phát triển các quy tắc toán vedic và ứng dụng

Ứng dụng của Toán Vedic trong lĩnh vực Khoa học máy tính “Toán Vedic và mối quan hệ của nó với các lĩnh vực khoa học khác.. “Học sinh vào lớp để học môn toán với những ý tưởng tiêu cực v

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

PhạmVăn Bắc

PHÁT TRIỂN CÁC QUY TẮC TOÁN VEDIC VÀ ỨNG DỤNG

Ngành : Côngnghệthông tinChuyênnghành : Khoahọcmáytính Mãsố : 604801

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TSKH NguyễnXuânHuy

TháiNguyên - 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tên tôi là Phạm Văn Bắc, học viên cao học khóa 11, chuyên ngành

Khoa học máy tính Tôi xin cam đoan luận văn thạc sĩ “Phát triển các quy tắc toán Vedic và ứng dụng”là công trình nghiên cứu của tôi thực hiện dưới

sự hướng dẫn của PGS TSKH Nguyễn Xuân Huy.Mọi tham khảo trong luận văn đều trích dẫn rõ dàng Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá, tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Học viên thực hiện

Phạm Văn Bắc

Học viên xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và những người thân đã động viên khích lệ tinh thần và giúp đỡ để học viên hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 0

LỜI CẢM ƠN 2

MỤC LỤC 3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 4

LỜI MỞ ĐẦU 5

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TOÁN VEDIC 11

1.1 Giới thiệu về toán Vedic (hay còn gọi là toán Vệ Đà) 11

1.2 Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic 11

Chương II: Bộ các quy tắc toán Vedic 15

2.1 Phép nhân trên hệ thập phân 15

2.1.1 Nhân theo cơ sở lũy thừa 10 (tròn chục) 17

2.1.2 Luật Nikhilam 23

2.1.3 Anurupyena 28

2.1.4 Urdhva-tiryagbhyam 30

2.2 Bình phương một số 35

2.2.1 Bình phương của một số có chữ số cuối cùng là 5: 35

2.2.2 Bình phương của một số từ 50 đến 59 36

37

37

41

2.4 Ứng dụng của Toán Vedic trong lĩnh vực Khoa học máy tính “Toán Vedic và mối quan hệ của nó với các lĩnh vực khoa học khác 44

CHƯƠNG III: CHƯƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM 48

3.1 Bài toán: 48

3.2 Chương trình: 48

3.3 Cài đặt và thử nghiệm 56

PHẦN KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các nghiên cứu đều cho thấy: có hơn 85% trẻ em sợ học môn Toán

“Học sinh vào lớp để học môn toán với những ý tưởng tiêu cực về khả năng học toán của mình, thể hiện qua điểm số trong một số bài học nên có thái độ đó?Và trên một phương diện khác, những học sinh có ý nghĩ tích cực về môn toán có điểm số phản ánh đúng thái độ đó không?”.Tại sao học sinh lại sợ học môn toán? Có thể là do mọi người xung quanh nói môn toán thật khó, cũng có thể người học tự cho rằng đã có máy tính giúp họ trong việc tính toán, nhưng cũng có thể trong phương pháp giảng dạy truyền thống thiếu sự đổi mới … [1]

Khoảng 12 tuổi, học sinh cảm thấy “sợ” môn toán và bắt đầu né tránh các giờ học toán Ngay cả sinh viên đại học cũng phải lo sợ khi tính toán với các con số lớn mà không có sự trợ giúp của máy tính điện tử hay của giấy bút

Trước hết, tôi muốn nhấn mạnh khía cạnh lý thuyết, và sau đó là khía cạnh thực tế Do thiếu hiểu biết về lý thuyết nằm trong Toán học nên trẻ em thường gặp khó khăn và sợ học Toán Có lẽ đó là lý do các bài học Toán Vedic thường được xây dựng theo định dạng của một bài thơ, và yếu tố đạo đức của nó đã hỗ trợ để duy trì và xây dựng tính cách dễ dàng hơn, rồi sau đó mới là giảng giải và học nâng cao Ở các nước phương Đông, học lý thuyết đã rồi mới thực hành.Còn ở các nước phương Tây, tất cả mọi thứ đều bắt đầu bằng một hiện tượng thực tế, sau đó mới đến lý thuyết Có lẽ chúng ta cần phải cân bằng hai phương pháp này để dạy và học cho tốt hơn

Thật khó giải thích về những lợi ích của việc học Toán Vedic, trừ khi chính một người trải nghiệm nó Không cần phải nói về độ rõ ràng ẩn chứa trong Toán Vedic khi bắt đầu phân tích các vấn đề theo nhiều chiều Những đứa trẻ không chỉ trở nên thông minh, sáng láng trong môn Toán, mà sẽ còn thông minh, sáng tạo trong các môn học khác nữa Đó là thực tế cho thấy sức

mạnh của Toán Vedic đối với những trẻ em được đào tạo trong dịp nghỉ hè Khi tham dự các chương trình của Câu lạc bộ Toán học mùa hè, những đứa trẻ bắt đầu suy nghĩ theo các hướng khác nhau chứ không phải là suy nghĩ rập khuôn, cứng nhắc Một số phụ huynh và giáo viên nhận thức được sự chuyển biến rõ rệt và khác biệt ở con em và học sinh của mình Đó là sự sắc sảo, thông minh khi đối phó với bất kỳ loại vấn đề nào

Trong thế giới cạnh tranh hiện đại, tất cả mọi thứ đều là kinh doanh Nói một cách đơn giản, đầu tư như thế nào thì nhận được lợi nhuận như thế,

và đôi khi tăng gấp đôi đầu tư là cách sớm nhận được lợi nhuận Tất cả mọi người đều hiểu rõ câu nói này Vì vậy, để các bậc phụ huynh được hài lòng, tôi xin mạnh dạn nói rằng: "Trẻ em sẽ được hưởng lợi từ các công thức Toán Vedic, đặc biệt là khi các em dự thi ACT, SAThoặc các kỳ thi mang tính cạnh tranh cao khác Vì thời gian làm bài là yếu tố cốt yếu trong các kỳ thi mang tính cạnh tranh cao, các em có thể tiết kiệm được thời gian khi giải một bài toán này để có thể tiết kiệm được thời gian khi giải những bài toán khác".Và chúng ta nên hiểu rằng, Toán Vedic không phải là Toán học đơn giản, mà nó vượt ra ngoài Toán

Từ đó cần có một giải pháp để xóa đi nỗi “sợ” học toán của người học đồng thời làm tăng tốc độ tính toán cho người học mà không cần tới giấy bút cũng như máy tính điện tử Chúng ta có thể làm gì để giúp các em thoát khỏi nỗi sợ này?Và làm thế nào để giúp các em vui tươi nhẹ nhàng đi vào thế giới số,thấy Thế giới số thật giản dị và trong sáng Chỉ với một vài qui tắc đời thường các em có thể tính toán với các số dài hàng chục chữ số, viết nhanh được các bảng số diệu kì, đoán được ngày sinh của bạn bè và những người thân trong gia đình, nhận biết được các đồ vật và nhân vật yêu thích

Toán Vedic ra đời tại Ấn Độ, là hệ thống Toán học cổ xưa của người

Ấn Độ, được Sri Bharati Tirthaji (1884-1960) tái phát hiện từ kinh Veda và trình bày lại vào khoảng những năm 1911-1918 của thế kỷ XX Toán Vedic

được áp dụng cho mọi lĩnh vực Một số bài toán phức tạp và toán nâng cao có thể giải được bằng phương pháp Toán Vedic một cách dễ dàng và nhanh hơn

ít nhất là 10-15 lần so với các phương pháp thông thường [3]

Có lẽ đặc điểm nổi bật nhất của Toán Vedic là sự mạch lạc của nó Thay vì một mớ kỹ thuật lộn xộn chẳng liên quan với nhau, toàn bộ hệ thống Toán Vedic có sự liên quan và thống nhất rất chặt chẽ Ví dụ, phương pháp nhân tổng quát có thể dễ dàng đảo ngược để cho phép làm phép chia theo dòng ngang, và phương pháp bình phương đơn giản có thể được đảo ngược để thực hiện phép khai căn bậc hai theo dòng ngang [2] Và tất cả những điều này thật dễ hiểu.Phẩm chất thống nhất này làm cho học sinh rất thỏa mãn, và

nó làm cho việc học Toán trở nên dễ dàng, thú vị và khuyến khích sự đổi mới

Trong việc dạy Toán thông thường như hiện nay, học sinh thường chỉ

có một cách để làm một phép tính Đây là điều cứng nhắc và nhàm chán, và những học sinh thông minh và sáng tạo thường không thích như thế Khi được cho phép sử dụng nhiều phương án để giải một bài toán, bạn sẽ có rất nhiều lợi ích Bạn sẽ trở nên sáng tạo hơn Còn giáo viên sẽ được khuyến khích để đổi mới, và được học sinh hưởng ứng, yêu mến.Trong Toán Vedic có những phương pháp tổng quát luôn luôn có thể áp dụng, ví dụ như một phương pháp nhân có thể áp dụng được cho bất kỳ số nào.Nhưng Toán Vedic còn có nhiều phương pháp đặc biệt, khi một phép tính có một điểm đặc biệt nào đó thì có thể sử dụng nó để tìm ra đáp số dễ dàng hơn nhiều.Đồng thời các quy tắc của toán Vedic giúp cho người học dễ nhớ, linh hoạt sử dụng trong mọi phép tính [4].Bên cạnh đó, với những phép tính với các con số lớn, máy tính điện tử ngày nay không thể tính được, hoặc nếu có tính được thì chỉ đưa ra kết quả là những số xấp xỉ.Chính vì thế, khi sử dụng tính toán bằng các quy tắc của toán Vedic vào trong máy tính sẽ giúp cho tốc độ tính toán của máy tính một cách nhanh hơn đồng thời tăng tính bảo mật thông tin cho quá trình tính toán

B4 Nửa bên trái = 75 + 22 = 97

Em trừ đi số nhớ 5 để thu được nửa bên trái = 97 - 5 = 92

Sau đó em trừ thêm 1:

nửa bên trái = 92 – 1 = 91

B5 Kết quả: 9150

Từ đầu thập kỷ bảy mươi của thế kỷ trước sự ra đời của máy tính điện

tử đã tạo ra một bước ngoặt mới cho việc áp dụng toán học vào xã hội, và ở một mức độ nào đó thì máy tính đã giúp ích con người rất nhiều, tuy nhiên lệ thuộc quá nhiều vào máy tính, con người dần mất đi khả năng tư duy cũng như tính toán nhanh Do đó cần phải phát triển tư duy và khả năng tính toán nhanh cho các em học sinh sinh viên là cần thiết

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

3 Hướng nghiên cứu của đề tài

Tìm hiểu Toán Vedic và các ứng dụng của của toán Vedic đối với các ngành khoa học khác Tìm hiểu các tính toán và khả năng vận dụng các

thuật toán Vedic trong chuyên ngành khoa học máy tính

Xây dựng chương trình hướng dẫn và giúp các em học sinh có thể kiểm tra trắc nghiệm kết quả tính toán đối với các bài toán số lớn

4 Những nội dung nghiên cứu chính

Phần mở đầu

Chương 1 Tổng quan về toán Vedic

1.1.Giới thiệu về toán Vedic

1.2.Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic

Chương 2 CÁC QUY TẮC TOÁN VEDIC

Chương 3.CHƯƠNG TRÌNH THỰC NGHIỆM

KẾT LUẬN

5 Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài, cácphương pháp nghiên cứu dự kiến được sử dụng:

- Tổng hợp, phân tích và đánh giá các kết quả lý thuyết, các ứng dụng, các nghiên cứu trong nước và thế giới trong lĩnh vực tính toán nhanh

- Phương pháp phân tích đối với các số lớn, thử nghiệm và thực nghiệm trên máy tính để từ đó rút ra các đặc thù, các quy luật

- Đối sánh kết quả nghiên cứu của mình với các tác giả khác để từ đó rút

ra quy luật chung

- Kế thừa tối đa những kết quả nghiên cứu đã có ở trong nước và trên thế giới

- Nghiên cứu, đề xuất các phương pháp lý thuyết bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn

+Nội dung nghiên cứu: tập trung nghiên cứu một số quy tắc toán Vedic

6 Ý nghĩa khoa học của đề tài

Luận văn có ý nghĩa trên cả hai phương diện về mặt thực tiễn và khoa học như sau:

+ Phương diện thực tiễn: cung cấp cho học sinh các kỹ năng cơ bản về tính toán nhanh, góp phần giải các bài toán số lớn một cách nhanh chóng và chính xác

+ Về phương diện khoa học: đề tài đóng góp một số tổ hợp các quy tắc toán, phối hợp giữa các quy tắc toán với nhau để giải các bài toán một cách nhanh chóng

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ TOÁN VEDIC 1.1.Giới thiệu về toán Vedic (hay còn gọi là toán Vệ Đà)

Vệ Đà nghĩa là kiến thức.“Từ” này thuộc tiếng Sanskrit và suy từ động

từ gốc “vid”, nghĩa là “biết”.Nguyên thủy các kinh Vệ Đà được kết hợp bằng tiếng Sanskrit.Có hai loại Sanskrit, vaidika và laukika Tiếng Sanskrit trong

Vệ đà được gọi là “vaidika” và phức tạp hơn về cả hai, văn phạm cũng như cách dùng, nhất là với một số từ tìm thấy trong các kinh Vệ Đà Tiếng Sanskrit được biết nhiều trên thế giới và phổ thông được gọi là “laukika”.Đó

là ngôn ngữ của các sắc dân puranas và itihasas Các kinh Vệ Đà không cho biết nhiều về nguồn gốc hay mục đích của chính chúng, và chúng không được quan tâm bởi các trường phái Tây phương, họ cho chúng là những tín đồ và thần học bán khai Phần kinh điển Vệ Đà được ca tụng và biết đến nhiều nhất không nghi ngờ gì là Rg-Vệ Đà Từ “rg” là do động từ gốc “rc”, nghĩa là “cầu nguyện” Cũng từ động từ gốc này, dẫn ra danh từ cái “rc”, có nghĩa là “Cầu nguyện” hay “ngâm vịnh”, đặc biệt là câu ngâm vịnh dâng hiến trong lời cầu nguyện của thánh thần Vậy ta có thể hiểu nghĩa trực tiếp của Rg-Vệ Đà

là“Kiến thức của sự dâng nguyện” hay, như thường được định nghĩa trong từ điển, “Vệ Đà của sự nguyện cầu”

1.2.Lịch sử hình thành và phát triển của toán Vedic

Toán học Vedic là tên được đặt cho hệ thống cổ xưa của Toán học Ấn

Độ mà đã được phát hiện từ kinh Vệ Đà giữa năm 1911 và năm 1918 của Shri Bharati Krishna Tirthaji (1884-1960) Theo nghiên cứu của ông tất cả các toán học dựa trên mười sáu kinh điển, hay các công thức Các công thức mô

tả một cách tự nhiên các hoạt động trong đời sống của con người, do đó nó là một trợ giúp lớn trong việc chỉ đạo các học sinh, đưa ra các giải pháp tối ưu giúp học sinh dễ dàng hiểu và vận dụng hơn

Để hiểu rõ toán Vedic là gì, nguồn gốc và mục đích của chúng ra sao, tốt nhất chúng ta hãy thử nghiên cứu một số lời kinh tiêu biểu trích trực tiếp

trong văn hóa Vệ Đà để minh tường giải thích những vấn đề này Trong những trường phái triết học Tây phương, người ta có khuynh hướng không quan tâm đến chính những câu kinh xác định sở quyền mà kinh Vệ Đà đã tự minh định, mà trái lại hay đi tìm tác giả đã sáng tác kinh Vệ Đà, thời kỳ, nơi chốn, và mục đích

Sri Bharati Krishna Tirthaji là nhà tiên tri, nhà triết học, nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại người Ấn Độ Ông đã sáng lập ra môn Toán Vedic, từng giữ những vị trí lãnh đạo nhiều tổ chức tôn giáo Hindu, và được coi là người tông đồ kế tục xuất sắc sự nghiệp của Adi Shankara (nhà triết học vĩ đại nhất của Ấn Độ sống vào thế kỷ VIII).Bhart Krishna sinh ngày 14 tháng 3 năm

1884 tại Tinnievelly, vùng Tamil Nadu, Ấn Độ, trong một gia đình sùng đạo Ông đã nổi tiếng là một thần đồng trướckhi được coi là một vị thánh

Tháng 7 năm 1899, ông được tặng danh hiệu "Saraswati" (tên của Nữ thần tri thức, âm nhạc, nghệ thuật và khoa học) của Hiệp hội tiếng Phạn ở Madras vì có trình độ uyên thâm và tài năng hùng biện bằng tiếng Phạn Ông

có một lý lịch khoa học rực rỡ với các tấm bằng thạc sĩ khoa học (MSc) trong sáu môn khoa học - tiếng Phạn, tiếng Anh, Lịch sử, Triết học, Toán học và Khoa học sau khi theo học tại Trung tâm Bombay của Trường đại học Khoa học Rochester của Mỹ, có trụ sở chính ở New York

Sau một thời gian học tập xuất sắc trong các trường đại học, ông trở thành giảng viên Toán học và Khoa học tại trường đại học Baroda Sau đó ông trở thành hiệu trưởng Trường Cao đẳng quốc gia Rajamundary ở Andhra Pradesh, Ấn Độ

Năm 1905, khi phong trào Tự do bắt đầu ở Bengal, Sri Bharati Krishna Tirthaji tham gia phong trào tự do cùng với Shri Aurobindo Ghosh và Gopal Krishna Gokhale - một nhà dân tộc chủ nghĩa rất hăng hái Bharati Krishna đã viết bài cho nhiều tờ báo để tuyên truyền về phong trào Tự do Vào năm

1908, ông được bổ nhiệm làm "Người đứng đầu nhóm Những đứa con của Ấn Độ" do Tiến sĩ Annie Besant thành lập

Hình như có sự thôi thúc mang tính đạo đức trong Bharati Krishna là phải dâng hiến đời mình để phục vụ nhân loại, và ông phải trở thành con người có thể phục vụ nhân loại chỉ sau khi đạt được Tự giác ngộ Do đó, năm

1909, ông hành hương đến Đền thiêng Shringeri để được tự giác ngộ dưới chân của Đức thánh Sachchidananda Shivabhinava Narasimha Bharati

Trong những năm từ 1911-1918, Bharati Krishna đã thực hành thiền định sâu

và nghiên cứu các môn khoa học siêu hình và kinh Vệ Đà.Ông phải thực hành một cuộc sống khắc khổ của một vị thánh Ông đã duy trì một cuộc sống hoàn toàn thánh thiện bằng việc chỉ ăn rau, củ, quả Cuộc sống của ông là thiền định liên tục, và ông đã dâng hiến cuộc đời cho việc nghiên cứu triết học Vedanta (một trong 6 trường phái triết học của Ấn Độ) và ở lỳ trong rừng để thiền định sâu và đạt được các thành tựu tâm linh

Trong sự cô đơn, ông đã nhận thức được các câu cách ngôn Ganita hay còn gọi là Công thức làm toán dễ dàng, rồi ông biên soạn thành một tác phẩm hoành tráng là "Toán Vedic", một đóng góp độc đáo cho lĩnh vực Toán học và nghiên cứu Bharati Krishna nắm được mã khóa để mở các mật mã trong trong kinh Atharva Veda và tái tạo Toán Vedic với sự giúp đỡ của phương pháp từ điển học Ông đã tìm ra "Mười sáu câu kinh" (còn gọi là các công

thức) bao phủ tất cả các lĩnh vực của Toán học như Số học, Đại số, Hình học, Lượng giác, Vật lý, hình học phẳng và Hình học không gian, nghiên cứu hình nón, Toán tính, gồm cả vi phân và tích phân, được ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Động lực học, Thủy tĩnh học, v.v…

Sau đó, tháng 7 năm 1919, ông được Shri Trivikram Teerthaji ở Varanasi kết nạp vào giáo phái Sanyas, và kể từ đó ông chính thức được gọi với cái tên mới là "Shri Bharati Krishna Tirtha" Là một tín đồ trung thành với các nguyên tắc Vệ Đà nên ông không bao giờ xa rời các nguyên tắc đó

Ôngđược Shri Trivikram Teerthaji bổ nhiệm làm người đứngđầu Dwarkapeeth vào năm 1921 Kể từ đó, ông bắt đầu cuộc sống của một Shankaracharya và thuyết giảng ở bất cứ nơi nào ông đến

Chương II: Bộ các quy tắc toán Vedic 2.1 Phép nhân trên hệ thập phân

Trong toán học Vedic có 3 phương pháp để thực hiện phép nhân Trong

số ba có một phương pháp chung mà có thể được áp dụng cho tất cả các trường hợp trong khi hai khác là trường hợp đặc biệt đó là đơn giản để giải quyết Như mục đích chính của toán họcVedic là để có thể giải quyết tính toán phức tạp bằng các kỹ thuật đơn giản mà có thể được thực hiện được cả

về mặt tinh thần, và cần rất ít đến các công thức của toán tính phức tạp, gây khó khăn cho người dùng

Trong khi các ông bố, bà mẹ ở các nước khác đang lo lắng vì thấy đứa con nhỏ của mình vất vả mãi mà chưa học thuộc hết các bảng cửu chương, từ bảng 2x đến bảng 9x, thì trẻ em Ấn Độ đã thuộc nằm lòng các bảng nhân đến

19 19 rồi Có lẽ vì thế mà những năm gần đây đất nước Ấn Độ phát triển

nhanh như vậy “Bảng cửu chương” của Ấn Độ được tính từ 1 đến 19 (có lẽ

phải gọi là “Bảng thập cửu chương” thì mới đúng) Nhưng các bạn có biết người Ấn Độ ghi nhớ các con số từ 11 đến 19 như thế nào không?

Chúng ta hãy thử tính kết quả của phép nhân 13 12 = ? theo cách sau

nhé:

Bước 1: Lấy số bị nhân 13 cộng với số hàng đơn vị của số nhân là

Bước 2: Lấy kết quả ở bước thứ nhất nhân với 10 (cũng có nghĩa là

thêm số 0 sau con số đó): 15 10 150

Bước 3: Lấy số hàng đơn vị của số bị nhân (là 3) nhân với số hàng đơn

vị của số nhân (là 2):

Bước 4: Lấy kết quả ở Bước 2 cộng với kết quả ở Bước 3 sẽ ra kết quả

cuối cùng: (13+2) 10 + 6 = 156

Với cách làm như vậy, chỉ cần để ý một chút là chúng ta có thể nhanh chóng tính ra đáp án của các phép tính từ 11x11 đến 19x19 rồi đấy Chúng ta hãy thử làm thêm các phép tính sau xem sao:

14x13=? 16x17=? 19x19=?

Bước 1 14+3=17 16+7=23 19+9=28

Bước 2 17x10=170 23x10=230 28x10=280 Bước 3 4x3=12 6x7=42 9x9=81

Bước 4 170+12=182 230+42=272 280+81=361

Đây là phép tính nhẩm đơn giản, chủ yếu là dạy cho học sinh cấp 1 Còn các bậc phụ huynh thì ngoài việc biết cách nhân nhẩm nhanh này ra thì cũng nên hiểu thêm một chút về nguyên lý của nó.Dưới đây là sơ đồ biểu diễn cách tính độc đáo này thông qua hình học phẳng

Vẽ một hình chữ nhật có chiều dài 13 và chiều rộng 12 (không cần tính đến đơn vị đo, chỉ cần tỷ lệ tương đối là được) Men theo các cạnh của hình chữ nhật vẽ hình vuông với độ dài các cạnh là 10 Như hình vẽ biểu thị, khi chúng ta chuyển hình chữ nhật bị bôi xanh sang vị trí mới (theo hình mũi tên) thì hình chữ nhật ban đầu với kích thước 13x12 sẽ biến thành một hình mới

có hai phần: một hình chữ nhật lớn có kích thước 15x10 và một hình chữ nhật nhỏ có kích thước 3 2 Như vậy, diện tích hình vẽ mới bằng tổng diện tích của hai hình chữ nhật lớn và nhỏ

- Diện tích hình chữ nhật lớn là 15 10 = 150 Tương ứng với Bước 1

và Bước2

- Diện tích hình chữ nhật nhỏ là 3 2 = 6 Tương ứng với Bước 3

- Diện tích hình vẽ mới là 150 +6 = 156.Tương ứng với Bước 4

Nói là làm 4 bước xem ra có vẻ lâu, nhưng thực ra đó là chia nhỏ các phép tính để tính nhẩm trong đầu cho nhanh Nhìn lướt qua là đã tính được 3 bước đầu rồi, chỉ có phép cộng cuối cùng (tùy theo phép tính) thì có lẽ hơi lâu một chút Nếu thực hành quen rồi thì thời gian làm xong mỗi phép tính nói trên có lẽ không quá 10 giây

2.1.1 Nhân theo cơ sở lũy thừa 10 (tròn chục)

Em đã biết

* Các số gồm số 1 tiếp theo là dãy số 0 được gọi là các số tròn chục hay các số lũy thừa 10

Thí dụ 10, 100, 1000, … là các số tròn chục

* Khi nhân hai số A và B để thu được số C, em viết: A B = C

Em gọi hai số A và B là hai thừa số

Em gọi kết quả C là tích số

Qui tắc

Muốn nhân hai số em theo qui tắc 5 bước sau đây:

B1 Em xác định cơ sở dạng 10, 100, 1000… gần nhất với hai thừa số

B2 Em xác định phần lệch của hai thừa số so với cơ sở Nếu thừa số nhỏ thua

cơ sở thì em gọi phần lệch là phần hụt: phần hụt = cơ sở thừa số

B3 Kết quả sẽ được ghép từ hai nửa: nửa trái T và nửa phải P

Em tính nửa phải P:

B3.1 Em xác định chiều dài của nửa phải: có bao nhiêu số 0 trong cơ sở thì nửa phải có ngần ấy chữ số

B3.2 Em tính trị của nửa phải P = tích hai phần hụt

B4 Em tính trị của nửa trái T = thừa số này – phần hụt của thừa sốkia

B5 Ghép nửa trái với nửa phải để nhận kết quả : T | P

Em viết qui trình tính toán nhƣ sau:

Nhân theo cơ sở 3

d) 100 x89 = ? (Dĩ nhiên em biết ngay kết quả là 8900) Em thử làm:

Cơ sở = 100 Nửa phải có 2 chữ số

100 – 0

89 – 11

89 | 00 (vì nửa phải có 2 chữ số nên em viết 00)

Em cộng thêm số nhớ 5 để thu đƣợc nửa trái: 55 + 5 = 60

*Nếu nửa phải có nhiều chữ số hơn qui định thì em cắt bớt các chữ

số thừa bên trái làm số nhớ cộng sang nửa trái

Em viết qui trình tính toán như sau:

Cơ sở = 100 Nửa phải có 2 chữ số

120 + 20

125 + 25

145 | (5)00 = 145+5

c Nhân với phần hụt và phần dôi

Nếu một thừa số lớn hơn cơ sở, thừa số kia nhỏ hơn cơ sở thì em cũng theo qui tắc 5 bước như trên, chỉ sửa chút ít như sau:

Qui tắc

Muốn nhân hai số theo phần hụt (-) và phần dôi (+) em theo qui tắc 5 bước sau đây:

B1 Em xác định cơ sở dạng 10, 100, 1000… gần nhất với hai thừa số

B2 Em xác định phần lệch của hai thừa số so với cơ sở Nếu thừa số lớn hơn

cơ sở thì em tính:

phần dôi = thừa số - cơ sở

và ghi dấu + vào phần dôi

Nếu thừa số nhỏ thua cơ sở thì em tính:

phần hụt = cơ sở - thừa số

và ghi dấu - vào phần hụt

B3 Kết quả sẽ được ghép từ hai nửa: nửa trái T và nửa phải P Em tính nửa phải P:

B3.1 Em xác định chiều dài của nửa phải: có bao nhiêu số 0 trong cơ sở thì nửa phải có ngần ấy chữ số

B3.2 Em tính trị của nửa phải P = phần dôi +phần hụt

Em nhớ bù thêm số 0 vào P cho đủ chiều dài qui định

Em tính số bù chục cho nửa phải P

B4 Em tính trị của nửa trái:

T = thừa số này + phần dôi của thừa số kia – 1

hoặc

(B – a – 1) | (a xb)*

A + a

B – b (A – b – 1) | (a xb)*

hoặc (B + a – 1) | (a xb)*

-1 | 28 (bù chục của 72)

105 | 28

Vậy, 94 x112 = 10528

2.1.2Luật Nikhilam

Công thức đầu tiên được xem xét là Nikhilam Navatascharam Dashtah

có nghĩa là tất cả các từ 9 và cuối cùng từ 10.Cách giải thích chi tiết cho thủ tục như sau: Chúng ta sẽ bắt đầu từ nhân đơn giản của 7 x 8 và sau đó di chuyển dần dần về cách tính các số lớn

7 7 -3

8 8 -2

56 5 /6 Hình 2.1.1 - Ví dụ về Nikhilam

1 Có cơ sở tính toán như sức mạnh của 10 là gần nhất với số bị nhân và số nhân M và N Trong trường hợp xem xét ở trên nó được, nói B, 10

n và lưu ý hai dư như nói m và n trong trường hợp này họ là -3 và -2 tương ứng

3 Sản phẩm này sẽ có hai phần Đây được hiển thị bằng cách tách "/" Phần bên phải là thu được bằng phép nhân của hai dư cụ thể là m và n

R = m x n

Đây 2 x 3 = 6

4 Phần còn lại có thể thu được bằng các phương pháp khác nhau như sau

a Trừ cơ sở B từ tổng của hai số M và N

c Chéo thêm phần còn lại với số ân đó có thể là M + n hoặc N + m

L = M + n hoặc L = N + m

Ta sẽ có 8-3 = 5 hay 7 - 2 = 5

5 Câu trả lời là thu được bằng cách chỉ ghép một phần trái và phải như LR, kết quả là 56

Mặc dù phương pháp này được áp dụng cho tất cả các trường hợp Tuy nhiên

nó vẫn phụ thuộc chủ yếu vào sự “quen thuộc” hay độ lớn của số bị nhân và

số nhân so với số tròn 10

Hình minh họa đại số của phương pháp này là như sau:

(x-a) * (x-b) = x (x-a) – b (x-a)

= x (x-a) – bx + ab

= x (x – a – b) + ab

Ở đây x hành vi như cơ sở B được quyết định vào lúc bắt đầu của quá trình Trong phương pháp sản phẩm này ab được giới hạn số lượng chữ số bằng sức mạnh mà 10 phải được nâng lên để có được cơ sở.Nếu sản phẩm có nhiều chữ số sau đó các chữ số thêm được thêm vào bên trái có mặt Trong hình minh họa sau đây như là cơ sở trong 10, do đó cho phép chữ số ở bên phải được giới hạn trong 1 Nhưng vì có 2 chữ số thêm chữ số được thêm vào bên trái để có được chính xác

cụ thể ở đây lần lượt là +3 và +5, ta có kết quả là 3 x 5 = 15.Vì 2 số đều có phần dôi sô với số tròn 10 nên ta gọi 2 số này là 2 số tích cực, tổng của 2 phần dôi là 3 + 5 =8 Có nghĩa là tổng của 2 số trên so với số tròn 10 là +8 Và ta

có kết quả như trên Trong hình minh họa dưới đây thì sản phẩm là tích của 1

số có phần dôi và 1 số có phần hụt, tổng phần dôi hay phần hụt ở đây so với

số tròn 10 phụ thuộc vào phần dôi lớn hơn hay phần hụt lớn hơn

121 121 +21

93 93 -7

11253 114 -147

= 112 / 200 – 147 = 112 / 53

= 11253 Hình 2.1.5 - Ví dụ về Nikhilam

Một trường hợp nữa cần được xem xét, cũng như quá trình nhân lên của

dư cấu thành phần bên phải của sản phẩm có thể chứa chữ số hơn cho phép,

và nó tương tự có thể mang lại một sản phẩm của dư với số ít hơn con số quy định.Điều này có thểdễ dàng xử lý bằng cách thêm số lượng thích hợp của sốkhông

và câu trả lời chính xác thu được bằng cách kết hợp hai sản phẩm Minh họa khác được hiển thị dưới đây

dư một cách nhanh chóng Trong phần còn lại minh họa sau đây cho nhân đầu tiên thu được bằng cách trừ đi tất cả các chữ sốtừ 9 nhưng số cuối cùng từ 10

Hình 2.1.9 - Ví dụ về Nikhilam Siêu bình thường - Nhân của dư chứa nhiều chữ số

2.1.3 Anurupyena

Giảm trừ trong tính toán cho phép nhân bởi Nikhilam chỉ phụ thuộc vào

sự gần gũicủa số bị nhân và số nhân, nếu không cả hai ít nhất một, để các cơ

sở đó có phải là sức mạnh của 10, trong trường hợp cả số nhân và số bị nhân không ở gần số tròn 10 Với trường hợp này, toán học Vedic có một phương pháp rất tiện ích để áp dụng đối với các trường hợp này.Anurupyena có nghĩa

là tương xứng.Trong ý nghĩa ứng dụng nó có nghĩa là trong khi xem xét các

cơ sở và tính toán của phần bên trái của phép nhân, một hợp lý tương xứng có thể được sử dụng để giảm các tính toán.Nói cách khác, trong khi tính toán các

số bị nhân và số nhâncó thể được kết hợp nhiều các phép tính toán hợp lý của nhiều cặp số với các số tròn 10 tương ứng, như thế phép tính có thể trở lên đơn giản hơn Ví dụ, nếu một phép toán thích hợp được tìm thấy lần k sức mạnh của 10, phần bên phải có đểđược nhân lần k để tính toán câu trả lời Giả

sử chúng ta phải nhân 43 x 49, bởi Công thức Nikhilam, nhân này chuyển thành nhân 57 × 51 cho phần bên trái và phần bên phải cũng có hai con số lớn hơn Điều này xảy ra khi cả hai số là xa so với bội số của 10 Với một số quan sát chúng ta có thể nói rằng cơ sở 50 có thể có hiệu quả vì nó gần gũi hơn với

ít nhất một trong các số ân, ở đây là gần gũi hơn với cả hai

Với hệ quả này, chúng tôi làm cho các cơ sở phù hợp theo bội số sức mạnh của 10, ở đây nhiều là ½ Trong khi tính toán phần bên trái liên tục này phải được nhân với sốthu được bằng cách chéo thêm số ân với phần còn lại

Lưu ý: Trong khi nối tất cả các quy định đã nêu trong phần trước về tiểu bình

thường, phi thường sản phẩm phải được tuân theo Câu trả lời chính xác có thể thu được bằng cách lựa chọn khác nhau của cơ sở Nếu chúng ta giả định

cơ sở ban đầu là 10, và căn cứ tính như 50 thì k = 50/10 = 5

Cơ sở = 10 × 5 = 50; k = 5 cơ sở ban đầu = 10