phát triển các kỹ thuật nhánh cận và ứng dụng

Việc truyền đạt các kiến thức về một số giải thuật như: quay lui, nhánh cận, quy hoạch động, tham lam, các giải thuật trên đồ thị … là rất cần thiết cho học sinh trường Chuyên cũng như t

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG

Phạm Chí Hiếu

PHÁT TRIỂN CÁC KĨ THUẬT NHÁNH CẬN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

i

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kết quả trong luận văn là trung thực, và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ tài liệu nào khác

Tôi xin cam đoàn rằng mọi sự giúp đỡ để hoàn thành luận văn này đã đƣợc cảm ơn Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc

Học viên thực hiện luận văn

Phạm Chí Hiếu

ii

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

DANH MỤC CÁC HÌNH iv

MỞ ĐẦU 1

1 Đặt vấn đề 1

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

3 Hướng nghiên cứu của đề tài 2

LỜI CẢM ƠN 3

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN 4

1.1 Giới thiệu chung 4

1.2 Ý tưởng của thuật toán 5

1.3 Kĩ thuật tỉa nhánh 10

1.4 Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui 11

1.5 Kết luận 13

CHƯƠNG II ÁP DỤNG KĨ THUẬT NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN 14

2.1.Các bài toán khó 14

2.2 Bài toán Ba lô 16

2.2.1 Bài toán: 16

2.2.2 Phân tích bài toán Ba lô 17

2.2.3 Chương trình minh họa 22

2.3 Bài toán người du lịch (TSP) 25

2.3.1 Bài toán 25

2.3.2 Phân tích bài toán TSP 26

2.3.3 Chương trình minh họa 27

2.3.4 Cải tiến 29

2.4 Bài toán đổi tiền (ATM) 35

iii

2.4.1 Bài toán 35

2.4.2 Phân tích bài ATM 35

2.4.3 Chương trình minh họa 36

2.5 Bài toán dãy ABC 40

2.5.1 Bài toán 40

2.5.2 Phân tích bài toán 40

2.5.3 Chương trình minh họa 41

2.6 Kết luận 44

CHƯƠNG 3 ỨNG DỤNG PHÁT TRIỂN NHÁNH CẬN 45

3.1 Thủ tục rút gọn 46

3.2 Thủ tục chọn cạnh phân nhánh (r,c) 50

3.3 Mô hình thuật toán 53

KẾT LUẬN 55

TÀI LIỆU THAM KHẢO 56

iv

DANH MỤC CÁC HÌNH

Hình 1 Giải bài toán ba lô bằng nhánh cận 21

Hình 2 Giải bài toán người du lịch 31

Hình 3 Mô hình phân nhánh 46

Hình 4 Minh họa rút gọn hành trình 49

Hình 5 Minh họa rút gọn hành trình 2 51

Với học sinh phổ thông ở trường chuyên phải được trang bị các kiến thức cơ sở về các loại cấu trúc dữ liệu và trang bị các kiến thức tiên tiến nhất

về giải thuật Việc truyền đạt các kiến thức về một số giải thuật như: quay lui, nhánh cận, quy hoạch động, tham lam, các giải thuật trên đồ thị … là rất cần thiết cho học sinh trường Chuyên cũng như trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các trường THPT (trung học phổ thông) để phát triển tư duy và lập trình giải các bài toán tin học Hình thành những nét cơ bản của nghệ thuật đoán nhận giải thuật và nghệ thuật lập trình Tạo lập và củng cố lòng say mê tìm hiểu và khám phá cho học sinh khi giải các bài toán tin

Để giải một bài toán thông thường có nhiều cách tiếp cận Mỗi cách tiếp cận khác nhau cho kết quả với độ tối ưu khác nhau Với nhiều bài toán việc tìm ra giải thuật tối ưu không phải việc đơn giản, do đó một kĩ năng cần thiết

để giải được một bài toán hoàn chỉnh là phải giải được bài toán ở kích thước

dữ liệu vừa phải Đây là sẽ những bộ dữ liệu thử mang tính định hướng chiến lược cho việc giải bài toán Có rất nhiều bài toán, đặc biệt là bài toán tối ưu,

2

có thể giải ngay bằng thuật toán duyệt toàn bộ hoặc một phần của một bài toán lớn Với phương pháp duyệt toàn bộ, điển hình là thuật toán quay lui có một nhược điểm đó là độ phức tạp bài toán thường lớn, do đó kích thước bài toán giải được rất hạn chế Để khắc phục nhược điểm chúng ta thường phải áp dụng kết hợp kĩ thuật nhánh cận (nhánh và cận)

Việc áp dụng kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán bài toán thường khá

trừu tượng và khó hiểu với học sinh THPT Làm thế nào để có thể xây dựng

được một “cận” để có thể đánh giá được “độ tốt” của “nhánh” đang xét ? Làm thế nào có thể kết hợp kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán duyệt quay lui hiệu quả ? Do đó tôi thấy việc phân tích, đánh giá và định hướng cách

tiếp cận một bài toán bằng kĩ thuật nhánh cận là rất cần thiết Từ đó nâng cao chất lượng của việc dạy và học cho học sinh

Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Phát

triển các kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng”

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Kĩ thuật nhánh cận và ứng dụng để giải một số bài toán liệt kê và tìm phương án tối ưu

3 Hướng nghiên cứu của đề tài

- Giới thiệu tổng quan kĩ thuật nhánh cận và các kỹ thuật liên quan

- Tổ chức bài toàn theo kĩ thuật nhánh cận

- Cách đánh giá cận của các bài toán khác nhau

- Cài đặt chương trình cho một số bài toán

để em học thêm đƣợc nhiều kinh nghiệm và sẽ hoàn thành tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

4

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN KĨ THUẬT NHÁNH CẬN

1.1 Giới thiệu chung

Một trong những bài toán đặt ra trong thực tế là việc tìm ra một nghiệm thoả mãn một số điều kiện nào đó, và nghiệm đó là tốt nhất theo một chỉ tiêu

cụ thể, nghiên cứu lời giải các lớp bài toán tối ưu thuộc về lĩnh vực quy hoạch toán học Tuy nhiên cũng cần phải nói rằng trong nhiều trường hợp chúng ta chưa thể xây dựng một thuật toán nào thực sự hữu hiệu để giải bài toán, mà cho tới nay việc tìm nghiệm của chúng vẫn phải dựa trên mô hình liệt kê toàn bộ các cấu hình có thể và đánh giá, tìm ra cấu hình tốt nhất Việc liệt kê cấu hình có thể cài đặt bằng các phương pháp liệt kê: Sinh tuần tự và tìm kiếm quay lui

Thuật toán quay lui (backtracking) là chiến lược tìm nghiệm bài toán

bằng cách xét tất cả các phương án có thể Đó là một quá trình tìm kiếm theo

độ sâu trong một tập hợp các lời giải Trong quá trình tìm kiếm, nếu ta gặp một hướng lựa chọn không thỏa mãn, ta quay lui về điểm lựa chọn nơi có các hướng khác và thử hướng lựa chọn tiếp theo Khi đã thử hết các lựa chọn xuất phát từ điểm lựa chọn đó, ta quay lại điểm lựa chọn trước đó và thử hướng lựa chọn tiếp theo tại đó Quá trình tìm kiếm thất bại khi không còn điểm lựa chọn nào nữa Đây là một thuật toán có thể áp dụng để giải rất nhiều bài toán với kích thước dữ liệu thích hợp Ưu điểm của thuật toán là đảm bảo tìm ra nghiệm đúng chính xác Tuy nhiên, hạn chế là độ phức tạp thường lớn

Mô hình thuật toán quay lui là tìm kiếm trên một cây phân cấp Nếu giả thiết rằng ứng với mỗi nút tương ứng với một giá trị được chọn cho x[i] sẽ ứng với chỉ 2 nút tương ứng với 2 giá trị mà x[i+1] có thể nhận thì cây n cấp

sẽ có tới 2n

nút lá, con số này lớn hơn rất nhiều lần so với dữ liệu đầu vào n

đó gọi là kỹ thuật đánh giá nhánh cận trong tiến trình quay lui

Kĩ thuật Nhánh cận (Nhánh và cận – Branch and Bound) giúp chúng ta

đánh giá được nghiệm, do có thể cắt bỏ đi những phương án (nhánh) không cần thiết, việc tìm nghiệm tối ưu sẽ nhanh hơn, cải thiện được độ phức tạp thuật toán

Những bài toán tìm một nghiệm, liệt kê hoặc bài toán tối ưu là những lớp bài toán có thể giải bằng Kĩ thuật Nhánh cận

1.2 Ý tưởng của thuật toán

Nhánh cận là kỹ thuật xây dựng cây tìm kiếm phương án tối ưu, nhưng không xây dựng toàn bộ cây mà sử dụng giá trị cận để hạn chế bớt các nhánh Phương án là các khả năng có thể của bài toán, những phương án thỏa yêu cầu được gọi là nghiệm của bài toán

Trong quá trình duyệt qua tất cả các phương án của bài toán, từ một nút

có thể phát sinh ra nhiều nút con khác nhau, mỗi nút con này có thể có nhiều nút con khác nữa Do đó, mỗi nút con này sẽ lại là gốc của một cây con Quá trình tìm kiếm này sẽ tạo ra một cây tìm kiếm Nếu ta có thể đánh giá để cắt

bỏ đi một nhánh con không khả thi thì số lượng phương án phải duyệt sẽ giảm

đi đáng kể

Với mỗi nút trên cây ta sẽ xác định một giá trị cận Giá trị cận là một giá trị gần với giá của các phương án Với bài toán tìm Min ta sẽ xác định cận

6

dưới, còn với bài toán tìm Max ta sẽ xác định cận trên Cận dưới là giá trị nhỏ hơn hoặc bằng giá của phương án, ngược lại cận trên là giá trị lớn hơn hoặc bằng giá của phương án

 Để giải bài toán tốt ta phải xác định cận càng sớm càng tốt

Ta sẽ mô tả chi tiết tư tưởng của thuận toán trên mô hình bài toán tối ưu

Với giả thiết về tập D ở trên, ta có thể sử dụng thuật toán quay lui để liệt

kê các phương án của bài toán Trong quá trình liệt kê theo thuật toán quay lui, ta sẽ xây dựng dần các thành phần của phương án Một bộ k thành phần (a1, a2, …, ak) xuất hiện trong quá trình thực hiện thuật toán sẽ gọi là phương

án bộ phận cấp k – Tiền tố của phương án

Thuật toán nhánh cận có thể áp dụng để giải bài toán đặt ra nếu như có

thể tìm được một hàm g xác định trên tập tất cả các phương án bộ phận của

bài toán thỏa mãn bất đẳng thức sau:

g(a 1 , a 2 , …, a k ) min {f(x): x D, x i = a i , i = 1, 2, …, k} (*)

với mọi lời giải bộ phận (a1, a2, …, ak) và với mọi k = 1, 2, …

Bât đẳng thức (*) có nghĩa là giá trị của hàm g tại phương án bộ phận (a1, a2, …, ak) là không vượt quá giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu của bài

7

toán trên tập con các phương án Hay nói một cách khác, g(a 1 , a 2 , …, a k ) là cận dưới của giá trị hàm mục tiêu trên tập D(a 1 , a 2 , …, a k ) Do đó, hàm g

được gọi là hàm cận dưới, và giá trị g(a 1 , a 2 , …, a k ) được gọi là cận dưới của

tập D(a 1 , a 2 , …, a k ) Do có thể đồng nhất tập D(a 1 , a 2 , …, a k ) với phương án

bộ phận (a 1 , a 2 , …, a k ) nên ta cũng gọi g(a 1 , a 2 , …, a k ) là cận dưới của

phương án bộ phận (a 1 , a 2 , …, a k )

Giả sử rằng đã có hàm g Ta xét cách sử dụng hàm này để giảm bớt khối lượng duyệt trong quá trình liệt kê các cấu hình tổ hợp (các phương án) của bài toán theo thuật toán quay lui Trong quá trình liệt kê các phương án có thể

đã thu được một số phương án của bài toán Gọi x là phương án với giá trị

hàm mục tiêu nhỏ nhất trong số các phương án đã tìm được, kí hiệu f = f( x)

Ta gọi x là phương án tốt nhất hiện có, còn f là kỷ lục Giả sử đã có f , khi

đó nếu g(a 1 , a 2 , , a k ) > f thì từ bất đẳng thức (*) ta suy ra:

f < g(a 1 , a 2 , …, a k ) min {f(x): x D, x i = a i , i = 1, 2, …, k}

Vì thế tập con các phương án của bài toán D(a 1 , a 2 , …, a k ) chắc chắn không

phải là phương án tối ưu Trong trường hợp này ta không cần tiếp tục phát

triển phương án (a 1 , a 2 , …, a k ), nói cách khác là ta có thể bỏ qua các phương

án trong tập D(a 1 , a 2 , …, a k ) trong quá trình tìm kiếm

Để dễ hình dung, ta giả sử nghiệm của bài toán có thể biểu diễn dưới

dạng một vectơ (x 1 , x 2 , , x n ), mỗi thành phần x i (i = 1,2, , n) được chọn ra từ

tập S i Mỗi nghiệm của bài toán x = (x 1 , x 2 , ,x n ) được xác định “độ tốt” bằng

một hàm f(x) và mục tiêu cần tìm nghiệm có giá trị f(x) đạt giá trị nhỏ nhất

(hoặc đạt giá trị lớn nhất)

8

Tư tưởng của phương pháp nhánh và cận như sau: Giả sử, đã xây dựng

được k thành phần (x 1 , x 2 , .,x k ) của nghiệm và khi mở rộng nghiệm (x 1 , x 2 , .,x k+1 ), nếu biết rằng tất cả các nghiệm mở rộng của nó (x 1 , x 2 , .,x k+1, …) đều không tốt bằng nghiệm tốt nhất đã biết ở thời điểm đó, thì ta không cần

Việc đánh giá các nghiệm mở rộng đề cập ở trên chính là việc ta xây

dựng hàm g trong bất đẳng thức (*) Việc xây dựng này sẽ phụ thuộc vào từng

bài toán tối ưu tổ hợp cụ thể Thông thường ta sẽ cố gắng xây dựng nó sao cho:

- Việc tính giá trị của g phải đơn giản hơn việc giải bài toán tối ưu tổ

hợp ở về phải của (*)

- Giá trị của g(a 1 , a 2 , …, a k ) phải sát với giá trị vế phải của (*)

Thuật toán nhánh cận có thể mô tả bằng mô hình đệ quy sau:

procedure BranchBound (i);

begin

<Đánh giá khả năng mở rộng các nghiệm>;

If (các phương án mở rộng đều không tốt hơn BestSol) then exit;

<Xác định S i >;

for X i S i do begin

{Thủ tục này thử chọn cho x[i] tất cả các giá trị nó có thể nhận}

procedure Try(i: Integer);

begin

for <Mọi giá trị V có thể gán cho x[i]>do

begin

<Thử cho x[i] := V>;

If <Việc thử trên vẫn còn hi vọng tìm ra cấu hình tốt hơn BestSol> then

If <x[i] là phần tử cuối cùng trong cấu hình> then

<Cập nhật BestSol>

else begin

10

<Ghi nhận việc thử x[i] = V nếu cần>;

Try(i + 1); {Gọi đệ quy, chọn tiếp x[i+1]}

<Bỏ ghi nhận việc thử cho x[i] = V (nếu cần)>; end;

đệ quy tìm tiếp hay ghi nhận kết quả làm gì Nghiệm của bài toán sẽ được làm tốt dần, bởi khi tìm ra một cấu hình mới (tốt hơn BestSolution ), ta không in kết quả ngay mà sẽ cập nhật BestSolution bằng cấu hình mới vừa tìm được

1.3 Kĩ thuật tỉa nhánh

Để có thể tỉa bớt nhánh (loại bỏ những hướng đi, trường hợp) của một bài toán liệt kê bằng đệ quy ta có nhiều phương pháp khác Nhưng chủ yếu là dựa vào những dữ liệu đã biết, kết hợp với việc phán đoán để có thể định lượng cho các giá trị cụ thể trong từng trường hợp

Định lượng để đánh giá độ tối ưu của một hướng đi (một nhánh) là một việc khó của kĩ thuật nhánh cận Người lập trình chỉ có thể đánh giá được cận

1.4 Kết hợp thuật toán nhánh cận vào thuật toán quay lui

Mô hình chung của kỹ thuật cài đặt đệ quy quay lui [1]

Procedure Try(i); //xây dựng thành phần thứ i

Với mô hình đệ quy quay lui như trên ta có thể dễ dàng nhận ra đây là

mô hình liệt kê tất cả các cấu hình nghiệm có thể của nghiệm X = (x1, x2, … ,

xn), với mỗi thành phần xi thuộc tập Si Sau khi thực hiện thử giá trị cho thành phần xi, mô hình trên sẽ tiến hành thử tiếp tất cả các giá trị cho thành phần

xi+1 Để tránh việc rẽ nhánh quá trình mà không hiệu quả ta hoàn toàn có thể tìm cách đánh giá việc đi tiếp (điền giá trị cho xi+1) có hiệu quả không tại vị trí trước dòng lệnh (1) hoặc trước dòng lệnh (2) Cụ thể như sau:

13

1.5 Kết luận

Kĩ thuật nhánh cận, cũng như nhiều kĩ thuật khác trong lập trình nó chỉ mang tính định hướng chiến lược để giải bài toán Đây là không phải là một công cụ siêu việt để có thể giải tất cả các bài toán tìm nghiệm tối ưu hay liệt

kê Do đó, khi áp dụng, đòi hỏi người lập trình phải linh hoạt kết hợp thêm

nhiều kĩ thuật, thuật toán khác nhau thì mới có thể đem lại kết quả tốt nhất

14

CHƯƠNG II ÁP DỤNG KĨ THUẬT NHÁNH CẬN CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN 2.1 Các bài toán khó

Hiện này có nhiều bài toán có thể giải bằng các thuật toán trong thời gian đa thức theo kích thước dữ liệu Ví dụ như:

- Bài toán Tìm cây khung ngắn nhất, giải bằng thuật toán Prim có độ phức tạp thuật toán là O(n2)

- Bài toán Tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, giải bằng thuật toán Dijkstra có độ phức tạp là O(n2

Hàm mũ có dạng: an

với a>1 và n là kích thước dữ liệu của bài toán

Với những bài toán phải giải bằng các thuật toán với độ phức tạp là hàm mũ thì thời gian giải tăng rất nhanh theo kích thước dữ liệu của bài toán

Mặc dù bất kì lời giải nào cho mỗi bài toán đều có thể được kiểm chứng nhanh chóng, nhưng hiện chưa có cách nào tìm ra được lời giải đó một cách hiệu quả Thời gian thực thi của tất cả các thuật toán hiện tại cho những bài toán khó đều tăng rất nhanh theo kích thước bài toán Vì vậy ngay cả những trường hợp có kích thước tương đối lớn đã đòi hỏi thời gian hàng tỷ năm để giải Do đó, việc xác định xem những bài toán này có thể được giải quyết nhanh chóng hay không là một trong những bài toán mở của khoa học máy tính hiện nay

15

Một số bài toán khó tiêu biểu với độ phức tạp là hàm mũ như:

1 Bài toán bè cực đại (MaxClique): Cho một đồ thị vô hướng G = (V, E) V

là tập các đỉnh, E là tập các cạnh tương ứng các đỉnh trong V Cần tìm bè lớn nhất của G Bè là tập các đỉnh trong đồ thị mà đôi một có cạnh nối với nhau (là một đồ thị con đầy đủ trong đồ thị G)

2 Bài toán tập độc lập (Independent set): Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) và

số nguyên K, hỏi có thể tìm được tập độc lập S với |S| ≥ K Tập độc lập là tập các đỉnh trong đồ thị mà chúng đôi một không có cạnh nối với nhau

3 Bài toán phủ đỉnh (Vertex cover): Ta gọi một phủ đỉnh của đồ thị vô hướng G = (V, E) là một tập con các đỉnh của đồ thị S V sao cho mỗi cạnh của

đồ thị có ít nhất một đầu mút trong S Bài toán đặt ra là: Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) và số nguyên k Hỏi G có phủ đỉnh với kích thước k hay không?

16

Sau đây là cách áp dụng các kĩ thuật nhánh cận và tổ chức dữ liệu cho một số bài toán điển hình Những bài toán dưới đây mang tính chất tiêu biểu cho lớp bài toán mà nó đại diện Từ đó giúp minh họa việc áp dụng các kĩ thuật nhánh cận vào các bài toán thực tế Hơn nữa, giúp chúng ta sẽ có cái nhìn tổng quát hơn cho những bài toán có thể áp dụng các kĩ thuật nhánh cận

2.2 Bài toán Ba lô

Bài toán Ba lô (Knapsack Problem) hay còn gọi là bài toán cái túi đã được biết đến hơn một thế kỷ Nhưng đến thập niên 50 của thế kỷ XX, bài toán này mới được nhà toán học Tobias Dantzig (1884–1956) định nghĩa đầy

đủ [7]

Bài toán này là một bài toán khó, chưa có thuật toán giải trong thời gian

đa thức theo kích thước của bài toán

2.2.1 Bài toán:

Cho một cái ba lô có thể đựng một trọng lượng b Có n đồ vật, mỗi đồ vật i có một số lượng không hạn chế, một trọng lượng a i nhất định và một giá trị ci nào đó Tìm một cách chọn lựa các đồ vật sao cho tổng trọng lượng của

các đồ vật không vượt quá b và có tổng giá trị là lớn nhất

Dữ liệu: cho từ tệp văn bản BAG.INP

- Dòng đầu chứa 2 số nguyên dương n và b (n<100, b<32000)

- Dòng thứ hai chứa n số nguyên lần lươt là c1, c2, …, cn

- Dòng thứ ba chứa n số nguyên lần lượt là a1, a2, …, an

Các số trên cùng dòng cách nhau ít nhất 1 dấu cách

Kết quả: ghi ra tệp văn bản BAG.OUT gồm 2 dòng

- Dòng đầu ghi 1 số nguyên dương là tổng giá trị các đồ vật trong ba lô

17

- Dòng thứ hai ghi n số nguyên lần lượt là số lượng các đồ vật 1, 2, …,

n

2.2.2 Phân tích bài toán Ba lô

Nếu chấp nhận một kết quả gần đúng, ta hoàn toàn có thể giải bài toán này theo phương pháp tham lam Và rất dễ thấy, tiêu chuẩn để chọn là giá đơn

vị cao Ta duyệt cao vật theo giá đơn vị từ cao xuống thấp Vật được chọn ta

sẽ lấy tối đa [3]

Với cách giải như trên, tùy vào từng trường hợp của dữ liệu, đôi khi ta

sẽ thu được kết quả tuyệt đối của bài toán

Sau đây ta sẽ phân tích bài toán để tìm phương án áp dụng kĩ thuật nhánh cận:

Mô hình toán học của bài toán có dạng sau: Tìm

c x : là tổng giá trị của các đồ vật được chọn

1

n

j j j

(Sắp xếp giảm theo giá của một đơn vị đồ vật)

Để dễ dàng xây dựng hàm tính cận trên của bài toán (1), ta xét bài toán

có biên liên tục sau: Tìm

Ví dụ: Giải bài toán ba lô theo thuật toán nhánh cận ở trên vừa trình bày

với dữ liệu như sau:

- Các thành phần của phương án theo đúng thứ tự

21

- là giá trị đồ vật đang có trong ba lô

- w là trọng lƣợng còn lại của ba lô

(0); = 0 w=8; g=40/3

arr1 = array [1 nmax] of integer;

arr2 = array [1 nmax] of real;

t:=a[i]; a[i]:=a[j]; a[j]:=t;

tg:=ind[i]; ind[i] :=ind[j]; ind[j]:=tg; end;

if ind[i] > ind[j] then begin

t:=ind[i]; ind[i]:=ind[j]; ind[j] := t; t:=xopt[i];xopt[i]:=xopt[j];xopt[j]:= t; end;

25

2.3 Bài toán người du lịch (TSP)

Nguồn gốc của bài toán TSP vẫn chưa được biết rõ Một cuốn sổ tay dành cho người bán hàng xuất bản năm 1832 có đề cập đến bài toán này và có

ví dụ cho chu trình trong nước Đức và Thụy Sĩ, nhưng không chứa bất kì nội dung toán học nào [7]

Bài toán TSP được định nghĩa trong thế kỉ 19 bởi nhà toán học Ai-Len William Rowan Hamilton và nhà toán học Anh Thomas Kirkman Nhưng trường hợp tổng quát của TSP có thể được nghiên cứu lần đầu tiên bởi các nhà toán học ở Vienna (Áo) và Harvard (Mỹ) trong những năm 1930, đặc biệt

là Karl Menger, người đã định nghĩa bài toán, xem xét thuật toán hiển nhiên nhất cho bài toán [7]

2.3.1 Bài toán

Cho n thành phố đánh số từ 1 đến n và các tuyến đường giao thông hai chiều giữa chúng, mạng lưới giao thông này được thể hiện trên một ma trận đối xứng C[l n,l n], ở đây Cij = Cji là chi phí đi đoạn đường trực tiếp từ thành phố i đến thành phố j

Một người du lịch xuất phát từ thành phố 1, muốn đi thăm tất cả các thành phố còn lại mỗi thành phố đúng 1 lần và cuối cùng quay lại thành phố

1 Hãy chỉ ra cho người đó hành trình với chi phí ít nhất

Bài toán được gọi là bài toán người du lịch hay bài toán người bán hàng (Travelling Salesman Problem - TSP)

Input: Tệp “TSP.INP” có dạng:

o Dòng đầu chứa số n (1< n < 20), là số thành phố

o n dòng tiếp theo, mỗi dòng n số mô tả ma trận đối xứng C

Output: Tệp “TSP.OUT” có dạng: