skkn phát hiện quy luật của bài toán

Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 1 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình PHẦN I. MỞ ĐẦU Vấn đề là một tình huống đặt cho cá nhân hay một nhóm để giải quyết mà khi đối mặt với tình huống đó họ không thấy ngay được con đường để thu được lời giải. Những tình huống hàng ngày được giải quyết một cách tiềm thức, không có sự chú ý đến quy trình nhờ nó ta tìm ra cách giải quyết. Sự ý thức về phương pháp giải quyết vấn đề hàng ngày sẽ trở nên rõ ràng khi chúng ta tiếp xúc với môi trường mới, nơi mà những cách thức thường dùng để giải quyết không phù hợp hoặc không hiệu quả. Chúng ta phải thích nghi một cách có ý thức với những phương pháp khác để đạt được mục đích của mình. Chúng ta bắt đầu xử lý những thách thức trong đời sống hàng ngày bằng một cách tiếp cận có tính thuật toán và có thể nản lòng nếu cách tiếp cận đó không thích hợp. Trong những trường hợp này chúng ta phải tìm ra một chiến lược cho việc giải quyết vấn đề đó. Nghĩa là chúng ta phải tìm kiếm những kinh nghiệm trước đây để tìm ra con đường mà chúng ta đã giải quyết những vấn đề tương tự trong quá khứ. Cũng như vậy trong toán học học sinh thường làm những bài tập toán với các thuật giải cho sẵn. Tuy nhiên, trong thời đại khoa học công nghệ phát triển như hiện nay, việc phát hiện ra vấn đề và giải quyết nó không khó. Có nhiều chiến lược cụ thể trong giải quyết vấn đề. Theo Stephen Krulik và Jesse A.Rudnick có mười chiến lược phổ biến thường được sử dụng sau. - Phát hiện quy luật. - Phân tích đi lên. - Giải theo một cách nhìn khác. - Giải một bài toán mới đơn giản hơn. - Xét các trường hợp đặc biệt. - Vẽ hình. - Đoán và thử. - Tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu). - Sắp xếp các dữ liệu. - Suy luận logic. Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 2 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Tuy nhiên cũng không phải bao giờ cũng sử dụng cả mười chiến lược cùng một lúc để giải quyết một bài toán. Trong bài viết này tôi chỉ nhắc đến chiến lược “ Phát hiện quy luật ” trong việc tìm lời giải cho một số bài toán cụ thể. Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 3 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình PHẦN II. TÌM KIẾM QUY LUẬT GIẢI MỘT BÀI TOÁN 1. Quy luật trong toán học hay trong thực tế: Một trong những vẻ đẹp của toán học là logic và sự sắp xếp trật tự của nó. Logic được nhìn thấy một cách sự vật như là một quy luật hoặc một chuỗi các quy luật. Người không phải là nhà toán học thường đánh giá cao việc sử dụng các hình cho việc tìm kiếm một quy luật. Nhà toán học sử dụng những quy luật như là một sự trợ giúp để giải quyết các vấn đề ở trong hình học cũng như trong nhiều lĩnh vực khác. Trong chương trình ở trường phổ thông trung học, chúng ta thấy các vấn đề toán học mà những vấn đề này cần được nhận ra quy luật để giải quyết. Ví dụ, để tìm hai số liền nhau trong dãy 1,3,4,7,11,18, chúng ta trước tiên phải tìm kiếm và sau đó nhận ra một quy luật. Một quy luật có thể có là số liền sau hai số là tổng của hai số đứng liền trước. Nhận ra rằng dãy số trong ví dụ này là dãy số Fibonacci (được biết là những số Lucas) dẫn đến hai số tiếp theo cụ thể là 29 và 47. Cũng có thể có những cách tìm ra số đứng sau 18 trong dãy đã cho mà phức tạp hơn. Bây giờ chúng ta tìm hai số hạng tiếp theo trong dãy 1,10,2,7,3,4,4, Không chắc rằng bài toán này có thể được giải quyết lại bằng một cách khác hơn là nhận ra rằng dãy này thật sự có hai dãy riêng biệt trộn lẫn với nhau. Một dãy lập nên từ các số ở vị trí lẻ là 1,2,3,4 (hiệu là 1 ). Một dãy khác lập nên từ các số ở vị trí chẵn là 10,7,4, (hiệu là 3 ). Vì vậy hai số hạng tiếp theo là 1 và 5. Chúng ta phải lưu ý người học rằng tìm kiếm ra quy luật trong một dãy số đã cho không phải bao giờ cũng dẫn đến số hạng tiếp theo một cách duy nhất. Chẳng hạn xem dãy số sau 1,2,4,8,16 số hạng tiếp theo với hầu hết mọi người sẽ là 32 có được bằng cách nhân đôi số hạng trước đó hoặc dùng công thức tổng quát 1 2 n để sinh ra các số hạng của dãy đã cho. Dẫu sao chúng ta có thể bàn cải một cách toán học (đương nhiên hợp lí) rằng số hạng tiếp theo có thể (hay là nên) 31, hai số tiếp theo sẽ là 57 và 99. Dãy này dẫn đến tam giác Pacscal. Chúng ta thường sử dụng các quy luật hoặc tìm kiếm để hình thành quy luật để nhớ các số (mật mã, số điện thoại,…). Chúng ta có thể phát hiện ra các quy luật khác nhau cho cùng một dãy số tuy nhiên các quy luật này sẽ là những công cụ hữu ích trợ giúp trí nhớ của chúng ta. Việc phát hiện ra quy luật cũng sẽ hữu ích chỉ dẫn lộ trình cho Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 4 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình xe ôtô trong đường phố. Khi ngang qua một thành phố mà hầu hết các con đường nằm trên lưới hình chữ nhật, một người tài xế khôn ngoan cố gắng tránh đèn đỏ càng nhiều càng tốt. Sự nhận ra quy luật thường xuyên như thế này được dùng để tránh các nút đèn giao thông. Lưu ý một quy luật có thể làm giảm tối thiểu thời gian hao phí. Năng lực phát hiện ra quy luật được xem là một cách tối ưu để giải quyết vấn đề. Dẫu sao khi sử dụng chiến lược này để giải quyết vấn đề khi mà tính chất của vấn đề chưa được rõ ràng, giải pháp sẽ đơn giản hơn bằng cách tìm ra một quy luật. Ở đây ta áp dụng chiến lược tìm kiếm quy luật để giải quyết một số bài toán liên quan đến các dãy số. 2. Một số bài toán được giải quyết dựa trên phát hiện quy luật: Bài toán 1. Cho tam giác đều có diện tích là 1 đơn vị. Ở bước 1 chia tam giác đó thành 4 tam giác bằng nhau bằng cách nối trung điểm của các cạnh của tam giác đã cho rồi đục lỗ tam giác ở giữa (không xóa cạnh). Ở bước 2 lại chia mỗi tam giác chưa đục lỗ này thành 4 tam giác bằng nhau rồi đục lỗ các tam giác ở chính giữa. Lặp lại quá trình trên vô hạn lần. Gọi n S là tổng các phần diện tích bị đục lỗ sau n bước. a. Hãy tìm . n S b. Kết quả thế nào khi n tiến tới vô cùng. Lời giải. a. Người học có thể vẽ ra đến bước thứ n sau đó họ cố gắng đếm các tam giác bị đục lỗ và cộng các phần diện tích bị đục lỗ đó lại. Tuy nhiên, việc làm này quá cồng kềnh và dễ nhầm lẫn, dễ dẫn đến việc bỏ sót các phần diện tích bị đục lỗ. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng chiến lược tìm kiếm một quy luật để giải bài toán này. Chúng ta hãy bắt đầu với những trường hợp n nhỏ, mở rộng dần cho những trường hợp n lớn hơn và sẽ thấy một quy luật hiện ra. Bước 1: 0 13 tam giác bị đục lỗ có diện tích là 1 . 4 Bước 2: 1 33 tam giác bị đục lỗ, mỗi tam giác có diện tích là 2 1 . 4 Bước 3: 2 93 tam giác bị đục lỗ, mỗi tam giác có diện tích là 3 1 . 4 Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 5 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bước 4: 3 27 3 tam giác bị đục lỗ, mỗi tam giác có diện tích là 4 1 . 4 …………………… Bước :n 1 3 n tam giác bị đục lỗ, mỗi tam giác có diện tích là 1 . 4 n n=1 n=2 n Như vậy, 2 3 1 2 3 4 1 1 1 1 1 3 3 3 3 . 4 4 4 4 4 n n n S       Ta cũng có thể tóm tắt các dữ liệu ở trong một bảng: Số bước 1 2 3 4 … n … Số tam giác bị đục lỗ 1 3 2 3 3 3 … 1 3 n … Diện tích mỗi tam giác bị đục lỗ 1 4 2 1 4 3 1 4 4 1 4 … 1 4 n … Ta có, 2 3 1 3 1 1 3 3 3 3 1 3 4 1 1 . 3 4 4 4 4 4 4 4 1 4 n nn n S                                           b. Khi n tiến ra vô cùng thì 3 4 n    tiến về 0 nên n S tiến về 1. Ta có thể phát biểu bài toán 1 thành bài toán 1' có nội dung tương tự như sau. Bài toán 1’. Cho hình vuông có diện tích là 1 đơn vị. Ở bước 1 chia hình vuông đó thành 4 hình vuông con bằng nhau bằng các đoạn thẳng đi qua các trung điểm của các cạnh hình vuông đã cho rồi đục lỗ hình vuông ở góc phần tư thứ nhất (không xóa cạnh). Ở bước 2 lại chia mỗi hình vuông con chưa đục lỗ này thành 4 hình vuông con bằng Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 6 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình nhau rồi đục lỗ các hình vuông con ở góc phần tư thứ nhất. Lặp lại quá trình trên vô hạn lần. Gọi n S là tổng các phần diện tích bị đục lỗ sau n bước. a. Hãy tìm . n S b. Kết quả thế nào khi n tiến tới vô cùng. Cách giải bài toán này tương tự với cách giải của bài toán trên. n=1 n=2 n Bài toán 2. Trong đường tròn bán kính 1 đơn vị ta nội tiếp một hình vuông, trong hình vuông lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một hình vuông… cứ tiếp tục quá trình như thế. Gọi n R là bán kính đường tròn thứ .n Hãy tìm lim . n n R  n=1 n=2 n Lời giải. Việc vẽ hình đến bước thứ n và tính bán kính n R có thể thực hiện được, tuy nhiên quá trình này khá phức tạp và có thể nhầm lẫn. Thay vào đó ta tính n R với các truờng hợp cụ thể và xem thử có quy luật nào hay không. Chúng ta đang sử dụng chiến lược tìm kiếm quy luật để giải quyết bài toán này. Bước 1: 11 1 1 os . 4 Rc       Bước 2: 21 1 21 os os . 44 2 R R R c c         Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 7 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bước 3: 31 2 32 os os . 44 2 R R R c c         Bước 4: 41 3 43 os os . 44 2 R R R c c         …………. Bước :n 1 1 1 os os . 44 2 n n nn R R R c c           Khi n tiến tới vô cùng thì n R tiến tới 0. Ta có thể phát triển bài toán 2 theo các cách sau đây. Bài toán 2’. Trong đường tròn bán kính 1 đơn vị ta nội tiếp một hình vuông, trong hình vuông lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một bát giác đều, trong bát giác đều lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp một hình vuông…cứ tiếp tục quá trình như thế. Gọi n R là bán kính đường tròn thứ .n Hãy tìm lim . n n R  Lời giải. n=1 n=2 n Bước 1: 1 1 1 1 22 1 1 os os . 48 R c c                Bước 2: 22 1 22 21 os os os . 4 4 8 R R c c c                  Bước 3: 3 1 3 1 22 32 os os os . 8 4 8 R R c c c                  Bước 4: 44 1 22 43 os os os . 4 4 8 R R c c c                  Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 8 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Bước 5: 5 1 5 1 22 54 os os os . 8 4 8 R R c c c                  Bước 6: 66 1 22 65 os os os . 4 4 8 R R c c c                  …………. Bước :n 1 22 11 22 os os , 2 48 os os , 2 1. 48 nn n nn c c n k R c c n k                                       Khi n tiến tới vô cùng thì n R tiến tới 0. Bài toán 2”. Trong đường tròn bán kính 1 đơn vị nội tiếp một hình vuông, trong hình vuông nội tiếp đường tròn, trong đường tròn nội tiếp một hình bát giác đều, trong bát giác đều này lại nội tiếp một đường tròn, trong đường tròn này lại nội tiếp đa giác đều mười sáu cạnh…Mỗi lần trong đường tròn thứ n nội tiếp 1 2 n - giác đều, còn trong đa giác này lại nội tiếp đường tròn thứ 1.n Cho n R là bán kính của đường tròn thứ .n Hãy tìm lim . n n R  Lời giải. Bước 1: 1 1.R  Bước 2: 21 os os . 44 R Rc c   Bước 3: 32 os os os . 8 4 8 R R c c c     Bước 4: 43 os os os os . 16 4 8 16 R R c c c c      …………. Bước :n 1 os os os os os . 2 4 8 16 2 nn nn R R c c c c c        1 1 sin 1 2 2 2 sin os os os os sin sin , lim lim . 2 4 8 16 2 2 2 2 2 n nn n n n n nn n R c c c c R                        Bài toán 3. Tìm số hạng tiếp theo trong các dãy sau: Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 9 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình a. 4, 6, 8, 10, 12, b. 3, 7, 13, 21, 31, 43, c. 1, 2, 7, 22, 53, 106, Lời giải. a. Ta dễ nhận ra dãy này có tính chất số hạng đứng sau hơn số hạng liền trước đó 2 đơn vị. Nhận ra quy luật này học sinh có thể đọc số hạng tiếp theo trong dãy là 14. Nói chung các dãy số không phải bao giờ cũng có một quy luật dễ nhận ra. Tuy nhiên, một vài quy luật của dãy số có thể tìm ra bằng việc xem xét hiệu của hai số hạng liên tiếp trong dãy. Cách tiếp cận này thường được gọi là phương pháp hiệu hữu hạn. Dùng phương pháp này ta đi tìm số hạng tiếp theo trong hai dãy còn lại. b. Quan sát các dãy mới được thành lập từ dãy đã cho bằng cách tính hiệu của hai số hạng liên tiếp trong dãy, ta sẽ phát hiện ra một quy luật trên cơ sở đó để chỉ ra số hạng tiếp theo của dãy. 2 14 57 2 2 2 2 12 10 8 6 4 7 43 31 21 13 3 c. Hoàn toàn tương tự ta sẽ tìm ra quy luật của dãy này. 6 6 6 6 28 22 16 10 4 81 53 31 15 5 1 2 187 106 53 22 7 1 Bài toán 4. Với mười nhát cắt từ một mặt của chiếc bánh hình vuông ta có thể cắt chiếc bánh thành nhiều nhất bao nhiêu miếng bánh. Lời giải. Về mặt toán học, bài toán được phát biểu như sau: “ Trong một mặt phẳng số miền con tối đa 10 L được phân chia bởi 10 đường thẳng là bao nhiêu”. Một cách truyền thống, người học có thể vẽ ra 10 đường thẳng rồi đếm số miền con mà các đường thẳng này sinh ra. Tuy nhiên việc làm này sẽ rất công phu, mất nhiều thời gian và dễ dẫn Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 10 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình đến nhầm lẫn. Ta có thể tính được số miền con trong những trường hợp n nhỏ, vì thế ta sẽ xem có quy luật nào ở đây hay không. Với 1,n    1 1 1 1 2 1. 2 L     Với 2,n    2 2 2 1 4 1. 2 L     Với 3,n    3 3 3 1 7 1. 2 L     Với 4,n    4 4 4 1 11 1. 2 L     Với 5,n    5 5 5 1 16 1. 2 L     ………………. Với 10,n    10 10 10 1 56 1. 2 L     Lúc đó với n bất kì thì số miền con tối đa được phân chia bởi n đường thẳng là   1 1. 2 n nn L   d 1 d 2 d 1 d 3 d 2 d 1 d 4 d 3 d 2 d 1 d 5 d 3 d 2 d 1 d 4 Ta cũng có thể tiếp cận bài toán theo một hướng khác và có thể tìm ra một quy luật khác cho bài toán này bằng phương pháp dùng hiệu hữu hạn. Ta có thể tóm tắt các dữ liệu ở trong một bảng: Số đường thẳng ( n ) 1 2 3 4 5 … 10 Số miền con ( n L ) 2 4 7 11 16 … ? Quan sát các dãy mới được thành lập từ hiệu của hai số hạng liên tiếp trong dãy trước đó ta sẽ phát hiện ra được một quy luật và từ đó ta có thể tính các số hạng tiếp theo. [...]... vật hiện tượng trong tự nhiên các nhà khoa học cố gắng tìm ra quy luật phát sinh, phát triển của nó Trong toán học cũng vậy, việc tìm ra quy luật cho một bài toán đôi khi là chìa khóa để mở ra cách giải cho bài toán đó Quy luật trong toán học được hình thành từ các thao tác tư duy cơ bản như suy đoán, thử đúng sai, thao tác tương tự, khái quát hóa Rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy trong toán, ... toán, đặc biệt là tìm ra quy luật của những con số, những bài toán khơi dậy trong học sinh lòng đam mê toán học Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được một số kết quả nhất định sau : Học sinh khá trở lên nắm được cách phát hiện một bài toán nào đó có tính quy luật, chủ yếu là trong dạy... thức đệ quy trên bằng phương pháp “duỗi dần ra” như sau: Ln  Ln 1  n  Ln 2   n  1  n  Ln 3   n  2    n  1  n    L1  2     n  1  n  2  2     n  1  n  1  1  2     n  1  n  1  n  n  1 2 Để kế thúc bài viết này tôi xin giới thiệu bài toán sau đây, để thấy việc phát hiện quy luật quan trọng như thế nào trong việc giải quy t bài toán Bài toán. .. trong dạy học về dãy số và giới hạn của lớp 11 Là một trong những cách dạy cho học sinh giỏi của lớp 11 nâng cao hơn trong việc suy đoán và tìm quy luật của các bài toán về dãy số Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số Vì kiến thức và thời gian còn nhiều hạn chế nên bài viết này không tránh khỏi thiếu... Cấu tạo của phương trình quả là “phức tạp” Việc quy đồng mẫu thức để giải bất phương trình này xem ra là bất khả thi Tuy vậy, nếu cẩn thận xem xét ta sẽ phát hiện ra rằng, số hạng tổng quát của vế trái có dạng: un  nx với n  1, 2, , 2012  x  1 2 x  1  nx  1 Ta sẽ cố gắng xem có một quy luật nào cho các số hạng un không Ta sẽ bắt đầu với những trường hợp n nhỏ sau đó tìm kiếm quy luật cho... thành đón nhận sự góp ý của Quý Thầy Cô Xin chân thành cảm ơn 13 Giáo viên: Nguyễn Chiến Thắng - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển Sáng tạo trong giải toán phổ thông NXB Giáo dục, 2003 [2] Nguyễn Thái Hoè Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán NXB Giáo dục [3] Trần Vui, 2006 Dạy và học có hiệu quả môn toán theo những xu hướng... Ta có được cận trên của Ln , Ln  Ln1  n Bây giờ ta chỉ ra rằng cận trên này là đạt được bằng cách đặt vị trí của đường thẳng thứ n thoả mãn hai điều kiện: đường thẳng thứ n cắt tất cả n  1 đường thẳng đã có và các giao điểm mới không trùng với các giao điểm đã có Dễ thấy rằng lúc đó ta sẽ có số miền con là Ln1  n Do đó Ln  Ln1  n Vì vậy Ln  Ln1  n và ta có hệ thức đệ quy: Ln  Ln1  n coi... 2006 Dạy và học có hiệu quả môn toán theo những xu hướng mới Tài liệu dành cho học viên cao học PPDH Toán ĐHSP, ĐH Huế [3] Trần Vui, Lương Hà, Lê Văn Liêm, Hoàng Tròn, Nguyễn Chánh Tú, 2005 Một số xu hướng mới trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông Giáo trình bồi dưỡng thường xuyên cho giáo viên toán trung học phổ thông chu kỳ III NXB Giáo dục [4] Alfred S.Posamentier Stephen Krulik Problem-solving... 1 2 x  1  nx  1 Như vậy ta đã biến đổi un  vn1  vn và khi n  1, 2, , 2012 đã xuất hiện các số đối nhau Vậy, bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình sau 1 1  1   x  1 2 x  1  2012 x  1  0  x  1 2 x  1  2012 x  1 Bằng phương pháp phân khoảng ta thu được nghiệm của bất phương trình là mọi 1 1 1 1 1 x thoả 1  x   ,   x   , ,   x 2 3 4 2011...Sáng kiến kinh nghiệm - Năm học 2013-2014 2 4 7 3 2 1 11 4 1 6 5 1 22 16 1 29 7 1 46 37 9 8 1 1 56 10 1 Ta có thể chứng minh bài toán này theo một cách tổng quát như sau Giả sử n  1 đường thẳng đầu tiên đã được sắp xếp để đạt được số tối đa Ln 1 miền con Thêm đường thẳng thứ n nữa, giả sử số miền con sẽ tăng thêm là k , điều . dụng chiến lược tìm kiếm quy luật để giải quy t một số bài toán liên quan đến các dãy số. 2. Một số bài toán được giải quy t dựa trên phát hiện quy luật: Bài toán 1. Cho tam giác đều có.      Để kế thúc bài viết này tôi xin giới thiệu bài toán sau đây, để thấy việc phát hiện quy luật quan trọng như thế nào trong việc giải quy t bài toán. Bài toán 5. Giải bất phương. nghiên cứu sự vật hiện tượng trong tự nhiên các nhà khoa học cố gắng tìm ra quy luật phát sinh, phát triển của nó. Trong toán học cũng vậy, việc tìm ra quy luật cho một bài toán đôi khi là chìa