SKKN Ứng dụng của GSP trong dạy học Toán

Sketchpad thỏa mãn những yêu cầu đó, nó là công cụ để tạo ra những ví dụ minh họa trực quan, giúp cho học sinh quan sát, giải thích và nêu ra các dự đoán về quỹ tích cũng giải một bài to

Mục lục

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài………

2 Mục tiêu nghiên cứu………

3 Nhiệm vụ nghiên cứu………

4 Các Cách nghiên cứu………

II PHẦN NỘI DUNG 1 Lịch sử của vấn đề nghiên cứu………

2 Cơ sở lý luận của đề tài………

3 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu………

4 Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu………

A NỘI DUNG NGHIÊN CỨU A.1 Ý tưởng chủ đạo và xuyên suốt

A.2 Các kiến thức và kĩ năng chuẩn bị………

A.3 Ứng dụng của GSP khi dạy học định nghĩa, định lý, tính chất………

A.4 Ứng dụng GSP trong giải bài tập phép biến hình………

A.4.1 Ứng dụng của GSP trong minh họa động bài toán chứng minh và tìm ảnh của một số hình đơn giản qua các phép biến hình………

A.4.2 Ứng dụng của GSP khi giải toán quỹ tích………

B KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU III PHẦN KẾT LUẬN 1 Kết luận………

2 Tài liệu tham khảo………

2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 12

12 16 18 19 19 21

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến hình là một mảng kiến thức khó dạy, có nhiều nguyên nhân như học sinh không thấy hấp dẫn, giáo viên thì có tâm lý ngại dạy dạng toán này vì dù sao đây cũng là một dạng toán khó, vừa đòi hỏi tư duy cao cũng như cách trình bày, cách diễn đạt cho học sinh gặp rất nhiều khó khăn

Một lý do quan trọng nữa là vì chỉ bằng những công cụ đơn giản không thể làm cho học sinh hiểu được vấn đề, rất khó hình dung những tính chất rất hiển nhiên mà thời gian trên lớp lại vô cùng hạn hẹp

Chính vì những lý do đó mà bài giảng rất khó và khô khan Học sinh luôn có những thắc mắc như: quỹ tích có hình dáng như thế nào, tại sao lại có quỹ tích như vậy? Tìm ảnh của một phép biến hình như thế nào đây?

Sketchpad thỏa mãn những yêu cầu đó, nó là công cụ để tạo ra những ví dụ minh họa trực quan, giúp cho học sinh quan sát, giải thích và nêu ra các dự đoán về quỹ tích cũng giải một bài toán chứng minh hay tình ảnh của một phép biến hình Để cho các em

tự khám phá để rồi đi đến thích thú, không sợ toán biến hình nữa và các thầy cô cũng tiết kiệm được thời gian giảng giải Do thời gian hạn hẹp tôi chỉ tập trung vào các vấn

đề minh họa khái niệm hình học, các tính chất, các ví dụ rất tiêu biểu trong sách giáo khoa, được “ động hóa” nhằm tăng tính hấp dẫn cho bài giảng

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu của tác giả là nghiên cứu hệ thống hóa và cung cấp những bài tập kèm các công cụ sketchpad có sẵn dễ áp dụng khi giảng dạy phép biến hình lớp 11 Qua những bài tập và hướng dẫn đơn giản, tác giả hi vọng các thầy cô có thể có thêm nhiều phương án tham khảo việc giảng bài trực quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trước hết là thực hiện đổi mới Cách giảng dạy Toán làm cho học sinh thấy được

sự hấp dẫn của một loại toán khó, học sinh yêu thích môn biến hình Đồng thời khi tiến

hành nghiên cứu cũng giúp bản thân nắm vững kiến thức sử dụng phần mềm dạy học, đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm của các thầy cô.

- Cách thực nghiệm: khi giảng dạy một bài toán bằng sketchpad tôi thấy rằng cần phải thử nghiệm cách dạy qua những lớp khác nhau thì mới rút ra những kinh nghiệm

và cải tiến phù hợp cho lớp sau

- Cách trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những kết quả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ cũng như trên mạng internet

II PHẦN NỘI DUNG

1 Lịch sử của vấn đề nghiên cứu

Vấn đề sử dụng sketchpad để giảng dạy không phải là một vấn đề mới, nhưng sketchpad thực sự rất hữu ích để dạy phép biến hình, có thể nói rằng nếu không quyết tâm mang lại sự rõ ràng và yêu thích cho học sinh thì tôi không quan tâm vào sử dụng sketchpad Với sự động viên của các thầy cô trong nhà trường tôi mạnh dạn trình bày những kết quả mình đã làm trong thời gian vừa qua

2 Cơ sở lý luận của đề tài

Cơ sở triết học: “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn Đó là con đường biện chứng của quá trình tìm ra chân lý”

Cơ sở tâm lý học: con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu cần

tư duy Tự mình đề xuất được hướng giải quyết vấn đề

Yêu cầu của thực tiễn: Đổi mới Cách dạy học theo tinh thần sách giáo khoa mới

Đa số học sinh rất ngại khi học mảng kiến thức này, rất lúng túng trong quá trình phân tích để tìm ra bản chất và vận dụng kiến thức về phép biến hình Một điều quan trọng là học sinh thiếu Cách, giáo viên thì chưa đưa ra con đường tiếp cận hợp lý.

4 Nội dung nghiên cứu và kết quả nghiên cứu:

A NỘI DUNG NGHIÊN CỨU:

A.1 Ý tưởng chủ đạo xuyên suốt của dạy toán biến hình:

Học sinh cần biết dựng ảnh qua một phép biến hình

Học sinh có khả năng dự đoán và giải được các bài toán quỹ tích

Trên cơ sơ hiểu được các bài toán quỹ tích học sinh có thể giải được các bài toán dựng hình, cực trị và nhiều dạng toán còn lại

Sketchpad cần có mặt ở đâu?

Khi dạy khái niệm: minh họa cho các khái niệm, ở trình độ thứ nhất này thầy cô hình thành những khái niệm và các ví dụ, đặc biệt là các ví dụ

Khi phát hiện ra định lí và tính chất của hình, hỗ trợ chứng minh

Dạy giải bài toán hình học đặc biệt là các bài toán quỹ tích và chứng minh

A.2 Các kiến thức và kĩ năng chuẩn bị

Phần mềm sketchpad GSP hoặc bản tiếng anh ( www.diendantinhoc.vn/showthread.php)

GSP việt hóa bản Beta: ( http://gspvn.org/gspmodels/content/view/303/49/ )

Ví dụ 1: Khi dạy định nghĩa phép tịnh tiến: “Trong mặt phẳng cho vectơ vr

Hình 1

* Cách dạy:

- Cho trước một vectơ vr và một điểm

M, sau đó cho nhấn vào nút Vt1 cho chạy hình động, điểm M chạy đến điểm M’ Ta đặt vấn đề với học sinh:

+ Với mỗi điểm M, có thể dựng được bao nhiêu điểm M’ như vậy? Rê điểm M đến nhiều vị trí khác nhau để có thể kết luận? → Dựng duy nhất điểm M’

+ Quy tắc xác định điểm M’ từ điểm M có phải là phép biến hình không? Tại sao? → Quy tắc trên là phép biến hình vì mỗi điểm tương ứng M của mặt phẳng xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó

+ Nhận xét hai vectơ vr và vectơ MMuuuuur'?→MMuuuuur r' =v

+ Nhận xét về vị trí của các điểm M và M’ khi vr= 0v?→M M M '→ Phép đồng nhất

Từ những nhận xét trên học sinh sẽ hiểu rất rõ và có thể rút ra được định nghĩa Phép tịnh tiến một cách dễ dàng

+ Dựng điểm M’ sao cho MMuuuuur r' =vbằng cách áp dụng tính chất của hình bình hành và công cụ dựng đường thẳng song song (vào Construct/Parallel Line).

Ví dụ 2: Trình diễn một vài ví dụ minh họa về phép tịnh tiến cho học sinh quan

N'

M' M

M '

M

* Cách dạy:

- Quan sát hình, học sinh sẽ nhận thấy được M’, N’ và P’ lần lượt là ảnh của M,

N và P qua phép tịnh tiến theo vectơ vr

- Có nhận xét gì về các cặp vectơ MN M N MP M P NP N Puuuur uuuuuur uuur uuuuuur uuur uuuuur, ' '; , ' '; , ' '? Từ đó nhận xét

độ dài của từng cặp vectơ đó Rê tùy ý các điểm M, N, P để kiểm chứng dự đoán? →

' ' ' '

- Có thể nói gì về hai tam giác MNP và tam giác M’N’P’? →Hai tam giác bằng nhau

Từ đó học sinh sẽ rút ra được tính chất 2 của bài: Phép tịnh tiến biến tam giác

* Hướng dẫn dựng hình:

- Dựng vectơ vr tùy ý và tam giác MNP

- Đo độ dài các cạnh MN, MP và NP của tam giác bằng cách chọn 2 đỉnh của cạnh rồi áp dụng Measure/Distance

- Dựng ảnh M’, N’ và P’ của các đỉnh M, N và P qua phép tịnh tiến theo vectơ vr

Ví dụ 4: Sử dụng Sketchpad vào dạy tính chất 2 của phép tịnh tiến

a) Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó

Hình 5

Cho đường thẳng a tịnh tiến động đến đường thẳng a’ làm học sinh rất hứng thú

Ta hoàn toàn có thể thay đổi véctơ uuurAA' để thu được ảnh a’ trùng với a

* Cách dạy:

- Sau khi GV nhấn vào nút Ttien, GV đặt vấn đề cho học sinh trả lời:

+ Xác định ảnh của đường thẳng a qua phép tịnh tiến?→Đường thẳng a’

+ Xác định vị trí tương đối của a và a’? → a’ song song hoặc trùng với a

+ a và a’ trùng nhau khi nào? → Khi uuur rAA' 0 =

Từ đó gọi học sinh rút ra nhận xét: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

b) Phép tịnh tiến biến một đường tròn thành một đường tròn có bán kính bằng nó

Hình 6

* Cách dạy: Tương tự

+ Xác định ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến theo vectơ vr?→ đường tròn

+ Có nhận xét gì về 2 đường tròn trên? → hai đường tròn cùng bán kính.

* Hướng dẫn dựng hình: Bằng thao tác tạo ảnh của M là M’, tạo vết của M’ rồi cho M chuyển động trên đường tròn (O) điểm M’ cũng tạo nên vết là đường tròn ảnh

Ví dụ này có hai nhiệm vụ: Một là biểu diễn quỹ tích của ảnh, hai là giúp học sinh nhớ được ảnh của đường tròn qua phép tịnh tiến

Ví dụ 5: Sử dụng Sketchpad vào dạy định nghĩa phép quay “Cho điểm O và góc

(C')

Vt6

Vt4 Vt5

Vt3 Vt2 Vt1 Reset

O

Hình 7

M' M

→ Khi nháy vào nút Vt1 thì lá cờ (C’) xuất phát từ (C), luôn quay quanh điểm O

và cán cờ OM’ quét một góc lượng giác gọi là góc quay , tùy theo vị trí dừng lại của (C’) mà ta có các góc quay tương ứng Hãy xác định góc quay của (C’) sau khi thực hiện lệnh Vt1?→ ϕ=60o

- Nhận xét độ dài của OM và OM’?→OM=OM’

Như vậy sau khi thực hiện lệnh Vt1 ta nói phép quay tâm O, góc quay 60o biến điểm M thành M’ và biến lá cờ (C) thành (C’)

- Qua phép quay Q(O, 60o) điểm O biến thành điểm nào? → Biến O thành chính nó

- Vậy phép quay là gì? → Định nghĩa phép quay

Tương tự khi nháy vào các nút Vt2, Vt3,……

M'

Vt6

Vt4 Vt5 Vt3 Vt2 Vt1 Reset

+ Phép quay biến M thành M’ trùng với nó → Phép đồng nhất

Từ đó học sinh có thể dễ dàng rút ra nhận xét: Phép quay Q(O,2kπ ) là phép đồng nhất

(C)

ϕ

Vt6

Vt4 Vt5 Vt3 Vt2 Vt1 Reset

M'

M

O

Từ đó học sinh có thể dễ dàng rút ra nhận xét: Phép quay Q(O, (2k+ 1) π) là phép đối xứng tâm O.

* Minh họa hình động về ứng dụng của phép quay:

Hình xe chạy

A.4 Ứng dụng của Sketchpad trong việc giải bài tập phép biến hình

A.4.1 Ứng dụng của GSP trong minh họa động bài toán chứng minh và tìm ảnh của một số hình đơn giản qua các phép biến hình

Ví dụ 6: Cho ΔABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP.

b) Xác định ảnh của 3 đường trung tuyến của tam giác ABC đã cho.

Hình 14

* Cách dạy:

- Sau khi nháy nút tịnh tiến cho chạy hình động, GV đặt câu hỏi cho học sinh trả lời:+ Qua phép tịnh tiến theo vectơ BNuuur, điểm A biến thành điểm nào? → Ảnh của A là A’

+ Tương tự hãy tìm ảnh của B và C? → Ảnh của B và C lần lượt là B’ và C’

Vậy ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ BNuuur là tam giác A’B’C’ Sau khi quan sát hình động và xác định được ảnh của tam giác ABC, học sinh sẽ biết cách dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến một cách dễ dàng

+ Tương tự đối với câu b

* Hướng dẫn dựng hình:

- Dựng tam giác ABC

M’

N’

- Đặt chế độ hình động để học sinh trực quan nhìn thấy sự tịnh tiến tam giác ABC cũng như các đường trung tuyến của tam giác.

Ví dụ 7: Cho hai tam giác vuông cân OAB và OA’B’ có chung đỉnh O sao cho O nằm

* Cách dạy:

Xét phép quay Q(O,90 0): Aa B A; 'a B O'; a O nên phép quay Q(O,90 0)biến

∆ OAB thành ∆ OA’B’ Vì vậy trọng tâm G biến thành G’ qua Q(O,90 0) Suy ra điều

phải chứng minh Sau khi các em học sinh giải xong ta cho minh họa động bài này, thu được kết quả khả quan Học sinh rất hứng thú

Hình 10

Hình 15

* Hướng dẫn dựng hình động: Dựng các tam giác OAB và OA’B’ theo yêu cầu đề bài, ∆ OAA’ tô màu xanh (chức năng Contruct/ Quadrilateral hoặc Ctrl – P) Sau đó

dựng cung tròn AB( như hình vẽ)

Hình 16

Chọn điểm M thuộc cung AB, quay OM một góc 900, chọn B’ sao cho OB’=OB’ đã dựng Điền mầu cho ∆ BMB’ (Ctrl-P), dựng G’ cho tam giác này, che dấu điểm M Sau

đó ta đi tạo nút chuyển động M từ A đến B Tạo nút chuyển động tức thời M(RESET)

từ B về A Dấu cung AB đi ta có công cụ cần làm ngay

Ví dụ 8: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng với A qua B

và PQ là một đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB Đường thẳng CQ cắt PA

và PB lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ

b) Tìm quỹ tích của M,N khi PQ thay đổi:

Hình 17

* Cách dạy và hướng dẫn dựng hình: Dựng đường tròn cùng với đường kính AB

như điều kiện đề bài, dựng C bằng cách lấy phép quay tâm B của điểm A

- Chọn điểm P thuộc đường tròn và dựng PO cắt đường tròn tại Q

- Tạo nút chuyển động cho P (Edit/ Action button), đo độ dài hai đoạn MQ và

QC Học sinh rút ra được nhận xét QM=QC và từ đó đi chứng minh Đồng thời ta cho tạo vết của M để học sinh dự đoán quỹ tích

A.4.2 Ứng dụng của Sketchpad khi giải toán quỹ tích

Sketchpad làm tăng tính năng động và hỗ trợ suy luận dự đoán quỹ tích Nhờ có sketchpad, ta có thể hướng dẫn cho học sinh dự đoán quỹ tích (với cả học sinh yếu) đồng thời trình diễn quỹ tích, làm cho vấn đề trở lên sáng sủa hơn Ta có ví dụ sau:

Ví dụ 9: Cho hai điểm B,C cố định trên đường tròn (O;R) và một điểm A thay đổi

nằm trên đường tròn đó Chứng minh rằng trực tâm trong tam giác ABC nằm trên một đường tròn cố định.

Học sinh đã tìm hiểu và có thể rất rõ lời giải trong sách Nhưng khó khăn nhất chính là ở chỗ, học sinh không hình dung được quỹ tích như thế nào Cách giải trong sách giáo khoa rất hàn lâm, bổ sung lời giải bằng hình động GSP rất có ích:

Hình 18

Học sinh được mắt thấy, có thể nói sờ thấy quỹ tích của điểm H Nếu như các em không thực sự thấy được và hiểu lời giải, các thầy cô chỉ cần thay đổi bằng cách gợi ý:

Dễ thấy được quỹ tích của H là đường tròn Vậy bằng phép tịnh tiến theo véctơ nào ta

có thể thu được quỹ tích đó, phải chăng véctơ uuurAH không đổi?

* Cách dạy: Sau khi vẽ hình xong, hướng dẫn cho học sinh cách làm

- Do H là trực tâm nên ta có uuur uuurAH DC= , từ đó rút ra nhận xét? →H là ảnh của A

uuur

- Tìm quỹ tích của điểm A? →Do A thay đổi trên đường tròn nên quỹ tích của A

Ví dụ 10: Cho Δ ABC có đoạn BC cố định, điểm A chuyển động trên (O,R) Tìm

quỹ tích trọng tâm Δ ABC.

* Hướng dẫn giải: Các em rất khó hình dung được quỹ tích Khi ta cho chạy hình động sau, các em sẽ khám phá quỹ tích là đường tròn và tự đặt được câu hỏi, vị tự như thế nào để được quỹ tích đó:

Hình 19

Ví dụ 11: Cho hình thoi ABCD có hai điểm B,D thuộc đường thẳng d cố định Điểm A

chuyển động trên (O,R) Chứng minh điểm C chuyển động trên một đường tròn cố định.

Hình 20

* Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình thoi nên A, C đối xứng qua đường thẳng BD hay đường thẳng

d Vậy khi A di động trên (O) thì C chuyển động trên đường thẳng (O’) là ảnh của (O) qua phép Đd Vì (O) cố định và d cũng cố định nên (O’) cố định

Bắt đầu từ bài phép quay và phép đối xứng tâm, nhất là trong các tiết chữa bài tập

là cơ hội rất tuyệt vời cho các thầy cô giáo sử dụng sketchpad để trực quan hóa cách giải bài tập

B/ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:

Qua quá trình nghiên cứu và vận dụng đề tài “ Ứng dụng phần mềm GSP vào giảng dạy phép biến hình”, tôi nhận thấy vấn đề này giúp ích nhiều cho học sinh trong việc học một bộ môn rất khó khăn, giúp các em không còn “ngại ngần” giải toán biến hình nữa, các em đã giải khá tốt những phần liên quan đến phép biến hình; say mê học

và giải bài tập Chất lượng học tập ở chương này được cải thiện đáng kể, hiệu quả này

đã động viên khuyến khích tôi rất nhiều Cụ thể:

Sau khi có bộ công cụ này, tôi thấy cần thời gian để tiếp tục nghiên cứu và cải tiến các kĩ thuật mới trong sketchpad.

Vì số ví dụ trong thực tế dạy học là rất nhiều, tác giả chỉ cung cấp một vài ví dụ điển hình tiêu biểu từ dễ đến khó Các bạn có thể thấy trình tự sắp xếp trong cách dựng

đó, mục đích chuyển từ dễ là khám phá cách tìm ảnh của một số hình đơn giản qua các phép biến hình, chứng minh các bài toán biến hình minh họa bằng hình động đến bước cuối cùng là giải các bài toán về quỹ tích Tác giả hi vọng cách sắp xếp này giúp các thầy cô dễ đọc và sử dụng