Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh.. Đứ
Trang 1a Lí do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trỡnh giỏo dục phổ thụng
là đổi mới phương phỏp dạy học, trong đú cú đổi mới phương phỏp dạy học Toỏn
Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh Trong quá trình giảng dạy ở trường PT bản thân chúng tôi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kì thi như Học sinh giỏi, thi vào cỏc trường đại học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó Thế nhưng nhiều
học sinh không làm được mặc dầu học sinh đã được làm quen các dạng toán, bài giảng của thầy, qua sách vở Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động trước các bài toán khú Chúng tôi thấy việc phát huy trí lực cho học sinh, áp dụng vào công tác bồi đưỡng học sinh khá giỏi bước đầu có một số kết quả nhất định mà chúng tôi muốn trao đổi với đồng nghiệp Trong bài viết này chúng tôi xin đề cập đến việc phát huy trí lực cho học sinh trong việc khai thác một số bài toán bất đẳng thức đơn giản trong chương trình Toán- THPT lớp 10 qua đó khai thác các ứng dụng của nó như tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bài toán nhận dạng tam giác, bài toán giải phương trình, bất phương trình, đẳng thức vectơ nhằm phát huy tư duy toán học bồi dưỡng năng lực giải toán và làm toán cho học sinh qua đó phát huy được trí lực giúp học sinh khai thác được các yếu tố cần thiết trong toán học nhằm bồi dưỡng cho các em tư duy sáng tạo, linh hoạt trong mọi vấn đề Đứng trước mộ vấn đề như vậy, làm sao để đỏp ứng được nhu cấu đổi mới hiện
nay, làm cho học sinh hứng thỳ,tớch cực chủ động trong việc tiếp thu kiến thức Chỳng tụi xin cú một số trao đổi với cỏc đồng nghiệp là trình bày minh hoạ bằng
một số bài toán bất đẳng thức qua đó khai thác ứng dụng để vận dụng giải các bài
toán có liên quan nhằm “Phát huy trí lực cho học sinh khá giỏi qua khai thác
một số bài toán đơn giản trong chương trình toán 10-THPT ” Chúng tôi thành
thật mong được sự góp ý chân thành của các độc giả để bản thân chúng tôi ngày
được một hoàn thiện
1 Từ một bài toán đơn giản đến việc khai thác ứng dụng nó
Chứng minh các bất đẳng thức,đẳng thức luôn là những đề tài hấp dẫn Với bài viết này tôi muốn giới thiệu một số bất đẳng thức, đẳng thức hỡnh học được
Trang 2khai thác ứng dụng của nó nhờ một bất đẳng thức đơn giản trong sách giáo khoa
Toỏn 10 -THPT qua đú nhằm phỏt huy trớ lực cho học sinh
Ta bắt đầu đi từ một số bài toỏn cơ bản trong sỏch giỏo khoa
a/ Ví dụ 1: ở SGK Đại số 10(chương trình chuẩn), sau khi học xong bài bất đẳng
thức có một bài tập sau(bài 4, tr.79)
Chứng minh rằng nếu a ≥ 0,b ≥ 0 thì a3 +b3 ≥ab(a+b).(*)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh
Cách 1:
2 2 2
(*) ⇔ a3 ưa2b+b3ưab2 ≥0
0 ) ( ) (
0 ) )(
(
0 ) ( ) (
2
2 2
2 2
≥ +
ư
⇔
≥
ư
ư
⇔
≥
ư
ư
ư
⇔
b a b
a
b a b
a
b a b b a
a
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Cách 2:
Ta có:a3 + b3 = (a + b)(a2 +b2 ư ab) ≥ (a + b)( 2ab ư ab) = ab(a + b)
( vìa2 +b2 ≥2ab) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b
Nhận xét 1: vì a, b là hai số dương nên, từ (*) ta có thể suy ra một bất đẳng thức
ab
b a b a ab b
) (
ở bài toỏn này nhiều giỏo viờn cho là dễ nờn cú thể khụng cần phải hướng dẫn hoạc hướng dẫn qua loa Như vậy là vấn đề cơ bản chưa được giải quyết đó bỏ sút một trong những yếu tố quan trọng trong phỏt triển trớ lực cho học sinh.Theo chỳng tụi, cần cho học sinh suy nghĩ và hứng dẫn khai thỏc cỏc bài toỏn qua đú vận dụng
từ bài toỏn cơ bản trờn để hướng dẫn gải cỏc bài toỏn cú liờn quan
Trang 3Bài 1: Cho a,b≥ 0, chứng minh rằng
(1)
HD: BĐT (1) giải đ−ợc nhờ việc áp dụng nhận xét 1, ba lần
Bài 2 Cho a, b, c là ba số thực không âm Chứng minh rằng
a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc + b2 ac + c2 ab
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta đ−ợc a3 + b3 ≥ ab(a + b)
b3 + c3 ≥ bc(b + c)
a3 + c3 ≥ ac(a + c)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta có
2(a3 + b3 + c3) ≥ a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số thực không âm ta đ−ợc
a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) ≥ 2a2 bc +2b2 ac+2c2 ab (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nhận xét 2: Thực chất đây là một dạng khai thác bài toán trên dưới cỏch nhỡn khỏc
mà thụi Tuy nhiên nếu nh− học sinh khụng biết vận dụng vớ dụ trờn thì liệu bài toán trên học sinh giải được khụng phải đơn giản chỳt nào Và ở bài toán sau đây, chúng ta có thể đặt thêm một vấn đề nhằm khai thác bài toán trên với việc ab=1
Ta lại có bài toán mới sau
1 1
3 3
≥ +
+
b b
a
Chứng minh
2
4 4 3 3
≥ +
+
+ + +
b a
b a b a
áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có
2
2 2
2 ) ( 2
2 2 4
4 3 3
= + +
+ +
= +
+
+ +
≥ +
+
+ + +
b a
b a b
a
b a b a ab b
a
b a b
a
(đpcm)
Trang 4Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
≥
+ + +
+
c
b a b
a c a
c b c
b a c b a
2
3 1 1 1 )
Trong đó a, b, c là ba số thực dương
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta được a3 + b3 ≥ ab(a + b)
b3 + c3 ≥ bc(b + c)
a3 + c3 ≥ ac(a + c)
Suy ra 2(a3 + b3 + c3) ≥ bc(b + c) + ac(a + c) + ab(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được
abc c
b a
3 1 1 1
3 3
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nhận xét 3: Ta có thể chuyển tải bài toán trên về những bài toán mũ, thì việc quy lạ
về quen tạo cho chúng ta dễ dàng hơn trong việc khai thác các bài toán tương tự nhằm phỏt huy trớ lực cho học sinh
Bài 5 Cho ba số a, b, c∈N thoả mãn điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng
27a + 27b + 27c ≥ 3a + 3b + 3c
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 27a + 1 ≥ 3a(3a + 1)
27b + 1 ≥ 3b(3b + 1)
27c + 1 ≥ 3c(3c + 1)
Suy ra 27a + 27b + 27c +3 ≥ 3a + 3b + 3c + (3a)2 + (3b)2 + (3c)2 (1)
Mặt khác (3a)2 + (3b)2 + (3c)2 ≥ 33 ( 3a3b3c) 2 = 3 (2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0
Bài 6: Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng
a ac
c a c
cb
b c b
ab
a b
+ +
≤ +
ư +
+
ư +
+
ư
2
3 3 2
3 3 2
3 3
3
5 3
5 3
5
Trang 5
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
a3 + b3 – 6b3 ≥ ab(a + b) – 6b3 = b(a2 + ab – 6b2) = (ab + 3b2)(a – 2b)
a b b ab
a b
a b b ab a
b
ư
≤ +
ư
⇔
ư +
≤
ư
⇔
2 3 5
) 2 )(
3 ( 5
2
3 3
3 3
3
c cb
b c
ư
≤ +
ư
2 3
5
2
3 3
a ac
c a
ư
≤ +
ư
2 3
5
2
3 3
Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 7 Chứng minh rằng với ba số dương a, b, c bất kì ta có
3 2
2 3 2
2 3 2
2
3
c b a a ac c
c c
bc b
b b
ab a
+ +
+ + +
+ + +
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta được a3 + b3 ≥ ab(a + b)
3 2
) )(
( ) (
3
3
2 2
3
2 2
2 2
3
3 3 3 2 2
3
3 2 2
3
b a b
ab
a
a
b ab a b a b
ab a
a
a
b a a ab b
a
a
b ab b
a
a
ư
≥ +
+
⇔
+ +
ư + + +
≥
⇔
ư + + +
≥
⇔
ư +
≥
⇔
Tương tự
3
2 2 2
3
c b c
bc b
+
2 2 2
3
a c a
ac c
+ +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 8 Cho x, y, z là ba số thực dương và xyz =1 Chứng minh rằng
9 9 6
3 3 6
9 9 6
3 3 6
9 9
≥ + +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
x x z z
x z z
z y y
z y y
y x x
y x
Trang 6Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta được (x3)3 + (y3)3 ≥ x6y3 + x3y6
3 6 3 3 6
9 9
6 3 3 6 3 9 9
9 6 3 3 6 9 9
2
) (
2 2
x y y x x
y x
y y x x x y x
x y x y x y x
≥ + +
+
⇔
+ +
≥ +
⇔
+ +
≥ +
⇔
6 3 3 6
9 9 2
y z z y y
z
+ +
+
6 3 3 6
9 9 2
z x x z z
x z
≥ + +
+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
6 3 3 6
9 9 6
3 3 6
9 9 6
3 3 6
9 9
2 2
2
z y x x x z z
x z z
z y y
z y y
y x x
y
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
(1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz = 3 (2)
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y =z =1
Bài 9 Cho a, b, c là ba số thực dương Chứng minh rằng
abc c
abc a
c abc b
b abc a
1 1
1 1
3 2
3 3
3
+ +
+ + +
+ +
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta được a3 + b3 ≥ ab(a + b)
⇔ a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
) (
1
3 3
c b a abc
c b
abc
⇔
Tương tự
) (
1
3 3
c b a abc
a c
abc
1 3 2
c b a abc
b c
abc
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nhận xét 4: Nếu ở bài toán trên chỳng ta cộng điều kiện nữa abc=1 ta có bài
toán mới sau đây
Trang 7Bài 10 Cho a, b, c là ba số thực dương và abc=1 Chứng minh rằng
3 13 3 13 3 13 1
Nhận xét 5: Nếu ta lại đặt a 3 =x; b 3 =y; c 3 =z Ta lại có bài toán mới sau
Bài 11 Cho x, y, z là ba số thực dương và xyz=1 Chứng minh rằng
1
1 1
1 1
1
≤ + +
+ + +
+ + + y y z z x
Nhận xét 6: Ta lại bỏ đi điều kiện xyz=1 Ta lại có bài toán mới khó hơn
Bài 12 Cho x, y, z là ba số thực dương Chứng minh rằng
3 3
3 3
1 1
1 1
xyz xyz
x z xyz z
y xzy y
+ +
+ +
+
+ +
Bài 13 Cho a, b, c >0 thoả mãn
a b ab+b c bc+ a c ca =
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S = a + b + c
Nhận xét 7: Việc chứng minh các bài 10,11,12,13 không khó, nếu biết sử dụng linh hoạt các bài toán đương tự bài 9 Nếu HS không biết vận dụng bài 9(tức sẽ vận dụng vớ dụ 1) Thì e là khó làm đối với các em HS(kể cả đội tuyển HSG)
Bài 14 Chứng minh rằng
a
c c
b b
a a
c c
b b
+
+
Trong đó a, b, c là các số thực dương
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (*) ta được
b
a b
a b
a b
a b
a
+
=
+
≥ +
1 1
3
Tương tự
c
b c
b c
b
+
≥ +
1
3
,
a
c a
c a
c
+
≥ +
1
3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
Trang 8
a
c c
b b
a a
c c
b b
a a
c c
b b
a
+ + + + +
≥ +
+
+
3
3 3
3
(1)
a
c c
b b
a
(2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Nhận xét 8: Nếu chúng ta lại đặt Z
a
c Y c
b X b
a = ; = ; = Ta lại có bài toán
mới sau
Bài 15 Chứng minh rằng X3 +Y3 +Z3 ≥ X +Y +Z Trong đó X, Y, Z là các số thực dương và XYZ=1
Nhận xét 9: Từ bài toán vừa nêu, nếu chúng ta đặt x=3 a ; y=3 b ,z=3 c Thì ta có thể giải bài toán 5 đơn giản hơn
Bài 16: Cho ba số a, b, c thoả mãn điều kiện a + b + c = 0 Chứng minh rằng
27a + 27b + 27c ≥ 3a + 3b + 3c
HD: Bài toán này trở về việc chứng minh BĐT x3+y3+z3 ≥x+y+z áp dụng bài toán
15, ta có ngay kết quả
Nhận xét 10: Ta lại có bài toán mới tổng quát bài toán 15 sau đây
Bài 17: Cho m là một số không âm; x, y, z là 3 số thoả mãn: x+y+z=0
Chứng minh rằng m3x+m3y+m3z≥ mx+my+mz
Nhận xét 11: Từ bài toán tổng quát trên,qua quỏ trỡnh phõn tớch, nhận định phỏt huy tư duy sỏng tạo cho học sinh ta xõy dựng bài toán tổng quát vớ dụ 1
Bài 18 (bài toán tổng quát vớ dụ 1)
Cho a1, a2, ,an là các số thực không âm, n *
N
a1n+1 + a2n+1 + + ann+1 ≥ a1a2 an(a1 + a2 + + an)
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
a1n+1 + a1n+1 + a2n+1 + + ann+1 ≥ (n + 1)a12a2…an
Trang 9a1n+1 + a2n+1 + a2n+1 + … + ann+1 ≥ (n + 1)a1a22a3…an
a1n+1 + a2n+1 + … + ann+1 + ann+1 ≥ (n + 1)a1a2….an2
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an
áp dụng bất đẳng thức (*) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau
Bài 19 Cho a1, a2, ….,an là các số thực dương; n *
N
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức tổng quát của bất đẳng thức (*) ta có
Mặt khác áp dụng bất đẳng Côsi cho mẫu thức của các biểu thức ở vế trái ta được
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 =a2 = =a n =1
Nhận xét 12: Từ những ví dụ minh hoạ thêm chúng ta có thể khai thác bài toán trên bằng nhiều cách nhiều hướng khác nhau.Hướng cho hướng cho học sinh hiểu rừ được những vấn đề cơ bản của nú, học sinh sinh sẽ giải quyết được cỏc bài toỏn trờn đõy dễ dàng hơn, qua đú nõng cao được hứng thỳ tỡm tỏi, rốn luyện được đức tớnh nhẫn nại kiờn trỡ phỏt huy trớ lực cho học sinh
Chứng minh rằng nếu a ≥ 0,b ≥ 0 thì a4 +b4 ≥ ab(a2 +b2).(**)
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Chứng minh
) 1 (
1
1 1
1 1
1 1
2 1 2
1
1 1
2 1
1
+ + +
≥
+ +
+
n n
n
n
n n
a a
a a a a a
a a
) 2 (
1
1 1
1
1 2 2
1 1
2 2 1
2
2
1
2
1
1
+ + +
≤ +
+ + + + + + +
+ +
+
+
n n
n n n
n
n n n
n n
n n
n n n
n
n
a a
a a a na a
a a
a a
a a
a a
a
a
a
+ +
+
≤ +
+ + + + + + +
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
1 1
2 1
1 1
2 2
1 1
2 2 1
2
2
1
2
1
1 1
1
n
n
n n
n n n
n
n n n
n n
n n
n n n
n
n
a a
a n a
a a
a a
a a
a a
a
a
a
Trang 10(**) ⇔ a4 +b4 ưa3bưab3 ≥ 0
0 ) (
) (
0 ) )(
)(
(
0 ) ( ) (
2 2
2
2 2
3 3
≥ + +
ư
⇔
≥ + +
ư
ư
⇔
≥
ư
ư
ư
⇔
b ab a
b a
b ab a
b a b a
b a b b a
a
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Bài 1(bài toán tổng quát)
Cho a1, a2,….,an là các số thực không âm, n *
N
a1n+2 + a2n+2 + … + ann+2 ≥ a1a2….an(a12 + a22 + … + an2)
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n + 1 số thực không âm ta có
a1n+2 + a1n+2 + a1n+2 + a2n+2 + … + ann+2 ≥ (n + 2)a13a2….an
a1n+2 + a2n+2 + a2n+2 + a2n+2 + … + ann+2 ≥ (n + 2)a1a23a3….an
………
a1n+2 + a2n+2 + ….+ ann+2 + ann+2 + ann+2 ≥ (n + 2)a1a2….an3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = … = an
áp dụng bất đẳng thức (**) và bất đẳng thức tổng quát vào chứng minh các bất đẳng thức sau
a
b b b
a a
+
≥
Chứng minh
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a2 +b2 ≥ a b(a+b) Đây chính là bất đẳng thức (**) cho hai số dương avà b nên ta được điều phải chứng minh
Bài 3 Chứng minh rằng a4 +b4 +c4 ≥a3 bc +b3 ac +c3 ab
Trong đó a, b, c là ba số thực không âm
Chứng minh
áp dụng bất đẳng thức (**) ta có a4 + b4 ≥ a3b + ab3
b4 + c4 ≥ b3c + bc3
Trang 11a4 + c4 ≥ a3c + ac3
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
2(a4 + b4 + c4) ≥ a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) (1)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có
a3(b + c) + b3(a + c) + c3(a + b) ≥ 2a3 bc +2b3 ac +2c3 ab (2)
Từ (1), (2) suy ra điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài 4 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
+ +
≥
+
+
Chứng minh
+
≥ +
b
a b
a b
a
1 1
4
+
≥ +
c
b c
b c
b
1 1
4
+
≥ +
a
c a
c a
c
1 1
4
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được
3 3
3 2
2 2
+
+
+ + +
≥ +
+
+
a
c c
b b
a a
c c
b b
a a
c c
b
b
a
(1)
a
c c
b b
a
(2)
và áp dụng kết quả Bài 9 ta được
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
+ +
≥
+
+
(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c