Thông tin cơ bản
3.1. Khái niệm về công thức
Trong toán học ta đã làm quen với biểu thức toán học (là dãy kí hiệu chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán trên các số hoặc các chữ nhận giá trị từ một trường số)
Trong lôgic mệnh đề, người ta xây dựng khái niệm công thức tương tự biểu thức toán học trong toán học
Trong chủđề 1.1 ta đã làm quen với mệnh đề (xác định) và mệnh đề mở (chưa xác định). Ta sẽ gọi chung là các biến mệnh đề
Cho các biến mệnh đề p, q, r, ... khi dùng các phép lôgic tác động vào chúng, ta sẽ nhận được các biến mệnh đề ngày càng phức tạp hơn. Mỗi mệnh đề như thế và cả những mệnh đề xuất phát ta gọi là công thức. Hay nói cách khác
a, Mỗi biến mệnh đề là một công thức
b, Nếu P, Q là những công thức thì , P Q, P Q, P Q, cũng đều là công thức c, Mọi dãy kí hiệu không xác định theo các quy tắc trên đây đều không phải là công thức
Ví dụ 3.1 :
Từ các biến mệnh đề p, q, r ta thiết lập được công thức: (p q) r
(p q) r (p q) r
...
3.2. Giá trị chân lí của công thức
Cho công thức P = “p q”
Ta gán cho các biến mệnh đề p, q những giá trị chân lí xác định, chẳng hạn
G(p) = 1 và G(q) = 0 thì p q là mệnh đề sai. Suy ra p q là mệnh đềđúng, hay G(p q) = 1
G(p) = G(q) = 1 thì p q là mệnh đềđúng. Suy ra p q là mệnh đề sai, hay G(p q) = 0
Như vậy khi gán cho mỗi biến mệnh đề có mặt trong công thức P một giá trị chân lí xác định thì công thức P sẽ trở thành một mệnh đề (đúng hoặc sai). Nếu P là mệnh đềđúng (hoặc sai) thì ta nói công thức P có giá trị chân lí bằng 1 (hoặc 0) ứng với hệ chân lí vừa gán cho các biến mệnh đề có mặt trong công thức đó
Ví dụ 3.2 :
p là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 0 với mọi biến mệnh đề p Ví dụ 3.3 :
là công thức luôn có giá trị chân lí bằng 1 với mọi biến mệnh đề p, q Ví dụ 3.4 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức
Dựa vào bảng chân lí trên ta có thể khẳng định: Nếu p đúng, q đúng thì P đúng
Nếu p sai, q đúng thì P sai Ví dụ 3.5 :
Lập bảng giá trị chân lí của công thức “(p q) r” = Q
Giải
3.3. Sự tương đương lôgic và đẳng thức
Cho P và Q là hai công thức. Ta nói rằng hai công thức P và Q tương đương lôgic
với nhau, kí hiệu là P Q, nếu với mọi hệ chân lí gán cho các biến mệnh đề có mặt trong hai công thức đó thì chúng luôn nhận giá trị chân lí như nhau
Đặc biệt, hai mệnh đề a, b gọi là tương đương lôgic với nhau, kí hiệu a b, nếu chúng cùng đúng hoặc cùng sai
Chú ý
1. Trong lôgic không có khái niệm hai mệnh đề bằng nhau mà chỉ có khái niệm hai mệnh đề tương đương lôgic với nhau
Hai mệnh đề tương đương lôgic có thể về nội dung chúng hoàn toàn không liên quan với nhau. Chẳng hạn
“Tháng Hai có 30 ngày 2 x 2 = 10” 2. P Q ta gọi là một đẳng thức
3. Để chứng minh hai công thức tương đương lôgic với nhau ta thường dùng phương pháp lập bảng giá trị chân lí. Chẳng hạn
Chứng minh đẳng thức sau : p q q p
Nhìn vào bảng trên ta thấy hai công thức p q và q p luôn cùng đúng hoặc cùng sai. Vậy ta có p q q p
Dưới đây là một số phép tương đương lôgic thường gặp
Phủđịnh của phủđịnh
Luật Đờ Moóc Găng
Tính chất kết hợp của các phép lôgic
(4) (p q) r p (q r) (5) (p q) r p (q r)
Tính chất giao hoán của các phép lôgic
(6) p q q p (7) p q q p (8) p q q p Tính chất phân phối (9) p (q r) (p q) (p r) (10) p (q r) (p q) (p r) Tính lũy đẳng (11) p p p (12) p p p
Biểu diễn phép kéo theo qua các phép lôgic khác
(13) p q (14) p q (15) p q
Biểu diễn phép tương đương qua các phép lôgic khác
(16) p q (p q) (q p) (17) p q
Ta dùng kí hiệu 1 (hoặc 0) để chỉ biến mệnh đề luôn đúng (hoặc luôn sai). Ta có các
đẳng thức sau về 0 và 1
(18) p 0 0 (19) p 1 p (20) p 0 p (21) p 1 1
(22) p p 1 (luật bài trung) (23) p p 0 (luật mâu thuẫn)
3.4. Phép biến đổi công thức
Khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như khái niệm biểu thức toán học trong toán học; khái niệm đẳng thức tương tự như khái niệm hằng đẳng thức
trong toán học.
Dựa vào các đẳng thức, ta có thể thực hiện phép biến đổi đồng nhất để chứng minh một đẳng thức hoặc đưa một công thức về dạng đơn giản hơn.
Để cho tiện, ta quy ước :
1. Các phép lôgíc trong một công thức được thực hiện theo thứ tự ; Với quy ước này, chẳng hạn ta sẽ viết:
p ^ q r
thay cho (p ^ q) r p v q ^ r u thay cho [p v (q ^ r)] u
2. Không viết dấu ngoặc ở ngoài đối với mỗi công thức. Với quy ước này, chẳng hạn, ta sẽ viết :
p ^ q r
Thay cho [(p ^ q) r]
3. Nếu có dấu phủđịnh trên một công thức nào đó thì ta bỏ dấu ngoặc ở hai đầu công thức đó. Chẳng hạn, ta sẽ viết ^ r Thay cho ^ r. Ví dụ 3.6 : Chứng minh rằng ( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) (p q) ^ r. Biến đổi lần lượt ta có: ( ^ q ^ r) v ( ^ ^ r) v (q ^ r) [( ^ q) v ( ^ )] ^ r v (q ^ r) [ ^ (q v )] ^ r v (q ^ r) ( ^ 1) ^ r v (q ^ r) ( ^ r) v (q ^ r) ( v q) ^ r) (p q) ^ r Ví dụ 3.7 : Rút gọn công thức : ( pvq) ^ q Ta có : ( pvq) ^ q [ v (p v q)] ^ q [(p v q) v (p v q)] ^ q (p v q) ^ q q. 3.5. Mệnh đề liên hợp, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ 3.5.a Mệnh đề liên hợp
Từ mệnh đề “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó chia hết cho 2” (1) ta có thể thiết lập được các mệnh đề
“Nếu một số chia hết cho 2 thì nó chia hết cho 4” (2) “Nếu một số chia hết cho 4 thì nó không chia hết cho 2” (3) “Nếu một số không chia hết cho 2 thì nó không chia hết cho 4” (4) Các mệnh đề (1) ; (2) ; (3) ; (4) gọi là những mệnh đề liên hợp Một cách tổng quát, ta định nghĩa Nếu ta gọi p q (1) là mệnh đề thuận thì q p (2) là mệnh đềđảo của (1) p q (3) là mệnh đề phản của (1) q p (4) là mệnh đề phản đảo của (1) Các mệnh đề thuận, đảo, phản và phản đảo ta gọi là những mệnh đề liên hợp áp dụng đẳng thức (15) ta có p q q p và p q q p
Hay Mệnh đề thuận tương đương lôgic với mệnh đề phản đảo Mệnh đề phản tương đương lôgic vơi mệnh đềđảo Ví dụ 3.8 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu một số chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3”
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu một số chia hết cho 3 thì nó chia hết cho 6
− Nếu một số không chia hết cho 6 thì nó không chia hết cho 3 − Nếu một số không chia hết cho 3 thì nó không chia hết cho 6
Dễ dàng thấy rằng mệnh đề thuận và phản đảo là các mệnh đềđúng còn mệnh đề đảo và phản là các mệnh đề sai
Ví dụ 3.9 :
Thiết lập các mệnh đề liên hợp với mệnh đề sau: “Nếu tam giác ABC vuông ở A thì BC2 = AB2 + AC2
Sau đó tìm giá trị chân lí của chúng Các mệnh đề liên hợp của nó là
− Nếu tam giác ABC thoả mãn hệ thức BC2 = AB2 + AC2 thì nó vuông ở A − Nếu tam giác ABC không vuông ở A thì BC2 AB2 + AC2
− Nếu tam giác ABC không thoả mãn hệ thức BC2 = AB2 + AC2 thì nó không vuông ở A
Từ môn hình ở trường phổ thông ta thấy cả bốn mệnh đề trên đều có giá trị chân lí bằng 1