Xét thí dụ 252
Ở đây, xét thí dụ bình phƣơng của số 25. Chúng ta hãy tìm bình phƣơng của nó.
Đối với số 25, chữ số cuối cùng là 5 và chữ số “ở trƣớc nó” là 2. Do đó, “lớn hơn chữ số trƣớc nó một đơn vị” có nghĩa là số 3 = 2 + 1 Trong thí dụ này, câu Kinh hƣớng dẫn: “nhân với số lớn hơn chữ số 2 một đơn vị”, có nghĩa là nhân với 3.
Nó trở thành phần bên trái của kết quả, đó là: 2 x 3 = 6. Phần bên phải của kết quả là 25. Do đó: 252 = 2x3/25 = 625.
Chứng minh bằng Đại số:
a) Hãy xét (ax + b)2 = a2.x2 + 2abx + b2 Giả sử, cho x = 10 và b = 5, chúng ta có: (10a + 5)2 = a2.102 + 2.10a.5 + 52
= a2.102 + a.102 + 52 = (a2 + a). 102 + 52 = a (a + 1).102 + 25
Rõ ràng là, 10a+5 đại diện cho các số có hai chữ số nhƣ: 15, 25, 35,…, 95 với các giá trị của a = 1, 2, 3, ….., 9 tƣơng ứng. Trong trƣờng hợp này một số (10a+5)2
có dạng mà phần bên trái là (a+1), và phần bên phải là 25, có nghĩa là a(a+1)/25.Nhƣ vậy, các số có hai chữ số bất kỳ đều cho kết quả ở cùng một dạng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
b) Bất cứ số có ba chữ số nào có dạng ax2 + bx + c với x = 10, a ≠ 0, a, b, c ЄW.
Bây giờ (ax2 + bx + c)2 = a2 x4 + b2 x2 + c2 + 2abx3 + 2bcx + 2cax2 = a2x4 + 2ab.x3 + (b2 + 2ca).x2 + 2bc.x + c2
Giả sử cho x = 10, c = 5 thì ta có: (a.102 + b.10 + 5)2 = a2.104 + 2.ab.103 + (b2 + 2.5.a).102 + 2.b.5.10 + 52 = a2.104 + 2.a.b.103 + (b2 + 10a).102 + b.102 + 52 = a2.104 + 2ab.103 + b3.102 + a.103 + b. 102 + 52 = a2.104 + (2ab + a).103 + (b2 + b).102 + 52 = [a2.102 + 2ab.10 + a.10 + b2 + b].102 + 52 = (10a + b).(10a + b + 1).102 + 25 = P.(P+1).102 + 25, trong đó P = 10a + b
Do đó bất kỳ số có ba chữ số nào mà có chữ số cuối cùng là 5 đều cho kết quả nhƣ vậy với P = 10a + b, “đứng trƣớc” số 5.
Thí dụ: 1652 = (1.102 + 6.10 + 5)2
Nó có dạng (ax2 + bx + c)2 với a = 1, b = 6, c = 5 và x = 10. Nó cho kết quả P.(P+1) / 25, trong đó P = 10a + b = 10 x 1 + 6 = 16, “đứng trƣớc”. Kết quả là 16.(16+1)/25 = 16x17/25 = 27225.