xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm kiếm với tri thức heuristic

Theo chỗ chúng tôi biết, hiện trong nước chỉ có nhóm của PGS Phan Trung Huy quan tâm xây dựng phần mềm hỗ trợ cài đặt các thuật toán lượng tử đã có, với mục đích thực nghiệm, các nghiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HUỲNH VĂN ĐỨC

XÂY DỰNG THUẬT TOÁN LƯỢNG TỬ

GIẢI BÀI TOÁN TÌM KIẾM VỚI TRI THỨC HEURISTIC

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH

Mã số chuyên ngành: 62 48 01 01

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN

Tp Hồ Chí Minh năm 2013

Công trình được hoàn thành tại:

Khoa Công Nghệ Thông Tin Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS.TSKH Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán Học

2 GS.TSKH Bùi Doãn Khanh, Đại Học Paris VI, Pháp

Phản biện 1: PGS.TS Phan Trung Huy

Phản biện 2: PGS.TS Lê Anh Vũ

Hồ Chí Minh vào lúc giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:

 Thư viện Khoa học Tổng hợp Tp.HCM

 Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên

LỜI CẢM TẠ

Tác giả xin khắc ghi công ơn GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp, Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; GS TSKH Bùi Doãn Khanh, Đại học Paris VI, Cộng hòa Pháp, những người thầy đáng kính, đã dày công hướng dẫn và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận

án này

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thành viên trong Hội đồng chấm luận án đã đọc và có các góp ý quý báu để tác giả hoàn thiện luận án

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến:

 Quý Thầy Cô Khoa Công nghệ Thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc Gia TP.HCM;

 Quý Thầy Cô, Nhân viên Khoa Hệ thống Thông tin kinh doanh, Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;

 Quý Thầy Cô, Nhân viên Trường Đại học Kinh Tế TP.HCM;

bởi sự quan tâm giúp đỡ tận tâm và thiết thực trong quá trình nghiên cứu cũng như trong quá trình hoàn thành luận án

Xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp, những người thân

đã động viên giúp đỡ trong suốt quá trình thực hiện luận án

Cuối cùng xin cảm ơn người vợ thân yêu và hai con ngoan đã đóng góp giá trị tinh thần to lớn để chồng, cha hoàn thành công việc

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng tôi chọn xây dựng thuật toán lượng tử là vì chúng tôi tin rằng tính toán lượng tử hứa hẹn một cuộc cách mạng trong lĩnh vực khoa học máy tính Niềm tin này càng được củng cố khi sự kiện giải Nobel vật lý năm 2012 được trao cho 2 nhà khoa học Pháp (Serge Haroche)

và Mỹ (David Wineland) vì những phương pháp đột phá của họ liên quan đến khả năng xây dựng máy tính lượng tử Với các nhà tin học, trong lúc chờ đợi các nhà vật lý khắc phục được các rào cản công nghệ để xây dựng máy tính lượng tử, các nghiên cứu về thuật toán vẫn phải được tiến hành Thêm vào đó, hiện trạng nghiên cứu thuật toán lượng tử ở trong nước hầu như im ắng lại càng thôi thúc chúng tôi hơn Theo chỗ chúng tôi biết, hiện trong nước chỉ có nhóm của PGS Phan Trung Huy quan tâm xây dựng phần mềm hỗ trợ cài đặt các thuật toán lượng tử đã có, với mục đích thực nghiệm, các nghiên cứu thuật toán hầu như còn bỏ ngỏ Vì thế chúng tôi cho rằng việc xây dựng thành công thuật toán lượng tử sẽ có một ý nghĩa khích lệ lớn các nhà tin học trong nước Bên cạnh đó chúng tôi còn thấy, trong lúc phép biến đổi Fourier có vai trò hết sức to lớn trong xây dựng thuật toán lượng tử, thì các phép biến đổi khác hầu như vắng mặt, trong đó

có các phép biến đổi xử lý ảnh Chúng tôi cho rằng xây dựng thuật toán lượng tử dựa trên các phép biến đổi xử lý ảnh có thể là một trong những điểm khởi đầu tốt cho các nghiên cứu trong nước

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mục đích Xây dựng thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu, được

biểu diễn bằng hộp đen, dựa trên thuật toán Grover và phép biến đổi Hough, một trong những phép biến đổi có ý nghĩa trong lĩnh vực xử lý ảnh, cho phép bổ sung thông tin heuristic

Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là

phép biến đổi unita, phần chính của một thuật toán lượng tử, giới hạn

trên hộp đen và phép biến đổi trực giao SO(2N)

3 Những kết quả mới của luận án

Bao gồm:

1 Thuật toán lượng tử giải bài toán tìm mẫu với thông tin heuristic

Mẫu chịu tác động của nhóm H và thuật toán nhằm cài đặt hàm Boole f xác định trên H, xác định lời giải bài toán Hàm f được sử

dụng trong thuật toán Grover để giải bài toán Thuật toán cho phép dùng một phần tử nhóm làm heuristic, thu hẹp không gian tìm

kiếm trên một lớp kề của một nhóm con K cho trước

2 Kỹ thuật phân tích hộp đen thành các cổng lượng tử Hộp đen được biểu diễn qua các phần tử đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn Các phần tử này được xây dựng hiệu quả bởi dãy tác động phụ hợp của

các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở của đại số Lie su(2) Dùng kỹ

thuật này, các phép biến đổi so sánh, tịnh tiến và hoán vị dùng để xây dựng thuật toán tìm mẫu cũng được cài đặt hiệu quả

3 Thủ tục phân rã Cartan chuẩn Chọn một phân rã Cartan hạng cực đại từ xuyến tối đại chuẩn của nhóm tương ứng, thủ tục được xây dựng có sự kết hợp của phân rã không gian nghiệm Áp dụng phân

rã đồng thời các phép biến đổi hoán vị, cung cấp một cách cài đặt khác các phép biến đổi của nhóm hoán vị, tùy thuộc ý đồ của người xây dựng thuật toán giải bài toán cụ thể

4 Phương pháp nghiên cứu

1 Cài đặt phép biến đổi Hough Tổng quát hóa phép biến đổi Hough

dưới thuật ngữ tác động nhóm Mô tả các hàm bầu chọn thông qua các phép toán nhóm Mở rộng khái niệm hộp đen lượng giá hàm thành hộp đen nhóm, biểu diễn tác động nhóm, phép toán nhóm, và hàm bầu chọn bằng hộp đen Dùng các hộp đen này và các hộp đen biểu diễn dữ liệu bài toán xây dựng phiên bản lượng tử cho phép biến đổi Hough

2 Cài đặt heuristic Mô tả hàm heuristic qua phép toán nhóm Vẫn

dùng hộp đen biểu diễn nhóm và phép toán hợp thành của nhóm, qua đó thiết kế thuật toán cho phép cài đặt heuristic

3 Cài đặt hộp đen Chéo hóa đồng thời các hộp đen, chuyển bài toán

về khảo sát trên đại số Lie Chọn cơ sở không gian véc tơ thích hợp

và dùng tác động phụ hợp của các cổng CNOT và Toffoli cài đặt hiệu quả các phần tử cơ sở này Phân rã một hộp đen lúc này đơn giản là giải một bài toán đại số tuyến tính Áp dụng cài đặt các hộp đen dùng trong mô hình thuật toán tìm mẫu

4 Phân rã phép biến đổi SO(2N) Chọn một phân rã Cartan từ phân

rã không gian nghiệm hình thành từ các nghiệm định nghĩa trên

xuyến tối đại chuẩn của SO(2N) Cách làm này cho phép phân rã tiếp theo vẫn làm việc với SO(2N) Hơn nữa việc chọn xuyến tối tại

chuẩn đủ tường minh để xây dựng thủ tục phân rã

5 Sử dụng heuristic Mô tả phép biến đổi hoán vị dưới dạng hộp đen

điều khiển cho phép bổ sung heuristic qua các giá trị này Ngoài ra, sắp xếp các phép biến đổi hoán vị dưới dạng tổng trực tiếp cho phép phân rã đồng thời cũng là một cách bổ sung heuristic

5 Cấu trúc luận án

Luận án gồm phần 141 trang, bao gồm:

 Phần mở đầu: 9 trang;

 Chương 1: 28 trang, trình bày tổng quan về thuật toán lượng tử,

tích nửa trực tiếp, cấu trúc đại số Lie và phép biến đổi Hough;

 Chương 2: 29 trang, xây dựng mô hình và khung thuật toán cho bài

toán tìm mẫu với thông tin heuristic, sử dụng tích nửa trực tiếp của nhóm và phép biến đổi Hough;

 Chương 3: 35 trang, trình bày các kết quả nghiên cứu hộp đen thông qua đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn của nhóm Lie SU(N),

các kết quả này giúp cài đặt hiệu quả các phép biến đổi dùng trong xây dựng mô hình thuật toán ở chương 2;

 Chương 4: 27 trang, đề xuất phân rã Cartan chuẩn, là sự kết hợp

giữa phân rã không gian nghiệm và phân rã Cartan; chương này cũng đề xuất một thủ tục phân rã cho phép phân rã các biến đổi trực giao;

 Phần kết luận: 1 trang, liệt kê 3 kết quả mới của luận án;

 Phần kiến nghị: 1 trang, liệt kê 6 công việc cần nghiên cứu tiếp;

 Phần danh mục công trình của tác giả: 1 trang, liệt kê 5 công trình, trong đó 4 bài báo được đăng trên các tạp chí và tuyển tập công trình trong nước, 1 bài báo đăng trong kỷ yếu quốc tế được tổ chức

ở Việt Nam và được in ở Paris, Pháp;

 Phần danh mục các tài liệu tham khảo: 10 trang, liệt kê 114 tài liệu tiếng Anh

Để tiện đối chiếu, bản tóm tắt này phản ảnh trung thực kết cấu, bố cục

và nội dung của luận án bao gồm cả thứ tự đánh số các định nghĩa, bổ

đề, mệnh đề, định lý, công thức

Chương 1 TỔNG QUAN

Trong chương này chúng tôi trình bày vắn tắt về thuật toán lượng tử, nhóm tích bện, cấu trúc đại số Lie, và phép biến đổi Hough Chúng tôi dùng nhóm tích bện cài đặt phép biến đổi Hough trong chương 2; dùng đại số Lie cài đặt hộp đen trong chương 3, qua đó cài đặt một số phép biến đổi quan trọng được sử dụng trong mô hình ; dùng cấu trúc đại số Lie phân rã một số phép biến đổi quan trọng khác trong chương

4 Tất cả nhằm hoàn chỉnh thuật toán tìm mẫu được xây dựng trong chương 2 Sơ đồ sau cung cấp một cái nhìn tổng thể, trong đó phép dịch chuyển bít và phép toán so sánh đã được cài đặt từ trước bởi các tác giả khác

Chương 2 THUẬT TOÁN TÌM MẪU

Trong chương này chúng tôi đề xuất một thuật toán lượng tử cho bài toán tìm mẫu dùng thông tin heuristic dựa trên lý thuyết nhóm Chúng tôi phát biểu bài toán dưới thuật ngữ phép toán nhóm, tổng quát hóa phép biến đổi Hough dùng tác động nhóm, qua đó phát biểu tiêu chuẩn tối ưu thành các đẳng thức dùng các phép toán nhóm Từ đó xây dựng các bước thiết kế thuật toán dễ theo dõi và đáng tin cậy

1 Phát biểu bài toán

Trong thực tế ứng dụng, cấp của H thường rất lớn, chúng tôi quan tâm đến việc tìm h thỏa f(h) = 1 trong một nhóm con K của H, với số phần

tử của K ít hơn rất nhiều so với số phần tử của H Với h như vậy, xét

f được định nghĩa bởi (2.6)

2 Xây dựng thuật toán tìm mẫu

2.1 Mô tả hàm Boole quyết định

Ký hiệu hàm Boole so khớp d p,q xác định p nằm trong q

trong đó d p,q , c và p cho bởi (2.10), (2.11) và (2.12)

Như vậy với p, q thuộc ℱ, ta có

  1   ,   

h p q

Các kết quả dưới đây được chuẩn bị cho việc thiết kế thuật toán

Mệnh đề 2.5

Với p, q tùy ý thuộc ℱ, ta có

1 ,

GB  H   H , trong đó H tác động lên B n

cảm sinh đồng cấu 𝜑, công thức (2.3) Dùng ký hiệu (2.18), ta có

2.2 Thiết kế thuật toán

Với x ∈ Bn và h ∈ H, dùng hộp đen lượng giá mẫu Up

 :

H h

1 Trường hợp m = 1 và f h  1 ch p qc qc p

nh 2.2: Mạng bầu cho h bởi q

Độ phức tạpO2n H vì x chạy trên Bn và dùng Grover

2 Trường hợp m = 1 và f h  1 c q h 1 p c p

nh 2.4: Mạng bầu h bởi p

Độ phức tạp O2k H , với x  x1 x0 , p(x) = 0 khi x1 > 0, và

thanh ghi chứa x0, gồm k qubit

3 Trường hợp tổng quát m > 1 và dùng công thức (2.22)

nh 2.5: Mạng bầu h bởi p tổng quát

Độ phức tạp giống như trường hợp 2

Thiết kế thêm một qubit để bổ sung heuristic, sơ đồ dây sau cài đặt

trường hợp m = 1, có độ phức tạp O2k K 

nh 2.6: Mạng bầu k bởi p dùng heuristic h

Chương 3 HỘP ĐEN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu hộp đen lượng giá hàm

(1.14) thông qua đại số Lie nhờ ánh xạ mũ exp; qua đó, cài đặt hiệu

quả các hộp đen (2.26), (2.27), và (2.28)

1 Biểu diễn hộp đen

Hộp đen lượng giá hàm f là một phép biến đổi unita Uf cho bởi

2 Kỹ thuật phân tích

Khảo sát đại số Lie nửa đơn [33] và lý thuyết nghiệm [111], chúng tôi chọn cơ sở từ tập các đối nghiệm để có thể dùng tác động phụ hợp của nhóm Weyl Chúng tôi xây dựng 2 cơ sở cho đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn, cài đặt chúng với độ phức tạp tuyến tính bằng cách tác

động phụ hợp các cổng CNOT và Toffoli lên cơ sở su(2) Cách làm này hình thành một họ các A phần tử của đại số Lie được cài đặt hiệu

quả giúp cài đặt hiệu quả các hộp đen Ký hiệu

, gọi t là đại số Lie của xuyến tối đại chuẩn T của U(N), ta

có dim( t ) = N, cơ sở chuẩn iB, B = {bj}(j = 0, …, N – 1) được xây dựng như sau: từ biểu diễn nhị phân của j j n1 j j1 0, với v0 = I và v1 = k

Xét tập con A các véc tơ của không gian véc tơ N chiều V trên trường

số thực, có hạng bằng N Ký hiệu Ck là hợp của tất cả các không gian

con sinh bởi k phần tử độc lập tuyến tính tùy ý lấy từ A, ta có

Cố định k, với v thuộc V, tìm khoảng cách của v với Ck Trong thực tế

Dưới tác động của CNOT có thể thay thế một thành phần trong tích

tensor tạo bởi I và h, chúng tôi đề xuất A nên chứa W bởi Hệ quả 3.1

Hệ quả 3.1

Các phần tử của cơ sở W được xây dựng bởi không quá n – 1 lần tác động phụ hợp của cổng CNOT

2.5 Cài đặt cơ sở W con và cơ sở B

Để xây dựng cơ sở W con, cần bổ sung thành phần k, ký hiệu

Phần tử c j được phân rã bởi O(n) lần tác động của cổng Toffoli lên c 0

Như vậy k mh được xây dựng từ w1 với độ phức tạp tuyến tính theo

n Kết hợp với (3.13), suy ra các cơ sở W con được xây dựng với độ phức tạp tuyến tính Chúng tôi đề xuất bổ sung các cơ sở W con vào A Với cơ sở B, bằng cách thêm 1 qubit luôn nhận giá trị 0, chúng tôi cài đặt các phần tử thuộc cơ sở B với độ phức tạp không quá n

Ad I k   I k k h

Bổ sung cơ sở B vào tập A Vì mục tiêu của chương là các hộp đen

(2.26), (2.27), và (2.28) nên chúng tôi không phát triển thêm chi tiết

nh 3.4: Thuật toán cài đặt phép cộng với hằng U+k

3.2 Cài đặt các cổng so sánh

Định lý 3.3

Các hộp đen so sánh U𝜃 (2.27) có thể được cài đặt với độ phức tạp bậc 2 đối với số qubit

Hình 3.5 minh họa hộp đen so sánh bằng cho trường hợp 2 qubit

nh 3.5: Minh họa cài đặt hộp đen so sánh bằng

Dùng các hộp đen dịch chuyển bit

chúng tôi cài đặt U> như được minh họa trong Hình 3.6

nh 3.6: Minh họa cài đặt hộp đen so sánh lớn hơn

3.3 Cài đặt phép biến đổi hoán vị

Chúng tôi cài đặt phép chuyển vị, qua đó cài đặt phép hoán vị, theo một cách thức cho phép đánh số lại tập các hoán vị, giúp cài đặt nhóm con và đưa heuristic vào thuật toán tìm mẫu

Dùng các cổng Deutsch-Toffoli lần lượt đổi từng bit của u, tại đó u và

v khác nhau Bắt đầu từ bit cực phải, nếu bit đang xét cần đổi, viết lại

u = xbz và u = y(1-b)z, tác động phụ hợp của cổng Deutsch-Toffoli chuyển xbz thành x(1-b)z Quá trình được tiếp tục cho đến khi u được

Định lý 3.4 giúp xây dựng hoán vị dựa vào các chuyển vị Ứng với một phần tử trong tích (3.20) dùng một thanh ghi điều khiển để chọn

chuyển vị thích hợp Hình 3.7 minh họa trường hợp n = 4

nh 3.7: Minh họa cài đặt hộp đen nhóm hoán vị

Để ý chỉ số trước của mỗi Txy xác định thanh ghi điều khiển, còn chỉ

số sau đóng vai trò các giá trị điều khiển Cách làm này cho phép thu hẹp miền tìm kiếm lên lớp kề, với phần tử heuristic được xác định gián tiếp qua các thanh ghi điều khiển và các giá trị điều khiển

Vẫn nhóm Sn, sơ đồ cài đặt hộp đen nhóm gồm n thanh ghi đánh số từ dưới lên, bắt đầu từ 0 ; ký hiệu bộ ba (T, k, x) là hoán vị T được điều khiển trên thanh ghi thứ k với giá trị điều khiển là x Một cài đặt cụ thể

là một tích các bộ ba như vậy Chẳng hạn cài đặt trong Hình 3.7 là tích

[(T30,3,1) (T31,3,2) (T32,3,3)][(T20,2,1) (T21,2,2)](T10,1,1), được tách tường minh thành 3 lớp

Bằng cách thay đổi chỉ số lớp và các giá trị điều khiển chúng ta có các

cài đặt khác, chẳng hạn với S4, một cài đặt khác có thể là

(T13,1,1) [(T21,2,1) (T23,2,0)] [(T01,3,0) (T02,3,2) (T03,3,1)], trong đó sắp xếp lại các phần tử {0, 1, 2, 3} thành {3, 1, 2, 0} và đảo ngược thứ tự của các nhóm