 2 =1 2 = (−9.532) 2 5.025 4.975 = 91.776 Tra c ứu ta có: F α (1, n-2) =F 0.02 (1, 8) = 8.389 (dùng hàm FINV trong Excel) forum.ueh.vn 5 Ta th ấy rằng: F > F (1, n-2) nên ta bác b ỏ giả thiết H 0 , t ức là β 2 ≠ 0. Ý ngh ĩa của kết quả: V ới tập dữ liệu mẫu đã cho, bác b ỏ giả thuyết H 0 (β 2 =0) có ngh ĩa rằng bi ến lãi su ất ngân hàng (X, % năm) th ực sự có tác đ ộng đến t ổng vốn đầu tư (Y, tỉ đồng) . Cách khác để kiểm định giả thiết H 0 ở trên là dùng giá trị p (p-value): ta dùng hàm FDIST đ ể tìm giá trị P -value trong Excel ứng với giá trị F đ ã t ính đư ợc bằng công thức ở trên, cú pháp: FDIST(F, b ậc tự do tử số, bậc tự do mẫu số) = FDIST(91.776,1,8) = 0.000011683 = P-value (đư ợc gọi là mức ý ngh ĩa quan sát hay mức ý nghĩa chính xác hay xác suất phạm sai lầm lo ại I , m ức ý n gh ĩa thấp nhất mà H 0 có th ể bị bác bỏ ) Nguyên t ắc kiểm định như sau: o P-value < α thì bác b ỏ H 0 , ch ấp nhận H 1 o P-value ≥ α thì ch ưa có cơ sở để bác bỏ H 0 . V ậy từ kết quả P -value tính đư ợc ở trên, ta so sánh nó với mức ý nghĩa α c ủa đ ề bài, ta có: P-value (0.000011683) < α (0.02). P-value r ất thấp, có nghĩa là xác suất phạm phải sai lầm bác bỏ giả thiết H 0 khi nó đúng là rất thấp. 3. D ự báo tổng vốn đầu tư trung bình khi lãi suất là 4,8% năm với độ tin cậy 98%. 47.409=4.8*9.532-93.164= 0 Y Ta tính: ( ) − += ∑ 2 2 0 2 0 )(1 i x XX n YVar (*) trong đó: 2 = 4.975; ∑ 2 i x = 5.025; X = 5.85; X 0 =4,8; n=10. (*) ( ) 589.1 025.5 )86.58.4( 10 1 975.4 2 0 = − +=YVar ( ) 261.1 0 =YSe t 0,01 (8) = 2,896 Khoảng tin cậy 98% của vốn đầu tư trung bình khi lãi suất là 4,8% năm: 47.409 ± 2,896 *1.261 Hay: 43.757 < E(Y/X=4.8) < 51.061 Câu 3 (25 đi ểm): forum.ueh.vn 6 Bảng dưới đây cho bi ết số liệu v ề tiền l ương trung bình 1 gi ờ (mean hourly wage, đ ặt tên bi ến là Meanwage) và s ố năm đ ược đào t ạo (years of schooling, đ ặt tên biến là Education) như sau: Quan sát (n) S ố n ăm được đào tạo (Education - năm) Lương trung bình m ột giờ (Meanwage - $) 1 6 4.4567 2 7 5.7700 3 8 5.9787 4 9 7.3317 5 10 7.3182 6 11 6.5844 7 12 7.8182 8 13 7.8351 9 14 11.0223 10 15 10.6738 11 16 10.8361 12 17 13.6150 13 18 13.5310 Từ số liệu trên, chúng ta có kết quả hồi quy sau: ii EducationwagenMea 724097.0014453.0 +−= se = (0.874624) ( A ) t = ( B ) (10.40648) r 2 = 0.9078 n = 13 a. B ạn hãy đ i ền vào chỗ trống ( ) các giá tr ị thích hợp. Do ) ˆ ( 0 ˆ i i Se t − = 01652.0 874624.0 014453.0 −= − =B ; 06958.0 40648.10 724097.0 ==A ; b. Gi ải thích ý nghĩa của hệ số góc. 1 = - 0.014453 là tung đ ộ gốc của đườn g h ồi quy mẫu, không thể giải thích một cách máy móc là khi s ố n ăm được đào tạo b ằng 0 thì ti ền l ương một giờ trung bình b ằng -0.014453$ (s ố âm không có ý nghĩa ở đây) . 2 = 0.729097. Giá tr ị này nói lên rằng: xét các giá trị của Education n ằm trong kho ảng ( 6, 18) năm, khi s ố n ăm được đào tạo tăng thêm m ột n ăm thì ti ền l ương m ột giờ trung bình s ẽ tăng lên 0.729097$. c. Education có ảnh h ưởng đến Meanwage không? Tại sao? (G ợi ý: Kiểm định gi ả thiết). forum.ueh.vn 7 Ki ểm định giả thiết: H 0 : β 2 =0, H 1 : β 2 ≠0 v ới mức ý nghĩa 5% t = 10.40648 (đề cho) t α/2(n-2) = t 0.025 (11) = 2.201 t > t 0.025 (11) nên bác bỏ giả thiết H 0 (với mức ý nghĩa 5%). V ậy β 2 ≠0 đáng k ể về mặt thống kê, hay Education (s ố n ăm được đào tạo ) th ực s ự có ảnh h ưởng đến Meanwage (ti ền lương một giờ ). R 2 = 0.9078 khá g ần 1. V ậy mô hình có mức độ phù hợp cao. d. Đánh giá m ức độ phù hợp của mô hình. V ới kết quả trong câu c (β 2 ≠0) và R 2 = 0.9078 khá g ần 1. Ta có th ể kết luận rằng mô hình có m ức độ phù hợp cao v ới tập dữ liệu mẫu đ ã cho. Câu 4 (25 đi ểm): Xem k ết quả của phân tích hồi quy sau: ii XY 6560.02033.0 ˆ += Se = (0.0976) (0.1961) r 2 = 0.397 RSS = 0.0544 ESS = 0.0358 Trong đó: Y là t ỷ lệ tham gia lực l ượng lao động của nữ năm 1972 X là t ỷ l ệ tham gia lực l ượng lao động của nữ năm 1968 K ết quả phân tích hồi quy này có đ ược từ một mẫu gồm 19 thành phố của Mỹ. a. Gi ải thích ý nghĩa của các hệ số hồi quy ước lượng đ ược. 1 = 0.2033 là tung đ ộ gốc của đường hồi quy mẫu, nói lên r ằng khi t ỷ lệ tham gia l ực l ượng lao đ ộng của nữ năm 1968 (X) b ằng 0, thì t ỷ lệ tham gia l ực l ượng lao đ ộng trung bình c ủa nữ năm 19 72 (Y) b ằng 0.2033. 2 = 0.6560 là h ệ số góc c ủa đường hồi quy mẫu, nói lên r ằng khi tỷ lệ tham gia l ự c lượng lao động của nữ năm 1968 (X) tăng (gi ảm) 1 đơn vị , thì t ỷ lệ tham gia l ực l ượng lao động trung bình c ủa nữ năm 19 72 (Y) s ẽ tăng (gi ảm) 0.6560 đơn v ị . b. Ki ểm định giả thiết: H 0 : β 2 =1; H 1 : β 2 >1 v ới mức ý nghĩa 5%. forum.ueh.vn 8 754.1 0.1961 16560.0 ) ˆ ( 1 ˆ 2 2 −= − = − = Se t t 0,05 (17) = 1.740 t < t 0,05 (17) nên không bác b ỏ giả thiết H 0 (v ới mức ý nghĩa 5%). c. T ừ kết quả phân tích hồi quy trên, chứng minh rằng: 2 = 0.0032; ∑ 2 i x = 0.0832; X = 0.4932 Ta có: ∑ = = n i i xESS 1 22 2 ) ˆ ( 0.0832 )6560.0( 0358.0 ) ˆ ( 2 2 2 1 2 === ∑ = ESS x n i i (đpcm) 0032.0 219 0544.0 22 ˆ 1 2 2 = − = − = − = ∑ = n RSS n e n i i (đpcm) 2 1 2 1 2 1 2 1 )) ˆ (( ˆ ) ˆ ( Se xn X Var n i i n i i == ∑ ∑ = = 2 2 1 1 2 1 2 ˆ )) ˆ (( Sexn X n i i n i i ∑ ∑ = = = 7057.4 0032.0 )0976.0(*0832.0*19 2 1 2 == ∑ = n i i X Ta còn có: 2 1 2 1 2 )(XnXx n i i n i i −= ∑∑ == n xX X n i i n i i ∑∑ == − = 1 2 1 2 2 )( 2433.0 19 0832.07057.4 )( 2 = − =X 4932.0=X (đpcm) d. Gi ả sử rằng tỷ lệ tham gia lực l ượng lao đ ộng của nữ năm 1968 là 0,58 (hay 58%). Trên cơ s ở kết quả của phân tích hồi quy ở trên, giá trị trung bình của t ỷ lệ tham gia lực l ượng lao đ ộng của nữ năm 1972 là bao nhiêu? Thiết lập kho ảng tin cậy 95% cho giá tr ị dự báo trung bình này. 0 Y = 0.2033 + 0.6560 * 0.58 = 0.58378 ( ) 0,00046= 0832.0 )4932.058.0( 19 1 .00320= )(1 var 2 2 2 0 2 0 − + − += ∑ i x XX n Y )( 0 Yse = 0,02141 forum.ueh.vn 9 t 0,025 (17) = 2.110 Khoảng tin cậy 95% của d ự báo trung bình c ủa tỷ lệ tham gia lực lượng lao động của n ữ năm 1972 khi t ỷ lệ tham gia lực lượng lao động của nữ năm 1968 là 0 .58, là: 0.58378 ± 2.110* 0,002141 Hay: 0.5386 < E(Y/X=0.58) < 0.6289 H ẾT forum.ueh.vn . 0.423 -0 .204 0.042 4 6.0 34 0.2 0.023 -1 .970 3.881 5 6.0 32 0.2 0.023 -3 .970 15.762 6 6.0 35 0.2 0.023 -0 .970 0.941 7 5.5 40 -0 .4 0.123 -0 .736 0.542 8 5.5 43 -0 .4 0.123 2.264 5.124 9 5.0 48 -0 .9. sau: Năm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X i 7.0 6.5 6.5 6.0 6.0 6.0 5.5 5.5 5.0 4.5 Y i 29 32 31 34 32 35 40 43 48 50 1. Hãy l ập mô hình hồi quy tuyến tính mô tả quan hệ giữa tổng vốn đầu tư và lãi su ất ngân hàng (mô hình hồi quy đơn) . Nêu ý nghĩa của các hệ số hồi quy ước lư ợng được. Đánh giá m ức độ. quả phân tích hồi quy này có đ ược từ một mẫu gồm 19 thành phố của Mỹ. a. Gi ải thích ý nghĩa của các hệ số hồi quy ước lượng đ ược. 1 = 0.2033 là tung đ ộ gốc của đường hồi quy mẫu, nói lên