Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 1 BÀI TẬP NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) bằng đònh nghóa: 1.CMR hàm số : 2 2 x - x 2 + 1 F(x) = ln x + x 2 + 1 là một nguyên hàm của hàm số 2 4 22(x - 1) f(x) = x + 1 trên R 2. CMR hàm số : 2 x(xlnx - 1) khi x > 0 F(x) = 4 0 khi x = 0 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ là một nguyên hàm của hàm số xlnx khi x > 0 f(x) = 0 khi x = 0 ⎧ ⎨ ⎩ 3. . CMR hàm số : 2 1 x sin khi x 0 F(x) = x 0 khi x = 0 ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ là một nguyên hàm của hàm số 11 2xsin - cos khi x 0 f(x) = xx 0 khi x = 0 ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ trên R 4. . CMR hàm số : là một nguyên hàm của hàm số trên R x 2 e khi x 0 F(x) = x + x + 1 khi x < 0 ⎧ ≥ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x e khi x 0 f(x) = 2x + 1 khi x < 0 ⎧ ≥ ⎨ ⎩ BÀI TẬP 2: Xác đònh các giá trò của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) 1.Xác đònh a; b; c để hàm số bc F(x) = (a + 1)sinx + sin2x + sin 3x 23 là một nguyên hàm của hàm số trên R f(x) = cosx ĐS: a = b = c = 0 2. .Xác đònh a; b; c để hàm số là một nguyên hàm của hàm số 2 F(x) = (ax + bx + c)e -x x2- f(x) = (x - 3x + 2)e 3. .Xác đònh a; b; c để hàm số 2 3 F(x) = (ax + bx + c) 2x - 3 với x > 2 là một nguyên hàm của hàm số 2 20x - 30x + 7 f(x) = 2x - 3 4. Xác đònh a; b để hàm số 2 x khi x 1 F(x) = ax + b khi x > 1 ⎧ ≤ ⎨ ⎩ là một nguyên hàm của hàm số 2x khi x 1 f(x) = 2 khi x > 1 ≤ ⎧ ⎨ ⎩ trên R 5. Xác đònh a; b để hàm số x e - 1 khi x 0 F(x) = x a khi x = 0 ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ là một nguyên hàm của hàm số x 2 (x - 1)e + 1 khi x 0 f(x) = x b khi x = 0 ⎧ ≠ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 2 6. Cho hàm số 4sinx + 3cosx y = f(x) = sin x + 2cosx . Xác đònh các hằng số a để . Từ đó tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) 4sinx + 3cosx = a(sinx + cosx) + b(cosx - 2sinx) BÀI TẬP 3: Tính nguyên hàm của hàm số: () () () 1 2 2 3 3 2 4 2 2 2008 5 2 6 2006 1 Q = dx 2x + 1 + 3 - 2x 2 Q = dx x - 4x + 3 4x - 9x - 1 Q = dx 4x - 9 1 Q = dx x + x + 1 Q x1 - 3xdx x Q = dx 1 - x = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ () 1 3 2 3 3 4 2 5 4 6 4 7 5 23 8 66 9 dx I = 1 + sinx I = 8cosx.sinxdx tgx I = dx cos x 1 I = dx sinx.cos x 1 I = dx cos x 1 I = dx sin x sinx + cosx I = dx sinx - cosx I = 8cosx.sinxdx I = sinx + cosxdx ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 2 x x 3 x- x x + 1 x - 1 4 x 3x - 2 5 6 x 7 3 8 dx M = ; x > 1 x.lnx.ln(lnx) 1 M = dx 1 + e e M = dx e + e 2 - 5 M = dx 10 M = e dx x + 1 M = dx x(xe + 1) 1 M = dx sinx.cos x sinx + cosx M = dx 3 + sin2x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP 4: Tính tích phân 4 2 1 0 2 2 - 2 2 2 3 0 K = sin - x dx 4 K = sin 7x.sin2xdx K = sinx.cos x - dx 4 π π π π π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ ∫ ∫ 4 1 0 3 2 6 1 Q = dx cosx.sin x + 4 1 Q = dx sinx.sin x + 6 π π π π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ ∫ 2 2 1 - 2 5 2 2 4 2 3 - 1 L = x - 1dx 1 L = dx x + 2 + x - 2 L = x - 3x + 2 dx ∫ ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 3 3 4 0 2 3 5 6 6 4 6 4 0 K = cosx.cos5xdx sin x K = dx cos x 1 K = dx cos x π π π π ∫ ∫ ∫ 2 3 0 cos2x Q = dx cosx + 1 π ∫ 2 4 2 1 e 5 1 1 x 6 0 x + 1 Q = dx x + xlnx 2 + lnx Q = dx 2x Q = e dx ∫ ∫ ∫ 4 0 5 0 2 6 0 3 2 7 2 0 L = sin x - cosx dx L = 1 - sin2xdx L = 1 + sinxdx sin x L = dx 1 + cos x π π π π ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP 5:Tích phân đổi biến cơ bản 10 1 2 0 7 3 2 3 2 0 1 32 3 0 2x I = dx x + x + 1 x I = dx x + 1 I = x x + 1dx ∫ ∫ ∫ 6 1 22 0 3 4 2 0 2 32 3 0 sin 2x T = dx 2sin x + cos x tg x T = dx cos2x T = cos x.sin xdx π π ∫ ∫ ∫ () 2 1 3 0 1 2 2 0 22 2 3 0 4sinx A = dx sinx + cosx 12 + x A = ln dx 4 - x 2 - x A = x x + 1dx π ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP 6 : Tích phân đổi biến 3 3 1 0 sin x I = dx cosx + 2 π ∫ 2 2 0 I = m - xxdx ∫ 3 1 4 6 ln3 x 0 1 G = dx cosx.sin x 1 G = dx e + 1 π π ∫ ∫ 2 1 0 2 22 0 sinx + 7cosx + 6 T = dx 4sinx + 3cosx + 5 3sinx + 4cosx T = dx 3sin x + 4cos x π π ∫ ∫ BÀI TẬP 7:Tích phân đổi biến chứa hàm hữu tỉ 2 1 2 1 8 2 2 3 4 3 2 7 1 I = dx xx + 1 1 I = dx xx + 1 1 I = dx xx + 9 ∫ ∫ ∫ 3 1 2 6 3 2 2 6 cosx I = dx sin x 5sinx + 6 cosx I = dx 11 - 7sinx - cos x π π π π − ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 4 BÀI TẬP 8: () 2 2 0 T = max f(x); g(x) dx trong đó f(x) = x và g(x) = 3x - 2 ∫ 1. Tính tích phân 2. Cho hàm số x cos khi x 1 2 f(x) = x - 1 khi x > 1 π ⎧ ≤ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ Xét tính liên tục của hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích phân 3 2 f(x)dx − ∫ 3. . Cho hàm số sinx khi x 2 f(x) = ax + b khi x > 2 π ⎧ ≤ ⎪ ⎪ ⎨ π ⎪ ⎪ ⎩ Xét đònh a; b để hàm số trên toàn trục số . từ đó tính tích phân 2 3 0 f(x)dx π ∫ 4. Tìm các hằng số a; b để 1 0 f(x) = a.sin x + b thỏa mãn f(1) = 2 va ø f(x)dx = 4π ∫ 5. Tìm các hằng số a; b để 1 2 1 2 ab f(x) = + + 2 thỏa mãn f'(x) = - 4 va ø f(x)dx = 2 - 3ln2 xx ∫ 6. Cho f(x) liên tục trên R và thỏa mãn : 3 2 3 - 2 f(x) + f(- x) = 2 - 2cos2x , x R. Tính tích phân I = f(x)dx . HD: Đặt x = - t π π ∀∈ ∫ 7. Cho hai hàm số 32 3 2 f(x) = 3x - x - 4x +1 và g(x) = 2x + x - 3x - 1 2 - 1 a. Giải bất phương trình f(x) g(x) b. Tính tích phân T = f(x) - g(x)dx≥ ∫ 8. Cho hai hàm số f (x) = 4cosx + 3sinx và g(x) = cosx + 2sinx 4 0 g(x) a. Tìm A, B để g(x) = Af(x) + Bf'(x) b. Tính tích phân T = dx f(x) π ∫ 9. () ( ) Tìm a, b để cosx = a cosx + sinx + b cosx - sinx Từ đó tính tích phân 4 0 1 I = dx 1 + tgx π ∫ 10. . Cho hàm số sinx f(x) = sinx + cosx 3 0 cosx - sinx a. Tìm A, B để f(x) = A + B b. Tính tích phân T = f(x)dx cosx + sinx π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 5 11. Cho hàm số () 2 sin2x f(x) = 2 + sinx () 0 2 - 2 A.cosx B.cosx a. Tìm A, B để f(x) = + b. Tính tích phân T = f(x)dx 2 + sinx 2 + sinx π ∫ 12. Cho hàm số 2 f(x) = sin 2x.cos4x 2 x - 2 f(x) a. Tìm họ nguyên hàm của f(x) b. Tính tích phân T = dx e + 1 π π ∫ 13. Tìm a, b để 2b a f(x) = a.sin2x - bcos2x thỏa mãn f' = - 2 và adx = 1 2 π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ 14. Tìm a, b để 2 0 f(x) = a.sin2x + b thỏa mãn f'(0) = 4 và f(x)dx = 3 π ∫ BÀI TẬP 9 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = a sint ; - t hoặc x = a cost ; 0 t 22 ππ ≤≤ ≤≤π () 2 2 2 1 2 2 2 - 1 3 2 3 2 1 K = 1 - x dx L = 4 - x dx 1 M = dx 4 - x ∫ ∫ ∫ () () 3 2 3 2 0 1 3 3 2 0 1 I = dx 1 - x 1 J = dx 1 - x ∫ ∫ 1 0 2 0 4 0 F = x 1 - xdx cosx G = dx 7 + cos2x cosx + sinx H = dx 3 + sin2x π π ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP 10 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : aa x = ; - t và t 0 hoặc x = ; 0 t và t sin t 2 2 cost 2 ππ π ≤≤ ≠ ≤≤π ≠ 4 3 2 3 2 x - 4 I = dx x ∫ 2 2 2 3 1 K = dx xx - 1 ∫ 2 2 3 1 x - 1 J = dx x ∫ BÀI TẬP 11 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = atgt ; - < t < hoặc x = acotgt 0 < t < 22 ππ π Kết hợp dạng hữu tỷ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 6 ()() 3 2 2 1 3 2 0 3 2 1 1 22 0 9 + 3x I = dx x J = 3 + x dx K = x 1 + x dx 1 L = dx x + 1 x + 2 ∫ ∫ ∫ ∫ 1 42 0 2 2 2 3 x T = dx x + x + 1 1 K = dx xx - 1 ∫ ∫ 1 42 0 1 Z = dx x + x + 1 ∫ 1 2 1 4 6 + 10 2 1 2 2 4 0 1 4 3 6 0 1 2 3 0 1 + x M = dx 1 + x x - 1 M = dx x + 1 x + 1 M = dx x + 1 3 M = dx x + 1 ∫ ∫ ∫ ∫ BÀI TẬP 12 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : x = acos2t hoặc x = acost 0 - a 0 - 2 a + x I = dx a - x 2 + x J = dx 2 - x ∫ ∫ () 1 5 0 1 - x W = dx 1 + x ∫ 1 2 - 1 1 + x K = dx 1 - x ∫ B ÀI TẬP 13 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt : () 2 x = a + b - a sin t; 0 t 2 π ≤≤ ()() a + b 2 3a + b 4 I = x - a b - x dx; 0 < a < b ∫ () 3 3 2 2 1 M = dx - 4 + 5x - x ∫ ()() 3 2 J = x - 1 5 - x dx ∫ B ÀI TẬP 14 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: Đặt t = x + a + x + b hoặc t = - x - a + - x - b 2 1 0 3 2 - 5 1 I = dx (x + 1)(x + 2) 1 I = dx (x + 1)(x + 2) − ∫ ∫ ()() 1 0 1 Q = dx x + 1 x + 8 ∫ ()() 5 3 K = x - 1 9 - x dx ∫ B ÀI TẬP 15 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: đặt x t = tg 2 2 3 1 2 2 I = dx 2sinx - cosx + 1 π π ∫ 2 1 0 1 I = dx sinx + cosx + 1 π ∫ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 7 B ÀI TẬP 16: Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: ∫ a - a f(x)dx đặt x = - t 1 2006 1 1 2 3 2 x I = x sinxdx I = cosnx.cosmxdx I = sin nx.sin mxdx sin x I = dx 2 + 1 − π −π π −π π −π ∫ ∫ ∫ ∫ () 1 1 x 1 1 2 2 x 1 1 3 2 1 2 2 - 2 cosx I = dx e + 1 1 - x I = dx 1 + 2 x I = dx x + 1 I = ln x + x + 1 dx − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 2 2 1 4 2 2 1 1 xx 3 1 x + cosx M = dx 4 - sin x x + sinx M = dx x + 1 M = (e .sin x + e x )dx π π − − − ∫ ∫ ∫ 2 B ÀI TẬP 17 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt: 2 0 f(x)dx đặt x = - t 2 π π ∫ 2 I = cosnx.cosmxdx π −π ∫ 2 22 1 0 I = cos x.cos2xdx π ∫ B ÀI TẬP 18 : Tính tích phân bằng phương pháp đặc biệt 2b 00a f(x)dx đặt x = - t ; f(x)dx đặt x = 2 - t xf(x)dx đặt x = a + b - x ππ ππ ∫∫∫ 2 1 0 I = x.sinx.cosxdx π ∫ () 2 1 0 H = sinsinx + nxdx π ∫ 2 3 1 0 K = x.cos xdx π ∫ B ÀI TẬP 19:Tích Phân từng phần 2 2 1 0 2 2 2 0 1 2 3 0 Q= x.cosxdx Q= x.sinxdx Q = x.tg xdx π π ∫ ∫ ∫ () 2 2 1 0 2 2 2 0 2 2 3 0 T = x + 1 sinxdx T = x.sin xdx T = x cosxdx π π π ∫ ∫ ∫ 3 1 0 3 2 2 4 e 3 0 I = x.sinxdx x I = dx cos x I = cos(lnx)dx π π π π ∫ ∫ ∫ Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 8 2 4 2 0 2 5 0 x.cosx Q = dx 1 + sin x cosx Q = dx 7 + cos2x Đặt t = sinx hoặc sinx = 2sint π π ∫ ∫ 3 4 2 0 4 5 0 2 6 0 x + sinx T = dx cos x x + sinx T = dx 1 + cosx T = cosx.ln(cosx + 1)dx π π π ∫ ∫ ∫ () 2 2 4 0 4 2 5 0 43 6 0 I = 2x - 1cosxdx I = x.(2cosx - 1)dx I = x.cosx.sinxdx π π π ∫ ∫ ∫ () ln2 x 1 0 1 2x 2 0 1 2 2x 3 0 e 2 4 1 N = x.e dx N = x.e dx N = x + 1 .e dx N = x.lnxdx − − ∫ ∫ ∫ ∫ () () e 2 1 1 1 2 2 0 e 2 3 1 e 3 4 1 I = xlnx dx I = x.ln(x + 1)dx I = 1 - lnx dx I = lnxdx ∫ ∫ ∫ ∫ () () () e 1 2 1 e 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 lnx I = dx x + 1 lnx I = dx x ln x + 1 I = dx x x.ln x + x + 1 I = dx x + 1 ∫ ∫ ∫ ∫ B ÀI TẬP 20:Tích phân từng phần dạng kết hợp 2 2x 1 0 2x 2 2 0 G = e .sin3xdx G = e .sinxdx π π ∫ ∫ 2 -x 1 0 e 2 0 E = e .cos3xdx E = cos(lnx)dx π π ∫ ∫ () 2 e 2e 2 -x 0 x2 0 1 T = lnx + dx 2lnx E = e .sin3xdx H = e .sin x dx π π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ π ∫ ∫ ∫ B ÀI TẬP 21 : Bài tập đổi biến – từng phần 2 3 1 0 3 2 0 I = sin xdx I = sin xdx π π ∫ ∫ 2 2 sin x 3 1 0 3 2 2 3 3 K = e sinx.cosxdx sin x - sinx K = cotgx.dx sin x π π π ∫ ∫ 3 2 3 0 I = sin xdx π ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ () 1 9 x 1 2 5 0 x1 F = 3 + + dx sin 2x + 1 4x - 1 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ B ÀI TẬP 22 :Tích phân từng phần dạng khó Nguyễn Phú Khánh - Đà Lạt http://toanthpt.net/ 9 2 2 1 x - 2 xsinx F = dx 1 + 2 π π ∫ e 3 2 1 1 ln 1 + ln x T = dx x ∫ () 4 1 0 H = ln1 + tgxdx π ∫ B ÀI TẬP 23: Giải phương trình: () () x 2 0 x 3 2 0 x 4 0 x 2 0 1 dt = 0 1 - t 1 dt = tgx 1 - t 3 4sin t - dt = 0 2 cos t - x dt = sinx ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ ∫ ∫ ∫ () () 2 x 1 e x t - 1 x - x 0 x t - 1 7 0 1 + lnt dt = 0 t 1 2 ln 2 - 2t + 2 dt = 2 + 2 7 ln 7dt = 6log 6x - 5 ; x 1≥ ∫ ∫ ∫ () x t 0 x 2t -2t 0 e - 1dt = 0 e + e dt = 1 ∫ ∫ B ÀI TẬP 24: Giải phương trình ẩn x ( ) x 2 22 3 2 t dt = 6 - 2x 1 + 2 1 - x 1 - t 1 + 1 - t ∫ B ÀI TẬP 25: Giải và biện luận phương trình: () () ()( ) () 2 x x 2 3 22 1 1 x 2 2 m + 1 t - 2m t + 1 a. = 0 b. 3 t dt = 3 3x - 2 + 1 t + 2t t - 2mt - 2m dt c. x + 1 + m x - 1 = m + 1 + 1 d. x - t - 1 − ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ ∫ x 22 0 t - 1 1 = dt t - 2t + m ∫ B ÀI TẬP 26: Giải các bất phương trình () ()( ) 3 - 4 2x - 1 + 1 2 + lnx x t2 x lnx e x 2 22 0 dt dt a. ln3 3 dt x - 4x + 3 b. < t 2t 5t - 16t + 20 c. dt 0 t - 4 t - 5t + 4 ≤ ≤ ∫∫ ∫ ∫ () 22 x cos x sin x 0 11 d. + cost - sint dt + 1 22 ≤ ∫ B ÀI TẬP 27: 1. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với () xx 2 0m 2 3t + 1 dt - 6m tdt 3m + m - 2x≤ ∫∫ 3 [ ] x 0,1∈ 2. Tìm m để bất phương trình () 0 32 x 1 t - mt - t - m dt 4 ≤ ∫ nghiệm đúng với [ ] x - 1,1∈ 3. Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x () () x 2t t x 0 2 ln3 3 - 3 dt > 2m 3 + 1 + 3 ∫ . 0 ⎧ ≥ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ x e khi x 0 f(x) = 2x + 1 khi x < 0 ⎧ ≥ ⎨ ⎩ BÀI TẬP 2: Xác đònh các giá trò của tham số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) 1.Xác đònh a; b; c để hàm số bc F(x)