bài toán tự tương quan

Bài 8: Tự tương quan 117 BÀI 8. TỰ TƯƠNG QUAN Mục tiêu Sau khi kết thúc bài, học viên sẽ hiểu được những vấn đề sau đây: • Hiện tượng Tự Tương Quan (TTQ) xảy ra khi nào? • Nguyên nhân và hậu quả của TTQ. • Làm thế nào để phát hiện TTQ. • Các biện pháp khắc phục TTQ. Nội dung Hướng dẫn học • TTQ là gì? • Nguyên nhân và hậu quả của TTQ. • Phát hiện hiện tượng TTQ trong mô hình. • Khắc phục TTQ. Thời lượng • 8 tiết • Cần nắm được bản chất của hiện tượng đó là khi một giả thiết của phương pháp OLS không thỏa mãn. • Tập trung vào hậu quả chính của hiện tượng này đó là làm cho các ước lương OLS sẽ là các ước lượng không hiệu quả. • Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp phát hiện ra hiện tượng. • Hiểu rõ ý tưởng của các phương pháp khắc phục hiện tượng. Bài 8: Tự tương quan 118 TÌNH HUỐNG DẪN NHẬP Tình huống Khi nghiên cứu một vấn đề nào đó bằng phương pháp kinh tế lượng, ta đều sử dụng một mô hình hồi quy và để ước lượng mô hình hồi quy, ta thường dùng phương pháp OLS (bài học số 3). Tuy nhiên, để thực hiện được phương pháp OLS thì về mặt kỹ thuật, một giả thiết trong mô hình cần thỏa mãn. Đó là giả thiết về sự không có sự tương quan giữa các nhiễu ngẫu nhiên (không có tự tương quan). Về bản chất thì giả thiết này muốn ngụ ý rằng quan sát của biến phụ thuộc ở thời điểm này sẽ không có quan hệ với quan sát của biến phụ thuộc ở thời điểm khác. Ta lấy ví dụ cụ thể, Việt Nam khi nghiên cứu về GDP phụ thuộc vào vốn đầu tư theo các năm. Vì GDP của Việt Nam nói riêng và các quốc gia trên thế giới nói chung thay đổi thường có tính chu kì nên các quan sát ở thời điểm khác nhau thường có quan hệ nào đó với nhau. Câu hỏi Vấn đề là hậu quả của việc giả thiết trong mô hình kinh tế lượng không thỏa mãn là gì? Bài 8: Tự tương quan 119 Mô hình hồi quy tuyến tính cổ điển đã dựa vào một giả thiết hết sức quan trọng là giữa các sai số ngẫu nhiên i u không có sự tương quan, tức là ( ) ij Euu 0 = , ij ∀ ≠ . Tuy nhiên trong thực tế, đối với số liệu dạng chuẩn thời gian, giả thiết này thường hay bị vi phạm. Do vậy các câu hỏi đặt ra là trong trường hợp này ta còn có thể áp dụng phương pháp OLS hay không, sự vi phạm giả thiết này sẽ dẫn tới hậu quả gì và biện pháp khắc phục hiện tượng đó bằng biện pháp nào. Bài này sẽ giải quyết các vấn đề nêu trên. 8.1. Bản chất của hiện tượng tự tương quan. Mô hình hồi quy được gọi là có hiện tượng tự tương quan nếu các sai số ngẫu nhiên i u không độc lập với nhau, tức là () ij Cov u , u 0, i j≠∀≠. Bản chất của vấn đề là do đâu. Trong các bài đầu đã chỉ ra nguyên nhân sự có mặt trong mô hình của yếu tố ngẫu nhiên i u, được gọi là sai số ngẫu nhiên, đó là: • Có những biến nào bị loại khỏi mô hình; • Bản chất phi tuyến của mô hình bị bỏ qua; • Có các yếu tố ngẫu nhiên và các tác động không dự đoán được. Các nhân tố trên đây có thể dẫn đến hiện tượng các sai số tương quan với nhau. Giả sử trong mô hình có hiện tượng tự tương quan, tức là ( ) ts Cov u , u 0, t s ≠ ∀≠ Khi đó sai số ở giai đoạn t là tương quan với sai số ở giai đoạn s. Ta có biểu diễn hiện tượng tự tương quan qua sự phụ thuộc giữa các sai số theo phương trình như sau: BÀI TOÁN Giả thiết 1: Trong mô hình t12t t YXu=β +β + (8.1) Sai số t u phụ thuộc vào sai số t1 u − ở giai đoạn t –1 theo phương trình tt1t uu − =ρ +ε (8.2) với 11− <ρ< . Giả thiết 2: Các sai số t ε trong (8.2) là độc lập với nhau và () ( ) 22 tt E0;Eε= ε=σ<∞ 8.2. Ước lượng bình phương nhỏ nhất khi có tự tương quan Xét mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan t122t33t kktt Y X X X u = β+β +β + +β + (8.3) tt1t uu ,1 1 − = ρ +ε − <ρ< Bài 8: Tự tương quan 120 Ta sẽ áp dụng phương pháp OLS để ước lượng phương trình hồi quy (8.3). Do các giả thiết của OLS bị phá vỡ nên ta cần phải biến đổi (8.3) để đưa về dạng thích hợp. Cochrane và Orcutt đã đưa ra phương pháp biến đổi như sau. Từ (8.3) ta có () () () () 12 3 k t1 t1 2t1 3t1 kt1 Y X X X u − −−−− =β +β +β + +β + (8.4) Ta lấy (8.3) trừ đi (8.4) nhân với ρ , ta có : () () () ( ) t122t t1 2t1 YY 1 X X −− −ρ =β −ρ +β −ρ () () () ( ) 33t kkt 3t 1 kt 1 X X X X −− +β −ρ + +β −ρ tt1 uu − + −ρ . (8.4) Đặt: () * tt t1 YY Y − =−ρ ; () * it it it 1 X X X ,i 2,3, , k − =−ρ = ; () * 11 1β=β −ρ. Từ đó dẫn đến ** * * * t122t33t kktt Y X X X=β +β +β + +β +ε . (8.5) Mô hình này trở thành mô hình hồi quy tuyến tính thông thường với các giả thiết cần thiết được đảm bảo.Vậy áp dụng OLS cho (8.5) ta ước lượng được các hệ số hồi quy. 8.3. Phát hiện hiện tượng tự tương quan. Trong mục này chúng ta xem xét một số phương pháp xác định hiện tượng tự tương quan của mô hình hồi quy. • Kiểm định Durlin – Watson Kiểm định Durlin – Watson là một trong những phép kiểm định được dùng đầu tiên và khá hiệu quả để phát hiện hiện tượng tự tương quan trong mô hình hồi quy. Xét mô hình hồi quy t122t33t kktt Y X X X u=β +β +β + +β + (8.6) Rõ ràng nếu giữa các sai số có hiện tượng tự tương quan bậc 1 thì mối quan hệ giữa chúng có thể biểu diễn dưới dạng phương trình hồi quy tt1t uu − =ρ +ε , 11 − <ρ< . Khi ấy việc kiểm định tính tự tương quan bậc 1 của sai số trong mô hình (8.6) có thể tiến hành thông qua thống kê Durbin – Watson Bài 8: Tự tương quan 121 () n 2 tt1 t2 n 2 t t1 ˆˆ uu d ˆ u − = = − = ∑ ∑ (8.7) Ta có thể biến đổi (8.7) để thu được công thức sau: tt1 2 t ˆˆ uu ˆ d 2(1 ) 2(1 ) u − =− ≈−ρ ∑ ∑ , với ˆ ρ là ước lượng của ρ . Do ˆ ||1 ρ ≤ nên 0d4 ≤ ≤ . Khi d2≈ thì 0ρ= , do đó nếu giá trị thống kê d2≈ thì có thể kết luận trong mô hình không có tự tương quan bậc một giữa các sai số. Ta có thể thiết lập giả thuyết 0 H: 0ρ= với đối thuyết 1 H: 0ρ> hoặc 1 H: 0 ρ < . Dựa trên lý luận đó, có thể tiến hành các bước kiểm định như sau: o Bước 1 : Ước lượng mô hình OLS và tính phần dư t ˆ u. o Bước 2: Tính giá trị thống kê Durbin – Watson (8.7) và tra bảng giá trị tới hạn của thống kê Durbin – Watson để có các giá trị tới hạn trên U d và giá trị tới hạn dưới L d của thống kê đó. o Bước 3a: Xét bài toán kiểm định (tương quan chuỗi dương) 0 1 H: 0 H: 0 ρ= ⎧ ⎨ ρ> ⎩ Khi đó, Nếu L dd ≤ thì bác bỏ giả thuyết 0 H; Nếu U dd≥ chấp nhận giả thuyết 0 H; Nếu LU ddd<< thì chưa kết luận được gì. o Bước 3b: Xét bài toán kiểm định (tương quan chuỗi âm) 0 1 H: 0 H: 0 ρ= ⎧ ⎨ ρ< ⎩ Nếu U d4d < − thì chấp nhận 0 H; Nếu UL 4d d 4d − ≤≤− thì chưa có kết luận ; Nếu L 4d d 4 − << thì bác bỏ 0 H; Kết hợp hai trường hợp trên, ta có quy tắc kiểm định Durbin – Waston như trong sơ đồ sau: Bài 8: Tự tương quan 122 • Phương pháp kiểm định Breusch-Godfrey Phương pháp kiểm định Durbin – Watson trên đây chỉ cho phép phát hiện tự tương quan bậc một, tức là chỉ cho biết quan sát tại mỗi thời điểm có phụ thuộc vào quan sát ở thời điểm liền kề hay không. Phương pháp đó không phát hiện được tự tương quan bậc cao hơn 1, tức là không cho biết liệu có mối quan hệ giữa các quan sát ở cách xa nhau hơn 1 hay không. Khi cỡ mẫu lớn, tức là khi số liệ u được quan sát ở khoảng thời gian dài, ta có thể sử dụng phương pháp Breusch-Godfrey để phát hiện quan hệ tự tương quan bậc cao. Xét mô hình t122t kktt Y X X u=β +β + +β + . (8.8) Giả sử mối quan hệ giữa các thành phần nhiễu t u có thể được biểu diễn thành phương trình tự hồi quy t1t12t2 ptpt u u u u −− − =ρ +ρ + +ρ +ε , (8.9) trong đó t ε là thành phần nhiễu ngẫu nhiên thuần túy có kỳ vọng bằng 0 và phương sai không đổi. Ta có bài toán kiểm định giả thuyết 01 2 p 1i H : 0 H : 0,i 1,2, ,p ρ=ρ= =ρ= ⎧ ⎨ ∃ρ ≠ = ⎩ Khi giả thuyết 0 H được chấp nhận thì ta có thể khẳng định trong mô hình hồi quy (8.8) không có hiện tượng tự tương quan bậc nhỏ hơn hoặc bằng p, tức là có sự độc lập giữa các quan sát không cách xa nhau quá p bước trong chuỗi thời gian. Mô hình (8.9) được hiểu như mô hình hồi quy bội với p biến độc lập, do đó ta có thể dùng phương pháp 2 χ để kiểm định giả thuyết 0 H (do vậy phương pháp này còn được gọi là phương pháp kiểm định 2 χ ). Các bước kiểm định được tiến hành như sau: Bước 1: Ước lượng mô hình hồi quy gốc (8.8) để tính các phần dư t ˆ u. Bước 2: Với các phần thu được, lập bộ số liệu mới gồm n - p quan sát để tiến hành ước lượng mô hình (8.9) và thu được hệ số xác định 2 R của mô hình này. Khi đó thống kê () 22 npRχ= − có phân phối khi-bình phương với p bậc tự do. Bước 3: Với mức ý nghĩa α đã định, tìm giá trị tới hạn 2 (p) α χ để so sánh với giá trị của thống kê tính được ở bước trên, rồi đưa ra quyết định bác bỏ giả thuyết 0 H nếu 22 (p) α χ>χ , ngược lại thì ta chấp nhận 0 H và kết luận có tính độc lập giữa các quan sát trong mô hình (8.8). 1 H: 0ρ> 1 H: 0 ρ < Chấp nhận 0 ρ = Chưa kết luận Chưa kết luận Bác bỏ 0ρ= Bác bỏ 0ρ= 0 2 4 d L d U 4 – d U 4 – d L Bài 8: Tự tương quan 123 Ví dụ 1: Nghiên cứu về tình hình phát triển sản xuất trong khu vực công nghiệp của Việt Nam theo dõi trong các năm từ năm 1976 đến năm 1995, ta có bảng số liệu với các con số hàng năm về tổng sản lượng Y, tổng lực lượng lao động 2 X và tổng số vốn đầu 3 X của toàn ngành như sau: Năm X 2 X 3 Y 1976 2.000000 2.000000 46266.00 1977 5.657601 2.000000 58865.00 1978 2.000000 3.998823 37392.00 1979 5.657601 3.998823 107915.0 1980 2.000000 6.001443 133026.0 1981 10.38124 2.000000 127848.0 1982 5.657601 6.001443 154107.0 1983 10.38124 3.998823 226500.0 1984 10.38124 6.001443 146649.0 1985 2.000000 2.000000 31448.00 1986 2.000000 3.998823 70778.00 1987 5.657601 2.000000 70658.00 1988 5.657601 3.998823 118409.0 1989 2.000000 6.001443 90536.00 1990 10.38124 2.000000 73843.00 1991 5.657601 6.001443 159804.0 1992 10.38124 3.998823 225100.0 1993 10.38124 6.001443 167678.0 1994 5.657601 3.998823 88699.00 1995 2.000000 2.000000 53852.00 Ta cần biết trong mô hình hồi quy của Y theo hai biến độc lập 23 X,X có sự tương quan của các sai số hay không. Sử dụng phần mềm Eviews để tiến hành phép kiểm định Durbin – Waston, ta có kết quả sau: Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 11/11/09 Time: 18:12 Sample: 1 20 Included observations: 20 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -21717.59 22180.83 -0.979116 0.3413 X2 10751.92 2165.515 4.965061 0.0001 X3 17662.45 4533.201 3.896242 0.0012 R-squared 0.715471 Mean dependent var 109468.7 Adjusted R-squared 0.681997 S.D. dependent var 57734.42 S.E. of regression 32557.46 Akaike info criterion 23.75688 Sum squared resid 1.80E+10 Schwarz criterion 23.90624 Log likelihood -234.5688 F-statistic 21.37391 Durbin-Watson stat 2.289076 Prob(F-statistic) 0.000023 . Bài 8: Tự tương quan 117 BÀI 8. TỰ TƯƠNG QUAN Mục tiêu Sau khi kết thúc bài, học viên sẽ hiểu được những vấn đề sau đây: • Hiện tượng Tự Tương Quan (TTQ) xảy ra. nhất khi có tự tương quan Xét mô hình hồi quy có hiện tượng tự tương quan t122t33t kktt Y X X X u = β+β +β + +β + (8.3) tt1t uu ,1 1 − = ρ +ε − <ρ< Bài 8: Tự tương quan 120 Ta. hiện tượng các sai số tương quan với nhau. Giả sử trong mô hình có hiện tượng tự tương quan, tức là ( ) ts Cov u , u 0, t s ≠ ∀≠ Khi đó sai số ở giai đoạn t là tương quan với sai số ở giai