Ứng dụng Maple trong dạy học

Back to http://quyndc.blogspot.com SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP Phạm Huy Điển Viện Toán học (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Nguyễn Quang Minh Viện Toán học (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Nguyễn Văn Sinh Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên 1 Phần mềm và máy tính là công cụ hỗ trợ đắc lực 1.1 Phần mềm và máy tính không làm giảm vai trò người thầy, mà chỉ “hỗ trợ” cho thầy Phần mềm là công cụ hỗ trợ thày trình bày các minh họa với chất lượng cao, giảm bớt được thời gian làm những công việc thủ công, vụn vặt, dễ nhầm lẫn (vẽ hình, tính toán trun g gian, ) để có điều kiện đi sâu vào bản chất toán học của bài giảng. Dưới đây là một số minh họa cho điều này. Hai chủ đề được chọn làm ví dụ là: Dãy số và giới hạn của dãy số, Hàm số và giới hạn của hàm số. Rõ ràng chẳng có cái máy nào có thể thay thầy nói cho học sinh hiểu về bản chất hai khái niệm này. Ngược lại, nếu không có máy, thầy cũng khó mà minh họa cho học sinh hiểu được khái niệm này đến nới đến chốn. 1.1.1 Dãy số và giới hạn dãy số 1.1.1.1 Minh họa dãy và giới hạn của dãy Minh họa dãy số bằng lệnh vẽ dãy điểm pointplot. Thí dụ ta minh họa 20 phần tử đầu của dãy số bằng lệnh: > with(plots): p ointplot([seq([n,sin(n)/(n+1)],n=1 20)],symbol=cross); 1.1.1.2 Minh họa dãy hội tụ (về 0) = u n ()sin n + n 1 Page 1 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht Muốn xem xét tính hội tụ của dãy ta vẽ nhiều điểm hơn, thí dụ ta vẽ 100 điểm của dãy số bằng lệnh: > pointplot([seq([n,sin(n)/(n+1)],n=1 100)],symbol=cross); Xem thêm một khúc đuôi > pointplot([seq([n,sin(n)/(n+1)],n=1 200)],symbol=cross, color=red); Có thể xem tiếp nhiều khúc đuôi khác nữa, và ta luôn tháy rằng khúc đuôi càng về sau thì càng gần trục hoành, cho nên dãy hội tụ. Thực tế là như vậy > limit(sin(n)/(n+1),n=infinity); 1.1.1.3 Dãy không hội tụ (về 0) Xem xét dãy số  > pointplot([seq([n,sin(n)+cos(n)],n=1 100)],symbol=cross); > pointplot([seq([n,sin(n)+cos(n)],n=1 150)],symbol=cross); 0 = a n + ()sin n ()cos n Page 2 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht > pointplot([seq([n,sin(n)+cos(n)],n=1 200)],symbol=cross); Mọi khúc đuôi đều luôn chứa những phần tử "vô tổ chức", cho nên dãy không hội tụ. Có thể chứng minh điều này một cách chặt chẽ bằng định nghĩa. 1.1.1.4 Những dãy số phức tạp Có những dãy không dễ gì biết được nó có hội tụ hay không. Ví dụ Hãy thử xem máy biểu diễn các phần tử của nó ra sao: > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^(n/ln(n+1))], n=1 500)],symbol=cross); > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^(n/ln(n+1))], n=1 1000)],symbol=cross); = u n + ()sin n 1 n ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ n ()ln + n 1 Page 3 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^(n/ln(n+1))], n=500 800)],symbol=cross); > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^(n/ln(n+1))], n=800 1000)],symbol=cross); Qua đây ta có thể hình dung được là dãy không hội tụ. Một ví dụ khác, đơn giản hơn nhưng cũng không tầm thường > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^sqrt(n)], n=1 1000)],symbol=cross); = v n + ()sin n 1 n n Page 4 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^sqrt(n)], n=1000 2000)],symbol=cross); > pointplot([seq([n,(abs(sin(n)+1/n))^sqrt(n)], n=2000 3000)],symbol=cross); 1.1.2 Hàm số và giới hạn hàm số Cách dạy cũ: Lấy việc vẽ đồ thị là cái đích để đạt tới (rất nặng nề, quá tải, và phi thực tiễn vì lớp hàm có thể khảo sát và vẽ đồ thị là rất ít ỏi). Cách dạy mới: Lấy đồ thị làm khởi điểm (nhẹ nhàng, dễ hiểu và khả thi trong giai đoạn hiện nay, vì đồ thị của mọi hàm đều vẽ được bằng máy). 1.1.2.1 Tính giá trị và vẽ đồ thị Hãy thử vẽ một đồ thị mà các loại mẹo mực, kỹ thuật “khảo sát” đều thấy “ngán”, Page 5 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht như: Với máy tính, dễ dàng tính giá trị của hàm số tại (bao nhiêu điểm tùy thích), thí dụ:  Ngoài ra, dễ dàng thấy rằng khi thì . Từ đây dễ dàng suy ra đồ thị như sau Đồ thị của hàm số cũng dễ dàng vẽ được bằng cách trên 1.1.2.2 Ứng dụng của đồ thị + Cho thấy được tường minh các thuộc tính của hàm số. + Phương pháp giải phương trình vạn năng (mạnh hơn cả lệnh “Solve” của Maple). 1.1.2.3 Giới hạn hàm số Một trong những vấn đề nan giải của người giáo viên phổ thông là phải làm cho học sinh "cảm nhận" được bản chất của giới hạn (mà không cần phải đi vào phân tích chi li theo định sin(cos ) () cos(sin ) x f x x = k f 0 0.84147 1 0.84507 2 0.85450 3 0.86536 4 0.86954 5 0.85451 6 0.80340 7 0.69763 8 0.52360 9 0.28294 10k = 0 f = ( ) ctg(cos(tg(sin ))) g xx= Page 6 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht nghĩa). Với Maple, ta có thể cho học sinh "nhìn thấy" bản chất vấn đề. Với lệnh sau, học sinh sẽ nhìn thấy (trong Maple) quá trình tiến tới giới hạn của hàm khi tiến về 0: > picts:=[seq(plot([x*sin(1/x)*piecewise(x<-1/i,1,x<=1/i,0,1),x,- x],x=-0.5 0.5,color= [red,blue,blue],discont=true,numpoints=1000) ,i=3 100)]: display (picts, insequence=true); 1.2 Vượt qua chủ đề khó một cách không khó Những bất cập trong vấn đề giảng dạy tích phân hiện nay: Phiến diện, đối phó, mang nặn g tính kỹ thuật và tiểu xảo, không phản ánh đúng bản chất của phép tính tích phân. Nguyên nhân: Thiếu phương tiện hỗ trợ + Năng lực hạn chế Giải pháp khắc phục: tăng cường sự hỗ trợ của máy tính 1.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 1.2.1.1 Minh họa tổng Riemann Tổng Riemann là một khái niệm khá mơ hồ đối với những người mới tiếp xúc lần đầu. Việc minh hoạ nó bằng tổng diện tích các hình chữ nhật con (ứng với các số hạng của tổng) phần nào đã làm giảm bớt tính trừu tượng của nó. Tuy nhiên, cho đến nay, một cuốn sách g iáo khoa tốt, hoặc một thầy giáo có khả năng minh hoạ giỏi thì cũng mới chỉ đưa ra được nhữn g minh hoạ tương tự như là hình vẽ sau đây (đối với tổng Riemann của hàm số : > with(student): m iddlebox(sin(x^2+x-1)-cos(x^2-x+1)+3,x=-3 3,15); () sin(1/ ) f xx x= x = ()f x − + ()sin + − x 2 x 1( )cos − + x 2 x 13 Page 7 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht Rõ ràng, nếu chỉ với một hình vẽ minh hoạ này, học sinh khó mà hình dung được rằn g khi lấy phân hoạch đủ mịn thì tổng diện tích mớ hình chữ nhật “lổn nhổn” lại có thể trùng với diện tích của hình thang cong (xác định bởi hàm số). Muốn thấy được điều này ta cần đưa ra một dãy hình vẽ minh hoạ thể hiện rằng quá trình xấp xỉ hình thang cong (bằng tập các hình chữ nhật "mảnh mai") đạt độ chính xác càng cao khi phân hoạch càng mịn. Má y tính là côn g cụ lý tưởng cho ta thực hiện điều này. Bằng cách lấy bề rộng phân hoạch bước sau bằng nửa bước trước, chỉ cần qua 3 bước ta đã có được kết quả hoàn hảo: > middlebox(sin(x^2+x-1)-cos(x^2-x+1)+3,x=-3 3,30); m iddlebox(sin(x^2+x-1)-cos(x^2-x+1)+3,x=-3 3,60); m iddlebox(sin(x^2+x-1)-cos(x^2-x+1)+3,x=-3 3,120); Muốn cho thuyết phục hơn, ta cần phải đưa ra hàng loạt ví dụ khác. Nếu không có máy trợ giúp thì ta khó mà thực hiện điều này, nhưng với máy thì thực là đơn giản. 1.2.1.2 Quá trình tiến tới giới hạn của tổng Riemann Page 8 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht Một vấn đề khó khăn là làm sao để học sinh cảm nhận được rằng tổng Riemann có thể "tiến dần" tới diện tích hình thang cong (khi phân hoạch mịn dần) > hamso:= t*sin(t^2-t+1)/(t^2+1)-cos(t^2+t-1): p icts := [seq(middlebox(hamso,t=-3 3,30+3*i), i=1 50)]: display(picts, insequence=true); 1.2.2 Tích phân xác định tính khó hay dễ? Trước đây, vì không có máy, thầy và trò không thể tính được tích phân xác định theo định nghĩa (qua tổng Riemann), cho nên chỉ đưa ra định nghĩa rồi qua y san g tìm n g u y ên hàm. Bây giờ tình thế đã đổi khác, với máy tính thì việc tính tích phân xác định cũng bình thườn g như việc "khai căn một số" > Int(sin(x)/x,x=1 2); > evalf("); Như vậy, nếu có máy tính thì việc tính tích phân (xác định) là vô cùng đơn giản, kể cả đối với các hàm mà ta không thể nào tìm được nguyên hàm (như trên chẳng hạn). 1.2.3 Những câu hỏi đặt ra 1.2.3.1 Việc nào khó hơn: tìm nguyên hàm hay tính tích phân xác định? Máy tính tìm nguyên hàm cũng giỏi như ta: > Int(x*sin(x),x); > value("); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 1 2 ()sin x x x .6593299064 d ⌠ ⌡ ⎮ x ()sin xx − ()sin x x ()cos x Page 9 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht Và cả ta lẫn máy cũng phải chịu "bó tay" khi gặp phải những bài "không có trong sách giáo khoa", như dưới đây? > int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x); > value("); Như vậy, với hàm này không thể tìm được nguyên hàm (dưới dạng một biểu thức hiển). Tuy nhiên ta vẫn dễ dàng tính được tích phân xác định của nó trên mọi đoạn > Int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x=0 1); > evalf("); Tóm lại, việc tìm nguyên hàm khó hơn hẳn việc tính tích phân xác định. 1.2.3.2 Tính tích phân xác định bằng nguyên hàm? Hay tìm nguyên hàm thông qua tích phân xác định ? Ta biết rằng nguyên hàm của hàm số là tồn tại, nhưng không thể biểu diễn được qua các hàm số ta biết: > int(sin(x)/(x+sqrt(x)),x); Tuy nhiên, định lý cơ bản của phép tính tích phân cho ta thấy rằng nó biểu diễn được dưới dạng tích phân xác định với cận là biến số. Thật vậy, nó là một hàm F(x) xác định nh ư sau: > F(x):=int(sin(t)/(t+sqrt(t)),t=0 x); Chương trình tính toán cho ta biết mọi thông tin về hàm này, đầy đủ và phong phú như bất kỳ một hàm quen thuộc nào khác. Thí dụ ta có thể bảo máy cho xem giá trị của hàm tại bất k ỳ điểm nào, hoặc hơn thế, ta có thể bảo máy vẽ cho ta đồ thị của hàm trên một đoạn bất kỳ >with(plots):plot(F(x),x=0 10); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ()sin x + x x x d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ()sin x + x x x d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 0 1 ()sin x + x x x .3615792078 = ()f x ()sin x + x x := ()F xd ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 0 x ()sin t + t t t Page 10 of 25Baocao.mws - [Server 1] 11/17/2008mhtml:file://D:\Maplevn2008\Un g -dun g -Maple-da y -hoc.mht [...]... bản thì chẳng những giúp cho thầy trò mhtml:file://D:\Maplevn2008\Ung-dung -Maple- day-hoc.mht 11/17/2008 Baocao.mws - [Server 1] Page 13 of 25 dạy và học đúng những thứ cần thiết cho mình trong tương lai, mà còn ngăn ngừa được nạn dạy và học thêm tràn lan, bởi vì học sinh xác định được phạm vi cần phải học (Ta biết rằng lý thuyết có thể gói gọn trong vòng một quyển sách giáo khoa mỏng, còn các bài tập... cuối cùng, người ta cho học lý thuyết một cách "chiếu lệ" (chỉ học vẹt một số công thức máy móc phục vụ cho giải bài tập) Điều đáng nói là chính kiến thức lý thuyết mới là điều học sinh cần phải học Kết quả của cách dạy và học phi cơ bản (lấy bài tập làm trọng tâm) không chỉ làm học sinh "rỗng" về văn hoá toán, mà còn làm cho học sinh sợ toán, hoặc mệt mỏi vì toán, Rõ ràng, cách học toán sai lệch hiện... trình độ học sinh Rõ ràng, đây là một việc không thể thiếu vì mọi cơ quan sử dụng lao động đều cần biết trình độ của người mình tuyển dụng Một vai trò hiển nhiên nữa của các kỳ thi là thúc đẩy người học tích cực hơn trong học tập Thực tế hiện nay ở nước ta cho thấy nếu không có việc kiểm tra, thi cử thì phần lớn học sinh đi học như “đi mò cua bằng giỏ thủng đáy” Đấy là chưa nói đến lớp người đi học không... chức việc thi cử và cấp chứng chỉ một cách thống nhất (trước mắt cho học sinh phổ thông), thì sẽ khắc phục được rất nhiều điều bất cập trong lĩnh vực này Khi ấy, việc dạy thêm -học thêm (theo mục đích riêng của mhtml:file://D:\Maplevn2008\Ung-dung -Maple- day-hoc.mht 11/17/2008 Baocao.mws - [Server 1] Page 14 of 25 giáo viên) cũng sẽ tự biến đi, vì chất lượng học tập cuối cùng của học sinh sẽ được đánh giá... học mấy cái "mẹo" tính nguyên hàm Rõ ràng học khái niệm tích phân xác định và biết dùng máy để tính là đơn giản và hữu ích hơn rất nhiều so với việc "nhồi nhét" các loại tiểu xảo tính nguyên hàm 1.3 Phần mềm hỗ trợ định hướng dạy và học kiến thức cơ bản o Bài tập toán khó không còn là con “ngáo ộp” và việc học toán không còn là “gánh nặng” cho học sinh bình thường o Việc học toán đi vào bản chất: học. .. đó học Việc kiểm tra cú thể tiến hành một cỏch thường xuyờn nhằm tạo ra khụng khớ học tập, buộc học sinh phải thường xuyờn ụn luyện kiến thức Điều này mang lại sự thuận lợi trong giảng dạy và học tập Mặt khác mỗi khi kiểm tra xong ta tiến hành kiểm nghiệm đề để đánh giá độ khó, độ phân biệt và độ tin cậy Từ đó chỉnh lý lại phương pháp dạy cho từng bài, bổ sung và chỉnh lý các cõu hỏi theo các tiết dạy. .. phải học" Chính vì vậy, nếu xác định nội dung thi cử "chệch mục tiêu" thì việc học hành cũng bị đi lệch hướng Ðiều này thể hiện rất rõ đối với môn Toán, một trong 3 môn được xem là trọng điểm hiện nay Việc xác định nội dung thi toán trong các kỳ tuyển sinh là giải một số bài tập toán đã khiến cả thầy và trò đổ xô đi luyện làm các bài tập, một công việc vốn chỉ đóng vai trò thứ yếu trong việc dạy và học. .. nghiệm 3.2.2.1 Các hình thức áp dụng 1) Kiểm tra đánh giá thường xuyên 10-15 phút  Với hình thức này thường kiểm tra đầu giờ hoặc cuối giờ nhằm mục đích ôn lại bài cũ, củng cố bài mới Hình thức này giúp học sinh ôn tập một cách thường xuyên, nhẹ nhàng, gây hứng thú cho các em trong học tập và nhắc nhở các em chịu khó học bài Số lượng câu hỏi chúng tôi lựa chọn là 5 câu trong đó 2 câu dễ chiếm 40% và... đó tạo ra một không khí học tập và giảng dạy mới Việc thảo luận còn cung cấp cho cả giáo viên và học sinh sự phản hồi về kết quả giảng dạy và học tập của mình Thông qua bài trắc nghiệm của chương trước ta xác định được chuẩn kiến thức cần nắm, giúp giáo sinh mới ra trường tiếp cận nhanh chóng với giáo trình Kết quả đo lường đánh giá được cả giáo trình giảng dạy, giúp giáo viên, học sinh và các nhà quản... chứng chỉ, để leo thang danh vọng (Đáng tiếc là những người này đang đầy rẫy trong xã hội ta, và có lẽ chính họ đang làm chật các học đường, tạo ra “sức ép về nhu cầu” giả tạo cho ngành giáo dục) Thiết nghĩ, nếu loại bỏ được nhu cầu học rởm thì ngành giáo dục nước ta sẽ đỡ vất vả hơn rất nhiều Ai có thể gánh vác trách nhiệm này, nếu không phải là những kỳ thi? mhtml:file://D:\Maplevn2008\Ung-dung -Maple- day-hoc.mht . http://quyndc.blogspot.com SỬ DỤNG MÁY TÍNH TRONG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁNH GIÁ CHẤT LƯỢNG HỌC TẬP Phạm Huy Điển Viện Toán học (Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam) Nguyễn Quang Minh Viện Toán học (Viện Khoa học và. 1] 11/17/2008mhtml:file://D:Maplevn2008Un g -dun g -Maple- da y -hoc.mht dạy và học đúng những thứ cần thiết cho mình trong tương lai, mà còn ngăn ngừa được nạn dạy và học thêm tràn lan, bởi vì học sinh xác. 1] 11/17/2008mhtml:file://D:Maplevn2008Un g -dun g -Maple- da y -hoc.mht nghĩa). Với Maple, ta có thể cho học sinh "nhìn thấy" bản chất vấn đề. Với lệnh sau, học sinh sẽ nhìn thấy (trong Maple) quá