Bài tập kinh tế lượng Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội

Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Bài tập kinh tế lượng chương II & III Giả sử có số liệu về năng suất (tạ/ha) của một loại cây trồng và mức phân bón (tạ/ha) cho loại cây này tính trên một ha trong 10 năm từ 1988-1997 như sau: Năm 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 X i 6 10 12 14 16 18 22 24 26 32 Y i 40 44 46 48 52 58 60 68 74 80 Dạng 1: Vẽ đường hồi quy mẫu hay dạng ước lượng µ µ 1 2 àv β β : - Hàm hồi quy mẫu có dạng: µ µ µ 1 2 i i Y X β β = + - Bây giờ ta sẽ tìm các µ β qua bảng tính Exell: X i Y i x i y i 2 i x 2 i y x i y i µ i Y e i 2 i e 2 i X 6 40 -12 -17 144 289 204 37.0 8 2.92 8.5264 36 10 44 -8 -13 64 169 104 43.72 0.28 0.0784 100 12 46 -6 -11 36 121 66 47.0 4 -1.04 1.0816 144 14 48 -4 -9 16 81 36 50.3 6 -2.36 5.5696 196 16 52 -2 -5 4 25 10 53.6 8 -1.68 2.8224 256 18 58 0 1 0 1 0 57 1 1 324 22 60 4 3 16 9 12 63.64 -3.64 13.2496 484 24 68 6 11 36 121 66 66.96 1.04 1.0816 576 26 74 8 17 64 289 136 70.2 8 3.72 13.8384 676 32 80 14 23 196 529 322 80.2 4 -0.24 0.0576 1024 180 570 0 0 576 1634 956 570 0 47.305 6 3816 Lê Kha K45B TC-NH 1 Tổng các phần dư bằng không (xem lại tính chất 3c của hàm SRF) 1 ( ) 0 n i i X X = − = ∑ 1 ( ) 0 n i i Y Y = − = ∑ Tức là tổng các sai lệch bằng không (xem cách chứng minh ở tập soạn xác suất trang …) Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Từ bảng tính ta có: 10 1 1 180 18 10 10 i i X X = = = = ∑ 10 1 1 570 57 10 10 i i Y Y = = = = ∑ µ 1 2 2 1 956 1.66 576 n i i i n i i x y x β = = = = = ∑ ∑ µ µ 1 2 57 1.66*18 27.12Y X β β = − = − = Vậy đường hồi quy mẫu: µ 27,12 1,66 i i Y X= + Dạng 2: Nêu ý nghĩa của µ µ 1 2 àv β β : - Theo lý thuyết, khi tăng lượng phân bón cho một ha thì năng suất cây trồng sẽ tăng. µ 2 β =1,66>0, kết quả này phù hợp với thực tế. Con số 1,66 cho chúng ta biết rằng nếu ta tăng thêm một tạ phân bón/ha thì sản lượng sẽ gia tăng 1,66 tạ/ha. µ 1 β =27,12 có nghĩa là khi không bón phân (X=0) thì năng suất trung bình của loại cây trên là 27,12 tạ/ha. Dạng 3: Tính var( µ 1 β ) và var( µ 2 β ); se( µ 1 β ) và se( µ 2 β ): - Các hệ số µ µ 1 2 àv β β chỉ là các ước lượng điểm và trong thực tế không xảy ra sự biến động chính xác như thế. Và để kết luận các hệ số đó nằm trong khoản giá trị nào? Và để thực hiện các kiểm định các giả thiết liên quan đến chúng thì phải biết được độ lệch chuẩn của các µ β : Ta có phương sai của µ 1 β được cho bởi công thức sau: Var( µ 1 β )= 2 2 1 2 1 . . n i i n i i X n x σ = = ∑ ∑ Var( µ 2 β )= 2 2 1 n i i x σ = ∑ Trong đó, 2 σ chưa biết ta sẽ sử dụng ước lượng không chệch của nó là: µ 2 2 1 2 n i i e n σ = = − ∑ = 47,3056 8 =5,9132  µ σ =2,432. Thay µ 2 σ vào biểu thức trên và lấy căn bậc 2 ta có độ lệch chuẩn tương ứng: Se( µ 1 β )= 3826 10*576 .2,432=1,98 Se( µ 2 β )= 1 576 .2,432=0,101 Dạng 4: Tính hệ số R 2 và nêu ý nghĩa của nó: Lê Kha K45B TC-NH 2 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội  Tính R 2 : Ta có RSS= 10 2 1 i i e = ∑ =47,3056 TSS= 10 2 1 i i y = ∑ =1634 R 2 = ( ) ES 47,3056 1 1 1634 TSS RSS S RSS TSS TSS TSS − = = − = − =0,971 Ý nghĩa: Như vậy lượng phân bón giải thích xấp xỉ 97% sự biến thiên của năng suất. Dạng 5: Ước lượng các hệ số 1 2 , β β và nêu ý nghĩa của nó: - Dạng 5a: Khoảng tin cậy 95% cho hệ số hồi quy 1 β : + Khoảng tin cậy đối xứng của 1 β là: µ µ ( ) 2 1 1 2 . n t se α β β − − < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 2 . n se t α β β − + Với: µ 1 β =27.12 2 2 n t α − = 10 2 0.05 2 t − =2,306 Se( µ 1 β ) =1,98 Thế vào ta được: 22,55< 1 β < 31,69 Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình vẫn có thể đạt được trong khoảng (22,55; 31,69) + Khoảng tin cậy bên phải của 1 β là: µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − − < 1 β < +∞ Với: 2n t α − = 10 2 0.05 t − =1.860 Thế vào ta được: 23,4372 < 1 β < +∞ Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình đạt được ít nhất là 23,4372 tạ/ha (không tính nhiều nhất) + Khoảng tin cậy bên trái của 1 β là: − ∞ < 1 β < µ µ ( ) 2 1 1 . n se t α β β − + Thế vào ta được: − ∞ < 1 β < 30,8028 Ý nghĩa: Khi không có phân bón thì năng suất trung bình đạt được lớn nhất là 30,8028 tạ/ha (không tính ít nhất) - Dạng 5b: Khoảng tin cậy 95% cho hệ số hồi quy 2 β : + Khoảng tin cậy đối xứng của 2 β là: µ µ ( ) 2 2 2 2 . n t se α β β − − < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 2 . n se t α β β − + Với: µ 2 β =1,66 2 2 n t α − = 10 2 0.05 2 t − =2,306 Se( µ 2 β ) =0,101 Thế vào ta được: 1,427< 2 β < 1,89 Lê Kha K45B TC-NH 3 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên trong khoảng (1,427; 1,89) + Khoảng tin cậy bên phải của 2 β là: µ µ ( ) 2 2 2 . n se t α β β − − < 2 β < +∞ Với: 2n t α − = 10 2 0.05 t − =1.860 Thế vào ta được: 1,472 < 2 β < +∞ Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên ít nhất là 1,472 tạ/ha (không tính nhiều nhất) + Khoảng tin cậy bên trái của 2 β là: − ∞ < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 . n se t α β β − + Thế vào ta được: − ∞ < 2 β < 1,847 Ý nghĩa: Khi phân bón tăng lên 1 tạ/ha thì năng suất trung bình tăng lên nhiều nhất là 1,847 tạ/ha (không tính ít nhất) Dạng 6: Kiểm định các hệ số hồi quy 1 2 , β β và nêu ý nghĩa của nó: Câu hỏi: Mức phân bón/ha có ảnh hưởng đến năng suất của loại cây trên không? (Chú ý cụm từ “có ảnh hưởng”) Muốn biết mức phân bón/ha có ảnh hưởng đến năng suất không ta tiến hành kiểm định cặp giả thiết sau: H 0 : 2 β =0 H 1 : 2 β ≠0 µ µ 2 2 2 ( ) qs t se β β β ∗ − = = 1,66 0 16,43 0.101 − = Với mức ý nghĩa 5%, ta có 8 0.025 t =2,306. qs t =16,43> 8 0.025 t , nên giả thiết H 0 bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là lượng phân bón/ha có ảnh hưởng đến năng suất. Lưu ý: Đối với dạng kiểm định này còn nhiều dạng nữa, trên đây chỉ là một trường hợp nhỏ trong số đó. Dạng 7: Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi quy: H 0 : R 2 =0 (biến X không ảnh hưởng đến Y) H 1 : R 2 ≠0 (biến X giải thích được biến động của Y) Lê Kha K45B TC-NH 4 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội 2 2 2 1 1 2 qs R F R n − = − − = 0.971 10 2 . 267,86 1 0.971 2 1 − = − − Với mức ý nghĩa 5%, ta có 0.05 (1,8)F =5,32 F qs > (1, 2)F n α − cho nên bác bỏ giả thiết H 0 với mức ý nghĩa α . Vậy biến phân bón/ha giải thích được sự biến động của biến năng suất. Hay độ phù hợp của hàm hồi quy là 97,1%. Dạng 8: Dự báo giá trị trung bình: Câu hỏi: Dự báo giá trị trung bình khi mức phân bón là X 0 =20 tạ/ha Phương sai của giá trị trung bình: Var( µ 0 Y )= 2 2 0 2 1 ( ) 1 . n i i X X n x σ =     −   +       ∑ = 2 0 2 1 ( ) 1 n i i X X n x =     −   +       ∑ . 2 1 2 n i i e n = − ∑ = 2 1 (20 18) 47,3 . 10 576 10 2   − +  ÷ −   =0,632 se( µ 0 Y )=0,795 Ước lượng điểm của năng suất khi mức phân bón ở mức 20 tạ/ha: µ 0 Y = µ µ 1 2 0 .X β β + =27,12 + 1,66.20= 60,32 Khoảng tin cậy 95% cho mức sản lượng trung bình là: µ µ µ µ 2 2 0 0 0 0 2 2 0 ( ). ( ) ( ). 20 n n Y Y se Y t E Y se Y t X α α − − − < < + = 60,32 – 0,795.2,306 < 0 ( ) 20 Y E X = < 60,32 + 0,795.2,306 58,486 < 0 ( ) 20 Y E X = < 62,153 Dạng 9: Dự báo giá trị cá biệt: Câu hỏi: Dự báo giá trị cá biệt khi mức phân bón là X 0 =20 tạ/ha. Phương sai của giá trị cá biệt: Var(Y 0 )= 2 2 2 2 0 0 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 . 1 . 2 n i i n n i i i i e X X X X n n n x x σ = = =      ÷  ÷ − −  ÷  ÷ + + = + + −  ÷  ÷  ÷  ÷     ∑ ∑ ∑ =6,54558 se(Y 0 )=2,558 Ước lượng điểm của năng suất khi mức phân bón ở mức 20 tạ/ha: µ 0 Y = µ µ 1 2 0 .X β β + =27,12 + 1,66.20= 60,32 Khoảng tin cậy 95% cho mức sản lượng cá biệt là: µ µ 2 2 0 0 0 0 0 2 2 ( ). ( ). n n Y se Y t Y Y se Y t α α − − − < < + Lê Kha K45B TC-NH 5 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội 60,32 – 2,558.2,306 < Y 0 < 60,32 + 2,558.2,306 54,421 < Y 0 < 66,218 Phần hai: Bài tập tổng hợp chương II Câu 1: Nghiên cứu mối quan hệ giữa sản lượng sản phẩm và các yếu tố đầu vào của quá trình sản xuất ở một số doanh nghiệp. Lúc đầu người ta nghiên cứu chú trọng vào quản lý nguồn nhân lực nên đưa ra mô hình sau, với S là sản lượng, L là lao động (người). Cho mức ý nghĩa là 5%. Dependent Variable: S Method: Least Squares Date: 11/11/05 Time: 23:21 Sample: 1 20 Included observations: 20 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob C 34.4438 29.0219 1.1868 0.251 L 19.2371 6.8786 2.7967 0.012 R-squared 0.30290 Mean dependent var 1094.666 Adjusted R-squared 0.26417 S.D. dependent var 57.7367 S.E. of regression 49.5267 Akaike info criterion Sum squared resid 44152.1 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic 7.8213 Durbin-Watson stat 0.7151 Prob(F-statistic) 0.000 Giải thích một số thuật ngữ tiếng anh: Dependent Variable: biến phụ thuộc R-squared: R 2 Sum squared resid: tổng đã được bình phương của các phần dư 2 1 n i i e = ∑ S.E. of regression: độ lệch chuẩn của mẫu µ σ = 2 1 2 n i i e n = − ∑ Coefficient: Hệ số ( µ µ 1 2 , β β ), µ 1 β =34.4438, µ 2 β =19.2371 Std.Error: Sai số chuẩn, tương đương với các se( µ 1 β )=29.0219, se( µ 2 β )=6.8786 Lê Kha K45B TC-NH 6 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội t-Statistic: thống kê t Prob: giá trị xác suất Included observations: số quan sát n Variable: biến S.D. dependent var: độ lệch chuẩn của biến phụ thuộc = 2 1 1 1 n i i y TSS n n = = − − ∑ TSS=(n-1).(S.D) 2 Mean dependent var: giá trị trung bình của biến phụ thuộc Y a/ Viết hàm hồi quy mẫu, nêu ý nghĩa của các hệ số trong mô hình: Hàm hồi quy mẫu: $ i S = 34.4438 + 19.2371.L i Ý nghĩa của các hệ số: µ 1 β =34.4438 có nghĩa là khi không có lao động thì sản lượng trung bình của doanh nghiệp là 34.4438 đơn vị (đây chi là một mẫu ngẫu nhiên). µ 2 β =19.2371 >0 có nghĩa là khi tăng lao động thì sản lượng lao động cũng tăng. Nếu tăng thêm một lao động thì sản lượng tăng thêm 19,2371 đơn vị. b/ Lao động có ảnh hưởng đến sản lượng không? Ta kiểm định cặp giả thiết sau: H 0 : 2 β =0 H 1 : 2 β ≠0 µ µ 2 2 2 ( ) qs t se β β β ∗ − = = 19,2731 0 2,7967 6,8786 − = Với mức ý nghĩa 5%, ta có 18 0.025 t =2,101. qs t =2,7967> 18 0.025 t , nên giả thiết H 0 bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là lao động có ảnh hưởng đến sản lượng. c/ Theo lý thuyết thì khi không có lao động sẽ không có sản lượng, nhưng trong hàm hồi quy mẫu, khi không có lao động thì ước lượng điểm mức sản lượng lại khác không. Trên thực tế giá trị đó có thể coi là bằng không được không? Ta kiểm định cặp giả thiết sau: H 0 : 1 β =0 H 1 : 1 β ≠0 Lê Kha K45B TC-NH 7 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội µ µ 1 1 1 ( ) qs t se β β β ∗ − = = 34.4438 0 1,1868 29,0219 − = Với mức ý nghĩa 5%, ta có 18 0.025 t =2,101. qs t =2,7967< 18 0.025 t , nên giả thiết H 1 bị bác bỏ. Điều này có nghĩa là khi không có lao động thì không có sản lượng. d/ Lao động giải thích được bao nhiêu phần trăm biến động của biến sản lượng? - R 2 =0.3029  Lao động giải thích được 30,29% biến động của biến sản lượng. e/ Khi lao động tăng thêm một lao động thì sản lượng tăng trong khoảng nào? - Bài này có dạng ước lượng khoảng của hệ số hồi quy 2 β (đọc đề mà thấy biến độc lập tăng một đơn vị >>> hỏi biến phụ thuộc tăng khoảng nào đó thì chắc chắn đó là dạng ước lượng hệ số hồi quy 2 β - xem ý nghĩa của ước lượng hệ số hồi quy 2 β ) + Khoảng tin cậy đối xứng của 2 β là: µ µ ( ) 2 2 2 2 . n t se α β β − − < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 2 . n se t α β β − + Với: µ 2 β =19.2371 2 2 n t α − = 20 2 0.05 2 t − =2,101 Se( µ 2 β ) =6.8786 Thế vào ta được: 14,7851< 2 β < 33,6890 Ý nghĩa: Khi lao động tăng lên một lao động thì sản lượng tăng lên trong khoảng (14,7851; 33,6890) f/ Có thể nói khi bớt 1 lao động thì sản lượng giảm 30 đơn vị được không? - Vì lao động và sản lượng đồng biến với nhau, cho nên bài này có thể đổi lại nhưng có cùng một cách giải: “ Có thể nói khi tăng 1 lao động thì sản lượng tăng lên 30 đơn vị được không?” - Kiểm định cặp giả thiết sau: H 0 : 2 β =30 H 1 : 2 β ≠30 µ µ 2 2 2 ( ) qs t se β β β ∗ − = = 19,2731 30 1,5647 6,8186 − = − Lê Kha K45B TC-NH 8 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Với mức ý nghĩa 5%, ta có 18 0.025 t =2,101. qs t =1,5647< 18 0.025 t , nên không có cơ sở để bác bỏ H 0 . Điều này có nghĩa là khi giảm một lao động thì sản lượng giảm 30 đơn vị. g/ Nếu tăng 1 lao động thì sản lượng tăng nhiều hơn 20 đơn vị có phải không? - Kiểm định cặp giả thiết sau: H 0 : 2 β =20 H 1 : 2 β >20 µ µ 2 2 2 ( ) qs t se β β β ∗ − = = 19,2731 20 0,1109 6,8186 − = − Với mức ý nghĩa 5%, ta có 18 0.05 t =1,734. qs t =-0,1109< 18 0.05 t , nên không có cơ sở để bác bỏ H 0 . Điều này có nghĩa là nếu tăng một lao động thì sản lượng tăng không nhiều hơn 20 đơn vị. h/ Tìm mức sản lượng trung bình khi doanh nghiệp có 30 lao động. -Để tìm mức sản lượng trung bình khi doanh nghiệp có 30 lao động, ta tìm khoảng tin cậy 95% của E( 0 30 S L = ): -Sử dụng tích chất của hàm hồi quy mẫu SRF: đường hồi quy mẫu đi qua giá trị trung bình của biến độc lập và biến phụ thuộc, điều này được suy ra từ công thức µ µ 1 2 .Y X β β = − . µ µ 1 2 .S L β β = −  µ µ 1 2 S L β β − = = 1094.666 34,4438 19,2371 − =55,1134 -Tìm 2 1 n i i l = ∑ bằng cách: Cách 1: Var( µ 2 β )= µ 2 2 1 n i i l σ = ∑  µ µ 2 2 1 2 ar( ) n i i l v σ β = = ∑ = 2 2 49.5267 6,8786 =51,841 Cách 2: ESS= µ 2 1 n i i s = ∑ = ¶ 2 2 2 1 ( ) ( ) n i i l β = ∑  µ 2 2 1 2 ES ( ) n i i S l β = = ∑ -Phương sai của giá trị trung bình: Var( $ 0 S )= µ 2 2 0 2 1 ( ) 1 . n i i L L n l σ =     −   +       ∑ =49,5267 2 2 1 (30 55,1134) 10 51,841   − +  ÷   =29963,85537 se( µ 0 S )=173,1007 Lê Kha K45B TC-NH 9 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Tính µ 0 S : µ 0 S = 34.4438 + 19.2371.L 0 = 34,4438 + 19,2371.(30) =611,5568 -Thay tất cả số liệu tìm được vào công thức: $ $ $ $ 2 2 0 0 0 0 2 2 0 ( ). ( ) ( ). 20 n n S S se S t E S se S t L α α − − − < < + = 247,8722< 0 ( ) 20 S E L = < 975,2431 Câu 2: Sau khi hồi quy biến sản lượng (S) theo lao động (L) có hệ số chặn, thấy hệ số xác định R 2 của mô hình đó khá nhỏ, nên người ta đua thêm biến K là vốn (triệu đồng) vào và hồi quy được mô hình sau: Dependent Variable: S Method: Least Squares Date: 11/11/05 Time: 23:21 Sample: 1 20 Included observations: 20 Variable Coefficient Std.Error t-Statistic Prob C -20.6583 22.0029 -0.93889 0.361 K 10.7720 2.1599 4.9874 000 L 19.2232 4.5279 4.2455 0.001 R-squared Mean dependent var 1094.666 Adjusted R-squared 0.68369 S.D. dependent var 57.7367 S.E. of regression 32.4717 Akaike info criterion Sum squared resid 17925.0 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic 21.5343 Durbin-Watson stat 2.3574 Prob(F-statistic) 0.000 Với mức ý nghĩa α =5%. Hãy: a/ Viết hàm hồi quy tổng thể và hàm hồi quy mẫu. - Hàm hồi quy tổng thể có dạng như sau: 1 2 3 ( ) , i i i i S E K L K L β β β = + + - Hàm hồi quy mẫu có dạng như sau: $ µ µ µ 1 2 3 i i i S K L β β β = + + =-20.6583+ 10.7720K i + 19.2232L i b/ Nói rằng vốn và lao động tác động cùng chiều đến sản lượng có đúng không? - Ta kiểm định cặp giả thiết sau: 0 2 1 2 : 0 : 0 H H β β =   >  Lê Kha K45B TC-NH 10 [...]... lượng) e/ Khi lao động không đổi, nếu tăng thêm vốn 1 triệu thì sản lượng tăng trong khoảng nào? - Ta tìm khoảng tin cậy đối xứng của hệ số β 2 11 Lê Kha K45B TC-NH Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Khoảng tin cậy đối xứng của β 2 : µ β 2 − tα n 2 2 ( ) ( ) µ µ µ se β 2 < β 2 < β 2 + se β 2 tα n − 2 2 10,7 720 - 2, 11 *2, 1599< β 2 . III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội Khoảng tin cậy đối xứng của 2 β : µ µ ( ) 2 2 2 2 . n t se α β β − − < 2 β < µ µ ( ) 2 2 2 2 . n se t α β β − + 10,7 720 - 2, 11 *2, 1599< 2 β <10,7 720 . TC-NH 5 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội 60, 32 – 2, 558 .2, 306 < Y 0 < 60, 32 + 2, 558 .2, 306 54, 421 < Y 0 < 66 ,21 8 Phần hai: Bài tập tổng hợp chương II Câu. Nếu đi từ mô hình U về mô hình R thì không bỏ biến K được. Lê Kha K45B TC-NH 12 Chương II & III: Mô hình hồi quy 2 biến và mô hình hồi quy bội (Hoặc) Nếu đi từ mô hình R về mô hình U thì