Thông tin cơ bản
5.1 Khái niệm về hàm mệnh đề
Ta xét các ví dụ sau :
1. “Số tự nhiên n chia hết cho 3”
về phương diện ngôn ngữ thì đây là một câu. Nhưng câu này chưa phản ánh tính đúng hoặc sai một thực tế khách quan nào, cho nên nó chưa phải là mệnh đề. Song nếu ta thay n bởi một số tự nhiên cụ thể. Chẳng hạn
Thay n = 45 ta được mệnh đềđúng: “45 chia hết cho 3” thay n = 103 ta được mệnh đề sai: “103 chia hết cho 3” 2. “2x + 3 > 17”
Tương tự trong ví dụ 1, “2x + 3 > 17” chưa phải là mệnh đề, song nếu ta thay x bởi một số thực cụ thể, chẳng hạn
Thay x = 10 ta có mệnh đềđúng “2 . 10 + 3 > 17” Thay x = 1 ta có mệnh đề sai “2 . 1 + 3 > 17”
3. Câu “Ông A là nhà vật lí vĩđại” cũng chưa phải là mệnh đề. Nếu ta chọn “Ông A” là
Niu-tơn ta được mệnh đềđúng “Niu tơn là nhà vật lí vĩđại”. Nếu ta chọn Ông A” là “Tố Hữu” ta được mệnh đề sai. “Tố Hữu là nhà vật lí vĩđại”
4. Câu “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” chưa phải là mệnh đề. Nếu ta chọn ABCD là tứ giác trong hình (a) ta được mệnh đề sai, hình (b) ta được mệnh đềđúng
hình vẽ
Từ các ví dụ trên ta đi đến định nghĩa sau:
Những câu có chứa các biến mà bản thân nó chưa phải là mệnh đề nhưng khi thay các biến đó bởi những phần tử xác định thuộc tập X thì nó trở thành mệnh đề (đúng hoặc sai) ta sẽ gọi là hàm mệnh đề
Tập X gọi là miền xác định; tập các phần tử thuộc X khi thay vào ta được mệnh đề đúng gọi là miền đúng; thay vào ta được mệnh đề sai gọi là miền sai của hàm mệnh đó
Ta dùng kí hiệu T(n), F(x), G(y), ... để chỉ các hàm mệnh đề Chẳng hạn:
Hàm mệnh đề T(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” có miền xác định là tập các số tự nhiên. Tập các số tự nhiên chia hết cho 3 là miền đúng của T(n). Tập các số tự nhiên không chia hết cho 3 là miền sai của T(n)
Hàm mệnh đề “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” có miền xác định là tập các hình tứ giác, miền đúng là tập các hình chữ nhật
5.2. Các phép toán trên hàm mệnh đề
Dựa vào các phép toán trên mệnh đề (phủđịnh, hội, tuyển...) ta xây dựng các phép toán tương tự trên các hàm mệnh đề
Cho F(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi phủđịnh của hàm mệnh đề F(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu là F(x), sao cho đối với mỗi a X, F(a) là mệnh đề phủđịnh của mệnh đề F(a)
Chẳng hạn, phủđịnh của hàm mệnh đề
T(n) = “số tự nhiên n chia hết cho 3” là hàm mệnh đề T(n) = “số tự nhiên n không chia hết cho 3”
F(x) = “2x + 3 > 17” là hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 17” b) Phép hội
Cho F(x) và G(x) là hai hàm mệnh đề xác định trên tập X. Ta gọi hội của hai hàm mệnh đề F(x) và G(x) là một hàm mệnh đề H(x), kí hiệu là H(x) = F(x) G(x), xác định trên miền X sao cho với mọi a X ta có mệnh đề H(a) là hội của hai mệnh đề F(a) và G(a)
Chẳng hạn, hội của hai hàm mệnh đề F(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3” và G(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 5” là hàm mệnh đề
H(n) = “Số tự nhiên n chia hết cho 3 và 5”
Cũng tương tự như trên ta định nghĩa các phép tuyển, phép kéo theo và phép tương đương trên các hàm mệnh đề
5.3. Mệnh đề tổng quát
Ta đặt vào trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “với mọi x R” ta được mệnh đề sai:
“Với mọi x R, 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X.Ta gọi mệnh đề dạng
“Với mọi x X ta có T(x)”
hoặc “Với mọi x X, T(x)” là mệnh đề tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập,...). Kí hiệu là
x X, T(x) hoặc ( x X) T(x) hoặc T(x) x X
Kí hiệu gọi là lượng từ tổng quát (hoặc toàn thể, phổ biến, phổ cập, ....) Ví dụ 5.1 : “ n N, n là số nguyên tố” là mệnh đề sai “ n N, 2n là số chẵn” là mệnh đềđúng “ x R, x2 + 1 > 0” là mệnh đềđúng “ x R, x2 1 = 0” là mệnh đề sai Chú ý
Mệnh đề tổng quát trong thực tếđược diễn đạt dưới nhiều hình thức khác nhau. Chẳng hạn
Tất cả người Việt nam đều nói thạo tiếng Anh Mọi người Việt nam đều nói thạo tiếng Anh Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh Đã là người Việt nam thì ai chẳng nói thạo tiếng Anh ...
5.4 Mệnh đề tồn tại
Ta đặt trước hàm mệnh đề F(x) = “2x + 3 > 17” cụm từ “Tồn tại x R sao cho....” ta được mệnh đềđúng
“Tồn tại x R sao cho 2x + 3 > 17”
Một cách tổng quát, cho T(x) là hàm mệnh đề xác định trên miền X. Ta gọi mệnh đề dạng “Tồn tại x X sao cho T(x)” là mệnh đề tồn tại. Kí hiệu là
x X : T(x) hoặc T(x) Ký hiệu gọi là lượng từ tồn tại Ví dụ 5.2 :
“Tồn tại số tự nhiên n sao cho n là số nguyên tố” là mệnh đềđúng “Tồn tại số thực x sao cho x2 1 = 0” là mệnh đềđúng
“Tồn tại số thực x sao cho x2 + 1 = 0” là mệnh đề sai Chú ý
1. Trong thực tế, mệnh đề tồn tại còn được diễn đạt dưới những dạng khác nhau, chẳng hạn:
Tồn tại ít nhất một người Việt nam nói thạo tiếng Anh Có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh
ít ra cũng có một người Việt nam nói thạo tiếng Anh Có nhiều người Việt nam nói thạo tiếng Anh
...
2. Ta dùng kí hiệu “! x X : T(x)” với nghĩa tồn tại duy nhất một x X sao cho T(x)”
5.5. Phủđịnh của mệnh đề tồn tại và tổng quát
Phủđịnh các mệnh đề tổng quát và tồn tại được thiết lập theo quy tắc dưới đây
Ví dụ 5.3 :
Mọi tam giác đều đều là tam giác cân Có một tam giác đều không phải là tam giác cân
Người Việt nam nào chẳng nói thạo tiếng Anh Có ít nhất một người Việt nam nói không thạo tiếng Anh
Có một số tự nhiên chia hết cho 3 Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 3
Có ít nhất một số thực x là nghiệm của phương trình x2 3x 4 = 0 Mọi số thực x đều không phải là nghiệm của phương trình x2 3x 4 = 0 Phương trình x2 3x 4 = 0 không có nghiệm thực