Phương sai của sai số thay đổi và thực hành trên eview

Mục lục I) Lời mở đầu II) Nội dung 1) Lý thuyết a) Bản chất của phương sai của sai số thay đổi b) Nguyên nhân và hậu quả phương sai của sai số thay đổi c) Phương pháp phát hiện phương sai của sai số thay đổi d) Biện pháp khắc phục 2) Ví dụ thực tế: thực hành trên eviews bài tập về thu nhập của các cá nhân trong một tháng quanh khu vực phường Cầu Diễn.

BỘ MÔN: KINH TẾ LƯỢNG

Nhóm: 4

Đề tài: Phương sai sai số thay đổi

Mục lục

I) Lời mở đầu

II) Nội dung

1) Lý thuyết

a) Bản chất của phương sai của sai số thay đổi

b) Nguyên nhân và hậu quả phương sai của sai số thay đổi

c) Phương pháp phát hiện phương sai của sai số thay đổi

vi rất rộng và hồi quy là một công cụ đo lường cơ bản của kinh tế Trong mô hình

hồi quy tuyến tính cổ điển, giả thiết quan trọng đó là nhiễu ngẫu nhiên Ui trong hàm hồi quy tổng thể có phương sai không đổi Nhưng liệu trong thực tế, giả thiết này có bị vi phạm không? Và nếu giả thiết này bị vi phạm thì sẽ xảy ra điều gì? Làm thế nào để biết giả thiết này có bị vi phạm hay không và nếu nó bị vi phạm thì phải làm thế nào để khắc phục? Và những câu hỏi này sẽ được nhóm trình bày một cách rõ nét nhất.

LÝ THUYẾT

1. Bản chất phương sai của sai số thay đổi.

Hiện tượng phương sai sai số thay đổi là hiện tượng mà các phương sai của đường hồi quy của tổng thể ứng với các biến độc lập là khác nhau (phương sai không là một hằng số).

- Khi nghiên cứu mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển người ta giả thiết rằng : phương sai của mỗi một ngẫu nhiên Ui trong điều kiện giá trị đã cho của biến giải thích Xi là không đổi, nghĩa là:

Về mặt đồ thị, mô hình hồi quy 2 biến có phương sai không đổi được minh họa:

Ngược lại trong trường hợp phương sai của Yi thay đổi khi Xi thay đổi có nghĩa là:

Mô tả bằng đồ thị:

2. Nguyên nhân.

• Do bản chất của các mối liên hệ kinh tế: có nhiều mối liên hệ kinh tế đã chứa đựng hiện tượng này Ví dụ như quan hệ giữa thu nhập và tiết kiệm: nếu thu nhập tăng thì mức độ biến động của tiết kiệm cũng tăng

• Do kỹ thuật thu thập và xử lý số liệu ngày một cải tiến, sai lầm phạm phải ngày một ít hơn nên dường như sẽ giảm

• Con người rút được kinh nghiệm từ những hành vi trong quá khứ

• Có các quan sát ngoại lai (quan sát khác biệt rất nhiều với các quan sát khác trong mẫu) Việc đưa vào hay loại bỏ các quan sát này ảnh hưởng rất lớn tới phân tích hồi quy

• Mô hình định dạng sai, có thể do bỏ sót biến thích hợp hoặc dạng giải tích của hàm là sai

3. Hậu quả.

+ Các ước lượng bình phương nhỏ nhất là ước lượng tuyến tính không chệch nhưngkhông hiệu quả + Ước lượng của các phương sai sẽ bị chệch, như vậy làm mất hiệu lực khi kiểm định

+ Việc dung thống kê T & F để kiểm định giả thuyết không còn đáng tin cậy nữa,

do đó kết quả kiểm định không còn đáng tin cậy nữa

+ Kết quả không dự báo không còn hiệu quả nữa khi sử dụng các ước lượng bình phương nhỏ nhất có phương sai không nhỏ nhất Nghĩa là nếu sử dụng các hệ số ước lượng tìm được bằng phương pháp khác mà chúng không chệch mà có phương sai nhỏ hơn các ước lượng OLS thì kết quả dự báo sẽ tốt hơn

XÉT TRÊN SỐ LIỆU THỰC TẾ

BẢNG THỐNG KÊ THU NHẬP CÁ NHÂN HÀNG THÁNG TẠI PHƯỜNG CẦU DIỄN

Trong đó:

Y : là thu nhập của cá nhân trong một tháng ở khu vực phường Cầu Diễn (đv: nghìn đồng)

X: trình độ học vấn ( quy ước 1-dưới đại học, 2-đại học, 3-trên đại học)

Z: chức vụ của cá nhân đó ( quy ước 1- không có chức vụ, 2- có chức vụ)

W: số năm kinh nghiệm làm việc của cá nhân (đv: năm)

Thực hiện trên eviews: file new workfile chọn

Unstructured/Undated, nhập 50 vào ô Observations Hiện ra bảng, tiếp tục chọn Quick Empty Group ( Edit Series) hiện ra bảng nhập số liệu vào bảng, sau

đó chọn Quick Estimate Equation sau đó nhập tên biến rồi ấn Ok, ta được bảng sau

Ta tìm được mô hình hồi quy bằng eviews.

= -5448,113 + 4947,152X + 1698,697 Z + 504,7593W

Ý nghĩa của các hệ số hồi quy:

4947,152: khi chức vụ và số năm kinh nghiệm không đổi, trình độ học vấn tăng

1 cấp thì thu nhập cá nhân tăng 4947,152 ngàn đồng

= 1698,697: khi trình độ học vấn và số năm kinh nghiệm không đổi, chức vụ tăng 1 cấp thì thu nhập cá nhân tăng 1698,697 nghìn đồng

= 504,7593: khi trình độ học vấn và chức vụ không đổi, số năm kinh nghiệm tăng lên 1 năm thì thu nhập cá nhân tăng 504,7593 nghìn đồng

A. Phương pháp phát hiện phương sai của sai số thay đổi

(Nhắc lại lý thuyết và chọn, xử lý số liệu bằng các phương pháp)

Do tính chất công việc, trình độ học vấn, kinh nghiệm làm việc,….của mỗi cá nhân

là khác nhau nên thu nhập hàng tháng của mỗi cá nhân là không giống nhau Do vậy chúng ta có bộ số liệu có phương sai thay đổi chúng ta cùng xem xét chúng trên những mặt khác

1.2 Xem xét đồ thị của phần dư

a) Lý thuyết

- Đồ thị của sai số của hồi quy (phần dư) đối với biến độc lập X hoặc giá trị dựđoán Ŷ sẽ cho ta biết liệu phương sai của sai số có thay đổi hay không Phương sai của phần dư được chỉ ra bằng độ rộng của biểu đồ phân rải của phần dư khi X tăng Nếu độ rộng của biểu đồ rải của phần dư tăng hoặc giảmkhi X tăng thì giả thiết về phương sai hằng số có thể không được thỏa mãn.+ Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy gốc để thu được ei

+ Bước 2: Sắp xếp các ei theo chiều tăng của biến Xij nào đó

+ Bước 3: Vẽ đồ thị của ei2 theo biến Xij đã sắp xếp đó Khi đó ta nhận được

5 dạng đồ thị sau:

b) Thực hành trên eviews

Trước tiên ta tạo biến mới:

Proc Forcast Ok : như vậy ta đã tạo được biến

Proc Make residual Series, tại Name for resid series nhập e ok: ta tạo được biến e

Chọn Quick Graph XY line nhập e ymu ok: t được đồ thị phần

dư và

Từ hàm hồi quy mẫu ta có được đồ thị của phần dư:

Đồ thị phần dư và

Tương tự ta có Đồ thị và : thay vì nhập ta nhập

Đồ thị và Nhìn vào 2 đồ thị của phần dư và phần dư bình phương đối với chúng ta thấy rằng

độ rộng của biểu đồ giải tăng lên khi tăng Có thể nói rằng phương sai của sai số thay đổi khi tăng

Trong đó Park đã đã tiến hành hình thức hóa phương pháp đồ thị cho rằng σi2

là hàm nào đó của biến giải thích X dạng hàm mà ông đề nghị là:

σi2= σ2.Xiβ2.ev

i

lấy ln hai vế ta được

ln σi2=ln σ2 + β2.lnXi+vi

trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên

Vì σi2 chưa biết nên Park đã đề nghị sử dụng ei2 thay cho σi2 và ước lượng hồi sau:

lnei2=ln σi2 + β2.lnXi+vi =β1 + β2.lnXi+vi

Trong đó β1= ln σi2 , ei2 thu được từ hồi quy gốc

Như vậy, để thực hiện kiểm định Park thì tiến hành các bước sau:

+ Bước 1: Ước lượng hồi quy gốc, cho dù có hay không tồn tại hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

+ Bước 2: Từ hồi quy gốc, thu được các phần dư sau đó bình phương chúng được

ei2 rồi đến lấy lnei2

+ Bước 3: Ước lượng hồi quy trong đó biến giải thích Xi là biến giải thích trong hồiquy gốc, nếu có nhiều biến giải thích có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích , hoặc có thể ước lượng hồi quy đối với mỗi biến giải thích, trong đó với

Ta sử dụng hồi quy của ln theo ln thực hiện các bước sau

Quick Estimate Equation, sau đó điền log(e^2) c log(x) vào ô rồi chọn Ok (chọn X là biến giải thích chính) Ta được kết quả sau

Kiểm định giả thiết:

Nếu H0 bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Kiểm định Glejser cũng tương tự kiểm định Park Sauk hi thu được phần dư

ei từ hồi quy gốc theo phương pháp bình phương nhỏ nhất Glejser đã đề nghị hồi

quy giá trị tuyệt đối của ei đối với biến Xi nào đó mà có thể kết hợp chặt chẽ với σi2

Trong thực nghiệm Glejser sử dụng hàm hồi quy phụ sau:

Trong các mô hình hổi quy phụ nêu trên, nếu giả thiết H0:β2 =0 bị bác bỏ thì

có thể cho rang mô hình hổi quy gốc có phương sai sai số thay đổi

Cần lưu ý rằng kiểm định Glejser cũng có vấn đề như kiểm định Park như: E(Vi)≠0, Vi có tương quan chuỗi Tuy nhiên Glejser cho rằng với mẫu lướn thì bốn

mô hình trên cho ta kết quả tốt trong việc phát hiện phương sai sai số thay đổi Do vậy mà kiểm định Glejser được sử dụng như một công cụ chuẩn đoán mẫu lớn

b) Thực hành trên eviews

Ta thực hiện hồi quy = + X +

Ta cũng chọn X là biến giải thích chính: chọn Quick Estimate Equation, rồi điền vào bảng abs(e) c x Ok Ta được kết quả sau

Kiểm định giả thiết: H0: β2=0 và H1: β2≠0

Nếu giả thiết H0 bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Theo bảng trên ta có: P-Value=0,0051<α=0,05

Bác bỏ H0 , chấp nhận H1.

 Có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

• Mô hình hồi quy

| ei|=β1+β2 + vi

Sử dụng eview cho kết quả sau: ( thực hiện tượng tự như trên, khi nhập vào bảng nhập: abs(e) c sqr(x) rồi chọn Ok)

Kiểm định giả thiết: H0: β2=0 và H1: β2≠0

Nếu giả thiết H0 bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Theo bảng trên ta có: P-Value=0,0095< α=0,05

Bác bỏ H0, chấp nhận H1

 Có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

• Mô hình hồi quy

| ei|=β1+β2 + vi

Sử dụng eview cho kết quả sau: ( cũng thực hiện tương tự các bước như trên nhưng khi nhập vào bảng thay bằng: abs(e) c 1/x rồi chọn Ok)

Kiểm định giả thiết: H0: β2=0 và H1: β2≠0

Nếu giả thiết H0 bị bác bỏ thì có thể kết luận về sự tồn tại của hiện tượng phương sai của sai số thay đổi

Theo bảng trên ta có: P-Value=0,0374< α=0,05

Yi=β1+β2.Xi +Ui

Giả sử σi2 có liên hệ dương với biến X theo cách sau:

σi2= σ2.Xi2

Trong đó σi2 là hàng số Giả thiết này có nghĩa là σi2 tỷ lệ với bình phương của biến X Nếu giả thiết trên là thích hợp thì điều này có nghĩa là khi X tăng σi2

cũng tăng

Các bước kiểm định Goldfeld-Quandt gồm các bước sau:

+ Bước 1: Sắp xếp các quan sát theo giá trị tăng dần về giá trị của biến X

+ Bước 2: Bỏ c quan sát ở giữa theo cách sau:

Đối với mô hình 2 biến George G.Judge đề nghị:

c=4 nếu cỡ mẫu khoảng n=30

c=10 nếu cỡ mẫu khoảng n=60

Và chia số quan sát còn lại thành hai nhóm, trong đó mỗi nhóm có quan sát

+ Bước 3: Sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất ước lượng tham số hàm hồiquy đối với quan sát đầu cuối: thu được tổng bình phương các pần dư của RSS1, RSS2 tương ứng Trong đó RSS1 đại diện cho RSS2 từ hồi quy tương ứng với các giá trị của Xi nhỏ hơn RSS2 -ứng với các giá trị Xi nhỏ hơn Bậc tự do tương ứng hoặc Trong đó k là số các tham số được ước lượng kể cả hệ số chặn (trường hợp

2 biến k=2)

+ Bước 4: Tính

Nếu Ui là phân phối chuẩn và nếu giả thiết về phương sai có điều kiện không đổi được thỏa mãn thì F tuân theo phân phối F với bậc tự do ở tử số và mẫu số là (n-c-2k)/2, nghĩa là F có phân phối F(df,df).

Trong ứng dụng nếu F tính được lớn hơn điểm giới hạn F ở mức ý nghĩa mong muốn, thì chúng ta có thể từ bỏ H0: phương sai có điều kiện không đổi, nghĩa là có thể nói có thể phương sai sai số thay đổi

Chú ý:

-Trong trường hợp các biến giải thích X nhiều hơn 1 thì việc sắp xếp các quan sát trong kiểm định ở bước 1 có thể làm đối với một biến bất kỳ trong các biến giải thích đố Chúng ta có thể tiến hành kiểm định Park đối với mỗi biến X Tuy nhiên , kiểm định này chỉ phù hợp khi chúng ta biết phương sai của sai số có quan hệ với chỉ 1 biến giải thích, nếu là hồi quy đa biến thì kiểm định này sẽ không phù hợp do không biết biến giải thích nào liên quan với sai số ngẫu nhiên

-Theo kinh nghiệm của các nhà kinh tế lượng thì số quan sát bị loại bỏ khoảng 20%tổng số quan sát mà không nhất mà không phải bỏ đi các quan sát ở giữa Trong trường hợp đó cần phải xác định số bậc tự do cho thích hợp Các thử nghiệm theo phương pháp Monte Carlo thi c=8 nếu n khoảng 30, c=6 nếu n khoảng 60

b) Thực hiện trên eviews

2.4 Kiểm định white

a) Lý thuyết

Kiểm định BJG cần U có phân bố chuẩn, White đề nghị một thủ tục không đòi hỏi U có phân bố chuẩn kiểm định này là kiểm định tổng quát về sự thuần nhấtcủa phương sai

Xét mô hình sau đây:

Yi = β1 + β2 X2 + β3X3 + Ui (1)

+ Bước 1: Ước lượng (1) bằng OLS Từ đó thu được các phần tử dư tương ứng + Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây:

ei2 = α1 + α2X2 + α3X3 + α4X22 + α5X33 + α6X2X3 + Vi (2) (2) có thể số mũ cao hơn và nhất thiết là phải có hệ số chặn bất kể mô hình gốc cóhay không có hệ số chặn

R2 là hệ số xác định bội thu được từ (2)

+ Bước 3: Với H0 : phương sai của sai số không đổi, có thể chia ra rằng: nR 2 có phân xấp xỉ �2 (df ) df bằng số hệ số của mô hình (2) không kể hệ số chặn

+ Bước 4: Nếu không vượt quá giá trị 2

α(df ), thì giả thiết không có cơ sơ để bác

bỏ Điều này nói trong mô hình (2): α2 = α3 = = α6 = 0 Trong trường hợp ngược lại giả thiết bị bác bỏ

Ta nhận thấy rằng bậc tự do của tăng nhanh khi có thêm biến độc lập Trong nhiều trường hợp người ta có thể bỏ các số hạng có chứa tích chéo , XiXj , i ≠ j Ngoài ra trong trường hợp có sai lầm định dạng, kiểm định White có thể đưa ra nhận định sai lầm là phương sai của sai số thay đổi trong trường hợp phương sai của sai số là đồng nhất

b) Kiểm định trên eviews

Ta thực hiện hồi quy hàm sau:

=

Trên bảng kết quả của phương pháp ước lượng bình phương nhỏ nhất, chọn View Residual Tests White Hetereskedasticity (no cross terms) hoặc White Hetereskedasticity ( cross terms) ta được kết quả sau:

Ta có P-value = 0.020027 < = 0.05 nên bác bỏ

Vậy phương sai của sai số thay đổi

2.5 Kiểm định dựa trên biến phụ thuộc

+ Bước 1: Ước lượng mô hình ban đầu bằng OLS Từ đó thu được ei và i

+ Bước 2: Ước lượng mô hình sau đây bằng OLS:

ei2 = α1 + α2i2 + vi

Từ kết quả này thu được R 2 tương ứng Có thể sử dụng hai kiểm định sau đây để kiểm định giả thiết:

H 0 : Phương sai của sai số không thay đổi

H1: Phương sai của sai số thay đổi

Có phân bố F(1,n−2)

Nếu F > F α (1, n-2) thì hệ số α 2 ≠ 0, có nghĩa H0 bị bác bỏ

b) Kiểm định trên eviews

Ta hồi quy theo : chọn Quick Quick Estimate Equation, rồi điền vào bảng e^2 c ymu^2 Ok Ta được kết quả sau

+) Kiểm định

n = 50 0,135489 = 6,77445 > = 3,84 Vậy bác bỏ

+) Kiểm định F

F = = ( = 7,522735 > Vậy bác bỏ

Từ việc kiểm định 2 tiêu chuẩn trên ta thấy có hiện tượng phương sai của sai số thay đổi.

2.6 Kiểm định Brensch – Pagan – Godfrey (BPG)

Xét mô hình hồi qui k biến sau:

Kiểm định Breusch – Pagan– Godfrey qua các bước sau:

+ Bước 1:Ước lượng (1) bằng phương pháp OLS để thu được phần dư e1, e2, …, en.+ Bước 2: Tính

2 =

+ Bước 3: Xây dựng biến pi = ei / 2

+ Bước 4: Hồi quy p i theo các biến Zi dưới dạng:

trong đó vi là số hạng ngẫu nhiên của hồi qui này

+ Bước 5: Thu được ESS (tổng các bình phương được giải thích) từ (*) và xác định:

Giả thuyết rằng Ui có phân phối chuẩn và khi cỡ mẫu n tăng lên vô hạn thì

Tức là θ sẽ xấp xỉ �2 với m– 1 bậc tự do

Như vậy, nếu trong áp dụng mà ta tính được θ vượt giá trị tra bảng �2 với m –

1 bậc tự do với mức ý nghĩa đã chọn, thì chúng ta bác bỏ giả thuyết H0 về phương sai đồng đều Ngược lại, chúng ta có thể chấp nhận nó

(Chú ý: Kiểm định này chỉ phù hợp khi chúng ta biết phương sai của sai số

có quan hệ với chỉ 1 biến giải thích, nếu là hồi quy đa biến thì kiểm định này sẽ không phù hợp do không biết biến giải thích nào liên quan với sai số ngẫu nhiên.)

2.7 Kiểm định tương quan hạng của Spearman

Hệ số tương quan hạng có thể dùng để phát hiện ra phương sai của sai số thay đổiXét mô hình:

=

+ Bước 1: Ước lượng hồi quy trên tập số liệu đối với Y và X thu được phần dư + Bước 2: Xếp hạng và theo thứ tự giảm hoặc tăng, tính = hạng – hạng , sau đó tính hệ số tương quan hạng Spearman

+ Bước 3: giả sử hệ số tương quan hạng của tổng thể là bằng 0 và n>8 thì ý nghĩa của hệ tương quan hạng mẫu có thể được kiểm định bằng tiêu chuẩn t sau:

Với bậc tự do df = n-2

Nếu giá trị t tính được vượt điểm giới hạn t, chúng ta có thể chấp nhận giả thiết phương sai của sai số thay đổi nếu mô hình hồi quy có biến giải thích thì có thể tính giữa với mỗi biến X riêng và có thể kiểm định ý nghĩa thống kê bằng tiêu chuẩn ở trên

B. Biện pháp khắc phục

Khi đã biết , chúng ta có thể dễ dàng khắc phục hiện tượng phương sai của sai số thay đổi bằng cách sẻ dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất có trọng số đã trìnhbày ở trên

Có mô hình hồi qui mẫu 2 biến:

Giả sử rằng phương sai sai số σ2 đã biết; nghĩa là phương sai sai số của mỗi quan sát đã biết, chia hai vế của mô hình cho σ đã biết

Y = β + β +