phương trình truyền nhiệt với lý thuyết nửa nhóm và chuyển động brown

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐỨC MẬU PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VỚI LÝ THUYẾT NỬA NHÓM VÀ CHUYỂN ĐỘNG BROWN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 5 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Ý tưởng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . 8 1.2 Khái niệm nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Toán tử sinh. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . 22 1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt . . . . . . . 24 1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt . 26 1.3.4 Toán tử sinh của nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . 30 2 Chuyển động Brown 34 2.1 Khái niệm chuyển động Brown . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.1 Quá trình Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.2 Ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2 Mối quan hệ của chuyển động Brown với lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 2.2.1 Chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm co . . . . 36 2.2.2 Điều kiện để chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian Banach xuất hiện đầu thế kỉ XX và phát triển mạnh vào những năm 1948 với định lý sinh Hille – Yosida, và đạt tới hoàn chỉnh vào những năm 1957 với sự ra đời cuốn “ Semigroups and Functional Analysis” của E. Hille và R. S. Philips. Vào những năm của thập kỉ 70, 80 thế kỉ XX nhờ vào sự cố gắng nghiên cứu của nhiều trường Đại học và nhiều trung tâm nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm đã đạt tới trạng thái hoàn hảo. Lý thuyết nửa nhóm trở thành một công cụ quan trọng trong toán học nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lí lượng tử, cơ học . . . Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown dựa trên tài liệu [1]. Cấu trúc của đề tài gồm hai chương: Chương I: Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt. Trong phần này giới thiệu kiến thức chuẩn bị như : Hàm mũ và các tính chất của hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất phương trình không thuần nhất qua hàm mũ. Khái niệm nửa nhóm liên tục của toán tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0 thỏa mãn phương trình truyền nhiệt. Chứng minh định lí Hille – Yosida cho toán tử A sinh duy nhất một nửa nhóm co. Chương II: Chuyển động Brown. Ta biết chuyển động Brown nói riêng và quá trình Markov đóng một vai trò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên. Trong phần này xét các hạt Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 chuyển động xung quanh một tập con đo được và các hạt này không có bộ nhớ, hay có tính Markov. Biểu diễn mối quan hệ giữa chuyển động Brown với lý thuyết nửa nhóm thông qua các Định lí 2.1 và Định lí 2.2. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết Luận văn nhưng do trình độ và thời gian hạn chế, điều kiện công tác ở miền núi xa xôi nên không tránh khỏi những thiếu sót về kiến thức cũng như việc sử lí văn bản. Tác giả Luận văn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để Luận văn được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn GS.TS.Hà Tiến Ngoạn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm Luận văn. Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Toán – Lí trường THCS Quang Minh – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn bè đồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt Luận văn này. Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012 Tác giả Nguyễn Đức Mậu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach 1.1.1 Ý tưởng Xét phương trình : u  = au với a ∈ R, (1.1) trong đó ẩn hàm u = u(t) là hàm số biến số thực t ∈ R. Nghiệm tổng quát của phương trình là u(t) = Ce at , trong đó C là số thực bất kì và e a = ∞  k=0 a k k! = 1 + a 1 + a 2 2! + a 3 3! + + . (1.2) Giả sử U là một không gian Banach, A ∈ L(U) là không gian các toán tử tuyến tính và bị chặn trên U. Xuất phát từ (1.2) ta sẽ định nghĩa toán tử e A . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1.1.2 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho A ∈ L(U ), với L(U) là không gian toán tử tuyến tính liên tục bị chặn xác định trên U. Ta định nghĩa e A = ∞  k=0 A k k! = I + A 1 + A 2 2! + A 3 3! + + ∈ L(U). (1.3) 1.1.3 Các tính chất Tính chất 1.1. Mọi A ⊂ L(U) tồn tại e A ∈ L(U). Tính chất 1.2. e 0 = I. Tính chất 1.3. e I = e.I. . Tính chất 1.4. e A+B = e A .e B , nếu A và B giao hoán (A.B=B.A). Chứng minh e A+B = ∞  k=0 (A + B) k k! = ∞  k=0 1 k! . k  l=0 k! l!(k − l)! A l .B k−l = ∞  l=0  ∞  k=1 1 l!(k − l)! .A l .B k−l  = ∞  l=0  A l l! . ∞  k=l B k−l (k − l)!  = e A .e B . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Tính chất 1.5. Với mọi A thuộc L(U) tồn tại (e A ) −1 và (e A ) −1 = e −A . Thật vậy : Ta có e A+(−A) = e 0 = I suy ra (e A ) −1 = e −A . Tính chất 1.6. Xét e tA , t ∈ R, e tA = ∞  k=0 t k A k k! . (1.4) Khi đó e tA : R → L(U) de tA dt = (e tA )  = Ae tA = e tA .A. (1.5) Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t trong mọi đoạn hữu hạn Chứng minh(1.5) Chuỗi (1.4) hội tụ đều theo t ∞  k=0  t k A k k!   = ∞  k=1 kt k−1 A k k! = A ∞  k=1 t k−1 A k−1 (k − 1)! = A ∞  h=0 t h A h h! = Ae tA = e tA A. 1.1.4 Phương trình thuần nhất Xét phương trình vi phân thuần nhất u  = Au, (1.6) trong đó A ∈ L(U), u = u(t) là ẩn hàm nhận giá trị trong U. Định lý 1.1. Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là u(t) = e At C, (1.7) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 trong đó C ∈ U là vectơ bất kì. Chứng minh a) Giả sử u(t) có dạng (1.7) khi đó u  (t) = (e tA C)  = (e tA )  C = (Ae tA ).C = A(e tA C) = Au. b) Giả sử u(t) là nghiệm nào đó của (1.6). Ta xét hàm số y(t) = e −tA u(t). (1.8) Từ phương trình (1.7) suy ra y  = (e −tA )  u(t) + e −tA u  (t) = −e −tA Au(x) + e −tA Au(t) = 0. Suy ra tồn tại C ∈ U sao cho y(t) ≡ C. Nhận xét : Xét bài toán Cauchy u  = Au u(t 0 ) = u 0 . Nghiệm của bài toán trên là: u(t) = e (t−t 0 )A u 0 = e tA (e −t 0 A u 0 ). 1.1.5 Phương trình không thuần nhất  u  = A(u) + g(t) (∗) u(t 0 ) = u 0 Ta giải phương trình bằng phương pháp biến thiên hàm số. Xuất phát từ phương trình (1.7) ta tìm nghiệm của phương trình (*) dưới dạng u(t) = e tA C(t), (1.9) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 trong đó C(t) là hàm số cần tìm. Từ phương trình (1.9) suy ra : u  (t) = Ae tA C(t) + e tA C  (t) thay vào phương trình (*) : Ae tA C(t) + e tA C  (t) = Ae tA C(t) + g(t). Suy ra C  (t) = e −tA g(t). (1.10) Từ phương trình (1.10) suy ra C(t) =  e −tA g(t)dt + C 1 ; C 1 ∈ U. Nghiệm tổng quát của phương trình (*) là: u(t) = e tA   e −tA g(t)dt + C 1  . (1.11) 1.2 Khái niệm nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa. Các ví dụ Định nghĩa 1.2. Cho B là không gian Banach, t > 0 , và T t : B → B là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn: i) T 0 = Id; ii) T t 1 +t 2 = T t 2 T t 1 ∀t 1 , t 2 ≥ 0; iii) lim t→t 0 T t v = T t 0 v với ∀t 0 ≥ 0, ∀v ∈ B. Khi đó, họ {T t } t≥0 gọi là nửa nhóm liên tục của các toán tử tuyến tính bị chặn. Ví dụ 1.1. Cho B là không gian Banach của các hàm bị chặn liên tục đều trên [0, ∞), f ∈ C 0 b (R) Cho t ≥ 0 ta đặt T t f(x) := f(x + t). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.66) http://www.lrc-tnu.edu.vn 22 Khi đó e(t(M +L)) = e(tM ) ◦ e(tL) 1.3 1.3.1 (1.67) Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa nhóm Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ut − ∆u = 0, (x, t) ∈ Rd X(0, ∞) u(x, 0) = f (x), x ∈ Rd (1.68) (1.69) 0 Giả sử f (x) ∈ Cb (Rd ) là hàm số liên tục và bị chặn trong... co, cụ thể là nửa nhóm truyền nhiệt và tính giải được của (1.111) được chỉ ra từ Định lí 1.3 Tất nhiên chúng ta có thể suy luận (1.87) trong cùng một cách, vì nó dễ dàng nhìn thấy rằng (1.87) cần thiết cho phần tử sinh nửa nhóm co Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 34 Chương 2 Chuyển động Brown 2.1 2.1.1 Khái niệm chuyển động Brown Quá trình Markov Chúng ta... (Jn − Jm )Ax (1.96) Phương trình (1.95), (1.96), (1.88), suy ra x ∈ D(A), (n) (Tt x)n∈N là dãy Cauchy và tính chất Cauchy đều trên 0 ≤ t ≤ t0 , bất kì t0 Vì (n) toán tử Tt là liên tục đồng bậc theo (1.92) và D(A) là trù mật trên B theo giả thiết (n) Khi đó (Tt x)n∈N là tương đương một dãy Cauchy ∀x ∈ B, đều địa phương liên quan đến t Do đó (n) Tt x := lim Tt x n→∞ tồn tại đều địa phương trên t, và Tt... của nửa nhóm truyền nhiệt Bây giờ ta chỉ ra ví dụ mà ta đã được xét thỏa mãn giả thiết của Định lí Hille - Yosida Ta bắt đầu với tịnh tiến nửa nhóm và tiếp tục sử dụng các kí hiệu trước đó Ta có A= d dx (1.100) toán tử sinh, và ta muốn chỉ ra A thỏa mãn điều kiện (1.87) Do đó giả thiết −1 1 d Id − f = g, (1.101) n dx và ta có thể cho thấy rằng sup |g(x)| ≤ sup |f (x)| x≥0 (1.102) x≥0 Phương trình (1.101)... ≤ sup f (x) + n n x Trường hợp của cận dưới đúng làm tương tự Ta thực hiện các phân tích cho nửa nhóm truyền nhiệt, trong trường hợp này toán tử sinh là toán tử Laplace, = lim f (xν ) + ν→∞ A = ∆ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (1.109) http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Ta xét phương trình 1 Id − ∆ n −1 f = g, (1.110) hoặc tương đương 1 f (x) = g(x) − ∆g(x), n và ta muốn xác minh lại... gian của B và giới hạn đó tồn tại Bổ đề 1.3 v ∈ D(A) kéo theo v ∈ D(Dt Tt ) và ta có Dt Tt v = ATt v = Tt Av, t ≥ 0 (1.26) Chứng minh Phương trình thứ hai đã được thiết lập trong Bổ đề 1.1 do đó ta có với v ∈ D(A) 1 lim (Tt+h − Tt )v = ATt v = Tt Av h 0h (1.27) Phương trình (1.27) có nghĩa rằng đạo hàm phải của Tt v theo t tồn tại với ∀v ∈ D(A) và là liên tục theo t Khi đó theo bổ đề được phát biểu... ∀t ≥ 0, ||Tt v|| ≤ ||v|| (1.12) (Ở đây tính liên tục của nửa nhóm được hiểu là sự phụ thuộc liên tục của toán tử Tt vào t.) 1.2.2 Toán tử sinh Nếu giá trị ban đầu f (x) = u(x, 0) của nghiệm u của phương trình nhiệt : ut (x, t) − ∆u(x, 0) = 0 (1.13) thuộc lớp C 2 , chúng ta mong đợi rằng u(x, t) − u(x, 0) = ut (x, 0) = ∆u(x, 0) = ∆f (x), t 0 t hoặc với kí hiệu u(x, t) = Pt f (u) lim (1.14) ta có, 1 (1.15)... Điều đó có nghĩa rằng với t < τ ≤ s, phương trình Chapman - Kolmogorov sau đây được thỏa mãn P (t, x, s, E) = P (τ, y; s, E)P (t, x; τ, y)dy (2.1) S Đại lượng P (t, x; τ, y) được xét như một mật độ xác suất, tức là P (t, x; τ, y) ≥ 0 và P (t, x; τ, y)dy = 1 ∀x, t, τ S Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Ta giả thiết rằng quá trình là thuần nhất trong thời gian,... theo x, với mọi t và E cố định (iv) P (t + τ, x, E) = P (τ, y, E)P (t, x, y)dy ∀t, τ ≥ 0, x, E S Khi đó P(t,x,E) được gọi là quá trình Markov trên (S, B) Cho L∞ (S) là không gian các hàm bị chặn trên S Cho f ∈ L∞ (S), t > 0, ta đặt (Tt f )(x) := P (t, x, y)f (y)dy (2.3) S Phương trình Chapman - Kolmogorov thỏa mãn tính chất nửa nhóm Tt+s = Ts ◦ Tt t, s > 0 (2.4) P (t, x, y)f (y)dy = 1, (2.5) Vì theo (i),... http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 từ ϕ(x) = Ce−λx và ϕ ∈ B, nhất thiết C = 0 và do đó g = Jλ f Vậy ta có được toán tử sinh A theo (1.39) với D(A) chứa một cách chính d xác g ∈ B mà g ∈ B dx Bây giờ chúng ta nghiên cứu nửa nhóm truyền nhiệt Cho B là không gian Banach các hàm liên tục đều, bị chặn trên Rd và Pt f (x) = 1 e− d (4πt) 2 Ta có: |x−y|2 4t f (y)dy; t > 0 (1.43) dtf (y)dy (1.44) ∞ λ Jλ f (x) = 2 −λt− |x−y| 4t e d (4πt) . phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lí lượng tử, cơ học . . . Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửa nhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown. cho phương trình truyền nhiệt và nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt . 22 1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền. tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0 thỏa mãn phương trình truyền nhiệt. Chứng minh định lí Hille – Yosida cho