64 câu khảo sát hàm số với lời giải chi tiết

Tiếp tuyến của C tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M... Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của C không phụ thuộc m

x y

x (C) TXĐ: D = R \ (1) 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1

-2 = k (2) (x-1)

Thay vào (2) k 2 Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f x'( )(0 x x 0)y0

)

-3(( -1)

y

C©u 2: (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2

1

x y x

0

x y x

x =1 không là nghiệm)

Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là: 1 0 1





 Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía

Ox

2) Gọi M  (C) có XM = m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách

từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m

C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:

2

1

x mx y

1

m x x





 Giao điểm TCX và Ox: y = 0 

A

m x

Giao điểm TXC và oy: x 0  ym  2 B(0,m 2)

1

(

54

C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 y = x4 – 10x2 + 9

2) Chứng minh rằng với  m 0, (Cm) luôn luôn cắt Ox

tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm (-3,3)

và 2 điểm nằm ngoài (-3,3)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox

S

P

m m

, 0 10

0 9

, 0 36 ) 10 (

2

2 2

 0 < t1 < t2  (1) có 4 nghiệm phân biệt

x x

Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm  ( 3, 3)và 2 điểm   ( 3, 3)

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số 3 2

y f x x  m x  x (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này

4

2 ( 2)

2

x x

 

 BBT:

Đồ thị:

Cho x = 0 9

2

y

 

b) Tìm M Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)

song song với đường thẳng y= 3

x b x

1 62

b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trị

tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m

- Gọi   : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2)

-   tiếp xúc với (P1) và (P2)

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(a, 0) Ox  , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:

+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

 (3) có 2 nghiệm phân biệt , 0

3

vì x x = - 3a 3

1 2 2

81 81 ( 1) 108 1 0 3(a-1)

x + x =

1 2 2

a a

M Ox thoả điều kiện bài toán

C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số: y 3x4 4 1 m x 3 6mx2 1 m (C )

1 5

2

m m m

I   tiếp tuyến tại I song song Ox

2) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox

2(1)

C©u 13: (2 ®iĨm) Choyx3mx27x3 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 5 3 2

y x  x  x

TXĐ : y’= 3x2 +10x + 7

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu

Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu

Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận :

m< -1: vô nghiệm ; m= -1: 2 nghiệm

 Tiệm cận đứng: x = -2 vì

2

4 lim

4 8 2

- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được ( )C1

c Xác định tập hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ (C m)ï đi qua:

M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2

M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2

Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ

Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C)

(C)

(C1)

(I)

X Y

(III) -4

O

4 2 (C1)

-2 -4

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)

và đường thẳng (d) có phương trình : y (m1) (2 m4)

- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình

Điểm đặc biệt :

2) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành

Xác định toạ độ tiếp điểm

x y

x (C) TXĐ: D = R \ (1) 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1

-2 = k (2) (x-1)

x2  1 2(x3) ( x1)2 4x 8 x2

A

B M

y

Thay vào (2) k 2

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f x'( )(0 x x 0)y0

x

S

Vậy: SIABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

C©u ( 2 điểm) Cho  ( ) 32( 1)

b)Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại,

cực tiểu sao cho:

x

y’

y

+ +

+ 16

3

Khi đó (1) có 2 nghiệm x x x1, (2 1 x2)  yCĐ  f x ( )1 và yCT  f x ( )2

Để tìmyCĐ vàyCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được:  

4( 1)3

4( 1)3

( ) ( )

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(0, 3)

- Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3

1

1 k (2) ( 1)

x x x

có nghiệm

- Thay (2) vào (1) :

X O

Y

2 -1 1 3

b) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (D1): y = kx + 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D1):





2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được

đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1

Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b

(d) tiếp xúc với (C)

2

2 2

3 2 2

k(x - 2) + b (1)

k (2)

x x x

Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau

 (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1

6 2 0 3 7 (nhận)

b b







2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được

đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1

Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b

(d) tiếp xúc với (C)

2

2 2

3 2 2

k(x - 2) + b (1)

k (2)

x x x

 (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1

00

6 2 0 3 7 (nhận)

b b

1

x y

 



 



2) Tìm m để (Cm) chỉ có hai giao điểm chung với trục Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục Ox:

x4- 2x2+ 2-m = 0 (1)

Đặt t = x2 (t≥0)

Phương trình trở thành:

t2- 2t + 2 – m = 0 (2)

(1) chỉ có 2 nghiệm  (2) có nghiệm trái dấu hoặc (1)

có nghiệm kép dương

P

m m

m m

Vậy (Cm) cắt Ox tại 2 điểm khi: m = 1 hay m > 2

3) Chứng minh rằng m tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của (Cm) là một tam giác vuông cân:

Ta có: y = x4- 2x2+ 2 - my’= 4x3- 4x

20

' 0

11

x y

Vậy  ABC là tam giác vuông cân tại A, m

Vậy a = 4, a = -55 Tiếp điểm 0, 4  3, 2  3, 2 

Câu 26: Cho hàm số: y = x3-(2m + 1)x2+ (m2 - 3m + 2)x + 4

a) Khảo sát hàm số khi m = 1: y=x3 - 3x2 + 4 TXD: D = R

y' = 3x2 - 6x ; ' 0 0

2

x y

b) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về

2 phía trục tung Ta có: y = x3- (2m +1)x2+ (m2- 3m + 2)x + 4

y’= 3x2- 2(2m + 1)x + m2- 3m + 2

Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về 2 phía của trục Oy

 y = 0 có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu  P< 0

x

x x

x x

Suy ra cách vẽ (C1) như sau:

- Phần của đồ thị (1) ứng với x > 1 trùng với (C1)

- Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng

của phần này qua trục Ox ta được (C1)

c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có)

- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx

- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

(2)1

kx x

k x

 

2 2

Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thị (1)

Tọa độ tiếp điểm là:

y' 0

x 1y'' 2 x

2) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:

Đồ thị (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt:

2) Xác định b để ( )  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại O

1 '( ).

2

y f O x  y  x

( )  qua B(0, b) và song song (d) có dạng :

1 ( ) :

2

   Phương trình hoành độ giao điểm của ( )  và (C) :

2

5

21

( 1)

y x







0' 0

2

x y

 Đồ thị:

X

Y

O (C)

2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng: x + y + 2 = 0 bằng nhau

Ta có:

2 2 21

" 6 12

x y

Y

2 4

(C)

2) a) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị ( )C1 của hàm số:

Do đó đồ thị ( )C1 suy từ (C) như sau:

- Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên

- Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2'

( 1)

0' 0

2

y x x y

1

x x  



(C)

1 2

1 I-1 3

b) Xác định A x y( , ) ( )1 1  C với x 1 1 sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận:

211

x y x





 và các tiệm cận của đồ thị hàm số đó:

 Miền xác định R



1 3'

x y

 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:

 Miền giá trị của hàm số :( 1, 10}

 Đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang:y   1 y1

2

0' 0

2

y x

x y

y = x + 3 vì lim 1 0

1

x x

x mx y

 B(0, m+1)

1 18 2

1 36

7

m m

3

x y

Cho hàm số

2) Khảo sát hàm số khi m = 1:

2

( ) 2

3) Chứng minh rằng tại mọi điểm của (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt 2 tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

Đổi trục bằng tịnh tiến theo véc tơ OI    ( 2, 3)

23

22

00

X X

X X

2 , 4

0 0

X X

b) Với giá trị nào của a thì hàm số đồn biến với 1 x 2

    có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số g x 2x33x2m

g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt y .y 0

ct

cđ m m 10   1 m0

Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị khi: -1 < m < 0

Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường cong chứa 3 điểm cực trị:

1) Vẽ đồ thị hàm số:y x2 x (x2 1)2 4x2

2) Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 1

3

x y x

4-1 (2)( 3)

x

x x

x 5 b8

Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = -x hay y = -x + 8

Suy ra giao điểm với trục hoành là O(0, 0), A(8, 0)

x x 

 Điểm đặc biệt:



   = hằng số 3) Tìm trên mỗi nhánh của (C) 1 điểm sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất:

y'(x 1)

0 2

1 2

* Đường thẳng (d): y = m(x + 1) + 2 luôn đi qua điểm cố định A(-1, 2)

Thay A(-1, 2) vào (1) thoả =>A  đồ thị (1)

Vậy: (d) luôn cắt đồ thị (1) tại điểm cố định A(-1, 2)

Định m để (d) cắt đồ thị (1) tại 3 điểm A, B, C phân biệt sao cho tiếp tuyến tại B và

C vuông góc với nhau

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

940

m m

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc nhau  f’(x B).f’(x C) = -1

x x m x

2 2 2'( )

y=

2 8

x x x

x x x

d qua 2 điểm M(2, 0) và I(0, -2)

 Hệ số góc 2 1

 Hệ số góc 2 4

1

d và ( )d2 thì ( ) cắt ( )C1 tại 4 điểm phân biệt

41

 Điểm đặc biệt:

2) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng của (C) qua đường thẳng x + y – 3 = 0

Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C)  I(3, 3)

Gọi () : x + y –3 = 0

Ta có: I và O đối xứng qua ()

Đổi trục bằng tịnh tiến theo vectơ OI  (3,3)

TCĐ của (C) đối xứng qua () là trục Ox

TCN của (C) đối xứng qua () là trục Oy

 Hai Đường tiệm cận của (C1) đôi xứng của (C) qua () là 2 trục Ox, Oy nên phương trình của (C1) là :

10 ( , )

Tiếp tuyến cắt TCN tại B

C là trung điểm AB

(2 , 0)

2

10 2

Cho hàm số: y = x4 – 4x2 + m (C)

1) Khảo sát hàm số với m = 3:

x

(C) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt  x4 4x2 m0 (1)

có 4 nghiệm phân biệt  t2 4tm0 (2)

(với t  x2  0) có 2 nghiệm phân biệt

1'' 2

y x

x y

Vậy : Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I là nhỏ nhất

Phương trình tiếp tuyến tại I là:

  ' m2   1 0 , m  (1) có hai nghiệm phân biệt

 Hàm luôn luôn có CĐ, CT

- Tìm m sao cho khoảng cách giữa điểm CĐ và điểm CT là nhỏ nhất

Gọi M1(x1, y1) và M2(x2, y2) là điểm CĐ và CT của đồ thị, ta có:

2 1

2 2

9

2 ' 4

( 1) 1 9

3

" 6 12

x y

Do đó đồ thị ( )C1 suy từ (C) như sau :

-Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên

-Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục

Cho hàm số : y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx – 5

1) Với giá trị nào của m thì hàm số có CĐ, CT:

3) Chứng minh rằng từ điểm A(1, -4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C) : Đường thẳng (d) qua

A có hệ số góc k có phương trình:

(3) có 3 nghiệm thay vào (2)  3 giá trị k

Vậy : Từ A(1, -4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C)

2

x y

    có 3 nghiệm phân biệt

Xét hàm số g x 2x33x2m

Vậy đồ thị có 3 điểm cực trị khi: -1 < m < 0

Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường cong chứa 3 điểm cực trị:

2) Tìm m trên đồ thị có 2 điểm A, B sao cho :

Vậy (d’) luôn luôn cắt (Cm) tại 2 điểm A, B với mọi m

- Tìm m để 2 điểm A, B đối xứng với nhau qua đường thẳng (d) : x + 5y + 9 = 0

2) Tìm diện tích giới hạn bởi (C) và đường thẳng y = 4x

Phương trình hoành độ giao điểm :

  Hàm số nghịch biến trong từng khoảng xác định

 Tiệm cận đứng:

1 x 2

 Điểm đặt biệt:

Câu 57:

Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2

1) Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua

Ta có thể viết : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1)

Điểm cố định A(x, y) thoả (1), m

Toạ độ 3 điểm A, B, C thoả phương trình y = –2x + 2 nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng vì

A và C đối xứng qua B nên họ đường cong có chung 1 tâm đối xứng là B(1, 0)

3) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1:

5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy

Diện tích hình phẳng là :

Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1

Hàm số có điểm CĐ và điểm CT ở hai bên Oy

 (1) có hai nghiệm x1,x2 sao cho : x1 < 0 < x2

 P < 0  m2 – 1 < 0  –1 < m < 1

y'(x 1)

x 1y' 0

2) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M(2, )2

5 sao cho (d) cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B và M là trung điểm AB

Đường thẳng (d) qua M(2, )2

5 và có hệ số góc k:

k k

k

k k k

k k

m 1 a

c

m 1 a

S P

2 2

y'(x 1)

0 2

Vậy phương trình đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C2) là:

y=4 hay y=12x - 15 hay 21 645

Tìm m để 2 điểm cực trị M1, M2 và B(0, -1) thẳng hàng

Để tìm phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 ta chia f(x) cho f x'( ):

1) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:  1 3   2

1

y x

x y

x

Gọi M x y0( , ) ( )0 0  C  hệ số góc tiếp tuyến tại M0 là: f x '( )0  x02  1

Tiếp tuyến tạiM0 vuông góc (d)  '( )0   1

(1 )